高中数学交流百度贴吧-高中数学必修2苏教版教材分析
类题：
1．已知tanx=2，求sinx，cosx的值．
解
：因为
tanx?
sinx
?2
，又sin
2
x＋cos<
br>2
x=1，
cosx
?
sinx?2cosx
，
联
立得
?
2
2
sinx?cosx?1
?
?
25
?
25
sinx?
??
sinx??
?
5<
br>?
5
解这个方程组得
?
,
?
.
5
?
5
?
cosx?cosx??
?
5
?
5
??
2．求
tan(?120
?
)cos(210
?
)si
n(?480
?
)
tan(?690)sin(?150)cos(330)
???
的值．
解：原式
tan(?120
?
?180
?
)cos(180
?
?30
?
)sin(?360
?
?120
?
)
?
?o???
tan(?720?30)
sin(?150)cos(360?30)
tan60
?
(?cos30
?
)(?sin120
?
)
???33.
???
t
an30(?sin150)cos30
3．若
sinx?cosx
?2,
，
求sinxcosx的值．
sinx?cosx
sinx?cosx
?2,
sinx?cosx
解：法一：因为
所以sinx－cosx=2(sinx＋cos
x)，
得到sinx=－3cosx，又sin
2
x＋cos
2
x
=1，联立方程组，解得
?
310
?
310
sinx?sinx?
?
??
?
10
?
10
，，
??
10
?
10
?
cosx??cosx?
?
10
?<
br>10
??
3
?
10
sinx?cosx
法二：因为
?2,
sinx?c
osx
所以
sinxcosx??
所以sinx－cosx=2(sinx＋cosx
)，
所以(sinx－cosx)
2
=4(sinx＋cosx)
2
，
所以1－2sinxcosx=4＋8sinxcosx，
所以有
sinxcosx??
3
?
10
4．求证
：tan
2
x·sin
2
x=tan
2
x－sin
2
x．
证明：法一：右边＝tan
2
x－sin
2
x=t
an
2
x－(tan
2
x·cos
2
x)=tan
2
x(1－cos
2
x)=tan
2
x·sin
2
x，问题得证．
法二：左边=tan
2
x·sin
2
x=tan<
br>2
x(1－cos
2
x)=tan
2
x－tan
2<
br>x·cos
2
x=tan
2
x－sin
2
x，问题得
证．
5．求函数
y?2sin(?
x
2
π
)
在区间[0，2??]上的值域．
6
x
π
x
π7π
?π,???,
由正弦函数的图象，
26266
解：因为
0≤x≤2π，所以
0?
x
π
1
得到
sin(?)?[?,
1],
262
所以y∈[－1，2]．
6．求下列函数的值域．
(1)y＝sin
2
x－cosx+2；
(2)y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)．
解：(1)y=sin
2
x－cosx＋2＝1－cos
2
x－cosx＋2=－(cos
2
x＋c
osx)＋3，
令t=cosx，则
t?[?1,1],y??(t
利用二次函数的
图象得到
y?[1,
2
113113
?t)?3??(t?)
2???(t?)
2
?,
2424
13
].
4
π
2
，
sin(x?)
，则
4
(2)y
＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)=(sinx＋cosx)
2
－1－(sin
x＋cosx)，令t=sinx＋cosx
?
5
t?[?2,2]
则，y?t
2
?t?1,
利用二次函数的图象得到
y?[?,1?2].
4
7．若函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为(2,2)
，它到其相邻的最低点之间的图
象与x轴交于(6，0)，求这个函数的一个解
析式．
解：由最高点为
(2,2)
，得到
A?2
，最高点和最低点
间隔是半个周期，从而与x轴交点的间隔是
个周期，这样求得
1
4
T
π
?4
，T=16，所以
?
??
8
4
ππ
2sin(x?).
84
π
π
又由
2?2sin(?2?
?
)
，得到可以取
?
?
.?y?
8
4
44
8．已知函数f(x)=cosx－2sinxcosx－
sinx．
π
2
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；
(Ⅱ)若
x?[0,],
求f(x)的最大值、最小值．
数
y?
1?sinx
的值域．
3?cosx
解：(Ⅰ)因
为f(x)=cos
4
x－2sinxcosx－sin4x＝(cos
2
x
－sin
2
x)(cos
2
x＋sin
2
x)－sin2x
ππ
?(cos
2
x?sin
2
x)?sin2x?cos
2x?sin2x?2sin(?2x)??2sin(2x?)
44
所以最小正周期为π．
πππ3ππ
3π
(Ⅱ)若
x
?[0,]
，则
(2x?)?[?,]
，所以当x=0时，f(x)取最大值为
?2sin(?)?1;
当
x?
时，
24444
8
f(x
)取最小值为
?
1． 已知
tan
?
?
2.
2
，求（1）
cos
?
?sin
?
；（2）
s
in
2
?
?sin
?
.cos
?
?2cos
2
?
的值.
cos
?
?sin
?
sin
?
cos
?
?sin
?<
br>cos
?
?
1?tan
?
?
1?2
??3?
22
；
?
解：（1）
sin
?
1?tan
?1?2
cos
?
?sin
?
1?
cos
?sin
2
??sin?cos??2cos
2
?
22
(2)
sin??sin?cos??2cos??
sin
2
??cos
2
?
sin
2
?sin?
??2
22?2?24?2
??
?
cos?
2
cos?
.
sin?
2?13?1
cos
2
?
1?
说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备
，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过
程简化。
2．
求函数
y?1?sinx?cosx?(sinx?cosx)
的值域。
解：设t?sinx?cosx?
2
π
2sin(x?)?[?2，2]
，则原
函数可化为
4
13
y?t
2
?t?1?(t?)
2
?
，因为
t?[?2，2]
，所以
24
13
当
t?2
时，
y
max
?3?2
，当
t??
时，y
min
?
，
24
3
所以，函数的值域为
y?[，3?2]
。
4
3．已知函数
f(x)?4sinx?2sin2x?2，x?R
。
（1）
求
f(x)
的最小正周期、
f(x)
的最大值及此时x的集合；
（
2）证明：函数
f(x)
的图像关于直线
x??
2
2
π对称。
8
2
解：
f(x)?4sinx?2sin2x?2?2sin
x?2(1?2sinx)
?2sin2x?2cos2x?22sin(2x?)
(1)所以
f(x
)
的最小正周期
T?π
，因为
x?R
，
π
4ππ
3
π
?2kπ?
，即
x?kπ?
时，
f(
x)
最大值为
22
；
428
π
(2)证明：欲证明函数<
br>f(x)
的图像关于直线
x??
对称，只要证明对任意
x?R
，有
8
ππ
f(??x)?f?(?x
成立，
)
88
ππππ
因为
f(??x)?22sin[2(??x)?]?22sin(??
2x)??22cos2x
，
8842
ππππ
f(??x)?22sin
[2(??x)?]?22sin(??2x)??22cos2x
，
8842
所以，当
2x?
所以
f(?
πππ
?x)?f(??x)
成立，从而函数
f(x)
的图像关于直线
x??
对称。
888
3
1
2
cosx+sinx·cosx+1 （x∈R）,
2
2
4． 已知函数y=
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
33
111
22
cosx+sinx·cosx+1=
(2cosx－1)+ +（2sinx·cosx）+1
2
244
4
3<
br>151
?
?
5
=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+
sin2x·cos)+
4
442
66
4
1
?
5
=sin(2x+)+
2
6
4
???
所以y取最大值时，
只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即 x=+kπ,（k∈Z）。
626
?
所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}
6
解：（1）y=
（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：
??
，得到函数y=sin(x+)的图像；
66
1
?
（
ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像； <
br>2
6
11
?
（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横
坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的
22
6
（i）把函数y=sinx的图
像向左平移
图像；
（iv）把得到的图像向上平移
综上得到y=
51?
5
个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。
42
6<
br>4
3
1
2
cosx+sinxcosx+1的图像。
2
2
历年高考综合题
2
一，选择题
1.（08全国一6）
y?(sinx?cosx)?1
是
（ ）
A．最小正周期为
2π
的偶函数
C．最小正周期为
π
的偶函数
B．最小正周期为
2π
的奇函数
D．最小正周期为
π
的奇函数
2.（08全国一9）为得到函数
y
?cos
?
x?
?
?
π
?
?
的图象，只需
将函数
y?sinx
的图像（ ）
3
?
π
个长度单位
6
5π
C．向左平移个长度单位
6
A．向左平移
π
个长度单位
6
5π
D．向右平移个长度单位
6
B．向右平移
3.(08全国二1)若
sin
?
?0
且
t
an
?
?0
是，则
?
是
（ ）
A．第一象限角
B． 第二象限角 C． 第三象限角 D．
第四象限角
4.（08全国二10）．函数
f(x)?sinx?cosx
的最大值为
（ ）
A．1 B．
2
C．
3
D．2
5.（08安徽卷8）函数
y
?sin(2x?
A．
x??
?
3
)
图像的对称轴方程可能
是 （ ）
C．
x?
?
6
B．
x??
?
12
?
6
D．
x?
?
12
6.（08福建卷7）函数
y
=
cos
x
(x∈R)的图象向左平移
?
个单位后，得到函数
y=g(
x
)的图象，则
g(x
)的解
2
析式为
( )
A.-sin
x
x
C.-cos
x
x
7.（08广东卷
5）已知函数
f(x)?(1?cos2x)sinx,x?R
，则
f(x)
是 （ ）
2
?
的奇函数
2
?
C、最小正周期为
?
的偶函数
D、最小正周期为的偶函数
2
A、最小正周期为
?
的奇函数
B、最小正周期为
8.（08海南卷11）函数
f(x)?cos2x?2sinx
的
最小值和最大值分别为 （ ）
33
D. －2，
22?
9.（08湖北卷7）将函数
y?sin(x?
?
)
的图象<
br>F
向右平移个单位长度得到图象
F
′，若
F
′的一条对称3
A. －3，1 B. －2，2 C. －3，
轴是直线
x?
A.
?
1
,
则
?
的一个可能取值是
（ ）
511
511
?
B.
?
?
C.
?
D.
?
?
1212
1212
sinx
10.（
08江西卷6）函数
f(x)?
是 （
）
x
sinx?2sin
2
A．以
4
?
为周期的
偶函数 B．以
2
?
为周期的奇函数
C．以
2
?
为周期的偶函数
D．以
4
?
为周期的奇函数
11.若动直线
x?a
与函数
f(x)?sinx
和
g(x)?cosx
的图像分别交于
M，N<
br>两点，则
MN
的最大值为
（ ）
A．1
B．
2
C．
3
D．2
12.（08山东卷10）已知
cos
?
?
?
?
?
π
?
4
7π
??
，则
?sin
?
?3sin
?
?
???
的值是（ ）
6
?
56
??
C．
?
A．
?
23
5
B．
23
5
44
D．
55
13.（08陕西卷1）
sin330?
等于
（ ）
A．
?
3
2
B．
?
11
C．
22
2
D．
3
2
14.（08四川卷4）
?
tanx?cotx
?
cosx?
(
)
Ａ.
tanx
Ｂ.
sinx
Ｃ.
cosx
Ｄ.
cotx
15.（08天津
卷6）把函数
y?sinx(x?R)
的图象上所有的点向左平行移动
上所有点的横坐
标缩短到原来的
（ ）
A．
y?sin
?
2x??
个单位长度，再把所得图象
3
1
倍（纵坐标不变），得到的图象所表示
的函数是
2
?
?
?
?
?
，x?R
3
?
B．
y?sin
?
?
x?
?<
br>?
?
，x?R
26
??
??
?
?
，x?R
3
?
C．
y?sin
?
2x?
?
?
?
??
，x?R
3
?
D．
y?sin
?
2x?
?
?
16.（08天津卷9）设
a?sin
A．a?b?c
5?2?2?
，
b?cos
，
c?tan
，则
（ ）
777
B．
a?c?b
C．
b?c?a
D．
b?a?c
2
17.（08
浙江卷2）函数
y?(sinx?cosx)?1
的最小正周期是 （ ）
A.
3
?
?
B.
?
C. D.
2
?
2
2
x
23
?
1
)(x?[0，2
?
])
的图象和直线
y?
的
22
18.（08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数
y?co
s(?
交点个数是
（ ）
A.0 B.1
C.2 D.4
二，填空题
19.（08北京卷9）若角?
的终边经过点
P(1，?2)
，则
tan2
?
的值为
．
20.（08江苏卷1）
f
?
x
?
?cos
?
?
x?
?
?
?
?
6
?
?
的最小正周期为
?
，其中
?
?0
，则
?
=
．
5
2sin
2
x?1
?
?
?
21.（
08辽宁卷16）设
x?
?
0，
?
，则函数
y?
的
最小值为 ．
sin2x
?
2
?
22.（
08浙江卷12）若
sin(
?
3
?
?
)?
，则<
br>cos2
?
?
_________。
25
?
23.
（08上海卷6）函数
f
(
x
)＝3sin
x
+sin(+
x
)的最大值是
2
三，解答题
24. （08四川卷17）求函数
y?7?4sinxcosx?4c
osx?4cosx
的最大值与最小值。
25. （08北京卷15）已知函数<
br>f(x)?sin
2
?
x?3sin
?
xsin
?<
br>?
x?
24
?
?
π
?
的最小正周期为
π
．（Ⅰ）
?
（
?
?0
）
2
?
求
?
的值；（Ⅱ）求函数
f(x)
在区间
?
0，
?
上的取值范围．
3
26. （08天津卷17）已知函数
f(x
)?2cos
?
x?2sin
?
xcos
?
x?1
（
x?R,
?
?0
）的最小值正周期是
2
?
2π<
br>?
??
?
． （Ⅰ）求
?
的值；
2
（Ⅱ）
求函数
f(x)
的最大值，并且求使
f(x)
取得最大值的
x
的集合．
27. （08安徽卷17）已知函数
f(x)?cos(2x??
)?2sin(x?)sin(x?)
344
??
（Ⅰ）求函数
f(x)
的最小正周期和图象的对称轴方程
（Ⅱ）求函数
f(x)
在区间
[?
28. （08陕西卷
17）已知函数
f(x)?2sin
（Ⅰ）求函数
f(x)
的最小正周期及最
值；
,]
上的值域
122
xxx
cos?23sin
2
?3
．
44
4
??
（Ⅱ）令
g(x)?f
?
x?
?
?
π
?
?
，判断函数
g(x)
的奇偶性，并说明理由．
3
?
1.D 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A 7.D
8.C 9.A 10.A
11.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.D
17.B 18.C
19.
47
20. 10
21.
3
22.
?
23.2
325
24
24.
解：
y?7?4sinxcosx?4cosx?4cosx
?7?2sin2x?
4cos
2
x
?
1?cos
2
x
?
?7?2sin2x?4cos
2
xsin
2
x
?7?2sin2x?sin
2
2x
?
?
1?sin2x
?
?6
2
，
由于函数
z?
?
u?1
?
?6
在
?
?1
1
?
中的最大值为
2
z
max
?
?
?1?1
?
?6?10
最小值为
z
min
?
?
1?1
?
?6?6
故当
sin2x??1
时
y
取得最大值
10
，当
sin2x?1
时
y
取得最小值
6
【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；
【突破】：利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键；
25. 解：（Ⅰ）
f(x)?
2
2
1?cos2
?
x3311
?sin2
?
x?sin2
?
x?cos2
?
x?
22222
π
?
1
?
?sin?
2
?
x?
?
?
．
6
?
2
?
因为函数
f(x)
的最小正周期为
π
，且
??0
，
所以
2π
?
π
，解得
?
?1
．
2
?
?
?
π
?
1
?
?
．
6
?
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
f(x)?sin
?
2x
?
2π
，
3
ππ7π
所以
?
≤
2x?
≤
，
666
因为
0
≤
x
≤
所以
?
1π
?
≤
sin
?
2x?
??
≤
1
， 26
??
因此
0
≤
sin
?
2x?
2
6. 解：
?
?
π
?
13
?
3
?，即的取值范围为
?
≤
0，
?
．
f(x)
?
?
6
?
22
?
2
?
f
?
x
?
?2?
1?cos2
?
x
?sin2
?
x?1
2
?sin2
?
x?cos2
?
x?2
?
?
?
?
?2
?
sin2
?
xcos?c
os2
?
xsin
?
?2
44
??
?
??
?2sin
?
2
?
x?
?
?2
4
??
由题设，函数
f
?
x
?<
br>的最小正周期是
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
f
?
x
?
?2
??
?
，可得
?
，所以
?
?2
．
2
?
2
2
?
??
2sin
?
4x
?
?
?2
．
4
??
当
4x?
?
4
?
?
2
?2k
?
，即
x?
?
?
?
16
?
?
?
k
?
?
k?Z?
时，
sin
?
?
4x?
?
取得最大值1，所
以函数
f
?
x
?
的最大值
4
?
2
?
?
16
?
k
?
?
,k?Z
?
2
?
是
2?2
，此时
x
的集合为
?
x|x?
27. 解：（1）
?f(x)?cos(2x?
?
)?2sin
(x?)sin(x?)
344
??
?
13
cos2x?sin2x?(sinx?cosx)(sinx?cosx)<
br>
22
13
cos2x?sin2x?sin
2
x?cos<
br>2
x
22
13
cos2x?sin2x?cos2x
22
?
?
?sin(2x?
（2）
?x?[?
?
6
)
∴周期T?
2
?
?
?
2
??
5
?
,],?2x??[?,]
1226
36
?
6
)
在区间
[?,]
上单调递增，在区间
[
,]
上单调递减，
12332
??
因为
f(x)?sin(2x?
所以 当
x?
??
??
?
3
时，
f(x)
取最大值 1
又
?f(?
?
12
)??
3
?
13
?
?f()?
，
∴
当
x??
时，
f(x)
取最小值
?
222
2
12
所以 函数
f(x)
在区间
[?
3
,1]
,]
上的值域为
[?
2
122
??
28. 解：（
Ⅰ）
?f(x)
?sin
xx
?
x
π
?
?
3cos
?2sin
?
?
?
．
22
?
2
3
?
?f(x)
的最小正周期
T?
2π
?4π
．
1
2
当
sin
?
?
x
π
??x
π
?
?
?
??1
时，
f(x)
取得
最小值
?2
；当
sin
?
?
?
?1
时，<
br>f(x)
取得最大值2．
?
23
??
23
?
（
Ⅱ）由（Ⅰ）知
f(x)?2sin
?
π
?
?
x
π
?
?
?
?
．又
g(x)?f
?
x?
?
．
3
?
?
23
?
?
?1
?
π
?
π?
x
?
x
π
?
?
g(x)?2sin
?
?
x?
?
?
?
?2sin<
br>?
?
?
?2cos
．
3
?
3
?<
br>2
?
22
?
?
2
?
x
?
x
?
?
g
(
?x
)
?
2cos
?<
br>?
?
?
2cos
?g
(
x
)
．
2
?
2
?
?
函数
g(x)
是偶函数．