高中数学三角函数习题与答案

.
第一
一、选择题
章 三角函数
1．已知
???
为第三象限角，则

A．第一或第二象限
C．第一或第三象限


?

所在的象限是( )．
2






B．第二或第三象限
D．第二或第四象限
2．若sin
θ
cos
θ
＞0，则
θ
在( )．
A．第一、二象限
C．第一、四象限
3．sin










B．第一、三象限
D．第二、四象限
4π
5π
?
4π< br>?
costan
?
－
?
＝( )．
3
36
??
B．A．－
33

4
33

4
C．－
3

4
D．
3

4
4．已知tan
θ
＋
A．2
1
＝2，则sin
θ
＋cos
θ
等于( )．
tan
?
B．
2
C．－
2
D．±
2

5．已知sin
x
＋cos
x
＝
A．－
1
(0≤
x
＜π)，则tan
x
的值等于( )．
5
4

3
C．
3

4
B．－
3

4
D．
4

3
6．已知sin
??
＞sin ?，那么下列命题成立的是( )．
A．若
?
，??是第一象限角，则cos
??
＞cos ?
B．若
?
，??是第二象限角，则tan
??
＞tan ?
C．若
?
，??是第三象限角，则cos
??
＞cos ?
D．若
?
，??是第四象限角，则tan
??
＞tan ? 7．已知集合
A
＝{
?
|
?
＝2
k
π ±
{
γ
|
γ
＝
k
π±
2π2π
，
k
∈Z}，
B
＝{
?
|
?
＝4
k
π±，
k
∈Z}，
C
＝
33
2π
，
k
∈Z}，则这三个集合之间的关系为( )．
3
B．
B
?
A
?
C
C．
C
?
A
?
B
D．
B
?
C
?
A
A．
A
?
B
?
C

1
8．已知cos(
?
＋
?
)＝1，sin
?
＝，则sin
??
的值是( )．
3
1
A．
3

1
B．－
3
C．
22

3
D．－
22

3
. . .

.
9．在(0，2π)内，使sin
x
＞cos
x
成立的
x
取值范围为( )．
?
ππ
??
5π
?
A．
?
，


?
∪
?
π，
?

4
??
42
??
?
π5π
?
C．
?
，
?

44
??






?
π
?
B．
?
， π
?
< br>?
4
?
?
π
??
5π
3π
?
D．
?
， π
?
∪
?
，
?

442
????
10．把函数
y
＝sin
x
(< br>x
∈R)的图象上所有点向左平行移动
缩短到原来的
π
个单位长度，再 把所得图象上所有点的横坐标
3
1
倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )．
2






?
x
π
?
B．
y
＝sin
?
＋
?
，
x
∈R
?
26
?
2π
??
D．
y
＝sin
?
2x ＋
?
，
x
∈R
3
??
π
??
A．
y
＝sin
?
2x －
?
，
x
∈R
3
??
π
??
C．
y
＝sin
?
2x ＋
?
，
x
∈R
3
??
二、填空题
?
ππ
?
2
11．函数
f
(
x
)＝sin
x
＋
3
tan
x
在区间
?
，
?
上的最大值是 ．
?
43
?
25
π
，≤
?
≤π，则tan
?
＝ ．
5
2
?
π
?
3
?
π
?
13．若sin
?
＋
?
?
＝，则sin
?
－
?
?
＝ ．
?
2
?
5
?
2
?
π
?
π
?
π
??
14．若将函数
y
＝tan
?
?
x ＋
?
(
ω
＞0)的图象向右平移个单位长度后，与函数< br>y
＝tan
?
?
x ＋
?
的图象重
4?
6
?
6
??
12．已知sin
?
＝
合，则
ω
的最小值为 ．
15．已知函数
f
(
x
)＝
11

(sin
x
＋cos
x
)－|sin
x
－cos
x
|，则
f
(
x
)的值域是 ．
22π
??
16．关于函数
f
(
x
)＝4sin
?
2x ＋
?
，
x
∈R，有下列命题：
3
??
π
??
①函数
y
=
f
(
x
)的表达式可改写为
y
= 4cos
?
2x －
?
；
6
??
②函数
y
=
f
(
x
)是以2π为最小正周期的周期函数； < br>③函数
y
＝
f
(
x
)的图象关于点(－
?< br>，0)对称；
6
?
对称．
6
④函数
y
＝
f
(
x
)的图象关于直线
x
＝－
其中正确的是__ ____________．
. . .

.
三、解答题
17．求函数
f
(
x
)＝lgsin
x
＋
18．化简：
2cosx?1
的定义域．
－sin (180?＋
?
)＋sin(－
?
)－tan(360?＋
?
)
；
tan(
?
＋180?)＋cos(－
?
)＋co s(180?－
?
)
sin
(
?
＋n
π
) ＋
sin
(
?
－n
π
)
(2)(
n
∈Z)．
sin
(
?
＋n
π
)
cos
(
?
－n
π
)
(1)
. . .

.
π
??
19．求函数
y
＝sin
?
2x －
?
的图象的对称中心和对称轴方程．
6
??
20．(1)设函数< br>f
(
x
)＝
写出最大(小)值；
sinx＋a
(0＜
x
＜π)，如果
a
＞0，函数
f
(
x
)是否存在最大值和最小值，如果存在请
sinx
2
(2)已知
k
＜0，求函数
y
＝sin
x
＋k
(cos
x
－1)的最小值．
. . .

.
参考答案
一、选择题
1．D
解析：2
k
π＋π＜
?
＜2
k
π＋
2．B
解析：∵ sin
θ
cos
θ
＞0，∴ sin
θ
，cos
θ
同号．
当sin
θ
＞0，cos
θ
＞0时，
θ
在第一象限；当sin
θ
＜0，cos
θ
＜0时，
θ
在第三象限．
3．A
解析：原式＝
?
?sin
4．D
解析：tan
θ
＋
3?
?
3
π，
k
∈Z
?k
π＋＜＜
k
π＋π，
k
∈Z．
4
222
?
?
33
π
??
π
??
π
?
．
??
?cos
??
?tan
?
＝－
4
3
??
6
??
3
?
sin
?
c os
?
1
11
＝＋＝＝2，sin
??
cos
?
＝．
tan
?
2
sin
?
cos?
cos
?
sin
?
2
(sin
θ
＋cos
θ
)＝1＋2sin
θ
cos
θ
＝2．sin
??
＋cos
?
＝±
2
．
5．B
?
sinx＋cosx＝
5
2
解析：由 得25cos
x
－5cos
x
－12＝0．
?
2
?
sinx＋cos
2
x＝1
解得cos
x
＝
1
43
或－．
55
又 0≤
x
＜π，∴ sin
x
＞0．
若cos
x
＝
4
1
，则sin
x
＋cos
x
≠，
5
5
34
4
，sin
x
＝，∴ tan
x
＝－．
3
55
∴ cos
x
＝－
6．D
解析：若
?
，??是第四象限角，且sin
?
＞sin ?，如图，
函数线确定
?
，??的终边，故选D．
7．B
解析：这三个集合可以看作是由角±
周所得到的角的集合．
8．B
. . .
利用单位圆中的三角
2π
的终边每次分别
3
(第6题`)
旋转一周、两周和半

.
解析：∵ cos(
?
＋
?
)＝1，
∴
?
＋
?
＝2
k
π，
k
∈Z．
∴
?
＝2
k
π－
?
．
1
∴ sin ?
＝sin(2
k
π－
?
)＝sin(－
?
) ＝－sin
?
＝－．
3
9．C
解析：作出在(0，2π)区间 上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标
题也可用单位圆来解．
10．C
解析：第一步得到函数
y
＝sin
?
x?
二、填空题 11．
5?
?
和，由图象可得答案．本
4
4
?
?
π
?
π
?
?
?
的图象，第二步得到函数
y
＝sin
?
2x?
?
的图象．
3
?
3
??
15
．
4
π
15
?
ππ
?
2 2
π
解析：
f
(
x
)＝sin
x
＋
3
tan
x
在
?
，
?
上是 增函数，
f
(
x
)≤sin＋
3
tan＝．
4
33
?
43
?
12．－2．
解析：由sin
?
＝
13．
5
25
π
，≤
?
≤π ?cos
?
＝－，所以tan
?
＝－2．
5
5
2
3
．
5
33
?
π
?
3
?
π
?

解析：sin
?
＋
?
?
＝，即cos
?
＝，∴ sin
?
－
?
?
＝cos
?
＝．
55
?
2
?
5
?
2
?
1
14．．
2
π
?
π
?
解析：函数
y
＝tan
?
?
x＋?
(
ω
＞0)的图象向右平移个单位长度后得到函数
4
?< br>6
?
y
＝tan
?
?
?
x－
?＋
?
＝tan
?
?
x＋－
?
?
的图象 ，则
64
?
??
?
?
?
π
?
π< br>?
?
?
π
4
π
?
6
?
ππ π
＝－
ω
＋
k
π(
k
∈Z)，
646< br>ω
＝6
k
＋
11
，又
ω
＞0，所以当
k
＝0时，
ω
min
＝．
22
?
?
2
?
?
．
2
?

15．
?
－1，
解析：
f
(
x
)＝
11
(sin x≥ cos x)
?
cos x

(sin
x
＋cos
x
)－|sin
x
－cos
x
|＝
?

22
(sin x＜cos x)
?
sin x
即
f
(
x
)等价于min{sin
x
，cos
x
}，如图可知，
. . .

.
f
(
x
)
max
＝
f
??
＝
?
π
?
?
4
?
2
，
f
(
x
)
min
＝
f
(π) ＝－1．
2
(第15题)


16．①③．
π
?
π
???
π
解析：①
f
(
x
)＝4sin
?
2x?
?
＝4cos
?
?2x?
?

3
?
3
???
2
π
??


＝4cos
?
?2x?
?

6
??
π
??


＝4cos
?
2x?
?
．
6
??
2π
②
T
＝＝π，最小正周期为π．
2
③ 令 2
x
＋
π
π
＝
k
π，则当
k
＝0时，
x
＝－，
3
6
0
?
对称． ∴ 函数
f
(
x
)关于点
?
－，
④ 令 2
x
＋
∴ ①③正确．
三、解答题
17．{
x
|2
k
π＜
x
≤2
k
π＋
?
?
π
6
?
?
1
ππ
π
＝
k
π＋，当
x
＝－时，
k
＝－，与
k
∈Z矛盾．
32
6
2
?
，
k
∈Z}．
4
?
?
sin x ＞0 ①
解析：为使函数有意义必须且只需
?

?
0 ②
?
2cos x?1≥
先在[0，2π)内考虑
x
的取值，在单位圆中，做出三角函数线．
由①得
x
∈(0，π)，
(第17题)

?7
]∪[π，2π]．
44
?
π
?
二者的公共 部分为
x
∈
?
0
，
?
．
?
4< br>?
由②得
x
∈[0，
所以，函数
f
(
x)的定义域为{
x
|2
k
π＜
x
≤2
k
π＋
18．(1)－1；(2) ±
?
，
k
∈Z}．
4
2
．
cos
?
. . .

.
sin
?
－sin
?
－tan
?
tan
?
＝－＝－1．
tan
?
＋cos
?
－cos
?
tan
?
sin
(
?
＋
2
k
π
)＋
sin
(< br>?
－
2
k
π
)
2
(2)①当
n＝2
k
，
k
∈Z时，原式＝＝．
sin
(
?
＋
2
k
π
)
cos
(
?
－
2
k
π
)
cos
?解析：(1)原式＝
②当
n
＝2
k
＋1，
k
∈ Z时，原式＝
sin
[
?
＋(
2
k＋
1
)
π
]＋
sin
[
?
－(
2
k＋
1
)
π
]
2
＝－．
sin
[
?＋(
2
k＋
1
)
π
]
cos
[< br>?
－(
2
k＋
1
)
π
]
cos < br>?
kπ
π
π
?
kπ
?
19．对称中心坐标为
?
＋ ，
＋(
k
∈Z)．
0
?
； 对称轴方程为
x
＝
12
?
3
2
?
2
解析：∵
y
＝sin
x
的对称中心是(
k
π，0)，
k
∈Z，
kπ
π
π
＝
k
π，得
x
＝＋．
6
12
2
π
?
kπ
?
∴ 所求的对称中心坐标为
?
＋ ， 0
?
，
k
∈Z．
12
??
2
∴ 令2
x
－
又
y
＝sin
x
的图象的对称轴是
x
＝
k
π＋
∴ 令2
x
－
?
，
2
kπ
π
?
π< br>＝
k
π＋，得
x
＝＋．
623
2
kπ
π
＋ (
k
∈Z)．
3
2
∴ 所求的对称轴方程为
x
＝
20．(1)有最小值无 最大值，且最小值为1＋
a
； (2)0．
解析：(1)
f
(
x
)＝
sinx＋aa
＝1＋，由0＜
x
＜π，得0＜s in
x
≤1，又
a
＞0，所以当sin
x
＝1时，sinxsinx
f
(
x
)取最小值1＋
a
；此函数没 有最大值．
(2)∵－1≤cos
x
≤1，
k
＜0，
∴
k
(cos
x
－1)≥0，
又 sin
x
≥0，
∴ 当 cos
x
＝1，即
x
＝2< br>k
?(
k
∈Z)时，
f
(
x
)＝sin x
＋
k
(cos
x
－1)有最小值
f
(
x
)
min
＝0．
2
2
. . .