高中数学三角函数专题复习 内附类型题以及历年高考真题

三角函数知识点与常见习题类型解法
1. 任意角的三角函数：
（1） 弧长公式：
l?aR
R为圆弧的半径，
a
为圆心角弧度数，
l
为弧长。
（2） 扇形的面积公式：
S?lR
R为圆弧的半径，
l
为弧长。
（3） 同角三角函数关系式：
①倒数关系：
tanacota?1
②商数关系：
tana?
③平方关系：
sin
2
a?cos
2
a?1

（4） 诱导公式：（奇 变偶不变，符号看象限）k·
?
2+
a
所谓奇偶指的是整数k
的奇偶 性












函 数
1
2
sinacosa
，
cota?

cosasina








2.两角和与差的三角函数：
（1）两角和与差公式：
tana(a?
?
)?
tana?tan
?
注：公式的逆用或者变形
．．．．．．．．．
1?tanatan
?
（2）二倍角公式：
tan2a?
2tana
从二倍角的余弦公式里面可得出
2
1?tana
1?cos2a1?cos2a
降幂公式： ，
sin
2
a?

cos
2
a?
22
（3）半角公式（可由降幂公式推导出）： sin
a1?cosaa1?cosasina1?cosa
a1?cosa
?? ??
，
cos??
，
tan??

22
2221 ?cosa1?cosasina

3.三角函数的图像和性质：（其中
k?z< br>）
三角函数
定义域
值域
最小正周期
奇偶性
单调性
对称性
零值点
最值点

（-∞，+∞）
[-1,1]

（-∞，+∞）
[-1,1]


（-∞，+∞）

奇
单调递增
单调递减

偶
单调递增
单调递减

奇
单调递增





x?2k
?
，
y
max
?1
；


无
x?(2k?1)
?
，
4.函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图像与性质：
（本节知识考察一般能化成形如
y?A sin(
?
x?
?
)
图像及性质）
（1） 函数
y?Asin(
?
x?
?
)
和
y?Acos(
?< br>x?
?
)
的周期都是
T?
2
?
?

（2） 函数
y?Atan(
?
x?
?
)
和
y?Acot(
?
x?
?
)
的周期都是
T?
?< br>
?
22
?
3
?
（3） 五点法作
y?As in(
?
x?
?
)
的简图，设
t?
?
x?
?
，取0、、
?
、、
2
?
来求
相应
x
的值以及对应的y值再描点作图。
（4） 关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变 换，提倡先平移后伸缩。切记
每一个变换总是对字母
x
而言，即图像变换要看“变量” 起多大变化，而不
是“角变化”多少。（附上函数平移伸缩变换）:
函数的平移变换：
①
y?f(x)?y?f(x?a)(a?0)
将
y?f(x)
图像沿
x
轴向左（右）平移
a
个单位

（左加右减）
②
y?f(x)?y?f(x)?b(b?0)
将
y?f(x)
图像沿
y
轴向上（下）平移
b
个单位
（上加下减）
函数的伸缩变换：
①
y?f(x)?y?f(wx)(w?0)
将
y?f(x)
图像纵坐标不 变，横坐标缩到原来的
1
倍（
w?1
缩短，
0?w?1
伸长）
w
②
y?f(x)?y?Af(x)(A?0)
将
y?f(x)
图像横坐标不 变，纵坐标伸长到原来
的A倍（
A?1
伸长，
0?A?1
缩短）
函数的对称变换：
①
y?f(x)?y?f(?x)
) 将
y?f(x)
图像绕
y
轴翻折180°（整体翻折）
（对三角函数来说：图像关于
x
轴对称）
②
y?f(x)?y?? f(x)
将
y?f(x)
图像绕
x
轴翻折180°（整体翻折）
（对三角函数来说：图像关于
y
轴对称）
③
y?f(x)?y?f(x)
将
y?f(x)
图像在
y
轴右侧保留，并把右侧图像绕
y
轴翻折
到左侧（偶函数局部翻折）
④
y?f(x)?y?f(x)
保留
y?f(x)
在
x
轴上 方图像，
x
轴下方图像绕
x
轴翻折上去
（局部翻动）
5、方法技巧——三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换， 如1=cos
2
θ+sin
2
θ=tanx·cotx=tan45°
等。
（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：
?
?
?
sin2
x+2cos
2
x=(sin
2
x+cos
2
x)+cos
2
x=1+cos
2
x；配凑角：α=（α+β）－β，β=
2
－
?
?
?
2
等。
（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。

（4）引入辅助角。asinθ+ bcosθ=
a
2
?b
2
sin(θ+
?
)，这里 辅助角
?
所在
象限由a、b的符号确定，
?
角的值由tan
?
=确定。
b
a
类题：
1．已知tanx=2，求sinx，cosx的值．
解：因为
tanx?
联立得
?
sinx
?2
，又sin
2
x＋cos
2
x=1，
cosx
2
?
sinx?2cosx
2
，

?
sinx?cosx?1
?
25
?
25
?
si nx?
?
sinx??
5
?
5
,
?
. 解这个方程组得
?
?
5
?
5
?
cosx?c osx??
?
5
?
5
??
2．求
tan(?120
?
)cos(210
?
)sin(?480
?
)
t an(?690)sin(?150)cos(330)
???
的值．
解：原式
3．若
sinx?cosx
?2,
，求sinxcosx的值．
s inx?cosx
sinx?cosx
解：法一：因为
sinx?cosx
? 2,

所以sinx－cosx=2(sinx＋cosx)，
得到sinx=－3 cosx，又sin
2
x＋cos
2
x=1，联立方程组，解得
3
?

10
sinx?cosx
法二：因为
?2,

sinx?c osx
所以
sinxcosx??
所以sinx－cosx=2(sinx＋cosx )，
所以(sinx－cosx)
2
=4(sinx＋cosx)
2
，
所以1－2sinxcosx=4＋8sinxcosx，
所以有
sinxcosx??
3
?

10
4．求证 ：tan
2
x·sin
2
x=tan
2
x－sin
2
x．

证明：法一：右边＝tan
2
x－sin
2
x=tan
2
x－(tan
2
x·cos
2
x)= tan
2
x(1－
cos
2
x)=tan
2
x·s in
2
x，问题得证．
法二：左边=tan
2
x·sin
2
x=tan
2
x(1－cos
2
x)=tan
2
x－tan
2
x·cos
2
x=tan
2
x－sin
2
x，问题
得证．
5．求函数
y?2sin(?)
在区间[0，2??]上的值域．
解：因为 0≤x≤2π，所以
0?
x
?π,
π
?
x
?
π
?
7π
,
由正弦函数的图象，
26266
x
2
π
6
得到
sin(
x
?
π
)?[?1
,1],

262
所以y∈[－1，2]．
6．求下列函数的值域．
(1)y＝sin
2
x－cosx+2；
cosx)．
解：(1)y=sin
2
x－cosx＋2＝1－cos2
x－cosx＋2=－(cos
2
x＋cosx)＋3，
令t=co sx，则
t?[?1,1],y??(t
2
?t)?3??(t?)
2
?
2
113113
??(t?)
2
?,

424
(2)y＝2sinxcosx－(sinx＋
利用二次函数的图象得到y?[1,
13
].

4
(2)y＝2sinxcosx－(s inx＋cosx)=(sinx＋cosx)
2
－1－(sinx＋cosx)，令t=si nx＋
cosx
?2
，
sin(x?)
，则
t?[?2,2 ]
则，
y?t
2
?t?1,
利用二次函数的图象得到
5y?[?,1?2].

4
π
4
7．若函数y=Asin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为
(2,2)
，它到其
相邻的最低点之 间的图象与x轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．
解：由最高点为
(2,
1
4
2)
，得到
A?2
，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴交点的间隔是个周期，这样求得
T
π
?4
，T=16，所以
?
??

8
4
πππ
又由
2?2sin(
π
?2?
?
)
，得到可以取
?
?.?y?2sin(x? ).

8
484

8．已知函数f(x)=cos
4< br>x－2sinxcosx－sin
4
x．
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期； (Ⅱ)若
x?[0,],
求f(x)的最大值、最小值．
数
y?
1?sinx
的值域．
3?cosx
π
2
解：(Ⅰ)因为f(x)=cos
4
x－2sinxcosx－sin4x＝(cos
2
x－sin
2
x)(cos
2
x＋sin
2x)－sin2x
所以最小正周期为π．
(Ⅱ)若
x?[0,
π]
，则
(2x?
π
)?[?
π
,
3π
]
，所以当x=0时，f(x)取最大值为
?2sin(?
π
)?1;
24444
当
x?
3π
时，f(x)取最小值为
?2.

8
1． 已知
tan
?
?2
，求（1）
1?
cos
?
?sin
?
；（2）
sin
2
?
?sin
?
.cos
?
?2cos
2
?
的值.
cos
?
?sin
?
sin
?
cos
?< br>?sin
?
cos
?
?
1?tan
?
?1?2
??3?22
；
?
解：（1）
sin
?
1?tan
?
1?2
cos
?
?sin
?
1?< br>cos
?
sin
2
??sin?cos??2cos
2
?
22
(2)
sin??sin?cos??2cos??

sin
2
??cos
2
?
sin
2
?sin?< br>??2
2
2?2?24?2
cos?cos?
??

?
.
sin
2
?
2?13
?1
2
cos?
说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、
切互 化，就会使解题过程简化。
2． 求函数
y?1?sinx?cosx?(sinx?cosx)
2
的值域。
解：设
t?sinx?cosx?2sin(x?)?[?2，2]
，则原函数可化为
13
y?t
2
?t?1?(t?)
2
?
，因为t?[?2，2]
，所以
24
13
当
t?2
时，y
max
?3?2
，当
t??
时，
y
min< br>?
，
24
3
所以，函数的值域为
y?[，3?2]
。
4
π
4
3．已知函数
f(x)?4sin
2
x?2sin2x?2， x?R
。
（1）求
f(x)
的最小正周期、
f(x)
的最 大值及此时
x
的集合；

（2）证明：函数
f(x)
的图像关于直线
x??
对称。
解：
f(x)?4sin
2
x?2sin2x?2?2sinx?2(1?2sin
2
x)

(1)所 以
f(x)
的最小正周期
T?π
，因为
x?R
，
ππ
3
π
?2kπ?
，即
x?kπ?
时，
f(x)
最大值为
22
；
428
π
(2)证明：欲证明函数
f(x)
的图像关于直线
x??
对称，只要证明对任意
x?R
，有
8
ππ
f(??x)?f(??x)
成立，
88
ππππ
因为
f(??x)?22sin[2(??x)?]?22sin(??2x)??22cos 2x
，
8842
ππππ
f(??x)?22sin[2(??x)?]? 22sin(??2x)??22cos2x
，
8842
πππ
所以
f(??x)?f(??x)
成立，从而函数
f(x)
的图像关于直线
x? ?
对称。
888
3
1
4． 已知函数y=cos
2
x+sinx·cosx+1 （x∈R）,
2
2
π
8
所以，当
2x?
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集 合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得
到？
解：（1）y=cosx+
+1
3
151
??
5
sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+
4
442664
1
?
5
=sin(2x+)+
264
??
?
所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即 x=+kπ,（k∈Z）。
626
?
所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}
6
1
2
2
33
11
2
sinx·cosx +1= (2cosx－1)+ +（2sinx·cosx）
2
44
4
=c os2x+
（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：
?
?
（i）把函 数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像；
66
（ii）把得到 的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函
?
数y=sin(2x+)的图像 ；
6
1
2
（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不 变），得到
1
2

1
?
函数y=sin(2x+)的图 像；
26
51
?
5
（iv）把得到的图像向上平移个单位长度， 得到函数y=sin(2x+)+的
4264
图像。
综上得到y=cosx+
一，选择题
1
2
2
3
sinxcosx+1的图像。
2
历年高考综合题
1.（08全国一6）
y?(sinx?cosx)
2
?1
是
（ ）
A．最小正周期为
2π
的偶函数
C．最小正周期为
π
的偶函数
B．最小正周期为
2π
的奇函数
D．最小正周期为
π
的奇函数
?
?
π
?
?
2.（08全国一9）为得到函数
y?cos
?
x?
?
的 图象，只需将函数
y?sinx
的图像（ ）
3
π

6
5π
C．向左平移个长度单位
6
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
5π
个长度单位
6
π
6
D．向 右平移
sin
?
?0
3.(08
（ ）
全国二1)若且
tan
?
?0
是，则
?
是
A．第一象限角
4.（08
（ ）
B． 第二象限角 C． 第三象限角 D． 第四象限角
10）．函数全国二
f(x)?sinx?cosx
的最大值为
A．1 B．
2
C．
3
D．2
3
?
5.（08安徽 卷8）函数
y?sin(2x?)
图像的对称轴方程可能是
（ ）
A．
x??
?
6
B．
x??
?
12
C．
x?
?
6
D．
x?
2
?
12

?
6.（08福建卷7）函数
y
=cos
x
(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数
y=g (x
)

的图象，则
g(x
)的解析式为
( )
A.-sin
x

x
C.-cos
x

x

7.（08广东卷5）已知函数
f(x)?(1?cos2x)sin< br>2
x,x?R
，则
f(x)
是 （ ）
2
?
C、最小正周期为
?
的偶函数 D、最小正周期为的偶函数
2
?
A、最小正周期为
?
的奇函数 B、最小正周期为的奇函数
8.（08海南卷11）函数
f(x)?cos2x?2sinx
的最小值和最大值分别为 （ ）
A. －3，1 B. －2，2 C. －3，
3
2

3
D. －2，
3
2< br>?
9.（08湖北卷7）将函数
y?sin(x?
?
)
的图象
F
向右平移个单位长度得到图象
F
′，
若
F
′的一 条对称轴是直线
x?
（ ）
?
1
,
则
?
的一个可能取值是
551111
?
B.
?
?
C.
?
D.
?
?

1212121 2
sinx
10.（08江西卷6）函数
f(x)?
是 （ ）
x
sinx?2sin
2
A.
A．以
4
?
为周期的偶函数 B．以
2
?
为周期的奇函数
C．以
2
?
为周期的偶函数 D．以
4
?
为周期的奇函数
11.若动直线
x?a
与函数
f(x)?sinx
和
g(x)?cosx
的图像分别交于
M，N< br>两点，则
MN
的最大值为
（ ）
A．1 B．
2
C．
3

?
π
?
4
?
D．2
3
，则
si n
?
?
?
12.（08山东卷10）已知
cos
?
?
?
?
?sin
?
?
?
的值是（ ）
656
????
7π
?
A．
?
2323
B．
55
C．
?
D．
4
5
4
5

13.（08陕西卷1）（ ）
sin330?
等于
A．
?
33
11
B．
?
C． D．
22
22
14.（08四川卷4）
?
tanx?cotx
?
cos
2
x?
( )
Ａ.
tanx
Ｂ.
sinx
Ｃ.
cosx
Ｄ.
cotx

15.（08天津卷6）把函数
y?sinx(x?R)的图象上所有的点向左平行移动个单位
长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐 标不变），得到的
图象所表示的函数
1
2
?
3
是
（ ）
A．
y?sin
?
2x?
?
，x?R

3
?
?
?
?
?
B．
y?sin
?
?
?
，x?R

26
?
?
?
??
?
?
，x?R

3
?
?
x
?
?
?
C．
y?sin
?
2x?
?
，x?R

3
?
?
?
?
?
D．
y?sin?
2x?
16.（08天津卷9）设
a?sin
A．
a?b?c

5?2?2?
，
b?cos
，
c?tan
，则 （ ）
777
B．
a?c?b
C．
b?c?a
D．
b?a?c

17.（08浙江卷2） 函数
y?(sinx?cosx)
2
?1
的最小正周期是 （ ）
?
3
?
A. B.
?
C. D.
2
?

22
18.（08浙江卷7）在 同一平面直角坐标系中，函数
y?cos(?
象和直线
y?
1
2x
2
3
?
)(x?[0，2
?
])
的图
2
的交点个数是
（ ）
A.0 B.1 C.2 D.4
二，填空题
19.（08北京卷9）若角
?
的终边经过点
P(1， ?2)
，则
tan2
?
的值为 ．

?
?
?
?
20.（08江苏卷1）
f
?
x
?
?cos
?
?
x?
?
的最小正周期为，其中?
?0
，则
6
5
??
?
= ．
2sin
2
x?1
?
?
?
21.（08辽宁卷 16）设
x?
?
0，
?
，则函数
y?
的最小值为 ．
sin2x
?
2
?
?
3
22.（08浙江卷 12）若
sin(?
?
)?
，则
cos2
?
?_________。
25
?
23.（08上海卷6）函数
f
(
x
)＝3sin
x
+sin(+
x
)的最大值是
2
三，解答题
24. （08四川卷17）求函数
y?7?4sinxco sx?4cos
2
x?4cos
4
x
的最大值与最小值。
25. （08北京卷15）已知函数
f(x)?sin
2
?
x?3 sin
?
xsin
?
?
x?
?
（
?
?0
）的最小
2
?
?
?
π
?
正周期为< br>π
．（Ⅰ）求
?
的值；（Ⅱ）求函数
f(x)
在区间
?
0，
?
上的取值范围．
?
3
?
26. （08 天津卷17）已知函数
f(x)?2cos
2
?
x?2sin
?xcos
?
x?1
（
x?R,
?
?0
）的?
最小值正周期是． （Ⅰ）求
?
的值；
2
?
2π< br>?
（Ⅱ）求函数
f(x)
的最大值，并且求使
f(x)
取得最 大值的
x
的集
合．
???
27. （08安徽卷17）已知函数
f(x)?cos(2x?)?2sin(x?)sin(x?)

344
（Ⅰ）求函数
f(x)
的最小正周期和图象的对称轴方程
（Ⅱ）求函数
f(x)
在区间
[?,]
上的值域
122
xxx
28. （08陕西卷17）已知函数
f(x)?2sinco s?23sin
2
?3
．
444
??
（Ⅰ）求函数
f(x)
的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令
g(x)?f
?
x?
?
，判断函数
g(x)
的奇偶性，并说明理由．
3
?
?
?
π
?

1.D 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 10.A
11.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.D 17.B 18.C
19. 20. 10 21.
3
22.
?
24. 解：< br>y?7?4sinxcosx?4cos
2
x?4cos
4
x

由于函数
z?
?
u?1
?
?6
在
?
?11，
?
中的最大值为
2
4
3
7
23.2
25
最小值为
故当
sin2x??1
时
y取得最大值
10
，当
sin2x?1
时
y
取得最小值< br>6

【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最
值；
【突破】：利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的
范围是关键；
25. 解：（Ⅰ）
f(x)?
π
?
1
?
?sin
?
2
?
x?
?
?
．
6
?
2
?
1?cos2
?
x3311
?sin2
?
x ?sin2
?
x?cos2
?
x?

22222
因 为函数
f(x)
的最小正周期为
π
，且
?
?0
，
所以
2π
?
π
，解得
?
?1
．
2
?
?
π
?
1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
f(x)?sin
?
2x?
?
?
．
6
?
2
?
2π
，
3
ππ7π
所以
?
≤
2x?
≤
，
666
因为
0
≤
x
≤
所以
?
≤
sin
?
2x?
?
≤
1
，
26
?
1
?
?
π
?
因此
0
≤
sin
?
2x?
?
?
≤
，即
f(x)
的取值范围为
?
0，
?
．
6
?
22
??
2
?
?
π
?
13
?
3
?

26. 解：
?
2
??
由题设，函数
f
?
x
?
的最小正周期是，可得
?
，所以
?
?2
．
22< br>?
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
f
?
x
?
?2si n
?
4x?
当
4x?
?
4
?
?
?
?
?
?2
．
4
?
?
?
2
?2k
?
，即
x?
?
16
?
?
?
k
?
?
k?Z
?
时，
sin
?
?
4x?
?
取得最大值1，所以函数
4
?
2
?
?< br>k
?
??
f
?
x
?
的最大值是
2? 2
，此时
x
的集合为
?
x|x??,k?Z
?

162
??
???
27. 解：（1）
Qf(x)?cos(2x?)?2sin(x?)sin(x?)

34 4
（2）
Qx?[?
??
5
?
,],?2x??[?,]< br>
122636
612332
??
?
??
??
因为
f(x)?sin(2x?)
在区间
[?,]
上单调递增，在区间[,]
上单调递
减，
所以 当
x?
又
Qf( ?
?
12
?
3
时，
f(x)
取最大值 1
3
?
13
?
?f()?
，
∴
当
x??< br>时，
f(x)
取最小值
?

2222
12
3
,1]

,]
上的值域为
[?
2
122
)??
所以 函数
f(x)
在区间
[?
x
2
??
28. 解：（Ⅰ）
Qf(x)
?sin?3cos
?f(x)
的最小正周期
T?
x
?
x
π
?
?2sin
?
?
?
．
2
?
23
?
2π
?4π
．
1
2
?
x
?
?
?
π
?
?
当
sin
?
?
?
??1
时，
f(x)
取得最小值< br>?2
；当
sin
?
?
?
?1
时，
f (x)
取得最大值2．
2323
?
?
x
?
π?
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
f(x)?2sin
?
?
?
．又< br>g(x)?f
?
x?
?
．
233
??
?< br>g(x)?2sin
?
?
x?
?
x
?
π?
π
?
?1
?
?
2
?
π
?< br>π?
x
?
x
π
?
?2sin?
．
?2cos
?
??
?
22
2
3
?
3
?
??
?

x
?
x
?
Q
g
(
?x
)
?
2cos
?
?
?
?< br>2cos
?g
(
x
)
．
2
?
2
?
?
函数
g(x)
是偶函数．