高一数学三角函数知识整理

高一数学三角函数知识整理
一、正弦函数
图像

函数y=sin x的定义域，值域，奇偶性，单调性，周期性
1、 函数y=sin x的定义域是R，值域为[-1，1]
2、 当x∈{x| x=
2k
?
?
?
2
,k∈Z}时，y有最大值为1，当x∈{x|
3
x=
2k
?
?
?
,k∈Z}时，y有最小值为-1
2
3、 函数y=sin x的图像关于原点对称是奇函数，可以根据sin(-x)=-sin
x证明。
对称中心为（
k
?
，0）对称轴为x=
k
?
+(k∈Z)。
4、在[
2k
?
?
，
2k
?
?
] k∈Z上单调递增，在[
2k
?
?
，
2k
?
??
]k
222
?
2
?
??
3
2
∈Z上单调递减。
5、函数y=sin x的周期为
2k
?
（k∈Z 且k
?
0），最小正周期为2π
注意有界性：
sinx?1

二、余弦函数
图像

函数y=cosx的定义域，值域，奇偶性，单调性，周期性
1、 函数y=cos x的定义域是实数集R，值域是[-1，1]
2、 当x∈{x| x=
2k
?
，k∈Z}时y有最大值为1，当x∈{x| x=
2k
?
+
?
,k
∈Z}时，y有最小值为-1。
3、 函数y=cosx关于y轴对称是偶函数，可以通过诱导公式
cos(-x)=cosx证明。
对称中心[
k
?
?
，0]，对称轴为x=
k
?

2
?
4、 在[
2k
?
?
?
，
2k
?
]上单调递增，在[
2k
?
，
2k
?
?
?
]上单调递减。
5、 函数y=cosx的周 期为
2k
?
（k∈Z且k
?
0）最小正周期为2π。
注意有界性：
cosx?1

三、正切函数
图像

函数y=tanx定义域，值域，奇偶性，单调性，周期性

1、 y=tan x的定义域是{x| x∈R且x
?
k
?
?
,k∈Z}。因为定义域 不
2
?
连贯，所以当有题目说该函数在定义域上怎么怎么样是错误的
（同样用 于其它所有函数）。值域是一切实数R
2、 y=tan x的定义域关于原点对称是奇函数，根据诱导公式且
tan(-x)=-tan x可以证明。
对称中心：
?
?
k
?
?
,0
?
,(k? Z)

2
??
3、 y=tan x在（
k
?
?
，
k
?
?
）上单调递增
22
??
4、 函数y=tanx的周期是
k
?
（k∈Z且 k
?
0），最小正周期为π
5、 无最值
四、周期性
一般的， 对于函数
f(x)
，如果存在一个常数T(T
?
0),使得当x取
定 义域D内的任意值时，都有
f(x?T)?f(x)
成立，那么函数
f(x)
叫做
周期函数，常数T叫做这个函数的周期，对于一个周期函数来讲，如
果在所有周期里存在一 个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数
f(x)
的最小正周期。
五、函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图像与性质
图像变换法
(1)A称为振幅，A引起的是图像的纵向伸缩，
当0当A>1时，横坐标不变，各点纵坐标伸长为原来的A倍
当A<0时，把图像关于x轴翻折。
(2)
?
称为角频率，
?
引起的是图像的横向伸缩

当0<
?
<1时，函数的y值不变，x伸长为原来的
1
?
当
?
>1时，函数的y值不变，x缩短为原来的
1< br>?
当
?
<0时，要利用诱导公式将负号放到三角符号的外面再做原来的
图像后，关于x轴翻折。
(3)
?
改变的是函数的初始位置，按照左加右减的原则将 函数整个函
数向左或者向右平移
?
个单位，所以
?
?
称作初 相。
1
?
(4)频率
f??

T2
?
(5)性质：定义域为R，值域为[-1，1]
奇偶性：当
?
?k
?
时，奇函数；
当
?
?k
?
?
当
?
?
?
2
时,
偶函数；
k
?
时，非奇非偶函数。
2
把
?
x?
?
看作一个整体考虑单调性和最值。
五点法作图：列表描点
1、画函数图像时要利用五点法作图，要列表、描点
2、通常是在一个周期里作图，x通常取0，
?
，π，
?
，2π。
3、当三角符号后面是复合函数时，将整个复合函数看作一个整体分
别取0，
?
，π，
?
，2π。5点作图。
4、当x前系数为负的时候，要利用诱导公式将函数化成一般形式作
图。即x前的系数一定为正
注：当函数既要伸缩又要平移的时候，应遵循先平移后伸缩的原则
1
2
3< br>2
1
2
3
2

六、反三角函数
反正弦函数
函数
y?sinx

x?[?
??
,]
的反函数叫做反正弦函数，记作
22
y?arcsinx
，
x?[?1,1]


?
?,
定义域：[-1，1] 值域：
?

??
22
??
??
奇函数，即arcsin(-x)=-arcsinx，非周期函数
在
[?1,1]
上是增函数
反余弦函数
y=cosx ,
x?[o,
?
]
的反函数叫做反余弦函数，记作

x?[?1,1]

y?arccosx
，

定义域：[-1，1] 值域：
?
0,
?
?

非奇非偶函数，即
arccos(?x)?
?
?arccosx

在
[?1,1]
上单调递减
反正切函数
把函数y=tanx , x∈
(?
??
,)
的反函数记作，
y?arctanx

x?R

22

?
??
?
定义域：R 值域：
?
?,
?

?
22
?
奇函数，即< br>arctan(?x)??arctanx

在R上单调递增
注：反三角函数后跟的数是一个值，反三角函数的值表示的就是这个
数所对应的角的弧度制数。
求反三角函数注意：
所有三角函数只有在特定的定义域上才具有反函数，即y=sinx
x?[?
??
,]
，y=cosx x ∈
[0,
?
]
，y=tanx
x?(?,)
。当三角< br>2222
??
函数的定义域不在特定区间内，要利用诱导公式或者分段把定义域化
到特定区间内才能求反函数。
七、最简三角方程
定义：我们把含有未知数的三角 函数方程叫做三角方程，把所有
满足三角方程的所有x的集合叫做三角方程的解集。由于三角函数的周期性，因此一般的三角函数的解集含有无穷多个元素。

形如sinx=a ,cosx=a, tanx=a的方程叫做最简三角方程。
sinx=a
当
a?[?1,1]
，方程无实数根
当a=1或者a=-1时，方程的解集 为
{x|x?2k
?
?
?
2
,k?Z}
或者
3
{x|x?2k
?
?
?
,k?Z}

2
k
当a在（-1，1）内时x的解集为
{x|x?k
?
?(?1)arcs ina,k?Z}
。
cosx=a
当
a?[?1,1]
时，方程无解
当a=1或a=-1时，方程的解集为< br>{x|x?2k
?
,k?Z}
或
{x|x?2k
?
?
?
,k?Z}
，
当a在（-1,1）时方程的解集为
{x|x?2k
?
?arccosa,k?Z}

tanx=a
当x?R
时，解集为
{x|x?k
?
?arctana,k?Z}

注：在解 三角方程时，特别是正弦和余弦，要先注意a的范围，若不
在【-1,1】内，则方程无解，在{1，- 1}内的话在一个周期内只有一个
解，不能套用公式，并且要注意题给的x的范围，在求出解集后，选< br>出符合题给范围的所有解，用列举法表示。
八、常用公式
y?Asin(
?
x?
?
)或y=Acos(
?
x+
?
)
周 期公式
T?
?
2
?

?
y?Atan(
?
x?
?
)
的周期公式
T?
?

arcsin(sinx)?x

x?[?,]

22
??
sin(arcsinx)?x

x?[?1,1]

arccos(cosx)?x

x?[0,
?
]

cos(arccosx)?x

x?[?1,1

]
arctan(tanx)?x

x?(?
??
,

)
22
tan(arctanx)?x
x?R

ar csinx?arccosx?
arctanx?arccotx?
?
2
，< br>x?[?1,1]

，
x?R

?
2
必须掌握假设角的思想