解题高手.高中数学-高中数学中的三角形代表什么
高考级
1、关于函数
f(x)?4sin(2x?
?
3)(x?R)
有下列命题:①由
f(x
1
)?f(x
2
)?0
可得
x
1
?x
2
是
π
的整数倍;②
y?f(x)
的表达式可改写为
③
y?f(x)
的图象关于点(-<
br>,0)
对称;④
y=f(x)
的图象关于直线
x??
对称。其
中正确命题的序号是__ _
y?4cos(2x?)
;
6
66
答案:②③
2. 已知
函数
g(x)?1?cos
?
πx?2
?
?
0?
?
?
π
的图象过点
1
,2
,若有4个不同的正数
x<
br>i
2
?
?
?
?
?
?
2<
br>?
满足
g(x
i
)?M(0?M?1)
,且
x
i
?4(i?1,2,3,4)
,则
x
1
?x
2
?x
3
?x
4
等于
答案 12或20
1<
br>3函数
y?
的图像与函数
y?2sin
?
x(?2?x?4)
的图像所有交点的横坐标之和等于
1?x
(A)2
(B) 4 (C) 6 (D)8
解析:图像法求解。
y?
1
的对称中心是(1,0)也是
y?2sin
?
x(?2?x
?4)
的中心,
?2?x?4
他们的图像在x=1的左侧有4个交点,则
x?
1
x=1右侧必有4个交点。不妨把他们的横坐标由小到大设为
x
1,
x2
,x
3
,x
4
,x
5
,x
6
,x
7
,x
8
,则
x
1
?x
8
?x
2
?x
7
?x
3
?x
6
?x
4
?x
5
?2
,所以选D
5 .如果圆x
2
+y
2
=n
2
至少覆盖函数
f(x)?3sin
(A) 1
提示:因为
f(x)?3sin
(B) 2 (C) 3
(D) 4
为奇函数,图象关于原点对称,所以圆
x
2
?y
2?n
2
只要覆盖
f(x)
的一个最值点即可,令
?x
的
一个最大值点和一个最小值点,则正整数的最小值是( B )
n
?
x
n
?
x
n
?
?
2
,解得
f(x)
距
nn
原点最近的一个最大点
P(,3)
,由题意
n
2?()
2
?(3)
2
得正整数
n
的最小值为2 选
B
22
?
sinx,sinx≤cosx
6.(模拟)对于函数f(x)
=
?
给出下列四个命题:
cosx,sinx>cosx
?
①该函数是以π为最小正周期的周期函数;②当且仅当x=π+kπ(k∈Z)时,该函数取得最小值是-1
;
1
5ππ
2
③该函数的图象关于x=
4+2kπ(k∈Z)对称;④当且仅当2kπ
+2kπ(k∈Z)时,0
.
其中正确命题的序号是________.(请将所有正确命题的序号都填上)
答案:③④
?
?
?
?
3
?
?
8已知
f(
x
)=s
in
(
?
x
+
?
)(
?
>0, 0≤
?
≤π)是R上的偶函数,其图象关于点
M?
,0
?
对称,且在区间
?
0,
?
上是单调函
数,求
?
和
?
的值。
2
4
??
??
【解】 由f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(
x),所以sin(
?
+
?
)=sin(-
?
x+
?
),所以cos
?
sinx=0,对任意x∈R成立。又0≤
?
≤
π,解得
?
=
?
,因
2
?
?
3
3
3
3
??
?
3
?
??
3
?
为f(
x)图象关于
M
?
,0
?
对称,所以
f(
?
?x)?f(
?
?x)
=0。取x=0,得
f(
?
)=0,所以sin
?
?
?
?
?0.
所以
??k
?
?
(k∈Z),
2
?
4
42
4
4
?
4
??
4
2
??
?
?
即?
=(2k+1) (k∈Z),又
?
>0,取k=0时,此时f(x)=sin
(2x+)在[0,]上是减函数;取k=1时,
?
=2,此时f(x)=sin(2x+)在
[0,]上是
3
2222
102
??
减函数;取k=2时,
?
≥,此时f(x)=sin(
?
x+)在[0,]上不是单调函数,综上,
?
=或2。
33
22
7. 如图,已知在等边△ABC中,AB=3,O为
中心,过O的直线交AB于M,AC于N,设∠AOM=
?
(60°≤
?
≤1
20°),当
?
分别为何值
时,
11
取得最大值和最小值.
?
OMON
OA
=
OM
,又OA=
3
?3?2
?3
,∴
23
sin30?
sin?AMO
2
3
(
3131
sin
?
?cos
?
?sin?
?cos
?
)
2222
解:由题意可知:∠OAM=30°,
则∠AMO=180°-(θ+30°)由正弦定理得:
OM?
3
3
同理:
ON?
,∴
112sin(
?
?30?)2sin(
??30?)
????
2sin(
?
?30?)
2sin(
?
?30?)
OMON
33
OMON
11
?
OM
ON
?2sin
?
,∵60°≤θ≤120°,∴3
≤2sinθ≤2,故当θ=60°或120°时,
1
?
1
的最小值为
3
;当θ
=90°时,
联赛
的最大值为2.
1.在平面直角坐标系xoy中,函数
f(x)?asinax?cosax(a?0)
在一个
最小正周期长的区间上的图像与函数
g(x)?a
2
?1
的图像所围成的封<
br>闭图形的面积是_____________。
2
解:
f
(x)?a
2
?1sin(ax?
?
),其中
?
?arct
an
称性,可将这图形割补成长为
2
?
1
,它的最小正周期为,振幅
为
a
2
?1
。由
f(x)
的图像与
g(x)
的图像围成的封闭图形的对
a
a
a
2
?1
。
2
?
2
?
、宽为
a
2
?1
的长方形,故它的
面积是
a
a
?
x
3
?sinx?2a?0........
...(1)
2.已知x,2y∈
[?,
]
,a∈R,且
?
3
求cos(x+2y)的值。
44
2)
?
4y?sinycosy?a?0.......(
分析:(1),(2)可得变形: x
3
+sinx=2a,(2y)
3
+sin2y=-2a,由这式子使我们联想到函数f(v)=v
3
+sinv,由(
1)得,f(x)=2a; 由(2)得,
????
f(2y)=-2a;由f(v)在
[?,
]
上,为单调的奇函数。故f(x)=-f(2y)=f(-2y),又x,2y∈<
br>[?,]
,∴x=-2y,∴x+2y=o,从而cos(x+2y)=0。
2244
cos
?
1?
?
2
.
3.函数
f(x)?|sinx|
与直线
y?kx
(k?0)
有且仅有三个交点,交点的横坐标的最大值为
?
,求证:
?
??
sin
?
?sin3
?
4
?
[证]
f(x)
的图象与直线
y?kx
(k?0)
的三个
交点如答13图所示,且在
(
?
,
3
?
)
内相切,
其切点为
A(
?
,?sin
?
)
,
?
?(
?
,
3
?
)
,由于
f
?
(x)?
?cosx
,
22
cos
2
?
?sin
2
?
1?tan
2
?
1?
?
2
31
sin<
br>?
cos
?
cos
?
,即
?
?tan
?
.因此
?
?
?
x?(
?
,
?
)
,所以
?cos
?
??
?
?
4sin
?
cos
?
4ta
n
?
4
?
24sin
?
cos
?
?
sin
?
?sin3
?
2sin2
?
cos
?<
br>.
答13
图
3
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