三角函数之三角比总结(全)

三角函数——三角比
课 题 任意角三角比
角的概念的推广．
弧度制．
任意角的三角比．
单位圆中的三角函数线．
同角三角函数的基本关系式.
正弦、余弦的诱导公式．
两角和与差的正弦、余弦、正切．
二倍角的正弦、余弦、正切．
正弦定理、余弦定理．
教学内容
三角恒等式 解斜三角形

考点及考试要求

任意角三角比
一、知识点梳理：

§1.1任意角和弧度制
?
正角：逆时针方向旋转
?
1.任意角< br>?
负角：顺时针防线旋转

?
零角
?
2.象限角：在 直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限 ，就说
这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
3.角的集合：
①与
?
（0°≤
?
＜360°）终边相 同的角的集合：
?
?
|
?
?2k
?
?
?< br>,k?Z
?

②终边在
x
轴上的角的集合：
?
?
|
?
?k
?
,k?Z
?

③终边在
y
轴上的角的集合：
?
?
|
?
? k
?
?
?
?
?
?
,k?Z
?
< br>2
?
④终边在坐标轴上的角的集合：
?
?
|
?
?
?
?
k
?
?
,k?Z
?

2
?
⑤终边在
y
=
x
轴上的角的集合：
?
?
|
?
?k
?
?
?
?
?
?
,k?Z
?

4
?
⑥终边在
y??x
轴上的角 的集合：
?
?
|
?
?k
?
?
?
?
?
?
,k?Z
?

4
?
⑦若角
?
与角
?
的终边关于
x
轴对称，则角
?
与角
?
的关系：
?
?2k
?
?
?
，k?Z
< /p>

⑧若角
?
与角
?
的终边关于
y
轴对称 ，则
?
与角
?
的关系：
?
?2k
?
??
?
?
，k?Z

⑨若角
?
与角
?< br>的终边在一条直线上，则
?
与角
?
的关系：
?
?k< br>?
?
?
，k?Z

⑩角
?
与角
?< br>的终边互相垂直，则
?
与角
?
的关系：
?
?k
?
?
?
?
?
2
，k?Z

4．角度制： 在平面几何里，把周角分成360等分，每一份叫做1度的角，这种用“度”作为单位来度量角的单位制
叫做角度制。
5．弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。符号rad表示，读作 弧度。用“弧度”作为单位来
度量角的单位制叫做弧度制。
如果一个半径为r的圆的圆心角
?
所对的弧长为l，那么比值
6. 弧长公式：
l?
?
r
扇形面积公式：
s
扇形?
l
r
就是角
?
的弧度数的绝对值，即：
?
?
l
r

1
2
lr?
1
2
|
?
|?r
2

y
§1.2任意角的三角比
1. 任意角 的三角比：在任意角
?
的终边上任取一点P（异于原点），设P的坐标为
(x,y)< br>，
OP= r，则
r?
a
的终边
P（x,y)
x?y
22
?
r?0
?
。规定：
sin
?
?< br>y
r
,cos
?
?
x
r
,tan
?
?
y
x
。当
r
?
?
?
2
角
?
的终边在y轴上，这时点P的横坐标x等于0，
tan
?
??k
?
(k?Z)
时，
y
x
o
x
无意义。除此 之外，对于确定的角
?
，上述三个三角比值都是唯一确定的。三角函数值
只与角的大小 有关，而与终边上点P的位置无关。还规定：
余切cot
?
?
x
y< br>,
?
?k
?
(k?Z)；正割sec
?
?
r
x
,
?
?k
?
?
?
2
(k?Z) ；余割csc
?
?
r
y
?
?k
?
(k?Z )
。
y
P
T
2．三角函数线
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.
3．三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）
+
+
o
x
-
-
正弦、余割
4. 特殊角的三角比
y
-+
o
x
-+
余弦、正割
y< br>-
+
o
x
+-
正切、余切

y
O
M
A
x

二、典型例题

?
?
的终边关于直线y=x对称， 则
?
=___________。（答：
?2k
?
,k?Z
）
3
6
?
【例2】若角
?
是第二象限角，则是第____ ___象限角。（答：一、三）
2
【例1】角
?
的终边与
【例3】 已知扇形AOB的周长是6，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2）
【例4】已知角
?
的终边经过点P(5，－12)，则
sin
?
?cos
?
的值为______。（答：
?
【例5】角
?
是第三、四象限角，< br>sin
?
?
【例6】若
7
13
）
2m?3
4?m
，则m的取值范围是____________。（答：（－1，
3
2
））
sin
?
sin
?
?
cos
?cos
?
?0
，试判断
cot(sin
?
)?tan( cos
?
)
的符号（答：负）
【例7】若
?
?
8
?
?
?0
，则
sin
?
,cos
?,tan
?
的大小关系为_______________________。(答：tan
?
?sin
?
?cos
?
)
【例8】 若
?
为锐角，则
?
,sin
?
,tan
?
的大小关系为_______________________。（答：
sin
?
?
?
?tan
?
）
单位圆：三角形的面积<扇形的面积<直角三角形的面积
【例9】函数
y?1?2cosx?lg(2sinx?

3)
的定 义域是______________。（答：
(2k
?
?
?
3,2k
?
?
2
?
3

](k?Z)
）
三角恒等式
一、知识点梳理：

§1.3同角三角比的关系和诱导公式
1. 同角三角比的关系：
倒数关系：sin
?
?csc
?
?1
，
cos
?
?sec
?
?1
，
tan
?
?cot
?
? 1

商数关系：
tan
?
?(sin
?
?0)

cos
?
sin
?
222222
平方关系：
sin
?
?cos
?
?1
，
1?tan
?
?sec?
，
1?cot
?
?csc
?

解题思想：（1）平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换。
（2）利用直角三角形计算三角比，利用象限确定符号。
（3）如果角< br>?
的一个三角比和它所在的象限，那么角
?
的其他三角比就可以唯一确定。
（4）如果仅知道角
?
的一个三角比，那么就应根据角
?
的终边的所有可能的情况分别求出其他三角比。
2. 诱导公式：
本质----- 把角写成
sin
?
(cos
?
?0)
，
cot?
?
cos
?
k
?
2
?
?
形 式，
口诀：奇变偶不变（对
k
而言，指
k
取奇数或偶数），符号看 象限（看原函数，同时可把
?
看成是锐角）。
对于任意角
?
的三角 比，利用诱导公式总可以转化成锐角的三角比，转化的一般途径是：
负角?正角?[0,2
?
)内的角?锐角
。从任意角到锐角的转化途径不是唯一的。
?
sin(?< br>?
)??sin
?
?
sin(2k
?
?
?< br>)?sin
?
?
cos(?
?
)?cos
?
?
cos(2k
?
?
?
)?cos
?
?
?
第一组诱导公式：
?
第二组诱导公式：
?
?
tan(?
?
)??tan
?
?
tan(2k
?
?
?
)?tan
?
?
?
?
cot(?
?
)??cot
?
?
cot(2k
?
?
?
)?cot
?

?
sin(
?
?
?< br>)??sin
?
?
sin(
?
?
?
)?si n
?
?
cos(
?
?
?
)??cos
?< br>?
cos(
?
?
?
)??cos
?
?
第三组诱导公式：
?
第四组诱导公式：
?

?
?
tan(
?
?
?
)?tan
?
?tan(
?
?
?
)??tan
?
??
?
cot(
?
?
?
)?cot
?
?
cot(
?
?
?
)??cot
?
?
?
??
sin (?
?
)?cos
?
sin(?
?
)?cos
?< br>??
22
??
?
?
cos(?
?
)?sin
?
?
cos(
?
?
?
)??sin
?22
第五组诱导公式：
?
第六组诱导公式：
?

??
?
tan(
?
?
?
)?cot
?
?
tan(
?
?
?
)? ?cot
?
??
22
??
?
?
?
cot( ?
?
)?tan
?
?
cot(?
?
)??tan< br>?
22
??
3. 两角和与差的余弦、正弦和正切：
两角差的余弦公 式：
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

两角和的余弦公式：
co s(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?si n
?
sin
?

两角和的正弦公式：
sin(
?< br>?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?sin
?

两角差的正弦公式：
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

两角和的正切公式：
tan(
?
?
?
)?< br>两角差的正切公式：
tan(
?
?
?
)?
※
asin
?
?bcos
?
?
tan
?
?tan?
1?tan
?
tan
?
tan
?
?tan< br>?
1?tan
?
tan
?
a
?tan
??tan
?
?tan(
?
?
?
)?(1?tan
?
tan
?
)

?tan
?
?tan
?
?tan(
?
?
?
)?(1?tan
?
tan?
)

a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
，
其中
?
（通常取
0?
??2
?
）由
cos
?
?
a?b
22
，
sin
?
?
b
a?b
22
确定。
4. 二倍角与半角的正弦、余弦和正切：
二倍角的正弦公式：
sin2
?
?2sin
?
?cos
?

二倍角的余弦公式：
sin2< br>?
?cos
?
?sin
?
?2cos
?
?1 ?1?2sin
?

二倍角的正切公式：
tan2
?
?半角的余弦公式：
cos
半角的正弦公式：
sin
半角的正切公式：tan
2222
2tan
?
1?tan
?
1?cos< br>?
2
1?cos
?
2
1?cos
?
1?co s
?
2



，
tan
?
2??
??
??
?
2
?
2
?
2
?
sin
?
1?cos
?
，
tan
?
2< br>?
1?cos
?
sin
?
?
sin
?
1?cos
?
?
1?cos
?
sin
?

2tan
万能置换公式：
sin
?
?
?
2
2?
1?tan
2
，
cos
?
?
?
2< br>，
tan
?
?
2
2tan
1?tan
?2
2
?
1?tan

2
1?tan
2
?

2
二、典型例题：

三角比的化简、计算和证明恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间 的关系，注意注
意角的一些常用变式，角的变换是三角比变换的核心！其次看三角比名称之间的关系，通 常“切化弦”。再次观察代
数式的结构特点。基本技巧有：

（1）巧变角：< br>已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换。例
?
?
?
如：
?
?(
?
?
?
)?< br>?
?(
?
?
?
)?
?
，
2
?
?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)? (
?
?
?
)?(
?
?
?
)
，?
?
?
?2?
，
2
?
?
?
2
?(
?
?
?
2
)?(
?
2
?< br>?
)
等等。
2
5
，
tan(
?
?
【例1】




【例2】
已知
tan(
?
??
)?
?
4
)?
1
4
，那么
tan(
?
?
?
4
)?
_____（答：
3
22
）
已知
0?
?
?
?
2
?
?
?
?
，且
cos(
?
?
?
2
)??
1
9
，
sin(
?
2
?
?
)?
2
3
，则
cos(
?
?
?
)?
______（答：
490
729
）

（2）三角比名称互化（切化弦）：
【例3】求值
sin50(1?



o
3tan10
o
)
（答：1）

（3）公式变形使用：
tan
?
?tan
?
?tan(?
?
?
)(1?tan
?
tan
?
)

【例4】已知A、B为锐角，且满足
tanAtanB?tanA?tanB?1
，则
cos(A?B)?
_____（答：
?




2
2
）
（4）三角比次数的升降：
本质----- 倍角公式和半角公式
【例5】若
?
?(
?
,
?
)
，化简
3
2
1
2
?
1
2
1
2
?
1
2
cos2
?
为_____（答：
sin
?
2
）




（5）式子结构的转化
(对角、函数名、式子结构化同)：
?
1?tan
1?sin
?
2
【例6】求证：
?
?
2
?
1?2sin






2
1?tan
2
（6）常值变换 -----主要指“1”的变换：

【例7】已知
tan
?< br>?2
，求
sin
2
?
?sin
?
cos?
?3cos
2
?
（答：





3
5
）
（7）正余弦“三兄妹”---“
sinx?c osx
，
sinxcosx
”：知一求二

【例8】若
sinx?cosx?t
，则
sinxcosx
= __（答：
?





t
2
?1
2
)； 特别提醒：这里
t?[?2,2]

（8）辅助角公式：
asin
?
?bcos
?
?a
2
?b
2
sin(
?< br>?
?
)
(其中
?
角所在的象限由a, b的符号确定，?
角的值
由
tan
?
?
b
a
确定)在 求最值、化简时起着重要作用。
【例9】若方程
sinx?3cosx?c
有实数解 ，则c的取值范围是___________.（答：[－2,2]）








三、课堂练习：
1．若
0? x?
?
，则使
1?sin2x?cos2x
成立的
x
的取值 范围是_______________（答：
[0,
2
?
4
]?
[
3
?
4
,
?
]
）
2． 已知
sin
?
?
m?3
m?5
，
cos
?
?
4?2m
?
5
）
(?
?
?
?
)
，则
tan
?
?
___________（答：
?
m?52
12
3．已知
tan
?
tan
?
?1
o
??1
，则
sin
?
?3cos
?
sin
?
?cos
?
o
?
______；
sin
2
?
?sin
?
?cos
?
?2?
___ ____（答：
?
5
3
；
13
3
）
4． 已知
sin200?a
，则
tan160?
_______（答：B）
A、
?
a
1?a
2
B、
a
1?a
2
C、
?
1?a
2
a
D、
1?a
2
a

5．
cos
9
?
4
?tan(?
7
?
6
)?sin21
?
的值为 ______________（答：
2
2
?
3
3
）

6．已知
sin(540
o
?
?
)??
4
5
，则
cos(
?
?270)?______
，若
?
为第二象限角，
o
则
[sin(180
o
?
?
)?cos(
?
?360
o
)]
2
tan(18 0?
?
)
o
=________。（答：
?
4
5< br>；
?
3
100
）
7．命题P：
tan(A?B)? 0
，命题Q：
tanA?tanB?0
，则P是Q的_________（答：C）
A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
8．已知
sin(
?
?
?
)cos
?
?cos(
?
?
?
)sin
?
?
3
5
，那么
cos2
?
?______
（答：
7
25
） 9．
1
sin10
o
?
3
sin80
o
?
______（答：4）
10．已知
?
,
?
为锐角 ，
sin
?
?x
,
cos
?
?y
，
cos(
?
?
?
)??
3
5
，则与的函数关系为 ______巧变角
3
x(?x?1)
）
555
sin
?
cos
?
21
11．已知
?1
，
tan(?
?
?
)??
，求
tan(
?
?2
?
)?______
（答：）切化弦
1?cos2
?
38
（ 答：
y??
3
1?x
2
?
4
12．设
?A BC
中，
tanA?tanB?
（答：等边）公式变形使用
3?3tan AtanB
，
sinAcosA?
3
4
，则此三角形是______ _______三角形
13．函数
f(x)?5sinxcosx?53cosx?
2
5
2
3(x?R)
的单调递增区间为__________________ 三角比次数的升降
（答：
[k
?
?
?
12
,k< br>?
?
5
?
12
](k?Z)
）
2
（答：
1
cos2x
）式子结构的转化
??
2
2tan(?x)sin
2
(?x)
44
4?7
1
15．若
?
?(0,
?
)
，
sin
?
?c os
?
?
，求
tan
?
的值。（答：
?
） 正余弦三兄妹
3
2
sin2
?
?2sin
2
?< br>??
?k

(?
?
?)
，试用k表示
sin
?
?cos
?
的值（答：
1?k
）正余弦三兄妹 16．已 知
1?tan
?
42
14．化简：
2cos
4
x? 2cos
2
x?
1

17．当函数
y?2cosx?3 sinx
取得最大值时，
tanx
的值是______(答：
?
3< br>2
) 辅助角公式
18．如果
f(x)?sin(x?
?
) ?2cos(x?
?
)
是奇函数，则
tan
?
= (答：－2) 辅助角公式
19．求值：

3
sin
2
2 0
o
?
1
cos
2
20
o
?64sin< br>2
20
o
?
________(答：32) 辅助角公式
斜三角形
一、知识点梳理：

§1.4正弦定理和余弦定理：
三角形面积公式：
S
?ABC
?
正弦定理：
a
si nA
?
b
?
1
2
bcsinA?
c
12
acsinB?
1
2
absinC

余弦定 理：
cosA?
sinBsinC
b
2
?c
2
?a
2
2bc
?2R
（R为
?ABC
的外接圆半径）
a
2
?c
2
?b
2
2ac
，
cosC?< br>，
cosB?
a
2
?b
2
?c
2
2 ab

解题思想：采用“边”化“角”或“角”化“边”的思想．

二、典型例题：

【例1】在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )
A.6 B.2 C.3 D．26
abasinB
解析：选A.应用正弦定理得：＝，求得b＝＝6.
sinAsinBsinA
cos Ab
【例2】在△ABC中，若＝，则△ABC是( )
cos Ba
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
bsin Bcos Asin B
解析：选D.∵＝，∴＝，
asin Acos Bsin A
sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B
π
即2
A
＝2
B
或2
A
＋2
B
＝π，即A
＝
B
，或
A
＋
B
＝.
2
1
【例3】在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝，那么AC等于( )
3
A．6 B．26 C．36 D．46
解析：选A.由余弦定理，得
1
AC
＝
AB
2
＋
BC
2
－2
AB
·
BC
cos
B
＝ 4
2
＋6
2
－2×4×6×＝6.
3
【例4】在△A BC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x
2
－23x＋2＝0的两根，且2cos(A＋ B)＝1，求AB的长．
解：∵A＋B＋C＝π且2cos(A＋B)＝1，
11
∴cos(π－C)＝，即cosC＝－.
22
又∵a，b是方程x
2
－23x＋2＝0的两根，
∴a＋b＝23，ab＝2.
∴AB
2
＝AC
2
＋BC< br>2
－2AC·BC·cosC
1
＝a
2
＋b
2
－2ab(－)
2
22
＝a＋b＋ab＝(a＋b)
2
－ab
＝(23)
2
－2＝10，
∴AB＝10.

三、课堂练习：
CC1A
1．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边 ，若a＝23，sincos＝，sin Bsin C＝cos
2
，求A、B及b、
2242
c.
CC11
解：由sincos＝，得sinC＝，
2242
π5π
又C∈(0，π)，所以C＝或C＝.
66
A
由sin Bsin C＝cos
2
，得
2
1
sin Bsin C＝[1－cos(B＋C)]，
2
即2sin Bsin C＝1－cos(B＋C)，
即2sin Bsin C＋cos(B＋C)＝1，变形得
cos Bcos C＋sin Bsin C＝1，
π
5π
即cos(B－C)＝1，所以B＝C＝，B＝C＝(舍去)，
66
2π
A＝π－(B＋C)＝.
3
abc
由正弦定理＝＝，得
sin Asin Bsin C
1
2
sin B
b＝c＝a＝23×＝2.
sin A
3
2
2π
π
故A＝，B＝，b＝c＝2.
36
2．△ABC中，ab＝603，sin B＝sin C，△ABC的面积为153，求边b的长．
11
解：由S＝absin C得，153＝×603×sin C，
22
1
∴sin C＝，∴∠C＝30°或150°.
2
又sin B＝sin C，故∠B＝∠C.
当∠C＝30°时，∠B＝30°，∠A＝120°.
ab
又∵ab＝603，＝，∴b＝215.
sin Asin B
当∠C＝150°时，∠B＝150°(舍去)．
故边
b
的长为215.
π
3．在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sin C＝2sin A.(1)求AB的值；(2)求sin(2A－)的值．
4
ABBC
解：(1)在△ABC中，由正弦定理＝，
sin Csin A
sinC
得AB＝BC＝2BC＝25.
sinA
(2)在△ABC中，根据余弦定理，得
AB
2
＋AC
2
－BC
2
25
cos A＝＝，
2AB·AC5
5
于是sin A＝1－cos
2
A＝.
5
4
从而sin 2A＝2sin Acos A＝，
5
3
cos 2A＝cos
2
A－sin
2
A＝.
5

2
πππ
所以sin(2
A
－)＝sin 2
A
cos－cos 2
A
sin＝.
44410
4．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos Asin B＝sinC，确定△ABC的形状．
sin Cc
解：由正弦定理，得＝.
sin Bb
sinC c
由2cos Asin B＝sin C，有cosA＝＝.
2sin B2b
又根据余弦定理，得
222
b< br>2
＋c
2
－a
2
c
b＋c－a
cos A＝，所以＝，
2bc2b2bc
即c
2
＝b
2
＋c2
－a
2
，所以a＝b.
又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
所以(a＋b)
2
－c< br>2
＝3ab，所以4b
2
－c
2
＝3b
2
，
所以b＝c，所以a＝b＝c，
因此△
ABC
为等边三角形．


【学生总结】：

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【
教师寄语
】：
春天是碧绿的天地，秋天是黄金的世界。愿你用青春的绿色去酿造未来富有的金
秋!
【数学小笑话】
解 题
数学课上。老师说：“一座殿堂位于山的最高处。通 向殿堂的路上有5个平台。平台
与平台之间有20级台阶。孩子们若要到达殿堂需要登上多少级台阶呢？ ” “要登上所
有的！”小卡洛尔赶忙回答。