高中数学三角函数新奇妙题难题提高题

高考级
1、关于函数
f(x)?4sin(2x?
?
3)(x?R)
有下列命题:①由
f(x
1
)?f(x
2
)?0
可得
x
1
?x
2
是
π
的整数倍；②
y?f(x)
的表达式可改写为
③
y?f(x)
的图象关于点（－< br>,0)
对称；④
y=f(x)
的图象关于直线
x??
对称。其 中正确命题的序号是__ _
y?4cos(2x?)
；
6
66
答案：②③
2. 已知 函数
g(x)?1?cos
?
πx?2
?
?
0?
?
?
π
的图象过点
1
,2
，若有4个不同的正数
x< br>i

2
?
?
?
?
?
?
2< br>?
满足
g(x
i
)?M(0?M?1)
，且
x
i
?4(i?1,2,3,4)
，则
x
1
?x
2
?x
3
?x
4
等于
答案 12或20
1< br>3函数
y?
的图像与函数
y?2sin
?
x(?2?x?4)
的图像所有交点的横坐标之和等于
1?x
（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8
解析：图像法求解。
y?
1
的对称中心是（1,0）也是
y?2sin
?
x(?2?x ?4)
的中心，
?2?x?4
他们的图像在x=1的左侧有4个交点，则
x? 1
x=1右侧必有4个交点。不妨把他们的横坐标由小到大设为
x
1,
x2
,x
3
,x
4
,x
5
,x
6
,x
7
,x
8
，则
x
1
?x
8
?x
2
?x
7
?x
3
?x
6
?x
4
?x
5
?2
，所以选D
5 .如果圆x
2
+y
2
=n
2
至少覆盖函数
f(x)?3sin
(A) 1

提示：因为
f(x)?3sin
(B) 2 (C) 3 (D) 4
为奇函数，图象关于原点对称，所以圆
x
2
?y
2?n
2
只要覆盖
f(x)
的一个最值点即可，令
?x
的 一个最大值点和一个最小值点，则正整数的最小值是( B )
n
?
x
n
?
x
n
?
?
2
，解得
f(x)
距
nn
原点最近的一个最大点
P(,3)
，由题意
n
2?()
2
?(3)
2
得正整数
n
的最小值为2 选 B
22
?
sinx，sinx≤cosx
6．(模拟)对于函数f(x) ＝
?
给出下列四个命题：
cosx，sinx>cosx
?
①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值是－1 ；
1

5ππ
2
③该函数的图象关于x＝
4＋2kπ(k∈Z)对称；④当且仅当2kπ2
＋2kπ(k∈Z)时，02
.
其中正确命题的序号是________．(请将所有正确命题的序号都填上)
答案：③④
?
?
?
?
3
?
?
8已知
f(
x
)=s
in
(
?
x
+
?
)(
?
>0, 0≤
?
≤π)是R上的偶函数，其图象关于点
M?
,0
?
对称，且在区间
?
0,
?
上是单调函 数，求
?
和
?
的值。
2
4
??
??
【解】 由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f( x)，所以sin(
?
+
?
)=sin(-
?
x+
?
)，所以cos
?
sinx=0，对任意x∈R成立。又0≤
?
≤ π，解得
?
=
?
，因
2
?
?
3
3 3
3
??
?
3
?
??
3
?
为f( x)图象关于
M
?
,0
?
对称，所以
f(
?
?x)?f(
?
?x)
=0。取x=0，得
f(
?
)=0，所以sin
?
?
?
?
?0.
所以
??k
?
?
(k∈Z)，
2
?
4
42
4 4
?
4
??
4
2
??
?
?
即?
=(2k+1) (k∈Z)，又
?
>0，取k=0时，此时f(x)=sin (2x+)在[0，]上是减函数；取k=1时，
?
=2，此时f(x)=sin(2x+)在 [0，]上是
3
2222
102
??
减函数；取k=2时，
?
≥，此时f(x)=sin(
?
x+)在[0，]上不是单调函数，综上，
?
=或2。
33
22
7． 如图，已知在等边△ABC中，AB＝3，O为 中心，过O的直线交AB于M，AC于N，设∠AOM＝
?
(60°≤
?
≤1 20°)，当
?
分别为何值
时，
11
取得最大值和最小值．
?
OMON
OA
＝
OM
，又OA=
3
?3?2
?3
，∴
23
sin30?
sin?AMO
2
3
(
3131
sin
?
?cos
?
?sin?
?cos
?
)
2222
解：由题意可知：∠OAM＝30°， 则∠AMO＝180°－（θ＋30°）由正弦定理得：
OM?
3
3
同理：
ON?
，∴
112sin(
?
?30?)2sin(
??30?)
????
2sin(
?
?30?)
2sin(
?
?30?)
OMON
33
OMON
11
?
OM ON

?2sin
?
，∵60°≤θ≤120°，∴3
≤2sinθ≤2，故当θ＝60°或120°时，
1
?
1
的最小值为
3
；当θ
＝90°时，
联赛
的最大值为2．
1.在平面直角坐标系xoy中，函数
f(x)?asinax?cosax(a?0)
在一个 最小正周期长的区间上的图像与函数
g(x)?a
2
?1
的图像所围成的封< br>闭图形的面积是_____________。
2

解：
f (x)?a
2
?1sin(ax?
?
),其中
?
?arct an
称性，可将这图形割补成长为
2
?
1
，它的最小正周期为，振幅 为
a
2
?1
。由
f(x)
的图像与
g(x)
的图像围成的封闭图形的对
a
a
a
2
?1
。
2
?
2
?
、宽为
a
2
?1
的长方形，故它的 面积是
a
a
?
x
3
?sinx?2a?0........ ...(1)
2.已知x,2y∈
[?,
]
，a∈R,且
?
3
求cos(x+2y)的值。
44
2)
?
4y?sinycosy?a?0.......(

分析：（1），（2）可得变形： x
3
+sinx=2a,(2y)
3
+sin2y=-2a,由这式子使我们联想到函数f(v)=v
3
+sinv，由（ 1）得，f(x)=2a; 由（2）得，
????
f(2y)=-2a;由f(v)在
[?,
]
上，为单调的奇函数。故f(x)=-f(2y)=f(-2y),又x,2y∈< br>[?,]
,∴x=-2y,∴x+2y=o,从而cos(x+2y)=0。
2244
cos
?
1?
?
2
． 3．函数
f(x)?|sinx|
与直线
y?kx

(k?0)
有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为
?
，求证：
?
??
sin
?
?sin3
?
4
?
[证]
f(x)
的图象与直线
y?kx

(k?0)
的三个 交点如答13图所示，且在
(
?
,
3
?
)
内相切， 其切点为
A(
?
,?sin
?
)
，
?
?(
?
,
3
?
)
，由于
f
?
(x)? ?cosx
，
22
cos
2
?
?sin
2
?
1?tan
2
?
1?
?
2
31
sin< br>?
cos
?
cos
?
，即
?
?tan
?
．因此
?

?

?
x?(
?
,
?
)
，所以
?cos
?
??
?
?
4sin
?
cos
?
4ta n
?
4
?
24sin
?
cos
?
?
sin
?
?sin3
?
2sin2
?
cos
?< br>．

答13
图
3