2019事业单位招聘考试面试说课稿高中数学面试抽题汇总(人教版必修1-5)

2019年事业单位招聘考试面试说课稿
高中数学面试抽题汇总（人教版必修1-5）

尊敬的各位评委老师：
上（下）午好（鞠躬），我是_01_号考生。
今天我说课的题目是《_》（第_课时）（板书），本节课出自人教A版高中数学第一册第1
章第1节。 我将尝试运用新课标的理念指导本节课的教学。新课标指出，学生是教学的主体，教
师的教要应本着从学 生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知
识体系。我将以此为基础从教 材分析，教学目标、教学重点与难点、教学方法与学法、教学过程、
板书设计与教学评估六个方面进行阐 释。

我以上是我对本节课的一些思考，不妥之处，敬请各位专家批评指正。谢谢！
答辩：如果是评委直接s提问，“谢谢老师的问题”，思考半分钟，“对于这个问题，我是这样
思考的 。”、“回答完毕，请老师批评指正。”（鞠躬）
一、教材分析
（一）教材的地位和作用
《 》既是 在知识上的延伸和发展，又是本章
的运用与巩固，也为下一章 教学作铺垫，起着链条的作用。同时，这部分内
容较好地反映了 的 内在联系和相互转化，蕴含着归纳、转化、数形结合
等丰富的数学思想方法，能较好地培养学生的观察能 力、概括能力、探究能力及创新意识。
概括地讲，本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的 工具性。
（与前后知识的内在联系如何？这部分内容是学生学习了哪部分知识的基础上学习的？是对哪些知识的运用，又是后面学习哪些知识的基础？）
（二）学情分析
通过前一阶段的教学，学生对函数和图象的认识已有了一定的认知结构，主要体现在三个层
面：
? 知识层面：学生在已初步掌握了 。
? 能力层面：学生在初中已经掌握了用 初步具备了 思想。
? 情感层 面：学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性。但探究问题的能力以及合
作交流等方面发展不够均 衡.
（三）教学内容—课时安排
本节内容分 课时学习。（本课时，品味数学中的和谐美，体验成功的乐趣。）
二、教学目标分析
新课标 指出教学目标应包括知识目标、能力目标和情感目标这三个方面，而这三维目标
又应是紧密联系的一个有 机整体，学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形
成正确的价值观的过程。根据教学大纲 的要求、本节教材的特点和高（ ）学生的认知规
律，本节课的教学目标确定为：
1

? 知识目标--理解 ；掌握 ，熟悉
? 能力目标--通过 ，培养学生 的转化能力，“从具体到抽象”、“从特殊到
一般”的归纳概括能力。
? 情感目标--创设 问题情景，激发学生观察、分析、探求的学习激情、强化学生参与意识
及主体作用。在自主探究与讨论交 流过程中，培养学生的合作意识和创新精神. 通过
对立统一关系的认识，对学生进行辨证唯物主义教育.
三、重难点分析
（一）重点
（二）难点
四、教法与学法分析
（一）教法分析
根据本节教材内容和编 排特点，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规
律，遵循教师为主导，学生为主体，训练 为主线的指导思想，采用以引导发现法为主，直观
演示法、设疑诱导法、类比法为辅。教学中，教师精心 设计一个又一个带有启发性和思考性
的问题，创设问题情景，诱导学生思考，使学生始终处于主动探索问 题的积极状态，从而培
养思维能力。
动手操作、分组讨论、合作交流、课后实践、引导发现式 、启发探究式、启发式、讨论式以
及讲练结合
（二）学法指导
提问、分组讨论、合作交流、共同探索
2、学法 让学生在“观察一归纳一检验一应用”的 学习过程中，自主参与知识的发生、发
展、形成的过程，使学生掌握知识。
（三）教学手段和教具
如多媒体：目的性、实用性、可操作性、新颖性。
五、课堂设计
本节课的教学设计充分体现以学生发展为本，培养学生的观察、概括和探究能力 ，遵循学生
的认知规律，体现理论联系实际、循序渐进和因材施教的教学原则，通过问题情境的创设，< br>激发兴趣，使学生在问题解决的探索过程中，由学会走向会学，由被动答题走向主动探究
本节课 的教学过程由（一）复习引入（二）新课探究（三）应用举例（四）反馈练习（五）归纳小结（六）
布置 作业，六个教学环节构成。
（一）导入新课，创设情景，引出 的关系
（二）讲授新课
（三）巩固练习
（四）总结
（五）布置作业
六、板书设计
我的板书设计的指导原则：简明直观，重点突出。几个字用红色粉笔标注，同时 给学生留有
作题的地方
2

七、教学反思
本节 课立足课本，设计合理，层次分明。在教学思想上既注重教师在知识形成过程的教学，
又注重调动学生学 习的主动性，加强对学生学习方法的指导，培养学生养成良好的学习习惯、
探究能力和创新精神；通过学 生的交流和合作，引导学生发现数学的美，体验求知的乐趣。
（包括提问和课堂练习。练习要有针对性、 系统性）
以上是我对本节课的一些粗浅的认识和构想，如有不妥之处，恳请各位专家批评指正。
谢谢！

备注：课堂意外预案：
新课程理念下的教学更多的关注学生自主 探究、关注学生的个性发展，鼓励学生勇于提出问
题，培养学生思维的批评性。在课堂上学生往往会提出 让老师感到“意外”的问题，我在平
时的教学中重视对“课堂意外预案”的探索和思考，备课时尽量设想 课堂中可能会出现的各
种情况，做到有备无患，以免在课堂中学生提出让自己出乎意料的问题，使自己陷 入被动尴
尬境地。结合以往经验，在本节课，我提出两个“意外预案”。

1.1 集合与集合的表示方法
一、教材分析
（一）教材地位
集合语言是现代数学的基本 语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内
容．集合论及其所反映的数学思想，在越来越 广泛的领域种得到应用。本章中只将集合作
为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言去表示 有关的数学对象，发展运用
数学语言进行交流的能力．
（二）学情分析
学生学基本 功较扎实，学习态度较端正，有一定的自主学习能力．但是没有养成及时复
习的习惯，有些内容已经淡忘 ．通过自主梳理知识，让学生感受复习的必要性，培养学生良
好的复习习惯．
（三）教学内容
两个课时
二、
教学目标与理念

依据课程标准的要求、本 节课的具体学习内容和高一年级学生的心理认知特征，我预设了以
下3个教学目标：
? 知识目标--理解集合的含义，掌握结合的两种表述方法- 列举法和描述法；理解集合建
的基本关系，掌握集合的基本运算
? 能力目标--通过 ，培养学生 的转化能力，“从具体到抽象”、“从特殊到
一般”的归纳概括能力。
? 情感目标
三、教学重点与难点
根据本课的教学目标，结合本课的教学内容以及 学生的实际情况，我们确定的教学重点是
集合
的基本概念与表示方法
，教学难点是运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正
确表示一些简单的集合。
那么，究竟应该怎样来完成本节课的任务呢？下面我们说一下本节课的教法和学法。
四、教学方法与学法
3

依据本课的教学目标和内容特点 ，考虑到高一年级学生已有的知识基础和可能的发展水平。教学
本课我主要采用的教法与学法有主动学习 法、反馈补救法。这些教法和学法的运用，体现了学生
是教学活动的主体这一教学理念，同时可以培养学 生主动质疑和合作探究的精神。
最后我们说一下本节课的教学过程。
五、教学过程与理据：
本节课在多媒体教室进行，所需教具是教师机---学生机、投影仪、黑板等。
从“以生为本 ”的教学理念出发，考虑到高一年级学生的心理认知特点。我将本节课设计为五个
环节。我会本着环环相 扣、逐层深入的原则循序渐进的展开。（手势）
（一）复习导入：我们先来看这样一个问题：

军训前学校通知：8 月15 日8 点，高一年级在体育馆集合进行军训动员活动， 试问这
个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们
感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、三）对象的总体，而不是个别的对象，为
此，我们将 学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。
阅读课本P
2
-P
3
内容
（二）学习新知：
（一）集合的有关概念
1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体 ，人们能意识到这些东
西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称
集。
3. 思考 1：课本P
3
的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子 ，对学生的例
子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
4. 关于集合的元素的特征
（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是
A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 < br>（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，
同一 集合中不应重复出现同一元素。
（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样
5. 元素与集合的关系；
（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belong to）A，记作a∈A
（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于（not belong to）A，记作a
?
A
6. 常用数集及其记法
非负整数集（或自然数集），记作N
正整数集，记作N
*
或N
+
；
整数集，记作Z
有理数集，记作Q
实数集，记作R
（二）集合的表示方法
我们可以用自 然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法
和描述法来表示集合。
（1） 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
如：{1，2，3，4，5 }，{x
2
，3x+2，5y
3
-x，x
2
+y
2
}，…；
例 1．（课本例1）
4

思考 2，引入描述法
说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。
（2） 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
具体方法：在大 括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一
条竖线，在竖线后写出这个集 合中元素所具有的共同特征。
如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x
2
+1}，{直角三角形}，…；
例 2．（课本例2）
说明：如果从上下文的关系来看，x∈R,x∈Z可以省略,只写其元 素x。例如，集合D={x∈R|x>10}
也可以表示为集合D={x|x>10}。
思考 3：（课本P
6
思考）
强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素
{(x,y)|y= x
2
+3x+2}与 {y|y= x
2
+3 x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，
例如：{整数}，即代表整数集Z。
辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}，{R}
也是错误的。 说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集
合中元素 较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
（三）练习巩固：
课堂练习（课本P
6
练习）

（四）课堂小结：本节课从实例入手，
非常自然贴切地引出集合与集 合的概念，并且结合实
例对集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法 。

（五）作业布置：
书面作业：习题1.1，第1- 4 题

六、板书设计与说明
以上是我的板书设计，这是一则提纲式的板书，既是对本节课学习内容的 梳理，也是对我本节课
教学思路的整理。
2.1.1 函数
一、教材分析
函数的学习促使学生的数学思维方式发生了重大的转变：思维从静止走向了运动、从运
算转向了关系． 函数是高中数学的核心内容， 是高中数学课程的一个基本主线，有了这条
主线就可以把数学知识编织在 一起，这样可以使我们对知识的掌握更牢固一些．函数与不等
式、数列、导数、立体、解析、算法、概率 、选修中的很多专题内容有着密切的联系．用函
数的思想去理解这些内容，是非常重要的出发点．反过来 ，通过这些内容的学习，加深了对
函数思想的认识．函数的思想方法贯穿于高中数学课程的始终．高中数 学课程中，函数有许
多下位知识，如必修1第二章的幂、指、对函数数，在必修四将学习三角函数．函数 是描述
客观世界变化规律的重要数学模型
学情分析
（1）在初中,学生已经学习过函数的概念,并且知道函数是变量之间的相互依赖关系.
（2）学生思维活泼，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。
（3） 学生层次参次不齐，个体差异比较明显。
二、教学目标
1）知识目标
理解函数的 定义，了解构成函数的要素，理解函数定义域和值域的概念，并会求一些简
单函数的定义域。 掌握函数的基本性质，会运用函数的图象理解和研究函数的性质．
A：会用定义证明函数的单调性、奇偶性．B：
5

会分析函数的单调性、奇偶性、对称性的关系．
2）过程与方法
引导学生观察，探寻变量和变量的对应关系，通过归纳、抽象、概括，自主建构函数概念；
体验结合旧知 识探索新知识，研究新问题的快乐
3）情感态度与价值观
通过对函数概念形成的探究过程培养学生发现问题，探索问题，不断超越的创新品质
三、重难点
重点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解
函数的概念
难点：函数概念及符号y=f（x）的理解、函数性质之间的关系．
四、教学法
（一）教法
在本课的教学过程中采用设问、引导、启发、发现的方法，并灵活应用多媒体手段 ，以
学生为主体，创设和谐、愉悦互动的环境，组织学生自主、合作的探究活动，引导学生探索
新知识。
（二）学法
首先，学生通过研究教师在课堂上提供的实例和提出的问题，展开分析 和讨论，发表
个人的见解，接下来采用学生评价学生的方法提炼问题的中心思想。其次，学生通过对新旧
两种函数定义的对比，在集合论的观点下初步建构出函数的概念。最后，学生在理解函数概
念的 基础上，建构出函数的定义域、值域的概念，并初步掌握它们的求法
五、教学过程分析
（一）教学过程设计
（1）创设情境，提出问题。
引入课本的三个具体实例，引发学生的探索
对于例1：可以分别让学生计算t=1，2，5，10时， 炮弹距离地面多高，同时关注t和
h的变化范围，引导学生体会有解析式刻画变量之间的对应关系，启发 学生用集合与对应的
语言描述函数关系：
对于例2：可以让学生观察图像，找出臭氧空洞面积 最大的年份或者臭氧空洞面积大约
为2000万平方千米所对应的年份，引导学生体会图像对刻画变量之 间的对应关系，并关注
t和s的范围。启发学生再次利用集合与对应的语言描述函数关系：
对 于例3：恩格尔系数与时间之间的关系是否和前两个例题的两个变量之间的关系相似？
如何用集合和对应 的语言进行描述
（2）引导探究，建构概念。
（1）进一步提问：“你觉得这三个问题有 没有共同的特点呢？”由于这个问题比较开放，所
以学生，容易形成数学以外的或者不在本课研究范围的 观点。首先采用小组合作探究的形式
获得共识，并由各小组派代表发表探究成果，接着再让其它学生根据 老师的叙述，评论、提
炼出重点。作为教学的引导者，我需要及时对学生的解答进行指引。最终得出函数 的概念
（2）教师概括总结学生的探究成果，形成函数概念，并进一步解释函数概念
I、函数的三要素
Ii函数富豪的内涵
为深化学生对函数概念的理解 ，还可以用函数概念解析已经学过的一次函数，二次函数，
妇女比例函数等，可以设计如下表格
函数 一次函数 二次函数 反比例函数
对应关系
定义域
值域
由学生填写
（3）自我尝试，初步应用。
例1、判断下列图像是否为函数图像。考察学生对函数定义的理解
例2、采用课本例1，并增加一问若f（x）=-1，求x
目的是引导学生探究求函数定义域的基本方法；对于用解析式表示的函数会用解析式求
6

函数值或有函数值求子变量的值，进一步体会函数级号的含义，区分f（-1 ），f（a），f（x）
例3．采用课本例2
目的：通过判断函数的相等认识到函数的整 体性，并指出在三要素中，由于值域是由定义域
和对应法则决定的，所以只要两个函数的定义域和对应关 系相同，两个函数就相等；进一步
加深函数概念的理解
（4）当堂训练，巩固深化。
通过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对知
识识的再次深化 。
采用课后练习1、2、3
（5）小结归纳，回顾反思。
小结归纳不 仅是对知识的简单回顾，还要发挥学生的主体地位，从知识、方法、经验
等方面进行总结。我设计了三个 问题：（1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？（2）
通过本节课的学习，你最大的体验是什么？ （3）通过本节课的学习，你掌握了哪些技能？
（二）作业设计
作业分为必做题和 选做题，必做题对本节课学生知识水平的反馈，选做题是对本节课内
容的延伸与，注重知识的延伸与连贯 ，强调学以致用。通过作业设置，使不同层次的学生都
可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发 学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、
合作探究的学习氛围的形成．
我设计了以下作业：
（1）必做题：课后习题A 1（2，3），2、5、6
（2）选做题：课后习题B 1、2
（三）板书设计
板书要基本体现整堂课的内容 与方法，体现课堂进程，能简明扼要反映知识结构及其相
互联系；能指导教师的教学进程、引导学生探索 知识；通过使用幻灯片辅助板书，节省课堂
时间，使课堂进程更加连贯。
五、评价分析
学生学习的结果评价当然重要，但是更重要的是学生学习的过程评价。我采用及时点评、
延 时点评与学生互评相结合，全面考查学生在知识、思想、能力等方面的发展情况，在质疑
探究的过程中， 评价学生是否有积极的情感态度和顽强的理性精神，在概念反思过程中评价
学生的归纳猜想能力是否得到 发展，通过巩固练习考查学生对本节是否有一个完整的集训，
并进行及时的调整和补充。

2.1.3 函数的单调性
一、教材分析
函数的单调性是函数的重要性质．从知识 的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念
的延续和拓展；又是后续研究指数函数、对数函数、三角函 数的单调性等内容的基础，在研
究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用；函数 单调性概念的建立
过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与 示范
作用．
学情分析中学生已掌握了函数的含义和表示方法，有一定的抽象思维能力，但但函 数单
调性概念对他们来说还是比较抽象的．。。。
课时2
二、教学目标
? 知识目标：使学生从形与数两方面理解函数单调性、单调区间的概念，初步掌握利用函
数图 象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．
? 能力目标：通过对函数单调性定义的探究，渗透数 形结合数学思想方法，培养学生观察、
归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提 高学生的推理论证能
力．
7

? 情感目标：通过知识的 探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习
惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到 一般，从感性到理性的认知过程．
三、重难点
? 重点：函数单调性的概念、判断及证明．
? 难点：归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．（然高一学生已经
有一 定的抽象思维能力，但函数单调性概念对他们来说还是比较抽象的．因此，本节课
的学习难点是函数单调 性的概念形成．）
四、教法与学法
教师启发讲授，学生探究学习．
? 教法学法
1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，
激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性．
2、在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念．
3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨
的推理，并顺 利地完成书面表达．
? 学法：
1、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造 ，来完成从感性认识到理性思维
的质的飞跃．
2、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、 运用，培养学生发现问题、研究问题和分析
解决问题的能力．
? 教学手段计算机、投影仪．
五、教学过程
（一）创设情境，提出问题
（问题情境）（播放中央电视台天气预报 的音乐）．如图为某地区2006年元旦这一天24小时
内的气温变化图，观察这张气温变化图：

教师活动]引导学生观察图象，提出问题：
问题1：说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？
问题2：怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？
【归纳】用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小
【设计意图】 从生活情境引入新课，激发兴趣。问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣
8

的开始．这里，通过两个问题，引发学生的进一步学习的好奇心．
（二）教授新课 （概念---图像、理论；证明）
2.1 归纳探索 形成概念
2.1.1．借助图象，直观感知
问题1：分别作出函数
变化时，函数值有什么变化规律？
的图象，并且观察自变量

预案：(1)函数在整个定义域内
y
随
x
的增大而增大；函数在整
个定义域内
y
随
x
的增大而减小．
(2)函数在上
y
随
x
的增大而增大，在上
y
随
x
的增大而减小．
(3)函数在上
y
随
x
的增大而减小，在上
y
随
x
的增大而减小．
【设计意图】引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)．同时明确函数的单调性是对
定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．
问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?
预案：如果函数在某个区间上随 自变量
x
的增大，
y
也越来越大，我们说函数
在某个区间上随自变量
x
的增大，
y
越来越小，我们在该区间上为增函数；如果函数
说函数 在该区间上为减函数．
教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识．
〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识．
2．
给出定义，剖析概念
①定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值
9

⑴若当<时，都有f()⑵若当<时，都有f()>f(),则f(x) 在这个区间上是减函数（如图4）。

②单调性与单调区间
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f( x)在这一区间具
有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的
单调函数.由此可知单调区间分为单调增区间和单调减区间。
注意：
（1）函数 单调性的几何特征：在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象
是下降的。
当x1 y随x增大而减小。
几何解释：递增 函数图象从左到右逐渐上升；递减 函数图象从左到右逐渐下降。
y随x增大而增大；当x1 f(x2)
（2）函数单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质。

有些函数在整个定义域内是单调的；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，在
部分区间上是减函数；有些函数是非单调函数，如常数函数。
。
10

判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则函数 f (x)在R上是增函数。
（×
函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质，
殊值代替。
训练：画出下列函数图像，并写出单调区间：
具有任意性，不能用特

3、掌握证法，适当延展
例 证明函数在上是增函数．
3.1．分析解决问题、针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．
证明：任取, 设元
求差
变形


,
断号
∴
∴

即
∴函数
3.2．归纳解题步骤
在上是增函数． 定论
11

引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．
练习：证明函数
问题：要证明函数
在
在区间
上是增函数．
上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对
任意的，且有可以吗?
引导学生分析这种叙述与定义的等价性．让学生尝试用这种等价形式证明函数
在上是增函数．
〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展
可以得到导 数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．
（三）巩固练习
关键词“区间内”、“任意”、“当时，都有”．
判断题：
①
②若函数
③若函数
数．
在区间和(2,3)上均为增函数，则函数
．
．
在区间(1,3)上为增函
④因为函数在区间
上是减函数.
上都是减函数，所以在
通过判断题，强调三点：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．
②对于某 个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内
某个区间(如二次函数)， 也可以根本不单调(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间
A
,
B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在
上是增（或减）函数．
思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?
12

〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断
题的辨析，加深 学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.

（四）归纳小结
学生交流在本节 课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同
完成小结．
(1) 增 、减函数的定义。函数单调性是对定义域的某个区间而言的，反映的是在这一区
间上函数值随自变量变化 的性质
(2)函数单调性的判断方法：利用图像观察、利用定义证明；
证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．
(3)数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等．
（五）作业
书面作业：课本第60页 习题2.3 第4，5，6题．
课后探究：
(1) 证明：函数在区间上是增函数的充要条件是对任意的，
且有．
(2) 研究函数的单调性，并结合描点法画出函数的草图．
六、板书设计
七、教学评价
学生学习的结果评价当然重要，但是更重要的是学生学习的过程评价．教师应当高度重
视学生学习过程中 的参与度、自信心、团队精神、合作意识、独立思考习惯的养成、数学发
现的能力，以及学习的兴趣和成 就感．学生熟悉的问题情境可以激发学生的学习兴趣，问题
串的设计可以让更多的学生主动参与，师生对 话可以实现师生合作，适度的研讨可以促进生
生交流以及团队精神，知识的生成和问题的解决可以让学生 感受到成功的喜悦，缜密的思考
可以培养学生独立思考的习惯．让学生在教师评价、学生评价以及自我评 价的过程中体验知
识的积累、探索能力的长进和思维品质的提高，为学生的可持续发展打下基础．
2.1.4 函数的奇偶性
一、教材分析
(单调性)本节课是高中数学人教B版必 修一2.1.4的内容，是学生在学习了函数、轴对
称和中心对称图形的基础上来学习的，函数的奇偶性 是考察函数性质时的又一个重要方面。
教材从具体到抽象，从感性到理性，循序渐进地引导学生进入数学 领域进行观察、归纳，形
成函数奇偶性概念。同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想

函数是中学数学的重点和难点,函数的思想贯穿于整个高中数学之中。函数
13
< /p>

的奇偶性是函数中的一个重要内容，它不仅与现实生活中的对称性密切相关联，
而 且为后面学习指、对、幂函数的性质作好了坚实的准备和基础。因此,本节课
的内容是至关重要的,它对 知识起到了承上启下的作用。
二．教学目标
1．知识目标：
理解函数的奇偶性及 其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
学会判断函数的奇偶性；
2．能力目标：
通过设置问题情境培养学生判断、推理的能力,同时渗透数形结合和由特殊到 一般的数
学思想方法.
3．情感目标：
通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力．
三．教学重点和难点：
教学重点：函数的奇偶性及其几何意义
教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式
四、教学学法
1、教法
根据 本节教材内容和编排特点，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规
律，遵循教师为主导， 学生为主体，训练为主线的指导思想，采用以引导发现法为主，直观
演示法、设疑诱导法、类比法为辅。 教学中，教师精心设计一个又一个带有启发性和思考性
的问题，创设问题情景，诱导学生思考，使学生始 终处于主动探索问题的积极状态，从而培
养思维能力。
2、学法 让学生在“观察一归纳一 检验一应用”的学习过程中，自主参与知识的发生、发
展、形成的过程，使学生掌握知识。
五．教学程序
（一）创设情景，揭示课题
“对称”是大自然的一种美，这 种“对称美”在数学中也有大量的反映，让
我们看看下列各函数有什么共性？
清同学们做出下列图像的图，清三位同学在黑板上画出。
f(x)?x
2

1

2
x

y

y

y

f(x)?|x|?1

x(x)?


14

1

x
－1
x
0
0
0
观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．
通过讨论归纳：函 数
f(x)?x
2
是定义域为全体实数的抛物线；函数
f(x)?|x|?1
是定义域为全体实数的折线；函数
f(x)?
1
是定义域为非零实数的
x
2
两支曲线，各函数之间的共性为图象关于
y
轴对称．观察一对关于y
轴对称的点
的坐标有什么关系？
（令

到

比较

得出等式

, 再令

,得
）

让学生发现两个函数的对称性反应到函数值上具有的特性：
,然后通过解析式给出严格证明，进一步说明这个特性对定义域内任意一个

都成立.最后让学生用完整的语言给出偶函数定义,不准确的地方教师予以提示或调整.
归 纳：若点
(x,f(x))
在函数图象上，则相应的点
(?x,f(x))
也 在函数图象上，
即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．
同样让学生

f(x)?x
和
f(x)?
（二）授课
1
的图象让学生观察研究。 （奇函数）

x
函数的奇偶性定义：
1．偶函数
一般地，对于函数
f(x)
的定义域内的任意一个
x< br>，都有
f(?x)?f(x)
，那么
f(x)
就叫做偶函数．（学生活 动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义．
2．奇函数
一般地，对于函数
f(x)
的定义域的任意一个
x
，都有
f(?x)??f(x)
，那么
f(x)
就叫做奇函数．
注意：
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体
性质；
② 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义
域内的任意一个
x，则
?x
也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点
对称）．
15

3．具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于
y
轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
（三）巩固练习
例1．判断下列函数是否是偶函数．
（1）
f(x)?x
2
x?[?1,2]

x
3
?x
2
（2）
f(x)?

x?1< br>解：函数
f(x)?x
2
,x?[?1,2]
不是偶函数，因为它的定 义域关于原点不对称．
x
3
?x
2
函数
f(x)?
也不是偶函数，因为它的定义域为
?
x|x?R且x?1
?
，并不
x?1
关于原点对称．
例2．判断下列函数的奇偶性
（1）
f(x)?x
4
（2）
f(x)?x
5
（3）
f(x)?x?
解：（略）
小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定
f(?x)与f(x)的关系
；
③作出相应结论：
若
f(?x)?f(x)或f(?x)?f(x)?0,则f(x)是偶函数
；
若
f(?x)??f(x)或f(?x)?f(x)?0,则f(x)是奇函数
．
例3．判断下列函数的奇偶性：
①
f(x)?lg(4?x)?g(4?x)

?
1
2x?1(x?0)
?
?
2
②
g(x)?
?
< br>1
?
?x
2
?1(x?0)
?
?2
11 （4）
f(x)?
2

xx
分析：先验证函数定义域的对 称性，再考察
f(?x)是否等于f(x)或?f(x)
．
16

解：（1）
f(x)的定义域是
?
x|4+x
＞0且
4?x
＞
0
?
=
?
x|?4
＜
x
＜
4
?
，它具有
对称性．因为
f(?x)?lg(4?x)?lg (4?x)?f(x)
，所以
f(x)
是偶函数，不是奇函
数．
（2）当
x
＞0时，－
x
＜0，于是
11
g(? x)??(?x)
2
?1??(x
2
?1)??g(x)

22
当
x
＜0时，－
x
＞0，于是
g(?x)?
111
(?x)
2
?1?x
2
?1??(?x
2< br>?1)??g(x)

222
综上可知，在R
－
∪R
+
上，
g(x)
是奇函数．
例4．利用函数的奇偶性补全函数的图象．
教材P
41
思考题：
规律：偶函数的图象关于
y
轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．
例5．已知
f(x)
是奇函数，在（0，+∞）上是增函数．
证明：
f(x)
在（－∞，0）上也是增函数．
证明：（略）
小 结：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称
的区间上单调性一致．
（四）归纳小结，整体认识．
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方 法，即定义
法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是
否关 于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合
函数的图象充分理解好单调性 和奇偶性这两个性质．

（五）作业
（1）课本P
42
练习1．2 P
46
B组题的1．2．3
（2）判断下列函数的奇偶性，并说明理由．
①
f(x)?0,x?[?6,?2][2,6];

17

②
f(x)?|x?2|?|x?2|

③
f(x)?|x?2|?|x?2|

④
f(x)?lg(x
2
?1?x)

☆☆☆2.2 一次函数和二次函数（配方法&待定系数法）
2.4.1 函数与零点
一、教材分析 从教材编写的顺序来看，《方程的根与函数的零点》是必修1第三章《函数的应用》一
章的开始，其 目的是使学生学会用二分法求方程近似解的方法，从中体会函数与方程之间的
联系．利用函数模型解决问 题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点
的关系、用二分法求方程的近似解，是在 建立和运用函数模型的大背景下展开的．方程的根
与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解中均蕴 涵了“函数与方程的思想”和“数
形结合、转化的思想”，建立和运用函数模型中蕴含的“数学建模思想 ”，是本章渗透的主要
数学思想．
本节课是在学生学习了《一次函数和二次函数》的基础上， 学习函数与方程的第一课
时，本节课中通过对二次函数图象的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步 探索函数零
点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的< br>图象，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，为下
一节《 用二分法求方程的近似解》做准备．
学情分析：
初中学习过二次函数图象和二次方程，并且解 过“当函数值为0时，求相应自变量的值”
的问题，初步认识到二次方程与二次函数的联系，对二次函数 图象与
利用函数图像、判断方程根的存在性提供了一定的知识基础。

轴是否相交，也 有一些直观的认识
与体会．在高中阶段，已经学习了函数概念与性质，掌握了部分基本初等函数的图象与 性质，这位本节课
二、教学目标
知识目标：
通过对二次函数图象的描绘，了解函数 零点的概念，领会函数零点与相应方程实数根之间的
关系;
掌握函数零点存在性的判断，能求 出存在零点（或根）的区间：了解图象连续不断的意义及
作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条 件；了解函数零点只能不止一个；体会用函
数系统的角度去思考方程的思想，使学生理解动与静的辨证关 系．
能力目标：在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用；能顺利将一个方程求解问题转化为一个函数零
点问题， 写出与方程对应的函数
情感目标：
三、重难点
重点：了解函数零点的概念，体会 方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的
判断．
难点：准确理解零点存在性定 理，并针对具体函数（或方程），能求出存在零点（或根）的
区间．（正因为
f
（a
）·
f
（b）＜0且图象在区间[
a
，
b
] 上连续不断，是函数
f
（
x
）在区间
[
a
，
b
]上有零点的充分而非必要条件）
四、教法与学法
教具：计算器（
本 节教学目标的实现，需要借助计算机或者计算器，一方面是绘制函数图象，通过观察
18
< /p>

图象加深方程的根、函数零点以及同时函数图象与轴的交点的关系；另一方面，判断零点所 在区间过程
中，一些函数值的计算也必须借助计算机或计算器．
）
五、教学过程
（一）引入课题

问题引入：求方程3
x
＋6
x－
1=0的实数根。

2
设计意图：从学生的认知冲突中，引发学 生的好奇心和求知欲，推动问题进一步的探究。
通过简单的引导，让学生课后自己阅读相关内容，培养他 的自学能力和更广泛的兴趣。开门
见山的提出函数思想解决方程根的问题，点明本节课的目标。

（二）新知探究

1、零点的概念

问题1 求方程x－2x－3＝0的实数根，并画出函数y＝x－2x－3的图象；

22
方程 x－2x－3＝0的实数根为-1、3。函数y＝x－2x－3的图象如图所示。

22

问题2 观察形式上函数y＝x－2x－3与相应方程x－2x－3＝0的联系。

22
函数y＝0时的表达式就是方程x－2x－3＝0。

2
22
问题3 由于形式上的联系，则方程x－2x－3＝0的实数根在函数y＝x－ 2x－3的图象
中如何体现？

22
y＝0即为x轴，所以方程x－2x－3 ＝0的实数根就是y＝x－2x－3的图象与x轴的交
点横坐标。

19

设计意图：以学生熟悉二次函数图象和二次方程为平台，观察方程和函数形式上的联系，
从而得到方程实数根与函数图象之间的关系。理解零点是连接函数与方程的结点。

2 2
初步提出零点的概念：-1、3既是方程x－2x－3＝0的根，又是函数y＝x－2x－3在y＝0时x的值，也是函数图象与x轴交点的横坐标。-1、3在方程中称为实数根，在函数中
称为零 点。

问题4 函数y＝x－2x＋1和函数y＝x－2x＋3零点分别是什么？

22
函数y＝x－2x＋1的零点是-1。函数y＝x－2x＋3不存在零点。

22
设计意图：应用定义，加深对概念的理解。

提出零点的定义：对于函数
的零点．（zero point）

，把使成立的实数叫做函数

2、函数零点的判定：

研究方程的实 数根也就是研究相应函数的零点，也就是研究函数的图象与x轴的交点情
况。（Ⅰ）

20

问题5 如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电 影的一个瞬间，一个镜头。
有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两 组镜头（如图），
哪一组能说明他的行程一定曾
河？ （Ⅱ）


第Ⅰ组能说明他的行程中一定曾渡过河，而第Ⅱ组中他的行程就不一定曾渡过河。

设计意图：从现实生活中的问题，让学生体会动与静的关系，系统与局部的关系。

问题6 将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎
样的位 置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？

A、B两点在x轴的两侧。


设计意图：将现实生活中的问题抽象成数学模 型，进行合情推理，将原来学生只认为
静态的函数图象，理解为一种动态的过程。

问题7 A、B与x轴的位置关系，如何用数学符号（式子）来表示？

A、B两点在 x轴的两侧。可以用
f
（
a
）·
f
（
b
） <0来表示。

设计意图：由原来的图象语言转化为数学语言。培养学生的观察能力和提取有效 信息
的能力。体验语言转化的过程。

21

问题8 满足条件的函数图象与x轴的交点一定在（a，b）内吗？即函数的零点一定在
（a，b）内吗？

一定在区间（a，b）上。若交点不在（a，b）上，则它不是函数图象。


设计意图：让学生体验从现实生活中抽象成数学模型时，需要一定修正。加强学生对函
数动态的感受， 对函数的定义有进一步的理解。

通过上述探究，让学生自己概括出零点存在性定理：

一般地，我们有：

如果函数
y
＝
f
（
x
）在区间[
a
，
b
]上的图象是连续不断的一条曲线并且有
f
（
a
）·
f
（
b
）
<0，那么函数y
＝
f
（
x
）在区间（
a
，
b
）内有零点，即存在
c
∈（
a
，
b
），使得
f< br>（
c
）=0，
这个
c
也就是方程
f
（
x
）＝0的根．

（三）新知应用与深化

例题1 观察下表，分析函数在定义域内是否存在零点？



－2

－1

0

-1

1

8

2

107

-109

-10

分析：函数图象是连续不断的，又因为，所以在区
间（0，1）上必 存在零点。我们也可以通过计算机作图（如图）帮助了解零点大致的情况。

22

设计意图：初步应用零点的存在性定理来判断函数零点的存在性问题。并引导 学生探索
判断函数零点的方法，通过作出
x
，的对应值表，来寻找函数值异号的区间， 还可以
借助计算机来作函数的图象分析零点问题。而且对函数有一个零点形成直观认识．

例题2 求函数的零点个数．

分析：用计算器或计算机作出
x
，的对应值表和图象。



1

2

3

4

5

6

7

8

12.1

9

14.2

-4.0

-1.3

1.1

3.4

5.6

7.8

9.9

由表可知，
f
(2)<0，
f
(3 )>0,则
内有零点。结合函数的单调性，进而说明
，这说明函数在区间（2，3）
零 点是只有唯一一个．


设计意图：学生应用例题1方法来解决例题2的零点存在性问 题，并结合函数的单调
性，从图象的直观上去判断零点的个数问题。

练习：判断下列函数是否存在零点，指出零点所在的大致区间?

①
f
（
x
）=2xln(x-2)-3；

②
f
（
x
）=
2
＋2
x
－6．

x
23

（四）总结归纳设计

通过引导让学生回顾零点概念、意义与求法，以 及零点存在性判断，鼓励学生积极回答，
然后老师再从数学思想方面进行总结．

（五）目标检测设计

必作题：

1．教材P
92
习题3．1（A组）第2题；

2．求下列函数的零点：

（1） （2）；

（3） （4）

3．求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各 自的简图，并指出函数值在哪些区间
上大于零，哪些区间上小于零：

（1） （2）．

4．已知．

轴有两个零点；

的值．

（1）为何值时，函数的图象与
（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求
选做题 ：设函数．

（1）利用计算机探求和时函数的零点个数；

（2）当

时，函数的零点是怎样分布的？

24

2.4.2 二分法
一、
教材分析
本节课注重从学生已有 的基础(一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与
性质)出发，从具体(一元二次方程的根 与对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标
之间的关系)到一般，揭示方程的根与对应函数零点之 间的关系.在此基础上，再介绍求函数
零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求函数零点的步 骤”中渗透算法的思想，
为学生后续学习算法内容埋下伏笔.教科书不仅希望学生在数学知识与运用信息 技术的能力
上有所收获，而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶，所以在“阅读与思考”中，介绍古< br>今中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的
贡献.
学情分析：通过本节课的学习，使学生在知识上学会用“二分法”求方程的近似解，从
中体会函 数与方程之间的联系；在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定
精确度的近似解增加了 困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能
力.这就要求学生除了能熟练地运用 计算器演算以外，还要能借助几何画板4.06中文版中的
“绘制新函数”功能画出基本初等函数的图象 ，掌握Microsoft Excel软件一些基本的操作.
知识与技能：通过具体实例理解二分法 的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似
解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实 际问题中的应用．
过程与方法：能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习 算
法做准备．
情感、态度、价值观：体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
三、重难点
重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步 形成
用函数观点处理问题的意识．
难点：恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
四、教法与学法
教学方法：动手操作、分组讨论、合作交流、课后实践
教学媒体分析：多媒体微机室、Aut horware7.02中文版、几何画板4.06中文版、Microsoft
Excel、QBASIC语言应用程序
五、教学过程
1、导入新课
2
判断f（x）=x-2x-3是否有零点？请问，同学们是怎么做到的？ask（直接求方程），然后< br>在提问，结合上节课我们所学，是否还有其他的办法来确定呢？ Ask（函数零点存在性的判
断） 老师：对，上节课我们学习了函数零点存在性的判断，那下面同学们 接着求f（x）
32-
=x+x2x-2是否存在一个零点？引导学生做 ---f（1）=- 2<0，f（2）=6>0，连续的，可确
定其在区间【1,2】内存在，如何精确求得零点呢？这就是 我们本节课要学习的内容？二分
法！
2、讲授
2.1那什么二分法呢？定义：对于 在区间[
数，通过不断地把函数
，]上连续不断且满足·＜0的函
的零点所在的 区间一分为二，使区间的两个端点逐
步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
2.2二分法的步骤： P73
2.3 实例 f（x）=x3+x2-2x-2精确求
25

2.4 电脑试验
结论: 由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.
3.巩固练习
4.总结
5.作业
3.1指数与指数函数
我本节课说课的内容是高中数 学第一册第二章第六节“指数函数”的第一课时——指数函数
的定义，图像及性质。
一、教材分析
1、教材的地位和作用
函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思 想贯穿于整个高中数学之中。本节课是学
生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一 步研究指数函数，以及指数
函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识， 使学生得到较
系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数
函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了
承上 启下的作用。
此外，《指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体
现在细胞分裂、贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面，因此学习这部分知识还有着广
泛的 现实意义。本节内容的特点之一是概念性强，特点之二是凸显了数学图形在研究函数性
质时的重要作用。
2、学情分析
有基础，根据这一节课的内容特点以及学生的实际情况,学生对抽象的指数函数 及其图
象缺乏感性认识。
二、教学目标
1、知识目标：理解指数函数的定义，掌握 指数函数的图像和性质，能初步利用指数函数的
概念解决实际问题；
2、能力目标：通过教学 培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论
思想以及从特殊到一般等学习数学的方 法，增强识图用图的能力
3、情感目标：体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相 互转化，培养
学生用联系的观点看问题②通过教学互动促进师生情感，激发学生的学习兴趣，提高学生抽
象、概括、分析、综合的能力③领会数学科学的应用价值。
三、教学的重点和难点
重点：指数函数的图像、性质及其运用
难点：指数函数图像和性质的发现过程，及指数函数图像与底a的关系。
四、教法与学法
1、教法分析
遵循“教师的主导作用和学生的主体地位相统一的教学规律”，本节课我采用 引导发现式的
教学方法并充分利用多媒体辅助教学。通过教师在教学过程中的点拨，启发学生通过主动观
察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受。
2、学法分析
本 节课所面对的是高中一年级的学生，这个年龄段的学生思维活跃，求知欲强，但在思维习
惯上还有待教师 引导，本节课从学生原有的知识和能力出发，教师将带领学生创设疑问，通
过分组讨论、合作交流、共同 探索来寻求解决问题的方法。
五、教学过程
26

1、创设情境，形成概念
在本节课的开始，我设计了一个游戏情境，学生分组 ，通过动手折纸，观察对折的次数
与所得的层数之间的关系，得出对折次数x与所得层数y的关系式。在 学生动手操
作的过程中激发学生学习热情和探索新知的欲望。然后通过细胞分裂问题，得出细胞分裂次< br>数和细胞个数之间的关系。两个实例都指出定义域是正整数集。
2、讲授新课
2.1 定义
在两个实例的基础上，给出指数函数的定义，即形如
为指数函数，定义域为R。 教师将引导学生探究为什么定义中规定a>0且a≠1呢？对a的范围的具体分析，有利
于学生对指 数函数一般形式的掌握，同时为后面研究函数的图象和性质埋下了伏笔。
2.2 发现问题，探求新知
指数函数是学生在学习了函数基本概念和性质以后接触到的第一个具体函数，所以在这
部分的安 排上我更注重学生思维习惯的养成，即应从哪些方面，那些角度去探索一个具体函
数，所以我设置了以下 三个问题，（1）怎样得到指数函数的图像？（2）指数函数图像的特
点（3）通过图像，你能发现指数 函数的那些性质？以这三个问题为载体，带领学生进入本
节课的发现问题，探求新知阶段。这也是本节课 的重点环节。
（1）函数图像
学生分成四个小组，通过描点法分别成y=2x，y=（12 ）x;y=4x,y=(14)x的图像，教
师在在多媒体上将这四个图像给予展示，这样做既避免了学 生在画图过程中占用过多时间又
让学生体会到了合作交流的乐趣。
此时教师组织学生讨论，并 引导学生观察图像的特点，得出a>1和0图像上的特点。在此环节中，学生对具 体的函数进行观察归纳，通过合作交流，加之多媒体
的动态演示，将具体化为抽象，并感受了对底的分类 讨论的思维方式，从而达到了重点的突
破。
（2）根据函数图像研究函数性质
a>1 0
(a>0且a≠1) 的函数称
27

图
像

性

质
定义域R ；值域（0，+∞）
恒过（0，1）点
在R上是增函数

在R上是减函数
我将给出表格，引导学生根据图像填写。让学生充分感受以图像为基础研究函 数的性质
这一重要的数学思想。表格的完成将会使学生体会到很大的成功感，也将学生思考的热情带入高峰，此时教师再次提出问题，底的变化与图像位置之间是否也与存在着联系呢，由此将
带领学生 进入本节课的第三个环节——深入探究，加深理解，这也是本节课所要突破的一个
难点。
2.3、深入探究，加深理解
问题的提出将带领学生进入本节课研究与探索的高潮。学生可能 从不同的视角观察图像，
从而得出自己发现的规律，但此时教师并不急于给出结论，而是让学生充分经历 知识的形成
过程，从而形成自己对本节课难点的理解和解决策略，培养学生的直觉和感悟能力。最后教< br>师通过多媒体，让学生更直观的体会指数中图像的变化规律，即（1）在第一象限中，随着
底增大 图像位置升高；同时引导学生从对称性的角度上观察图像得到（2）底互为倒数的两
个函数图像关于y轴 对称。在这一环节中，通过教师的指引和学生的积极思考使图像与低的
关系自然浮出水面，而非强加给学 生，真正实现本节课难点的突破。
3、巩固
例1：比较下列各题中两值的大小
（1）1.7, 17; （2）0.8, 0.8; ——同底指数幂比较大小
同底数幂比大小，构造指数函数，利用函数单调性
（3） （4） ——不同底但可化同底
（5）(0.3)
-0.3
2.5 3-01 -02
,(0.2)
-0.3
——底不同但同指数
不同底数幂比大小，利用图像与底之间的关系，结合函数图像进行比较
（6）1.7,0.9
0.33.1
——底不同，指数也不同
利用函数图像或中间变量进行比较
例2：已知下列不等式, 比较的大小 : P92（3）
28

——本例题诣在对知识的逆用，建立学生的函数思想及分类讨论思想。
4、小结
在小结归纳中我将从学生的知识，方法和体验入手，带领学生从以下三个方面进行小结：
（1）通过本节课的学习，你学到了那些知识？定义、图像和性质
（2）你又掌握了哪些学习方法？
（3）你能将指数函数的学习与实际生活联系起来吗？
5、布置作业

3.2对数与对数函数
一、说教材
1、教材的地位、作用及编写意图
《对数函数》出现在职业高中数学第一册第四章第八节。函 数是高中数学的核心，对数
函数是函数的重要分支，对数函数的知识在数学和其 他许多学科中有着广 泛的应用；学
生已经学习了对数、反函数以及指数函数等内容，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用；“ 对
数函数”这节教材，指出对数函数和指数函数互为反函数,反映了两个变量的相互关系，蕴
含 了函数与方程的数学思想与数学方法，是以后数学学习中不可缺少的部分，也是高考的必
考内容。
2、教学目标的确定及依据。
依据教学大纲和学生获得知识、培养能力及思想教育等方面的要 求：我制定了如下教育
教学目标：
(1) 知识目标：理解对数函数的概念、掌握对数函数的图象和性质。
(2) 能力目标：培养学生自主学习、综合归纳、数形结合的能力。
(3) 情感目标：在民主、和谐的教学气氛中，促进师生的情感交流。
3、教学重点、难点及关键
重点：对数函数的概念、图象和性质；
难点：利用指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质；
关键：抓住对数函数是指数函数的反函数这一要领。
二、说教法
教学过程是教师和 学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、
主动性；有效地渗透数学思想方法 ，提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标，
并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学 方法：
(1)启发引导学生思考、分析、实验、探索、归纳。
(2)采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法。
(3)体现“对比联系”、“数形结合”及“分类讨论”的思想方法。
(4)多媒体演示法。
三、说学法
教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索， 尽可
能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：
(1)对照比较学习法：学习对数函数,处处与指数函数相对照。
(2)探究式学习法：学生通过分析、探索、得出对数函数的定义。
(3)自主性学习法：通过实验画出函数图象、观察图象自得其性质。
(4)反馈练习法：检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距。
这样可发挥学生的主观能动性，有利于提高学生的各种能力。
四、说教学程序
1、复习导入
29

（1）复习提问：什么是对数？如何求反函数 ？指数函数的图象和性质如何？学生回答，
并利用课件展示一下指数函数的图象和性质。
设计 意图：设计的提问既与本节内容有密切关系，又有利于引入新课，为学生理解新知
清除了障碍，有意识地 培养学生分析问题的能力。
（2）导言：指数函数有没有反函数？如果有，如何求指数函数的反函数？ 它的反函数
是什么？设计意图：这样的导言可激发学生求知欲，使学生渴望知道问题的答案。
2、认定目标（出示教学目标）
3、导学达标
按教师为主导,学生为主体,训练为主线”的原则，安排师生互动活动.
（1）对数函数的概念
引导学生从对数式与指数式的关系及反函数的概念进行分析并推导出， 指数函数有反函
数，并且y=ax（a＞0且a≠1）的反函数是 y=logax，见课件。把函数y =logax叫做对数函
数，其中a＞0且a≠1。从而引出对数函数的概念，展示课件。
设 计意图：对数函数的概念比较抽象，利用已经学过的知识逐步分析，这样引出对数函
数的概念过渡自然， 学生易于接受。
因为对数函数是指数函数的反函数，让学生比较它们的定义域、值域、对应法则及图象
间的关系，培养学生参与意识，通过比较充分体现指数函数及对数函数的内在联系。
（2）对数函数的图象
提问：同指数函数一样，在学习了函数的定义之后，我们要画函数的图 象，应如何画对
数函数的图象呢？让学生思考并回答，用描点法画图。教师肯定，我们每学习一种新的函 数
都可以根据函数的解析式，列表、描点画图。再考虑一下，我们还可以用什么方法画出对数
函 数的图象呢？
让学生回答，画出指数函数关于直线y=x对称的图象，就是对数函数的图象。
教师总结：我们画对数函数的图象，既可用描点法，也可用图象变换法，下边我们利用
两种方法画对数 函数的图象。
方法一（描点法）首先列出x,y（y=log2x，y=log x）值的对应表，因为对数函数的定
义域为x＞0,因此可取x=··· , , ,1，2，4，8···，请计算对应的y值，然后在坐标
系内描点、画出它们的图象.
方法二（图象变换法）因为对数函数和指数函数互为反函数, 图象关于直线y=x对称，
所以 只要画出y=ax的图象关于直线y=x对称的曲线，就可以得到y=logax.的图象。学生动
手做 实验，先描出y=2x的图象，画出它关于直线y=x对称的曲线，它就是y=log2x的图象；
类似 的从y=( )x 的图象画出y=log x的图象,再出示课件,教师加以解释。
设计意图：用 这种对称变换的方法画函数的图象，可以加深和巩固学生对互为反函数的
两个函数之间的认识，便于将对 数函数的图象和性质与指数函数的图象和性质对照，但使用
描点法画函数图象更为方便，两种方法可同时 进行，分析画法之后，可让学生自由选择画法。
这样可以充分调动学生自主学习的积极性。
（3）对数函数的性质
在理解对数函数定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质是本节的重 点，关键在于抓
住对数函数是指数函数的反函数这一要领，讲对数函数的性质，可先在同一坐标系内画出 上
述两个对数函数的图象，根据图象让学生列表分析它们的图象特征和性质，然后出示课件，
教 师补充。
作了以上分析之后，再分a＞1与0＜a＜1两种情况列出对数函数图象和性质表，体现了从“特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法。出示课件并进行详细讲解，把对数函数图
象和性质 列成一个表以便让学生对比着记忆。
设计意图：这种讲法既严谨又直观易懂，还能让学生主动参与教学 过程，对培养学生的
创新能力有帮助，学生易于接受易于掌握,而且利用表格,可以突破难点。
由于对数函数和指数函数互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，为了揭示这两种
函数之间的内在 联系，列出指数函数与对数函数对照表（见课件）
设计意图：通过比较对照的方法,学生更好地掌握两 个函数的定义、图象和性质，认识
两个函数的内在联系，提高学生对函数思想方法的认识和应用意识。
4、巩固达标（见课件）
30

这一训练是为了培养学生 利用所学知识解决实际问题的能力，通过这个环节学生可以加
深对本节知识的理解和运用，并从讲解过程 中找出所涉及的知识点，予以总结。充分体现“数
形结合”和“分类讨论”的思想。
5、反馈练习（见课件）
习题是对学生所学知识的反馈过程，教师可以了解学生对知识掌握的情况。
6、归纳总结（见课件）
引导学生对主要知识进行回顾，使学生对本节有一个整体的把握，因 此，从三方面进行
总结：对数函数的概念、对数函数的图象和性质、比较对数值大小的方法。
7、课外作业 ：（1）完成P178 A组1、2、3题
（2）当底数a＞1与0＜a＜1时,底数不同,对数函数图象有什么持点?
五、说板书 < br>板书设计为表格式（见课件），这样的板书简明清楚，重点突出，加深学生对图象和性质的
理解和 掌握，便于记忆，有利于提高教学效果。
3.3幂函数
一、说教材
1、教材的地位和作用：
《幂函数》选自高一数学新教材必修1第2章第3节。幂函数是继指 数函数和对数函数后研
究的又一基本函数。通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用 系统的眼
光看待以前已经接触的函数，进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合提升。
二、教学目标
根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征 ，制定如下教学目标：
（1）基础知识目标：
①理解幂函数的概念，会画幂函数的图象。
②结合这几个幂函数的图象，理解幂函图象的变化情况和性质。
③了解分段函数及其表示。
（2）能力训练目标：
①通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力。
②使学生进一步体会数形结合的思想。
（3）情感态度与价值观
1、通过生活实例 引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的
学习兴趣。
2、利用 计算机，了解幂函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中的
作用，从而激发学生的 学习欲望。
3、教学重点与难点
三、重难点
重点：常见幂函数的概念、图象和性质。
难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小。
下面，为了讲清重点难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：
四、教法学法
教学过程是教师和学生共同参与的过程，教师要善于启发学生自主性学习，充分 调动学生的
积极性、主动性，要有效地渗透数学思想方法，努力去提高学生素质。根据这样的原则和所< br>要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学方法。
1、引导发现比较法
因为有五个幂函数，所以可先通过学生动手画出函数的图象，观察它们的解析式和图象并从
式的 角度和形的角度发现异同，并进行比较，从而更深刻地领会幂函数概念以及五个幂函数
31

的图象与性质。
2、借助信息技术辅助教学
由于多媒体信息技术能 具有形象生动易吸引学生注意的特点，故此，可用多媒体制作引入镜
头，将学生引到这节课的学习中来。 再利用《几何画板》画出五个幂函数的图象，为学生创
设丰富的数形结合环境，帮助学生更深刻地理解幂 函数概念以及在幂函数中指数的变化对函
数图象形状和单调性的影响，并由此归纳幂函数的性质。
3、练习巩固讨论学习法
这样更能突出重点，解决难点，使学生既能够进行深入地独立思 考又能与同学进行广泛的
交流与合作，这样一来学生对这五个幂函数领会得会更加深刻，在这个过程中学 生们分析问
题和解决问题的能力得到进一步的提高，班级整体学习氛氛围也变得更加浓厚。
学法
我们常说：“现代的文盲不是不识字的人，而是没有掌握学习方法的人”，因而在教学中 要特
别重视学法的指导。
老师先通过多媒体演示教科书中的5个问题，引导学生观察上述例子 中函数模型，归纳出几
个函数表达式的共同特征：解析式的右边都是指数式，且底数都是变量。这样就引 出本节课
要讲的幂函数。采用小组讨论的方法，数形结合，培养学生互助、协作的精神,使学生“学”< br>有新“思”，“思”有所“得”，“练”有所“获”，学生会逐步感受到数学的美，产生一种成
功 感，从而提高学数学的兴趣。
最后我来具体谈一谈这一堂课的教学过程：
五、说教学程序
1、创设情境，引入新课
由多媒体展示引入：本节课要讲的幂函数。
把教学内容转 化为具有潜在意义的问题，让学生产生强烈的问题意识，使学生的整个学习过
程成为“猜想”，继而紧张 地沉思，期待寻找理由和证明过程。
在实际情况下进行学习，可以使学生利用已有知识与经验，同化和 索引出当前学习的新知识，
这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。
2、由实例得出本课新的知识点。
3、讲解新课
问：这六个函数关系式从结构上看有什么共同的特点吗？
这时，学生观察可能有些困难，老师 提示，可以用
x
表示自变量，用
y
表示函数值，上述函
数式变成：< br>y?x,y?x,y?x,y?x,y?x
?
23
1
2
13
,y?x
?1

它们都是形如
y?x
的函数。（投影幂函数的定义。）
揭示课题：今天这节课，我们就来研究：幂函数
（1）幂函数的概念
①幂函数的定义。一般地，函数
y?x
叫做幂函数，其中
x
是自变量，a是常数。
②幂函数与指数函数之间的区别。
幂函数——底数是自变量，指数是常数；
指数函数——指数是自变量，底数是常数。
（2）几个常见幂函数的图象和性质
由同学们画出下列常见的幂函数的图象，并根据图象将发现的性质填入表格
?
y=x
，
y=x
，
y=x
，
y=x
y?x,y?x

23
1
2
1
3
,y?x
?1
,y?x
?2
（投影显示表格）
3
y?x

y?x

y?x

32
2
y?x

y?x

1
2
1
3
y?x
?1

y?x
?2

定义域
值域
奇偶性
单调性
特殊点



































根据上表的内容并结合图象，总结函数的共同性质。让学生交流，老师结合学生的回答组织
学生 总结出性质。
4、例题讲解
我们在讲解例题时，不仅在于怎样解，更在于为什么这样解，而 及时对解题方法和规律进行
概括，有利于发展学生的思维能力。
【例1】教科书P87例1 【例2】利用幂函数来比较各组数的大小。
这个例子是用作差法或作商法来证明函数的单调性
5、能力训练。
课堂练习：教科书P87习题2.3第1，2题。
使学生能巩固并自觉运用所学知识与解题思想方法。
6、总结结论，强化认识。
知 识性内容的小结，可把课堂教学传授的知识尽快化为学生的素质；数学思想方法的小结，
可使学生更深刻 地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个
性品质目标。
7、变式延伸，进行重构。
重视课本例题，适当对题目进行引申,使例题的作用更加突出，有 利于学生对知识的串联、
累积、加工，从而达到举一反三的效果。
8、板书设计：

2.3幂函数

1、幂函数的概念 3、例1

幂函数的定义。 4、例2

幂函数与指数函数之间的区别。 5、课堂练习
幂函数—底数是自变量，指数是常数； 6、课堂小结

指数函数—指数是自变量，底数是常数。 7、课后作业

2、几个常见幂函数的图象和性质


以上，我仅从说教材，说学情，说教 法，说学法，说教学程序上说明了“教什么”和“怎么
教”，阐明了“为什么这样教”。希望各位专家领 导对本堂说课提出宝贵意见。

2.3.1 园的标准方程
【一】教学背景分析
1． 教材结构分析
《圆的方程》安排在高中数学第二册（上）第七章第六节.圆作为常 见的简单几何图形，
在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.圆的方程属于解析几何学的基础知识，是 研究二
次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方
法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用.
2.学情分析
圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方< br>程的一般方法的基础上进行研究的. 但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，
且 对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,
33

合作交流的意识等方面有待加强.
根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征 ，我制定如下教学
目标：
3．教学目标
(1) 知识目标：①掌握圆的标准方程；
②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程；
③利用圆的标准方程解决简单的实际问题.
(2) 能力目标：①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；
②加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用；
③增强学生用数学的意识.
(3) 情感目标：①培养学生主动探究知识、合作交流的意识；
②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.
根据以上对教材、教学目标及学情的分析，我确定如下的教学重点和难点：
4. 教学重点与难点
(1)重点: 圆的标准方程的求法及其应用.
(2)难点： ①会根据不同的已知条件求圆的标准方程；
②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题.
为使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析：
【二】教法学法分析
1．教法分析 为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“启发式”问题教学法，
用环 环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上.另外我
恰当的利用多媒体 课件进行辅助教学，借助信息技术创设实际问题的情境既能激发学生的学
习兴趣，又直观的引导了学生建 模的过程.
2．学法分析 通过推导圆的标准方程，加深对用坐标法求轨迹方程的理解 .通过求圆
的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.通过应用圆的标准方程，熟< br>悉用待定系数法求
a、b、r
的过程.
下面我就对具体的教学过程和设计加以说明：
【三】教学过程与设计
整个教学过程是由七个问题组成的问题链驱动的，共分为五个环节：
创设情境启迪思维 深入探究获得新知
应用举例巩固提高 反馈训练形成方法 小结反思 拓展引申
下面我从纵横两方面叙述我的教学程序与设计意图.
首先：纵向叙述教学过程
（一）创设情境——启迪思维
问题一 已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道 路中心线一侧行驶，
一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？
通过对这个实 际问题的探究，把学生的思维由用勾股定理求线段CD的长度
转移为用曲线的方程来解决.一方面帮助学 生回顾了旧知——求轨迹方程的一
般方法，另一方面，在得到汽车不能通过的结论的同时学生自己推导出 了圆心
在原点，半径为4的圆的标准方程，从而很自然的进入了本课的主题.用实际问
A
题创设问题情境，让学生感受到问题来源于实际，应用于实际，激发了学生的
学习兴趣和学习欲望.这 样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移.
通过对问题一的探究，抓住了学生的注意力，把学生的 思维引到用坐标法研究圆的方程上来，
34

y
4
D
0
C
2.7
B
x

此时再把问题深入，进入第二环节.
（二）深入探究——获得新知
问题二 1．根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为
r
的圆的方程？
2．如果圆心在
(a,b)
，半径为
r
时又如何呢？
这一 环节我首先让学生对问题一进行归纳，得到圆心在原点，半径为4的圆的标准
方程后，引导学生归纳出圆 心在原点，半径为r的圆的标准方程.然后再让学生对圆
心不在原点的情况进行探究.我预设了三种方法 等待着学生的探究结果，分别是：坐标法、
图形变换法、向量平移法.
得到圆的标准方程后，我设计了由浅入深的三个应用平台，进入第三环节.
（三）应用举例——巩固提高
I．直接应用 内化新知
问题三 1．写出下列各圆的标准方程：
（1）圆心在原点，半径为3；
（2）经过点
P(5,1)
，圆心在点
C(8,?3)
.
2．写出圆
(x?2)?y?(?2)
的圆心坐标和半径.
我设计了两个小 问题，第一题是直接或间接的给出圆心坐标和半径求圆的标准方程，第
二题是给出圆的标准方程求圆心坐 标和半径，这两题比较简单，可以安排学生口答完成，目
的是先让学生熟练掌握圆心坐标、半径与圆的标 准方程之间的关系，为后面探究圆的切线问
题作准备.
II．灵活应用 提升能力
问题四 1．求以点
C(1,3)
为圆心，并且和直线
3x?4y?7?0
相切的圆的方程.
2．求过点
C(1,4)
，圆心在直线
3x?y ?0
上且与
y
轴相切的圆的方程.
3．已知圆的方程为
x?y?2 5
，求过圆上一点
A(4,?3)
的切线方程.
你能归纳出具有一般性的结论吗？
已知圆的方程是
x?y?r
，经过圆上一 点
M(x
0
,y
0
)
的切线的方程是什么？
我设 计了三个小问题，第一个小题有了刚刚解决问题三的基础，学生会很快求出半径，
根据圆心坐标写出圆的 标准方程.第二个小题有些困难，需要引导学生应用待定系数法确定
圆心坐标和半径再求解，从而理解必 须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.第三个小题
解决方法较多，我预设了四种方法再一次为学生的 发散思维创设了空间.最后我让学生由第
三小题的结论进行归纳、猜想，在论证经过圆上一点圆的切线方 程的过程中，又一次模拟了
真理发现的过程，使探究气氛达到高潮.
III．实际应用 回归自然
问题五 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m ，在建造时
每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱
A
2
P
2
的 长度（精确到0.01m）.
我选用了教材的例3，它是待定系数法求出圆的三个参数
a、b 、r
的
又一次应用，同时也与引例相呼应，使学生形成解决实际问题的一般方法，
35

222
22
222

培养了学生建模的习惯和用数学的意识.
（四）反馈训练——形成方法
问题六 1．求过原点和点
P(1,1)
， 且圆心在直线
2x?3y?1?0
上的圆的标准方程.
2．求圆
x?y?13
过点
P(?2,3)
的切线方程.
3．求圆
x?y?25
过点
B(?5,2)
的切线方程.
接下来是第四环节——反馈训练.这一环节中，我设计三个小题作为巩固性训练，给学生一
块“用武”之 地，让每一位同学体验学习数学的乐趣，成功的喜悦，找到自信，增强学习数
学的愿望与信心.另外第3 题是我特意安排的一道求过圆外一点的圆的切线方程，由于学生
刚刚归纳了过圆上一点圆的切线方程，因 此很容易产生思维的负迁移，另外这道题目有两解，
学生容易漏掉斜率不存在的情况，这时引导学生用数 形结合的思想，结合初中已有的圆的知
识进行判断，这样的设计对培养学生思维的严谨性具有良好的效果 .
（五）小结反思——拓展引申
1．课堂小结
把圆的标准方程与过圆上一点圆的切线方程加以小结，提炼数形结合的思想和待定系数的方
法
①圆心为
C(a,b)
，半径为r 的圆的标准方程为：
(x?a)?(y?b)?r
；
圆心在原点时，半径为r 的圆的标准方程为：
x?y?r
.
②已知圆的方程是
x?y?r
， 经过圆上一点
M(x
0
,y
0
)
的切线的方程是：
222
222
222
22
22
x
0
x?y
0
y?r
2
.
2．分层作业 （A）巩固型作业：教材P81-82：（习题7.6）1，2，4.
（B）思维拓展型作业： < br>试推导过圆
(x?a)?(y?b)?r
上一点
M(x
0
,y
0
)
的切线方程.
3．激发新疑

问题七 1．把圆的标准方程展开后是什么形式？
2．方程
x?y?6x?8y?20?0
表示什么图形？
在本课的结尾 设计这两个问题，作为对这节课内容的巩固与延伸，让学生体会知识的起
点与终点都蕴涵着问题，旧的问 题解决了，新的问题又产生了.在知识的拓展中再次掀起学
生探究的热情.另外它为下节课研究圆的一般 方程作了重要的准备.
以上是我纵向的教学过程及简单的设计意图，接下来，我从三个方面横向的进一步阐述
我的教学设计：
22
222
横向阐述教学设计
（一）突出重点 抓住关键 突破难点
求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点，为此我布设了由浅入深的学习环境，先让
学生 熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解三个参数的重要性，自然形成待
定系数法的解题思 路，在突出重点的同时突破了难点.
36

第二个教学难点就是解 决实际应用问题，这是学生固有的难题，主要是因为应用问题的题目
冗长，学生很难根据问题情境构建数 学模型，缺乏解决实际问题的信心，为此我首先用一道
题目简洁、贴近生活的实例进行引入，激发学生的 求知欲，同时我借助多媒体课件的演示，
引导学生真正走入问题的情境之中，并从中抽象出数学模型，从 而消除畏难情绪，增强了信
心.最后再形成应用圆的标准方程解决实际问题的一般模式，并尝试应用该模 式分析和解决
第二个应用问题——问题五.这样的设计，使学生在解决问题的同时，形成了方法，难点自
然突破.
（二）学生主体 教师主导 探究主线
本节课的设计用问题做链，环 环相扣，使学生的探究活动贯穿始终.从圆的标准方程的推导
到应用都是在问题的指引、我的指导下，由 学生探究完成的.另外，我重点设计了两次思维
发散点，分别是问题二和问题四的第三问，要求学生分组 讨论，合作交流，为学生设立充分
的探究空间，学生在交流成果的过程中，既体验了科学研究和真理发现 的复杂与艰辛，又在
我的适度引导、侧面帮助、不断肯定下顺利完成了探究活动并走向成功，在一个个问 题的驱
动下，高效的完成本节的学习任务.
（三）培养思维 提升能力 激励创新
为了培养学生的理性思维，我分别在问题一和问题四中，设计了两次由特殊到一般的
学习思路，培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中，我利用一题多解的探究，纵向挖掘
知识深度，横 向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，
随时对所学知识和方法产 生有意注意，使能力与知识的形成相伴而行.

1.1 任意角的概念与弧度制
1.2.1 任意角的三角函数（三角函数的定义）
一、教材
1、地位和作用:
本节课是人教版中职数学（必修）8.2.1任意角三角函数的第一课时任意角的三角函数是本
章教学内容的基本概念,对三角内容的整体学习至关重要.同时它又为平面向量、解析几何等
内容的学习 作必要的准备,通过这部分内容的学习，又可以帮助学生更加深入理解函数这一
基本概念。
2、学情分析:
1.初中学生已经学习了基本的锐角三角函数的定义，掌握了锐角三角函数 的一些常见的知识
和求法。
2.学生具备一定的自学能力，部分同学对数学的学习有兴趣和积极性。
3.在探究问题的能 力，合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强必须在老师一定的
指导下才能进行
二、教学目标
知识目标:
1、理解任意角的三角函数的定义；
2、三角函数值的符号
3、会求任意角的三角函数值；
4、体会类比，数形结合的思想。
能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；
（2）正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；
37

（3）通过对定义域，三角函数值的符号的推导，提高学生分析探究解决问题的能力.
情感目标：
(1)学习转化的思想，
(2)培养严谨的学习态度；
三、重难点
教学重点：1正确理解三角函数的定义 2任意角三角函数在各个象限的符号
教学难点:坐标系下用坐标比值定义的观念的转换以及坐标定义的合理性的理解；
四、教法学法
温故知新,逐步拓展
(1)在复习初中锐角三角函数的定义的基础上一步一步扩展内容,发展新知识,形成新的概念;
(2)通过例题讲解分析,逐步引出新知识,完善三角定义
学法
通过对已经掌握的 锐角三角函数推广到任意角的三角函数定义,,引导出三角函数在各个象
限内的符号,会求任意角的三角 函数,学会从现有的知识探索新的知识,善于发现问题,提出
问题,归纳问题,从而达到解决问题的目的 。
五、教学过程
总体来说,由旧及新,由易及难, 逐步加强,层层深入由初中的直角三角 形中锐角三角函数的
定义过度到直角坐标系中锐角三角函数的定义，再发展到直角坐标系中任意角三角函 数的定
义，给定定义后通过应用定义又逐步发现新知识拓展完善定义.
1、引入锐角三角函数
课本例子引入，复习提问:初中直角三角形中锐角的正弦余弦正切是怎样定义的?
由学生回答:
SinA=对边斜边
cosA=对边斜边
tanA=对边斜边
我们已经学习了锐角三角函数，知道它是以锐角为自变量，以比值为函数 值的函数，你能用
直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？
2、任意三角函数
2.1 课本P15，得出正弦、余弦、正切等其他三个的公式，从而得到
知识归纳一：任意一个角的三角函数的定义
提醒学生思考:由于相似比相等,对于确定的角A ,这三个比值的大小和P点在角的终边上的
位置无关.
（例1已知角A 的终边经过P(2,-3),求角A的三个三角函数值）（此题由学生自己分析独立
动手完成）
知识归纳二：有上述公式看出，三个三角函数的定义域
2.2 象限
例题，已知角A 的终边经过P(-2a,-3a)( a不为0),求角A的三个三角函数值
（解答中需要对变量的正负即角所在象限进行讨论, 让学生意识到三角函数值的正负与角
所在象限有关,从而导出第三个知识点）
知识归纳三：三角函数值的正负与角所在象限的关系
由学生推出结论,教师总结符号记忆方法:一全正,二正弦,三两切,四余弦,便于学生记忆
（确定符号，课本例3 P17）
38

3、巩固
4、小结:
任意角三角函数的定义， 三角函数值的符号，会求任意角三角函数值
5、课堂作业P100 1,2,4
(学生演板,教师讲解)
课后分层作业(满足不同层次的学生)
必作P23 1,2,3 练习B
1.2.2 单位圆与三角函数线
一、教材分析：
1．教材地位分析：三角函数 是中学数学的重要内容之一，而三角函数线的概念及其应用不
仅体现了数形结合的数学思想，又贯穿整个 三角函数的教学.借助三角函数线可以推出三角
函数公式，求解三角函数不等式，探索三角函数的图像和 性质，可以说,三角函数线是研究
三角函数的有利工具.
2．学生现实分析：学习本节前,学 生已经掌握任意角三角函数的定义,三角函数值在各象限
的符号,以及诱导公式一,为三角函数线的寻找 做好了知识准备.高一上学期研究指、对数函
数图像时,已带领学生学习了几何画板的基础知识，现在他 们已经具备初步的几何画板应用
能力，能够制作简单的动画，开展数学实验.
二、教学目标：
1．知识目标:使学生掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、
正切函 数值,并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.
2．能力目标:借助几何画板让学生经历概 念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、
猜想和实验探索的能力；在论坛上开展研究性学习，让学生 借助所学知识自己去发现新问题，
并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维 能力.
3．情感目标：激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新
的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境.
三、教学重点难点：
1．重点：三角函数线的作法及其简单应用.
2．难点：利用 与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用
它们的几何形式表示出来.
四、教学方法与教学手段：
1．教法选择：“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”——科研式教学.
2．学法指 导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求
证，达到知识的延展.
3．教学手段：本节课地点选在多媒体网络教室，学生利用几何画板软件探讨数学问题，做
数学 实验; 借助网络论坛交流各自的观点,展示自己的才能.
五、教学过程：
一、设置疑问,实验探索（17分钟）
教学环节 教学过程
设
置
疑
问,点明主

设计意图
弧度数的绝
既可以引
出单位圆，< br>又可以使
学生通过
前面我们学习了角的弧度制，角
对值，其中是以角
3 9
作为圆心角时所对弧

题

的长，r是圆的半径.特别地, 当r =1时，,
此时的圆称为单位圆，这样就可以用单位圆 中弧的
长度表示所对圆心角弧度数的绝对值，那么能否用
几何图形来表示任意角的正弦、余弦、 正切函数值
呢？这就是我们今天一起要研究的问题.
概
念
学
习,分
散
难
点

有向线段：带有方向的线段.
（1）方向：按书写顺序，前者为起点，后者为
终点，由起点指向终点.
如：有向线段OM,O为起点，M为终点，由O点
指向M点.
类比联想
主动、快速
的探索出
三角函数
值的几何
形式. < br>相关
概念的学
习分散了
教学难点,
使学生能
够更多的
围绕重点
展开探索
和研究.

（动态演示）
(2) 数值：（只考虑在坐标轴上或与坐标轴平
行的有向线段）
绝对值等于线段的长度，若方向与坐标轴同向，
取正值;与坐标轴反向，取负值.如：


O
M
=

1,
ON= -1,
AP =
实验
探 索,
辨析研讨













美国
华盛顿一
所大学有
句名言:
“我听见
了,就忘记
了;我看见
了,就记住
了;我做过
了,就理解< br>了.”要想
让学生深
刻理解三
角函数线
1.(复习提问)任意角的正弦 如何定义?
角的终边上任意一点P(除端点外)的坐标是
（
正弦.
），它与原点的距离是r, 比值叫做的
思考:能否用几何图形表示出角的正弦呢?
学生联想角的弧度数与弧长的转化, 类比猜
测:若令r=1，则
的交点为P,过点P 作
有向线段MP=
几何画板演示)
40
.取角的终边与单位圆
轴 的垂线，设垂足为M，则
.(学生分析的同时,教师用

请学生利用几何画板作出垂线段MP ,并改变角
的终边位置,观察终边在各个位置的情形,注意有向
线段的方向和正弦值正负的对应 .特别地,当角的终
边在
0.
轴上时,有向线段MP变成一个点,记数值为
的这条与单位圆有关的有向线段MP叫做角
正弦线.
2.思考:用哪条有向线段表示角
合适?并说明理由.
请学生用几何画板演示说明.
有向线段OM叫做角的余弦线.
的余弦比较
3.
讨论焦点：
如何用有向线段表示？
若
=1,
令
则
=AT，但
是第二、三象限角
的终边上没有横
坐标为1的点，若
此时取
T‘，tan< br>=-1的点
=-=T
‘A‘,有向线段的表示方法又不能统一.
引导观察：
当角的终边互为反向延长线时，它们的正切值
有什么关系？
统一认识：
方案1：在象限角的终边或其反向延长线上取
=1的点T，则tan==AT；
方案2：借助正弦线、余弦线以及相似三角形
知识得到
几何画板演示验证:
=.
当角的终边落在坐标轴上时，tan
线段AT的对应.
与有向
的这条与单位圆有关的有向线段AT叫做角
正切线.
的概念，就应该让学
生主动去
探索，大胆
去实践，亲
身体验知
识的发生和发展过
程.





< br>教学
已经不再
是把教师
或学生看
成孤立的
个体，而是
把他们的
教和学看
成是相互
影响的辩
证发展过
程.在和谐
的 氛围中，
教师和学
生都处在
自由状态，
可以不受
框框的束
缚 ，充分表
达各自的
意见，在自
己积极思
维的同时
又能感受
他 人不同
的思维方
式，从而打
破自己的
封闭状态，
41

进入更加
广阔的领
域.





二、作法总结,变式演练（13分钟）
教教学过程
学
环
节
作
法
总
结







正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.
请大家总结这三种三角函数线的作法,并用几何画
板演示(一学生描述,同时用电脑演示)：
设计意图


及时归
纳总结，加深
第一步：作出角的终边，与单位圆交于点P；
第二步：过点P作轴的垂线，设垂足为M，得正
知识的理解
弦线MP、余弦线OM； 和记忆.
第三步：过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角的

终边或其反向延长线的交点设为T，得角的正切线AT.

特别注意：三角函数线是有向线段，在用字母表示
这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书
写顺序不能颠倒.余弦线以原点为起 点，正弦线和正切线
以此线段与坐标轴的公共点为起点，其中点A为定点（1，
0）.
变练习：利用几何画板画出下列各角的正弦线、余弦巩固练
式线、正切线： 习,准确掌握
演三角函数线
练,的作法.
（1）; （2）.
提
高学生先做,然后投影展示一学生的作品,并强调三角
能函数线的位置和方向.
力
例1 利用几何画板画出适合下列条件的角的终
边： 逆向思
维,灵活运用
三角函数线,
（1）； （2）；
并为利用三
角函数线求
（3）.
解三角函数
不等式(组)
共同分析（1），设角的终边与单位圆交于P(),
作铺垫.


42

则=,所以要作出满足的角的终边，只
要在单位圆上找出纵坐标为的 点P，则射线OP即为
的终边.（几何画板动态演示）
请学生分析（2）、(3),同时用几何画板演示.
例2 利用几何画板画出适合下列条件的角
边的范围，并由此写出角的集合：
的终

















（1）≥ （2）≤-
.
分析：先作出满足 ，的角
终边的
{的终边(例1已做)，然后根据已知条件确定角
范围.（几何画板动态演示）
答案：（1）
}.
（2）{}.

数形结
合思想表现
在由数到形
和由形到数
两方面.将任
意角的正弦、
余弦、正切值分别用有向
线段表示出
来体现了由
数到形的转
化；借助三角
函数 线求解
三角函数方
程和不等式
又发挥了由
形到数的巨
大作用.
延伸：通过（1）、（2）两图形的复合又可以得出
不等式组的解集：
{
三、思维拓展,论坛交流（10分钟）
教教学过程
学
环
节
}.
设计意图
思 观察角的终边在各位置的情形,结合三角函数线和
维 已学知识，你能发现什么规律,得出哪些结论？请说明
43

给学生建设
一个开放的、有

拓 你的观点和理由,并发表于焦作一中教育论
展,坛 ().
论
学生得出的结论有以下几种：
坛
交
(1) sin2 + cos2 = 1;
流

(2)│sin│ + │cos │≥1;
活力、有个性的
数学学习环境.
论坛交流既能展
示个人才华,又
能照顾到各 个层
次的学生.来自
他人的信息为自
(3) -1≤sin≤1, -1≤cos≤1, tan∈R;
己所吸收，自己
(4) 若两角终边互为反向延长线，则两角的正切的既有知识又被
值相等,正弦、余弦值互为相反数; 他人的视点唤
(5) 当角的终边在第一象限逆时针旋转时，正起，产生新的思
弦、正切值逐渐增大，余弦值逐渐减小; 想.这样的学习
过程使学生在轻
(6) 当角的终边在直线的右下方时, sin
松达成一个个阶
段目标之后，顺
＜cos 当角的终边在直线的左上方时,
利到达数学学习
的新境界.
sin＞cos
……
设计意图
四、归纳小结,课堂延展（5分钟）
教教学过程
学
环
节
归 1.回顾三角函数线作法.
纳 2.三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题
小 的重要工具，自从著名数学家欧拉提出三角函数与三
结 角函数线的对应关系，使得对三角函数的研究大为简
化，现在仍然是我们解三角不等式、比较大小、以及
今后研究三角函数图像与性质的基础.

巩固作业:习题4.3 1,2
提升练习：
巩
1. 已知：，那么下列命题成立的
固
创是（ ）
新,
A．若、是第一象限的角，则cos>cos.
课
堂
B. 若、是第二象限的角，则tan>tan.
延
展
C. 若、是第三象限的角，则cos>cos.

D. 若

回顾三角函数线
作法,再次加深理解
和记忆.点明三角函
数线在其他方面的应
用,以及数形结 合思
想,便于学生在后续
学习中更深入的思
考,更广泛的研究.



既能保证全体学
生的巩固应用，又兼
顾学有余力的学生，< br>同时将探究的空间由
课堂延伸到课外.
、是第四象限的角，则tan
44
>tan.

2．求下列函数的定义域：
（1） y = (2) y = lg(3－
4sin2x) .
延展作业:
1. 类比正切线的作法，你能作出余切线吗？
2.结合三角函数线我们已经发现了一些很有价值
的 结论,你还能得出哪些结论？请大家继续在论坛上
交流.
3.查阅数学家欧拉的生平事迹,了 解他在数学方
面的突出贡献,谈谈你的学习感受,并发表于论坛交
流.

1.3 三角函数的图像与性质-----------正弦函数和余弦函数的图像与性质
一、教材分析
地位与作用：本节课是在学生掌握了单位圆中的正弦函数线和诱导公式的基础上 进行的，不仅是对前面所学知
识应用的考察，也是后续学习正、余弦函数性质的基础，对后续学习正弦定 力等有一定的帮助。对函数图像清晰而
准确的掌握也为学生在解题实践中提供了有力的工具。
学生已经学习了画函数图像的一些方法，如幂函数、指数函数、对数函数等可以用列表描点法、图像平移翻折等方法作出其图像。
二、教学目标分析
知识目标:
1．掌握正弦函数和余弦函数的概念。
2．学会利用单位圆中的正弦线作出正弦函数在
点法作出正弦函数在上的大致图像。
上的图像的方法；并正确运用五
3．通过五点作图法正确找出函数y＝sin x到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律和应用；
4．利用诱导公式，通过图像平移作出余弦函数的图像。
能力目标：进一步形成数形结合的思想方法，以及分析问题、解决问题的能力。
三、教学重点、难点:
重点：五点法作出正弦函数在上的大致图像；掌握正弦函数的性质；掌 握五点
作图法正确找出函数y＝sin x到y＝sin(ωx+φ)的图象变换规律及其应用；
通过诱导公式和图像平移作出余弦函数的图像，掌握其性质；
难点：利用单位圆中的正弦线作出正弦函数在上的图像；函数y＝sin x到y＝
sin(ω x+φ)的图象变换规律，是对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象平移
量的理解；
45

四、教法与学法分析

五、教学设计
附：简案
教学
教学过程
环节
引例：如图，质点
创设
在圆周上
O
师生活动
教师引导学生
平台
作逆时针的匀速圆周运动。设半径
P
A
共同分析。
情景
r
为1个单位长，角速度ω=1弧度
引入分钟，当时刻时，在处，
到平台所在平面的相 对高度
h
概念
求经过
t
（
与
t
的关系式。
）分钟后，
1．正弦、余弦函数的定义
正弦函数
余弦函数
。
。
教师引导学生
共同探究。
2．正弦、余弦函数的图像
（1）正弦函数的图像
思考：如何作出正弦函数的图像？
上
讲授
探究：借助单位圆中的正弦线作出正弦函数在
新课
的图像，再作出正弦函数在R上的图像。
探究
方法
（2）五点法
思考：通过对上述图像的关键点的分析，提问是否可以通
过确定一些关键位置的点来作出正弦函数在< br>图像？

（3）例题尝试
（4）余弦函数的图像
探究：如何作出余弦函数
46

上的大致
图像？（平移）

3. 通过五点作图法正确找出函数y＝sin x到y＝Asin(ω
x+φ)的图象变换规律和应用；①②③④

例题：作出函数
例题
练习：作出函数
示范
练习
巩固
上的大致图像。
并纠正常见错
误，学生通过
练习加以巩
固。
课堂
小结
提炼
精华
课后
作业
作业：书本P83 练习6.1(1)
小结：知识点、思想方法。 学生小结，教
师总结。
上的大致图像。
教师与学生共
同完成例题，
2.1.1 向量的概念
一、教材分析
(1)地位和作用
向量是近代数学中重要和基本的概念之一,有着深刻的几何背景,是解决几 何问题的有力工
具.向量概念引入后,全等和平行(平移),相似,垂直,勾股定理等就可以转化为向量 的加(减)
法,数乘向量,数量积运算(运算率),从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.向量 是
沟通代数,几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景,在数学和物理学科中具有
广泛的应用.
平面向量的基本概念是在学生了解了物理学中的有关力,位移等矢量的概念的基础上进一 步
对向量的深入学习.为学习向量的知识体系奠定了知识和方法基础。
二、教学目标
(1)基础知识目标:理解向量,零向量,单位向量,共线向量,平行向量,相等向量的概念,会用
字 母表示向量,能读写已知图中的向量.会根据图形判定向量是否平行,共线,相等.
(2)能力训练目 标：培养学生观察、归纳、类比、联想等发现规律的一般方法,培养学生观察
问题,分析问题,解决问题 的能力。
(3)情感目标：让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣。
三、重点,难点
重点：掌握向量的概念，要抓住向量的本质:大小与方向.所以向量,相等向 量的概念,向量的
几何表示
难点：向量概念（大小、
方向
）而解决这一难点 的关键是多用复杂的几何图形中相等的有向
47

线段让学生进行辨认,加深对向量的理解.
四、教学方法的选择
Ⅰ教学方法
本节课我采用了”启发探究式的教学方法,根据本课教材的特点和学生的实际情况 在教学中
突出以下两点:
(1)由教材的特点确立类比思维为教学的主线.
从教材 内容看平面向量无论从形式还是内容都与物理学中的有向线段,矢量的概念类似.因
此在教学中运用类比 作为思维的主线进行教学.让学生充分体会数学知识与其他学科之间的
联系以及发生与发展的过程.
(2)由学生的特点确立自主探索式的学习方法
通常学生对于概念课学起来很枯燥,不感兴趣 ,因此要考虑学生的情感需要,找一些学生感兴
趣的题材来激发学生的学习兴趣,另外,学生都有表现自 己的欲望,希望得到老师和其他同学
的认可,要多表扬,多肯定来激励他们的学习热情.考虑到我校学生 的基础较好,思维较为活
跃,对自主探索式的学习方法也有一定的认识,所以在教学中我通过创设问题情 境,启发引导
学生运用科学的思维方法进行自主探究.将学生的独立思考,自主探究,交流讨论等探索活 动
贯穿于课堂教学的全过程,突出学生的主体作用.
Ⅱ教学手段
本节课中,除使用 常规的教学手段外,我还使用了多媒体投影仪和计算机来辅助教学.多媒体
投影为师生的交流和讨论提供 了平台;计算机演示的作图过程则有助于渗透数形结合思想,
更易于对概念的理解和难点的突破.
五、教学过程的设计
1、知识引入阶段
课本中的位移和两点之间的相对位置。P77 由生活中具体的向量的实例引入:大海中船只的
航线,中国象棋中”马”,”象”的走法等.这些符合高中学生思维活跃,想象力丰富的特点,
有利于激 发学生的学习兴趣.
2、授课
2.1 观察归纳——形成概念
由实例得出有向线 段的概念,有向线段的三个要素:起点,方向,长度.明确知道了有向线段
的起点,方向和长度,它的终 点就唯一确定
.再有目的的进行设计,引导学生概括总结出本课新的知识点：向量的概念及其几何表示。
2.2 讨论研究——深化概念
在得到概念后进行归纳,深化,之后向学生提出以下三个问题:
①向量的要素是什么?
②向量之间能否比较大小?
③向量与数量的区别是什么?
同时指出这就是本节课我们要研究和学习的主题.
2.3 知识探索阶段--- 探索平面向量的平行向量.相等向量等概念
(1)总结反思——提高认识
方向相同或相反的 非零向量叫平行向量，也即共线向量，并且规定0与任一向量平行．长度
相等且方向相同的向量叫相等向 量，规定零向量与零向量相等．平行向量不一定相等，但相
等向量一定是平行向量，即向量平行是向量相 等的必要条件.
(2)即时训练—巩固新知
48

为了 使学生达到对知识的深化理解，从而达到巩固提高的效果，我特地设计了一组即时训练
题，通过学生的观 察尝试，讨论研究，教师引导来巩固新知识。
［练习1］判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．
①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝；
⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．
［练习2］下列命题正确的是( )
A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D．有相同起点的两个非零向量不平行
2.4 知识应用阶段----共线向量,相等向量等概念的初步应用
在本阶段的教学中,我 采用的是课本上一道典型的例题:在一个复杂图形中观察,辨认平行,
相等的有向线段.选用本题的目的 是让学生进行独立思考,自主探究,交流讨论等探索活动,
加深对概念的理解和对难点的突破.
例如图所示,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中与向量相等的向量.(同时思考:
向 量与相等么?向量与相等么?)
2.2.2 向量的加法
一、教材分析
教材的地位和作用
向量是近代数学中重要和基本的数学概念，它是沟通代数、几何、三角的一 种工具，其
工具作用主要体现在向量的运算方面．向量的加法运算是向量运算的基础，它在学生已学物< br>理知识后，以力的合成、位移的合成等物理模型为背景抽象出的一种数学运算．向量的加法
不同于 数的加法，运算中包含大小与方向两个方面，向量加法的法则––––画图求和法，
是一种全新的数学技 术，从这个角度来看，研究向量加法是学生学习过程中的一种突破．是
学习向量的减法、数乘以及平面向 量的坐标运算等内容的知识基础，为进一步理解其他的数
学运算（如函数、映射、变换、矩阵的运算等等 ）创造了条件，因此我认为，向量的加法在
这里起着承上启下的作用。
2. 学情分析 本节内容总体来说比较简单，学生理解接受的难度也不大。学生在高一学习物理中的位移和
力等知识 时，已初步了解了矢量的合成，认识了矢量与标量的区别，在生活中对位移与路程
也有了一定的体验，这 为学生学习向量知识提供了实际背景。所以对数学中向量与数量的概
念是比较容易理解接受的．并能够从 物理的力和位移的合成中去感受向量的加法的含义，总
49

结出向 量加法的三角形法则和平行四边形法则．通过与数的加法的类比，学生也能够较容易
的猜想出向量加法的 交换律与结合律．
二、教学目标
（1）知识与技能方面：使是学生经历从实际问题抽象为数 学问题的过程，掌握向量的加法
定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向 量；掌握向量加法
的运算律，并会用它们进行向量计算，养成敢高于探索勇于创新的良好习惯，以及善于 用数
学方法解决实际问题的能力
（2）能力目标
在具体的分析过程中，使学生经历 向量加法法则的探究和应用过程，体会数形结合、分类
讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比 、迁移能力，增强学生的数学应用意识和
创新意识。
（3）情感目标
注重培养学生 积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学
习数学的信心。
三、教学重点和难点
重点：向量加法的两个法则及其应用；
难点：对向量加法定义的理解。
突破难点的关键是抓住实例，借助多媒体动画演示，不断渗透 数形结合的思想，使学生从感
性认识升华到理性认识。
2.2 向量的分解与向量的坐标运算
一、【教材的地位和作用】
本节内容在教材中有着承上启下的作用，它是在学生对平面向量的 基本定理有了充分的
认识和正确的应用后产生的。引入向量坐标后，向量加减法、实数与向量的乘法、向 量的数
量积都可以通过向量的坐标运算得以解决，从而使学生形成了完整的知识体系（向量的几何
表示和向量的坐标表示），为用“数”的运算解决“形”的问题搭起了桥梁。又是典型的数
型结合，它 是用代数的方法解决几何问题。实现的是由图形向数的转化。
二、【学习目标】
1.知识方面：理解平面向量的坐标表示的意义；能熟练地运用坐标形式进行运算。
2.能力方面：数形结合的思想和转化的思想
三、【教学重点和难点】
重点：平面向量的坐标运算
难点：理解平面向量坐标化的意义；我主要是采用启发引导式，并 辅助适量的题组练习
来帮助学生突破难点，强化重点。
四、【教法和学法】
据本节课内容的特殊性和学生的实际水平，我采用的是“自学指导法”，其主导思想是
50

以启发式教学思想为主导，由教师提出一系列精心设计的问题，在教师的启发 指导下，让学
生自己去学习、分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而使学生即获得知识
又发展智能的目的。“自学指导法”是认知性学习与研究性学习的整合。这也积极的投身到
我校 开展的“三元教学法”的探索之中。
“发现法”、“模仿法”、“归纳法”等学习方法。
教学手段：多媒体计算机
通过计算机模拟演示，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识 创造条件，这样做，
可以使学生饶有兴趣地学习，注意力也容易集中，符合教学论中的直观性原则和可接 受性原
则。
五、【学习过程】
1.新课引入
平面向量基本定理
在新课的引入中首先提出问题“在直角坐标系内，平面内的每一个点都可以用一对实数
（即它的坐标） 来表示。同样，在平面直角坐标系内，每一个平面向量是否也可以用一对实
数来表示?”，问题的给出旨 在启发学生的思维。而学生思维是否到位，是否可以达到自己建
构新知识的目的，取决于老师的引导是否 得当。
2创建新知识
以学生为主体绝不意味着老师可以袖手旁观，在创设问题情景后学生 已进入激活状态，
即想说但又不知道怎么说的状态，这时需老师适当加以点拨。指出：选择在平面直角坐 标系
内与坐标轴的正方向相同的两个单位向量
i
、
j
作为基底，任做 一个向量
a
。由平面向量
基本定理知，有并且只有一对实数x , y ，使
a?xi?yj

我们把 ( x , y ) 叫做向量
a
的（直角）坐标，记作
a?(x,y)

其中x叫做
a
在 x 轴上的坐标，也叫做
a
的第一分量；y叫
做
a
在y轴上的坐标，也叫做
a
第二分量。
指导学生回答
i
,
j
以及
0
的坐标。
至此，完成向量的坐标表示的新知识的建构过程。整个过程决非把老师的认识强加给学
生，而是把学生 放在认知的主体地位，学生通过观察幻灯片的演示和老师的提示，思维得到
了发展，观察、归纳能力得到 了提高，对新授知识的理解更加清晰和深刻。
4.突破难点、突出重点
本节的学习中最难理 解的就是向量与实数对之间的一一对应关系。为了突破该难点，
我认为可以如此操作。通过动画设计，并 结合向量相等的概念，指出任一向量总可以通过平
移，使起点与原点重合。则向量
a
的 坐标就是点A的坐标；反过来，点A的坐标也就是向量
a
的坐标。揭示向量坐标表示的实质：相 等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等的向
量。由此，向量与实数对之间的一一对应关系就不难理 解了。

一一对应一一对应
??
向量
OA

?????
点A ( x , y )

向量 (x , y )
???
51

重点为向量的坐标运算。在理解 了向量的坐标表示的实质后，学生很容易想到，向量的
坐标运算其实也就是数量的代数运算。
（1）两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：
?
a?b?( x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
（其 中
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
)
）
??
???
（2）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线 段的终点的坐标减去始点的坐标：
如果
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，则
AB?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
；
（3）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标：
若
a?( x,y)
，则
?
a?(
?
x,
?
y)
；
5.简单应用
[ 例一 ] 如图，用基底
i
、
j
分别表 示向量
a
、
b
、
c
、
d
，并求它们的坐标 ；

方法一：
a
=
AA
，
c
=（-2，-3）， 1
?AA
2
=2
i
+3
j
，
?
a
=（2，3）同理
b
=（-2，3）
?
??
?
?
????
????
?
?
???
d
=（2，-3）
方法二：
?
A（2，2），B（4，5）
?
a
=（4，5） -（2，2）=（4-2，5-2）=
（2，3）
同理
b
=（-2，3） ，
c
=（-2，-3），
d
=（2，-3）
方法三：
?< br>OA
=（2，2），
OB
=（4，5）
?
a
=
OB
-
OA
=（4，5）-（2，2）=（4-2，
5-2）=（2，3）
同理
b
=（-2，3），
c
=（-2，-3），
d
=（2，-3）（2，2）=（2，3）
问题（问题变换）：（1）若点
A
、B
的坐标分别为
(x
1
,y
1
)
、
( x
2
,y
2
)
，
．．
那么
AB
的坐标是
(x
2
,y
2
)
吗?（2）求出
a
的坐标后，可以根据图形的什么特征，求出
b
、
?
???
???< br>?
?
????
?
????
??
??
c
、
d
的坐标？ [ 说明 ] ：还可根据对称性分别求出
b
、
c
、
d
的坐标；
????
????
[ 例二 ] 已知
a
=（x+y+1，2x-y ），
b
=（x-y，x+2y-2），若2
a
=3
b
，求x 、y的值；
分析：本题检测向量相等的概念，利用条件2
a
=3
b
，建立关于x、y的方程组，解方程组
就可求x、y的值；
解：（x+y+1，2x-y）= （2x+2y+2，4x-2y），3
b
=3（x-y，x+2y-2）=（3x-3y，3x +6y-6），
?
2
a
=2
??
??
46
?
x?
?
2x?2y?2?3x?3y
?
3

?
?
?
?
?
4x?2y?3x?6y?6
?
y?8
3
?

[ 例三 ] 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、 C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，
4），求顶点D的坐标；
分析：本题检 测如何用向量的终点和始点坐标求向量的坐标，并利用相等向量的坐标相同，
建立等量关系求D点的坐标 ；
解：设D点坐标为（x，y）
AB
=（-1，3）-（-2，1）=（1，2）< br>DC
=（3，4）-（x，y）=
（3-x，4-y）
52
??
??

由
AB
=
DC
得1=3-x， 2=4-y，所以x=2，y=2，即D点的坐标为（2，2）
6.深化拓展
对于学有余力的同学，我提供了一个课外思考题。
已知：点A（2，3）、B（5，4）、C （7，10），若
AP?AB?
?
?AC(
?
?R)
，试求
?
为
何值时，点P在一、三象限角平分线上？点P在第三象限内？
对于这个 问题，我先不予提示，学生通过自己的思考和今天的新授知识会找到切实可行
的方法，寻求问题的解答。

六.教学反馈
本节课的教学重视发挥学生的主体作用与教师的主导作用，重视“过 程”的教学，力求
做到提出问题，循循善诱；疏通思路，耐心开导；解题练习，精心指导；存在不足，热 情辅
导；掌握过程，尽心引导。真正体现重情善导的教风与特色。

??????
??
??
2.3 平面向量的数量积--- 平面向量数量积的物理背景及其含义
一、教材分析
1、学习任务分析
平面向量的 数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重
要概念，在数学、物理等学科中 应用十分广泛。本节内容教材共安排两课时，其中第一课
时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数 量积的坐标运算，本节课是第一课时。
本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向 量数量积的概念，在
此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生 的抽
象概括和推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运
算 律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几
何与三角的最佳结 合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数
量积的概念成为本节课的核心概念 ，自然也是本节课教学的重点。
2、学生情况分析
学生在学习本节内容之前，已熟知了实数 的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运
算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一 般方法：即先由特殊模型（主
要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础 上研究性质和
运算律。这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。但也正是这些干扰了学< br>生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，
两个有 形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一
方面，由于受实数乘法 运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质
和运算律的理解。因而本节课教学的难 点数量积的概念。
二、教学目标设计
知识目标：
1、了解平面向量数量积的物理背景（功），理解数量积的含义及其物理意义、初步运用；
2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质和运算律，
并能运用性质和运算律进行相关的运算和判断；
3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
能力目标：通 过对平面向量数量积定义的剖析，培养学生分析问题发现问题能力，使
学生的思维能力得到训练。
情感目标：通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣，体会学习的快乐。
三、难重点
重点：平面向量的数量积定义。
难点：平面向量的数量积定义及平面向量数量积的运用
53

三、教法学法
采用启发引导式与讲练相结合，并借 助多媒体教学手段，使学生理解平面向量数量积的
定义，理解定义之后引导学生推导数量积的性质，通过 例题和练习加深学生对平面向量数量
积定义的认识，初步掌握平面向量数量积定义的运用。
四、课堂结构设计
本节课从总体上讲是一节概念教学，依据数学课程改革应关注知识的发生和 发展过程
的理念，结合本节课的知识的逻辑关系，我按照以下顺序安排本节课的教学：

?
回顾向量的线的线性
?
创设问题情景
?
回顾向量线性运算的研究方法
?
物理背景???功
?

?
定义义分
?
抽象概念
?
几何意义

?
物理意义
?
?
探究性质
探究性质
?

?
证明性质
?
探究运算律
探究运算律
?

?
证明运算律
应用概念 例题与练习

小结提升

即先从数学和物理两个角度创设问题情景 ，通过归纳和抽象得到数量积的概念，在此基
础上研究数量积的性质和运算律，使学生进一步加深对概念 的理解，然后通过例题和练习使
学生巩固概念，加深印象，最后通过课堂小结提高学生认识，形成知识体 系。
五、教学过程设计

活动一：创设问题情景，激发学习兴趣
正如教 材主编寄语所言，数学是自然的，而不是强加于人的。平面向量的数量积这一
重要概念，和向量的线性运 算一样，也有其数学背景和物理背景，为了体现这一点，我设计
以下几个问题：
问题1：我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
问题2：我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运
算的？
期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用
问题3：如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，
（1）力F所做的功W= 。
F
（2） 请同学们分析这个公式的特点：
W（功）是 量，
F（力）是 量，
S（位移）是 量，
α
S
α是 。

问题1的设计意图在于使学生了解数量积的数学背景，让学生明白本节课所要研究的数量积与向量的加法、减法及数乘一样，都是向量的运算，但与向量的线性运算相比，数量
54

积运算又有其特殊性，那就是其结果发生了本质的变化。
问题2的 设计意图在于使学生在与向量加法类比的基础上明了本节课的研究方法和顺
序，为教学活动指明方向。
问题3的设计意图在于使学生了解数量积的物理背景，让学生知道，我们研究数量积
绝不仅仅是 为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从而产生了进一步研究
这种新运算的愿望。同时 ，也为抽象数量积的概念做好铺垫。

活动二：探究数量积的概念
1、概念的抽象
在分析“功”的计算公式的基础上提出问题4
问题4：你能用文字语言来表述功的计算公式吗 ?如果我们将公式中的力与位移推广到
一般向量，其结果又该如何表述？
学生通过思考不难回 答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小
及其夹角余弦的乘积。这样，学生事实上 已经得到数量积概念的文字表述了，在此基础上，
我进一步明晰数量积的概念。
2、概念的明晰
已知两个非零向量
a
与
b
，它们的夹角为
?
，我们把数量 ︱
a
︱·︱
b
︱cos
?
叫做
，记作：
a
·
b
，即：
a
·
b= ︱
a
︱·︱
b
︱cos
?

a
与
b
的数量积（或内积）
在强调记法和“规定”后 ，为了让学生进一步认识这一概念，提出问题5
问题5：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不 同？影响数量积大小的因素有
哪些？并完成下表：
角
?
的范围 0°≤
?
<90° 0°<
?
≤180°

?
=90°

a
·
b
的符号


通过此环节不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素，为下面更好地理解数量积的性质和运算律
做好铺垫 。
3、探究数量积的几何意义
这个问题教材是这样安排的：在给出向量数量积的概念后，只 介绍了向量投影的定义，
直到讲完例1后，为了证明运算律的第三条才直接以结论的形式呈现给学生，我 觉得这样安
排似乎不太自然，还不如在给出向量投影的概念后，直接由学生自己归纳得出，所以做了调< br>整。为此，我首先给出给出向量投影的概念，然后提出问题5。
如图，我们把│
b│cos
?
（│
a
│cos
?
）
叫做向量< br>b
在
a
方向上（
a
在
b
方向上）的投影，
记做：OB
1
=│
b
│cos
?


问题6：数量积的几何意义是什么？
这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念 ，从中体会数量积与向量投
影的关系，同时也更符合知识的连贯性，而且也节约了课时。
4、研究数量积的物理意义
数量积的概念是由物理中功的概念引出的，学习了数量积的概念后 ，学生就会明白功的
数学本质就是力与位移的数量积 。为此，我设计以下问题 一方面使学生尝试计算 数量积，
另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。
问题7：
（1） 请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积 。
（2）尝试练习：一物体质量是10千克，分别做以下运动：
①、在水平面上位移为10米；
②、竖直下降10米；
55

③、竖直向上提升10米；
④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；
分别求重力做的功。

活动三：探究数量积的运算性质
1、性质的发现
教材中关于数量积的三条性质是以探究的形式出现的，为了很好地完成这一探究活动，
在完成上 述练习后，我不失时机地提出问题8：
（1）将尝试练习中的① ② ③的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？
（2）比较︱
a
·
b
︱与︱
a
︱×︱
b
︱的大小，你有什么结论？
在学生讨论交流 的基础上，教师进一步明晰数量积的性质，然后再由学生利用数量积
的定义给予证
明，完成探究活动。
2、明晰数量积的性质

数量积的性质




设
a
和
b
都是非零向量，则
数量积的性质


1、
a
⊥
b

a

·
b
=0


2、当与
b
同向时， ︱·
b
︱=︱︱︱
b
︱；当与
b
反向时，
aaaa


︱
a
·
b
︱= -︱
a
︱︱
b
︱， 特别地，
a
·
a
=︱
a
︱
2
或︱
a
︱=
a
?
a




3、︱
a
·
b
︱≤︱
a
︱×︱
b
︱

3、性质的证明

这样设计体现了教师只是教学活动的引领者，而学生才 是学习活动的主体，让学生
成为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生参与学习活动的热情 ，不仅使
学生获得了知识，更培养了学生由特殊到一般的思维品质。

活动四：探究数量积的运算律
1、运算律的发现
关于运算律，教材仍然是以探究的形式出现，为此，首先提出问题9
问题9：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？
通过此问题主要是想使学生在类比的基础上，猜测提出数量积的运算律。
学生可能会提出以下猜测： ①
a
·
b
=
b
·
a

②（
a
·
b
）
c
=
a
(
b
·
c
)
③（
a
+
b
）·
c
=
a
·
c

+
b

·
c

猜测①的正确性是显而易见的。
关于猜测②的正确性，我提示学生思考下面的问题：
猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？
学生通过讨论不难发现，猜测②是不正确的。
这时教师在肯定猜测③的基础上明晰数量积的运算律：
2、明晰数量积的运算律

数量积的运算律


已知向量
a
、
b
、
c
和实数λ，则：
56

（1）
a
·
b
=
b
·
a
（2）（λ
a
）·
b
=λ（
a
·
b
)=< br>
a
（·λ
b
）
（3）（
a
+
b
）·
c
=
a
·
c

+
b

·
c

3、证明运算律
学生独立证明运算律（2）
我把运算运算律（2）的证明交给学生完成，在证明时，学生可能 只考虑到λ>0
的情况,为了帮助学生完善证明，提出以下问题：
当λ<0时，向量
a
与λ
a
，
b
与λ
b
的方向 的关系如何？此时， 向量λ
a
与
b
及
a
与λ
b
的夹角与向量< br>a
与
b
的夹角相等吗？
师生共同证明运算律（3）
运算律 （3）的证明对学生来说是比较困难的，为了节约课时，这个证明由师生共
同完成，我想这也是教材的本 意。

在这个环节中，我仍然是首先为学生创设情景，让学生在类比的基础上进行猜想
归纳，然后教师明晰结论，最后再完成证明，这样做不仅培养了学生推理论证的能力，
同时也增强了学 生类比创新的意识，将知识的获得和能力的培养有机的结合在一起。

活动五：应用与提高
例1、（师生共同完成）已知︱
a
︱=6，︱
b
︱=4,
a
与
b
的夹角为60°，求
（
a
+2
b

）·（
a
-3
b
），并思考此运算过程类似于哪种运算？
例2、（学生独立完成）对任意向量
a
，
b
是否有以下结论： < br>（1）(
a
+
b
)=
a
+2
a
·< br>b
+
b

222
（2）(
a
+
b
)·(
a
-
b
)=

a
—
b
< br>22
例3、（师生共同完成）已知︱
a
︱=3，︱
b
︱=4, 且
a
与
b
不共线，
k
为何值时，
向量
a
+k
b
与
a
-k
b
互相垂直？并思考：通过本题你有什么收获？

本节教材共安排了四道例题，我根据学生实际选择了其中的三道，并对例1和例3
增加了题后反思。例 1是数量积的性质和运算律的综合应用，教学时，我重点从对运
算原理的分析和运算过程的规范书写两个 方面加强示范。完成计算后，进一步提出问
题：此运算过程类似于哪种运算？目的是想让学生在类比多项 式乘法的基础上自己猜
测提出例2给出的两个公式，再由学生独立完成证明，一方面这并不困难，另一方 面
培养了学生通过类比这一思维模式达到创新的目的。例3的主要作用是，在继续巩固
性质和运 算律的同时，教给学生如何利用数量积来判断两个向量的垂直，是平面向量
数量积的基本应用之一，教学 时重点给学生分析数与形的转化原理。

为了使学生更好的理解数量积的含义，熟练掌握性质及运算律，并能够应用数量积
解决有关问题，再安排如下练习：
1、 下列两个命题正确吗？为什么？
①、若
a
≠0，则对任一非零向量
b
，有
a
·
b
≠0．
②、若
a
≠0，
a
·
b
＝
a·
c
，则
b
＝
c
．
2、已知△ABC中，
AB
=
a
,
AC
=
b
，当
a
·
b

<0或
a
·
b
＝0时，试判断△ABC
的形状。
57

安排练习1的主要目的是，使学生在与实数乘法比较的基础上 全面认识数量积这
一重要运算，
通过练习2使学生学会用数量积表示两个向量的夹角，进一步感受数量积的应用价值。

活动六：小结提升与作业布置
1、本节课我们学习的主要内容是什么？
2、平面向量数量积的两个基本应用是什么？
3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳 和性质的探究？在运算律的探究过
程中，渗透了哪些数学思想？
4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积？

通过上述问题，使学生不仅对本节课的知识、技能及方法有了更加全面深刻的认
识，同时也为下
一节做好铺垫，继续激发学生的求知欲。

布置作业：
1、课本P
121
习题2.4A组1、2、3。
2、拓展与提高：
已知
a
与
b
都是非零向量，且
a
+3
b

与7
a
-5
b
垂直，
a
-4
b
与 7
a
-2
b
垂直
求
a
与
b
的夹角。

在这个环节中，我首先考虑 检测全体学生是否都达到了“课标”的基本要求，
因此安排了一组教材中的习题，目的是让所有的学生继 续加深对数量积概念的理解
和应用，为后续学习打好基础。其次，为了能让不同的学生在数学领域得到不 同的
发展，我又安排了一道有一定难度的问题供学有余力的同学选做。
六、板书设计

平面向量数量积的物理背景及其含义


一、 数量积的概念 二、数量积的性质 四、应用与提高

一、概念： 例1：


二、概念强调 （1）记法 例2：

（2）“规定” 三、数量积的运算律 例3：

3、几何意义：

七、教学评价设计
评价方式的转变是新课程改革的一大 亮点，课标指出：相对于结果，过程更能
反映每个学生的发展变化，体现出学生成长的历程。因此，数学 学习的评价既要重视
结果，也要重视过程。结合“课标”对数学学习的评价建议，对本节课的教学我主要
通过以下几种方式进行：
1、 通过与学生的问答交流，发现其思维过程，在鼓励的基础上，纠正偏差，
并对其进行定性的评价。 2、在学生讨论、交流、协作时，教师通过观察，就个别或整体参与活动的态度
和表现做出评价，以 此来调动学生参与活动的积极性。
3、 通过练习来检验学生学习的效果，并在讲评中，肯定优点，指出不足。
4、 通过作业，反馈信息，再次对本节课做出评价，以便查漏补缺。
2.3.2平面向量的坐标运算 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它是沟通代数、几何、三角的一种工具，具有丰富的实际背景。利 用向
量便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题，而平面向量的坐标运算则为用“数”的运算处理“形 ”的问题搭建
58

了桥梁，同时也为进一步研究线段的定比分点坐 标公式、平面向量的数量积以及解析几何、立体几何的相关问题奠
定了基础。
2.4 向量的应用
3.1 和角公式
3.2 倍角公式和半角公式-------- 二倍角的正弦、余弦、正切
是三角函数的重要公式 ，应用这组公式也是本章的重点内容。 同时，本 节是学生在已经学习了两角和、差的
正、余弦和正切的公式的基础上的进一步延伸，也是我们研究三角函 数的图象及性质的基础。学好这一节，能够帮
助学生从和角的余弦公式入手，用整体化和特殊化的思想将 三角函数中的和、差、倍、半公式形成一个有机的整体。
因此，本节课有着奠定基础，承前启后的作用。
3.3 三角函数的积化和差化积

1.1 正弦定理和余弦定理--------------（第1课时）
一、 教材分析

1、本节课的地位、作用和意义
在初中，学生已经学习了三角形的边和角的基本关系、全等三 角形等与三角形有关的
基础知识；同时在必修4 ，学生也学习了三角函数、向量三角恒等变换等内容。 这些为学
生学习正弦定理提供了坚实的基础。正弦定理是初中解直角三角形的延伸，是揭示三角形边、< br>角之间数量关系的重要公式，在物理学等其它学科、工业生产以及日常生活等常常涉及解三
角形的 问题。
2、学情分析
①学生的认知发展理论； ②高中生已有的数学学习能力；
③本节课的内容特点； ④本班学生的实际情
3、课时安排：1课时：正弦定理的推导、正弦定理以及利用正弦定理来解已知两角一
边的三角形等 and 已知两边以及其中一边的对角的三角形和其它简单应用。
二、教学目标分析
1、知识与技能目标
（1）掌握正弦定理的符号表达式
（2）能利用正弦定理来解决已知两角一边的三角形以及相关简单的实际问题。
2、过程方法与能力目标
（1）通过正弦定理的推导，逐步培养合情推理、探索数学规律的思维能力；
（2）在利用正弦定理来解已知两角及一边的三角形的过程中，逐步培养应用数学知识来
59

解决社会实际问题的能力。
3、情感、态度、价值观目标
（1）通过参与、思考、交流，体验正弦定理的发现过程，逐步培养探索精神和创新意识。
（2）在运用正弦定理的过程，逐步培养实事求是、扎实严谨的科学态度。
三、重点和难点
重点：正弦定理的证明；正弦定理以及正弦定理的应用
突出重点的方法：①用引导学生进行分 类讨论、类比法、分组讨论法来突出正弦定理的
推导；②用讲练结合，精选例题、练习和问题，归纳法来 突出正弦定理的应用。
难点：正弦定理的猜想发现
突破难点的方法：转化法（由特殊向一般转化）、鼓励和引导法。
四、教法分析
教法：以引导—启发法为主，以讲授法、讨论法以及多媒体演示法。
理由：①学生的学习方法；②我个人的知识水平以及经验；③学校的条件
学法：以讨论法（师生对话、生生讨论）为主，以发现法、类比法、接受法、练习法为
辅。
五、教学程序分析
教学环
节



情
景
导
入
我会利用多媒体放映一
幢建筑物（图1），并
提出如下问题：
（1）如何用量角器量出测
量建筑物的高度h？
（2）如果建筑物前有小湖
等障碍物，又该如何测量其高度h？
在学生进行思考、讨论后，
根据同学的思路，我会引导
学生分别建立如图1和图2
的数学模型，利用初中的解
60

教学内容以及问题设计 设计意图




通过生活中的知识引入，
激发学生学习需要和学习 期
待，以问题引起学生学习热情
和探索新知的欲望。

直角三角形知识求解。
最后引入这节课的问题：
这个实际问题说明了三
角形的边与角有紧密的
联系，这节课将研究表示
一般三角形的边与角的等
量关系的定理——正弦定理











新
课
学






探
索
发

我请同学们思考：在直角
三角形中，各角的正弦怎么
b
表示？能找到等量关系吗？
因为：sinA=
c
,sinB=
c
,
a
b
1、奥苏伯尔认为，意义学习
A
c
适当观念建立起非人为的和
C
a B
实质的联系。在此环节上，我
突破难点（正弦定理的发现）
=c。
的方法是利用学引导学生从
熟悉的求直角三角形 各角的
正弦入手，鼓励、引导学生积
极主动地思考，创造意义学习
的条件。
2、对正弦定理的发现采用的
是由特殊到一般地思想方法。


1 、该环节在我的引导下，学
生分组讨论，合作交流，进行
就是将符号所代表的新知识
与 学习者认知结构中已有的
abc
所以c= = ，同时不难发现：=
sinAsin BsinC
c
sin
?
2
abc
于是：= = ①
sinAsinBsinC
现
猜
想
说明：这个过程通过师生互动过程实现，我的角色是引导、
鼓励学生积极思考，并表达其想法。
接着，我提出问题：这个结论对一般三角形成立吗？如
果成立，该如何证明？
首先，我引导学生认清“一般三角形”的含义，包括直角
三角形、锐角三角形和钝角三角形 。其次，把全班分组八个
组（平时上课时候，已经分好组，各组差异不大），教室左边
四个组探 究锐角三角形，另四个组探究钝角三角形，引导学
习















生讨论探究：①式对于锐角、钝角三角形是否成立？如成立，“再创造”，体现了数学新课< br>怎么证明？
学生活动：分组讨论探究，我走动观察，收集信息，对
有困难的学生进行启 发，对证明有进展的进行全班表扬，鼓
励其继续努力。
61
标所倡导的积极主动，勇于探
索的学习方式的课程理念。

新
课
学
习










探
索
正
弦
定
理
的
证
明

教师讲授：首先，我放映利用《几何画板》制作的多媒
体动画，画面将显示：不管三角形的边、角如何变化， 比值：
abc
，，的值都会相等。
sinAsinBsinC
正弦定理的证明方法 有：作高法、面积法、外接圆法以及
向量法等，我将根据学生探究的实际情况利用多媒体显示这
四种方法的一种或两种，其中向量法证明钝角三角形的正弦
定理书写过程如下：
如下图，以A 为原点，以射线AB的方向为x轴正方向建
立直角坐标系，C点在y轴上的射影为c1。
因为，向量
AC
与
BC
在y轴
上的射影均为
OC1
，即
2、正弦定理的证明即是重点，
这里，我 采用多媒体技术来突
出重点，直观且效率高，与数
学新课标注重信息技术与数
学课程的 整合的理念相符。


3、对我的教学行为分析。
新课程不仅要求教师的 理念
要更新，而且要求教师的角色
也作相应的变化，在这里，我
的角色是学生学习的促 进者、
帮助者和引导者。
OC1
=
AC
cos（A－
?
）=bsinA,
2
OC1
=
BC
sinB=asinB，
所以 bsinA= asinB
ab
?

sinAsinB
ac
?
同理，
sinAsinC
abc
??
所以
sinAsinBsinC
即
若A为锐角或直角，也可以得到同样的结论。
于是，我们得到了这样的定理：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即
abc
??

sinAsinBsinC
练
习
反
馈
在△ABC中，已知下列条件，解三角形
1、A=45°,C=120°,c=10cm
2、A=3,B=4,A=30°
3、P4例题
注：请两个同学到黑板上进行解答并进行简单讲解
62

通过动手练习来巩固、加深学
生正弦定理的理解，培养学生
的口头表达能力。

课堂小
结
1、利用多媒体显示正弦定理：（适用一般三角形）

通过师生的互动对话，再< br>现本节课的主要内容和思想
方法，再次加深学生对对正弦
定理的认识

abc
??

sinAsinBsinC
2、正弦定理可解以下两种类型的三角形：
（1）已知两角以及任何一边；
（2）下节课学习
3、正弦定理的其他应用—解三角形


作业布
置
1．阅读作业:预习
P
47
?P
49

2．课后作业:
P
52
，2，7
3．弹性作业: 在
? ABC
中，已知
a?22
，
b?23
，
作业分为三种形式， 体现作
业的巩固性和发展性原则，同
时考虑学生的差异性。阅读作
业是后续课堂的铺垫 ，而弹性
作业不做统一要求，供学有余
力的学生课后研究。
A?45?
，解三角形。
板书设计
§1正弦定理
正弦定理的证明（向
量法）
1.正弦定理 正弦定理的证明（向量
法）
abc
??

sinAsinBsinC
2.正弦定理可解以下两种类型的三角形：
（1）已知两角以及任何一边；
（2）已知两边及任何一角
3.正弦定理的其他应用
例1 （题目）
解答：（板书）
空白区，可以随意书写，
擦除
学生的解答2 学生解答1 例2 （题目）

设计意图：我的板书设计的指导原则 ：简明直观，重点突出。本节课的板书教学重点
放在黑板的正中间，为了能加深学生对正弦定理以及其应 用的认识，把例题放在中间，以期
全班同学都能看得到。
63

2.1 数列
一、教材分析
1、教材的地位和作用：
数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
①本 节课是在学生掌握了函数的性质和图象的基础上进行的，因此，在数列这一章中要让学生认识到数列
可看 作是定义域为正整数集（或它的有限子集）上的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数
值， 不断渗透用函数观点来研究数列，如：递增、递减、最大项、最小项等。在这一节课中，要让学生对
数列 的概念有比较充分的认识，起着承上启下的作用。②
学习数列也为进一步学习等差、等比、数
列 的极限等内容做好准备。
二、教学目标
知识目标：
数列的概念及其通项公式 。难点：根据数列的前几项归纳出数列的通项公式
三、重难点
重点：数列的概念及其通项公式；了解数列的分类（有穷、无穷、递增、递减、常数列）
难点：根据数列的前几项归纳出数列的通项公式

2.2.1 等差数列
一．教材分析
1．教材的地位与作用 本节课《等差数列》是《高中数学第一册》第三章第 二节第一课时
的内容，是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的
基础上，对数列的知识进一步深入学习。数列是高中数学重要内容之一，是前一章《函数》
内容 的延伸，体现教材编排的连续性，它在实际生活中有广泛的实际应用，起着承前启后的
作用，同时也是培 养学生数学能力的良好题材。等差数列作为数列部分的主要内容，是学生
探究特殊数列的开始，对后续内 容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。
2. 学情分析：对于三中的高一学生， 知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式
运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力 ，所以我在授课时注重引导、启发、
研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进 一步发展。
二、教学目标
a在知识上：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公 式的推导过程及思想；初
步引入“数学建模”的思想方法并能运用。
b在能力上：培养学生观 察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，
把研究函数的方法迁移来研究数列，培 养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提
高学生分析问题和解决问题的能力。
c在 情感上：通过对等差数列的研究，体会从特殊到一般，又到特殊的认识事物规律，，培
养学生主动探索、 勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习
惯。
三、教学重点和难点
重点：①等差数列的概念。②等差数列的通项公式的推导过程（不完全归 纳法）及应用（数
学建模）。
（由于学生第一次接触不完全归纳法,对此并不熟悉因此用不完 全归纳法推导等差数列的同项公式是这节
课的一个难点。同时，学生对“数学建模”的思想方法较为陌生 ，因此用数学思想解决实际问题是本节课
的另一个难点。）
难点：
（1）理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。 （2）从函数、方程的观点看
通项公式
四、学情教法分析：
针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方
64

法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和 相互交流的形
式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。
学法指导：
在引导分析 时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕
中心各抒己见，把思路方 法和需要解决的问题弄清。
五、教学程序
(一)复习引入：
1.从函数观点看 ,数列可看作是定义域为__________对应的一列函数值，从而数列的通项公
式也就是相应函数 的______。（N﹡；解析式）
通过练习1复习上节内容，为本节课用函数思想研究数列问题作准备。
2.小明目前会100 个单词，他她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉2
个单词，那么在今后的五天内他的 单词量逐日依次递减为：100，98，96，94，92 ①
3. 小芳只会5个单词，他决定 从今天起每天背记10个单词，那么在今后的五天内他的单词
量逐日依次递增为5，10，15，20， 25 ②
通过练习2和3引出两个具体的等差数列，初步认识等差数列的特征，为后面的概念学 习建
立基础，为学习新知识创设问题情境，激发学生的求知欲。由学生观察两个数列特点，引出
等差数列的概念，对问题的总结又培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。
(二) 新课探究
1、由引入自然的给出等差数列的概念：
如果一个数列,从第二项开始它的每一项 与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差
数列,这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来 表示。强调：
① “从第二项起”满足条件；
②公差d一定是由后项减前项所得；
③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数” ）；
在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式：
an+1-an=d (n≥1)同时为了配合概念的理解，我找了5组数列，由学生判断是否为等 差数
列，是等差数列的找出公差。
1. 9 ，8，7，6，5，4，……；√ d=-1
2. 0.70，0.71，0.72，0.73，0.74……；√ d=0.01
3. 0，0，0，0，0，0，…….; √ d=0
4. 1，2，3，2，3，4，……；×
5. 1，0，1，0，1，……×
其中第一个数列公差<0, 第二个数列公差>0,第三个数列公差=0
由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0
2、第二个重点部分为等差数列的通项公式
在归纳等差数列通项公式中，我采用讨论式的教学 方法。给出等差数列的首项，公差d，由
学生研究分组讨论a4的通项公式。通过总结a4的通项公式由 学生猜想a40的通项公式，进
而归纳an的通项公式。整个过程由学生完成，通过互相讨论的方式既培 养了学生的协作意
识又化解了教学难点。
若一等差数列{an }的首项是a1,公差是d,则据其定义可得：
a2 - a1 =d 即： a2 =a1 +d
a3 – a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2d
a4 – a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1 +3d
……
65

猜想: a40 = a1 +39d，进而归纳出等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d
此时指出：这种求通项公式的办法叫①不完全归纳法，这种导出公 式的方法不够严密，为了
培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法 ------②迭加
法：
a2 – a1 =d
a3 – a2 =d
a4 – a3 =d
……
an – an-1=d
将这（n-1）个等式左右两边分别相加,就可以得到 an– a1= (n-1) d即 an= a1+(n-1) d
（1）
当n=1时，（1）也成立，
所以对一切n∈N﹡，上面的公式都成立
因此它就是等差数列｛an｝的通项公式。
例题：P36
3、等差中项
4、a
n
=an+b 结论 P37
接着举例说明：若一个等差数列｛an｝的首项是１，公差是２，得出这个数列的通项公式是：
an=1+(n-1)×2 ，
即an=2n-1 以此来巩固等差数列通项公式运用
同时要求画出该数列图象，由此说明等差数列是关于正整数n一次函数，其图像是均匀排开
的无穷多个 孤立点。用函数的思想来研究数列，使数列的性质显现得更加清楚。
（三）巩固
通过例1和 例2向学生表明：要用运动变化的观点看等差数列通项公式中的a1、d、n、an
这4个量之间的关系 。当其中的部分量已知时，可根据该公式求出另一部分量。
例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项；第30项；第40项
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？
在第一问 中我添加了计算第30项和第40项以加强巩固等差数列通项公式；第二问实际上是
求正整数解的问题， 而关键是求出数列的通项公式an.
例2 在等差数列｛an｝中，已知a5=10，a12 =31，求首项a1与公差d。
在前面例1的基础上将例2当作练习作为对通项公式的巩固
例3 是一个实际建模问题
建造房屋时要设计楼梯，已知某大楼第2层的楼底离地面的高度 为3米，第三层离地面5.8
米，若楼梯设计为等高的16级台阶，问每级台阶高为多少米？
这道题我采用启发式和讨论式相结合的教学方法。启发学生注意每级台阶“等高”使学生想
到每级台阶离 地面的高度构成等差数列，引导学生将该实际问题转化为数学模型------等差
数列：（学生讨论分 析，分别演板，教师评析问题。问题可能出现在：项数学生认为是16
项，应明确a1为第2层的楼底离 地面的高度，a2表示第一级台阶离地面的高度而第16级
台阶离地面高度为a17，可用课件展示实际 楼梯图以化解难点）。
设置此题的目的：1.加强同学们对应用题的综合分析能力，2.通过数学实际 问题引出等差数
列问题，激发了学生的兴趣；3.再者通过数学实例展示了“从实际问题出发经抽象概括 建立
数学模型，最后还原说明实际问题的“数学建模”的数学思想方法
(四)反馈练习
66

1、小节后的练习中的第1题和第2题（要求学生在规定时间 内完成）。目的：使学生熟悉通
项公式，对学生进行基本技能训练。
2、书上例3）梯子的最 高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成
等差数列。计算中间各级的 宽度。
目的：对学生加强建模思想训练。
3、若数例{an} 是等差数列,若 bn = k an ，（k为常数）试证明：数列{bn}是等差数列
此题是对学生进行数列问题提高训练，学 习如何用定义证明数列问题同时强化了等差数列的
概念。
（五）归纳小结（由学生总结这节课的收获）
1.等差数列的概念及数学表达式．
强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数
2.等差数列的通项公式 an= a1+(n-1) d会知三求一
3．用“数学建模”思想方法解决实际问题
(六)布置作业
必做题：课本P114 习题3.2第2，6 题
选做题：已知等差数列{an}的首项a１=-24，从第10项开始为正数，求公差d的取值范围。
（目的：通过分层作业，提高同学们的求知欲和满足不同层次的学生需求）
五、板书设计 < br>在板书中突出本节重点，将强调的地方如定义中，“从第二项起”及“同一常数”等几个字
用红色 粉笔标注，同时给学生留有作题的地方，整个板书充分体现了精讲多练的教学方法。
2.3.2 等差数列前n项和的公式
一、教材分析

二、教学目标
A、知识目标：
掌握等差数列前n项和公式的推导方法；掌握公式的运用。
B、能力目标：
（1） 通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归
纳、分析、综合和逻 辑推理的能力。
（2）利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过 观察、
尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比思维能力。
（3）通 过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问
题和解决问题的能力。
C、情感目标：（数学文化价值）
（1）公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。
（2）通过公式的运用，树立学生大众教学的思想意识。
（3）通过生动具体的现实问题，令 人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学
生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理 体验，产生热爱数学的情感。
三、重难点
教学重点：等差数列前n项和的公式。
教学难点：等差数列前n项和的公式的灵活运用。
四、教法学法
教学方法：启发、讨论、引导式。
教具：现代教育多媒体技术。
67

五、教学过程
一、创设情景，导入新课。
师：上几节，我们已 经掌握了等差数列的概念、通项公式及其有关性质，今天要进一步
研究等差数列的前n项和公式。提起数 列求和，我们自然会想到德国伟大的数学家高斯神
速求和的故事，小高斯上小学四年级时，一次教师布置 了一道数学习题：把从1到100
的自然数加起来，和是多少？年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案 5050，这使教师非
常吃惊，那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？如果大家也懂得那样 巧妙计算，
那你们就是二十世纪末的新高斯。（教师观察学生的表情反映，然后将此问题缩小十倍）。我
们来看这样一道一例题。
例1，计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.
这道题除了累加计算以外，还有没有其他有趣的解法呢？小组讨论后，让学生自行发言解答。
生1:因为1+10=2+9=3+8=4+7=5+6，所以可凑成5个11，得到55。
生2：可设S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，根据加法交换律，又可写成S=10+9+8+7 +6+5+4+3+2+1。
上面两式相加得2S=11+10+......+11=10×11=110 所以我们得到S=55，
即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

师：高斯神速计算出1到100所有自然数的各的方法，和上述两位同学的方法相类似。
理由 是：1+100=2+99=3+98=......=50+51=101，有50个101，所以1+2+3 +......+100=50
×101=5050。请同学们想一下，上面的方法用到等差数列的哪一 个性质呢？
生3：数列{an}是等差数列，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq.
二、教授新课（尝试推导）---两个公式
师：如果已知等差数列的首项a1，项数为n，第 n项an，根据等差数列的性质，如何来导
出它的前n项和Sn计算公式呢？根据上面的例子同学们自己 完成推导，并请一位学生板演。
生4：Sn=a1+a2+......an-1+an也可写成
Sn=an+an-1+......a2+a1
两式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)
n个
=n(a1+an)
所以Sn=(I)
师 ：好！如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，则an=a1+(n-1)d代入公式
( 1)得
Sn=na1+ d(II)
上面（I）、（II）两个式子称为等差数列的前n项和公式。
公式（I）是基本的，我们可 以发现，它可与梯形面积公式（上底+下底）×高÷2相类比，
这里的上底是等差数列的首项a1，下底 是第n项an，高是项数n。
引导学生总结：这些公式中出现了几个量？（a1，d，n，an，Sn ），它们由哪几个关系联系？
［an=a1+(n-1)d，Sn==na1+ d］；这些量中有几个可自由变化？
（三个）从而了解到：只要知道其中任意三个就可以求另外两个了 。下面我们举例说明公式
（I）和（II）的一些应用。
三、公式的应用（通过实例演练，形成技能）。
1、直接代公式（让学生迅速熟悉公式，即用基本量例2、计算：
（1）1+2+3+......+n
（2）1+3+5+......+(2n-1)
（3）2+4+6+......+2n
68

（4）1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n
请同学们先完成（1）-（ 3），并请一位同学回答。师：第（4）小题数列共有几项？是
否为等差数列？能否直接运用Sn公式求 解？若不能，那应如何解答？小组讨论后，让学生
发言解答。
生6：（4）中的数列共有2n项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等
差数列，所以
原式=［1+3+5+......+(2n-1)］-(2+4+6+......+2n)
=n2-n(n+1)=-n
生7：上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为-1，故可得另一解法：
原式=-1-1-......-1=-n
n个
师：很好！在解题时我 们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法。注意在运用
Sn公式时，要看清等差数列的项数，否 则会引起错解。

例3、（1）数列{an}是公差d=-2的等差数列，如果a1+a2+ a3=12，a8+a9+a10=75，求a1，d，
S10。
生8：（1）由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12，即a1+d=4
又∵d=-2，∴a1=6
∴S12=12 a1+66×（-2）=-60
生9：（2）由a1+a2+a3=12，a1+d=4
a8+a9+a10=75，a1+8d=25
解得a1=1，d=3 ∴S10=10a1+=145
师：通过上面例题我们掌握了等差数列前n项和的公式。在Sn公 式有5个变量。已知
三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量（知三求二），请同学们根据例 3自己
编题，作为本节的课外练习题，以便下节课交流。
师：（继续引导学生，将第（2）小题改编）
①数列{an}等差数列，若a1+a2+a3=1 2，a8+a9+a10=75，且Sn=145，求a1，d，n
②若此题不求a1，d而只求 S10时，是否一定非来求得a1，d不可呢？引导学生运用等
差数列性质，用整体思想考虑求a1+a 10的值。

2、用整体观点认识Sn公式。
例4，在等差数列{an}， （1）已知a2+a5+a12+a15=36，求S16；（2）已知a6=20，求
S11。（教师 启发学生解）
师：来看第（1）小题，写出的计算公式S16==8(a1+a6)与已知相比较，你发现了什么？
生10：根据等差数列的性质，有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18，所以S16=8×18= 144。
师：对！（简单小结）这个题目根据已知等式是不能直接求出a1，a16和d的，但由 等
差数列的性质可求a1与an的和，于是这个问题就得到解决。这是整体思想在解数学问题的
体现。
四、小结与作业。
师：接下来请同学们一起来小结本节课所讲的内容。
生11：1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式。
2、用所推导的两个公式解决有关例题，熟悉对Sn公式的运用。
生12：1、运用Sn公式要注意此等差数列的项数n的值。
2、具体用Sn公式时，要根据已知灵活选择公式（I）或（II），掌握知三求二的解题通
69

法。
3、当已知条件不足以求此项a1和公差d时，要认真观 察，灵活应用等差数列的有关性
质，看能否用整体思想的方法求a1+an的值。
师：通 过以上几例，说明在解题中灵活应用所学性质，要纠正那种不明理由盲目套用公
式的学习方法。同时希望 大家在学习中做一个有心人，去发现更多的性质，主动积极地去学
习。
本节所渗透的数学方法；观察、尝试、分析、归纳、类比、特定系数等。
数学思想：类比思想、整体思想、方程思想、函数思想等。
作业：P49：13、14、15、17
2.3.1 等比数列
2.3.2 等比数列的前n项和
教材地位是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应 用，如储蓄、分期付款的有关计
算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换 和方程等思想方法，都是学生今后学习和
工作中必备的数学素养．从学生认知角度看学生很容易把本节内 容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面
进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是： 本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的
不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对 于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的
过程中容易出错． 学情分析教学 对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思
维能力也初步形成，但由 于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨．
3.1 不等关系与不等式
3.2 均值不等式-----基本不等式
一、教材分析
1、本节教材的地位和作用
“均值不等式” 是在学完“不等式的性质”、“不等关系”的 基础上对不等式的进一步
研究．在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值又是高考的热点 。同时本节
知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。
二、 教学目标
（1）知识目标:探索基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决最值问题。
（2）能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。
（3）情感目标: 培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应
用价值，激发学生的学习兴趣和勇 于探索的精神。
三、教学重点、难点
重点: 均值不等式公式，求最值；
难点:均值不等式的内涵及几何意义的挖掘，用基本不等式求最值。
四、教法说明
70

本节课借助几何画板，使用多媒体辅助进行直观演示.采用启 发式教学法创设问题情景，
激发学生开始尝试活动．运用生活中的实际例子,让学生享受解决实际问题的 乐趣. 课堂上
主要采取对比分析；让学生边议、边评；组织学生学、思、练。通过师生和谐对话,使情 感
共鸣，让学生的潜能、创造性最大限度发挥，使认知效益最大。让学生爱学、乐学、会学、
学 会。
学法指导：为更好的贯彻课改精神,合理的对学生进行素质教育,在教学中,始终以学生主体，
教师为主导.因此我在教学中让学生从不同角度去观察、分析,指导学生解决问题，感受知识
的 形成过程,培养学生数形结合的意识和能力，让学生学会学习。
五、教学设计
1、运用2002年国际数学家大会会标引入
如图，这是在北京召开的第２４届国际数学家大 会会标．会标根据
中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，
代表 中国人民热情好客。（展示风车）
正方形ABCD中,AE⊥BE,BF⊥CF,CG⊥DG,DH⊥ AH,设
AE=a,BE=b,则大正方形的面积为S=＿c=（a+b）2= a+b＿，Rt
22222
Ｄ
Ｇ
△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG ,Rt△ADH是全等三角形，它们的面积之和
是S’=＿12 ab *4=2ab
从图形中易得，s≥s’,即
Ａ
Ｈ
a
Ｆ
Ｃ
Ｅ
b
a
2
?b
2
?2ab
a
2
+b
2
Ｂ
问题1：它们有相等的情况吗？何时相等？
问题2：当 a,b为任意实数时，上式还成立吗？（学生积极思考，通过几何画板帮助学生理
解）
一般地，对于任意实数a、b，我们有
a
2
?b
2
?2a b
当且仅当（重点强调）a=b时，等号成立（合情推理）
71

问题3：你能给出它的证明吗？（让学生独立证明）
问题4：那a+b 与2ab根号 （a、b大于0）的关系呢？学生证明
2、运用分析法证明基本不等式
如果 a＞0,b＞0 ,
用
a
和
b
分别代替a,b。可以得到
2
(a-b)
2
?0
a+b
也可写成
ab?(a>0,b>0)
（强调基本不等式成立的前提条件“正”）（演绎推理）
问题4：你能用不等式的性质直接推导吗？
要证①
a+b?2ab



a+b
只要证 ②

?ab

2
要证② ,只要证 ③
a+b-2ab?0


,只要证 要证③④
2
(a-b)?0
显然, ④是成立的.当且仅当a=b时, 不等式中的等号成立.
（强调基本不等式取等的条件“等”）


3、不等式的几何解释 ---P70
如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a ,CB=b,过点C作垂
直于AB的弦DE，连AD,BD,则CD= ,半径为
问题５： 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? （学生积
极思考，通过几何画板帮助学生理解）
4、基本不等式的应用
例１．证明

A
C
B
D
a+1?2a(a?0)
E
（学生自己证明）
5、最值
1
x+?2(x>0)
x
例 2：（1）把36写成两个正数的积，当两个正数取什么值时，它们的和最小？
（2）把18写成两个正数的和，当两个正数取什么值时，它们的积最大？
（让学生分组合作、探究完成）
设计意图
72

（１）此题目利用基本不等式求最值，包含正用，逆用，体现了基本不等式的应用价值；
（２）强调利用不等式求最值的关键点：“正”“定”“等”；
（3）有利于培养学生团结合作的精神。
ba
练习 ：（1）若a,b同号，则
??2

ab
（2）P113 练习1.2
6、总结
7、作业： 必做题：P113 A组3、

若x<0,求x+
3.3 一元二次不等式及其解法
3.4 不等式的实际应用
1
的最大值
x
3.5 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题


补充：
1、正弦、余弦函数的周期性(说课稿)

一、教材分析
1、教材的地位和作用
《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程 标准实验教科书必修四第一章第四节第二
节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性 ．本节课是学生学习了诱导
公式和正弦、余弦函数的图象之后，对三角函数又一深入探讨．正弦、余弦函 数的周期性是
三角函数的一个重要性质，是研究三角函数的其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通
过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力，分析问题和解决问题
的能 力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它
性质打下基础．所 以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启
后的作用．
2、教学重点和难点
重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性．
难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期．
二、目标分析
学情分析：
学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上
已经具备了一定 的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、
特殊到一般等数学思想．
73

本课的教学目标：
(一)知识与技能
1．理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．
2．会求一些简单三角函数的周期.
(二)过程与方法
从学生生活实际的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景 的分析与
y
=sin
x
图形的比较、概括抽象出周期函数的概念.运用数形结 合方法研究正弦函数
y
=sin
x
的周期性，通过类比研究余弦函数y=co sx的周期性．
(三)情感、态度与价值观
让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理 性的思维过程，体会数形结合思想；让学
生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力 ．
三、教法分析
1.
教学方法
:引导发现法、探索讨论法 为了把发现创造的机会还给学生,把成功的体验让给学生,为了立足于学生思维发展,着
力于知识建 构,就必须让学生有观察、动手、表达、交流、表现的机会;为了激发学生学习的
积极性和创造性,分享 到探索知识的方法和乐趣,使数学教学成为再发现,再创造的过程．

2.学法指导: 问题探究法
根据课程标准“倡导积极主动，勇于探索的学习方式”理念，教材内容的特点以及学生的知识、能力、情感等因素，本节课宜采用问题探究法．

3.教学手段：借助多媒体辅助教学，增强课堂教学的生动性与直观性．

四、教学过程
教学程序
创
设
问
题
情
境


复
习
回
顾





教学内容


生活中有哪些周而复始现象 ？

学生举例
设计意图
从实际问题引入，使学生了
解数学来源于生活．
问题的提出为学生的思
维提供强大动力，激发学生的探
究欲望.

引导学生回顾旧知为新课做
准备.
通过动画演示让学生直观感
知周而复始的变化规律．






引导学生回顾：
1．诱导公式（一）
2．正弦线
3．利用正弦线画正弦函数图象（动画演示）
由动画演示观察可得：
正弦函数图象具有周而复始的变化规律
问题：图象具有周而复始的变化规律如何用数学表达式来
表达？
74

构
建
周
期
函
数
定
义










正弦函数
y
=sin
x
图象
y
y
x
?2
?
0





通过对正弦 函数
y
=sin
x
图
象观察、分析，结合诱导公式，

O
?
2
2
?
5
?
2
3
?
观察正弦函数
y
=sin
x
图象特征可知：
在区间< br>?
0,2
?
?
、
?
2
?
,4
?
?
、
?
4
?
,6
?
?
…内重 复．
由三角函数图象和诱导公式可得：sin(2π+x)=sinx,
问: 对于sin(2π+x)=sinx,若记f(x)=sinx,则对于任意
x∈R,都有f( )=f( )
若记f(x)=sinx,则对于任意x∈R,都有f(x+2π)=f(x)

周期函数及周期的定义
周期函数定义如下：一般地，对于函数f（x），如
果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，
都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f （x）就叫做周期函数，
非零常数T叫做这个函数的周期．

由生活中的周期现象到 数学中
的周期现象，由具体到抽象，构
建出周期函数的定义，这样设计
主要是立足于从 学生的最近思
维区入手，着力于知识建构，培
养学生观察、分析和抽象概括能
力,并进 一步渗透数形结合思想
方法.




教学内容

设计意图



让学生理解最小正周期的
定义，培养学生的数形结合能
力．


教学程序


正弦函数的周
期和最小正周
期的定义.




函数
y
=sin
x
的周 期：
2
?
、
4
?
、
6
?
、……
2kπ(k∈Z且k≠0).
最小正周期的概念.
对于一个函数
f(x)
，如果它所有的周期中存在一个最
小的正数，那么这个最小正数叫
f(x)
的 最小正周期.
上面的函数
y
=sin
x
的最小正周期为
2
?
.
75

理
解
周
期
函
数
定
义

判断题：
1．因为
sin(
?
?
?
)?sin< br>?
,所以
?
是
y?sinx
的周期.
424
2
2.周期函数的周期唯一.
3.函数f(x)=5是周期函数.
（分四人一组进行讨论,再由学生发表看法）



设计判断题让学 生去讨论
主要是为了帮助学生正确理解
周期函数概念，防止学生以偏概
全，让学生学会 怎样学习概念；
培养学生透过现象看本质的能
力，使学生养成细致、全面地考
虑问题的 思维品质．
让学生在自主探索、自由想
象和充分交流的过程中，不断完
善自己的认知 结构，充分感受成
功与失败的情感体验．

体会：
1. 周期的定义是对 定义域中的每一个
x
值来说的，只有
个别的
x
值满足：
f( x?T)?f(x)
，不能说
T
是
y?f(x)
的
周期．
2.周期函数的周期不唯一．
3.周期函数不一定存在最小正周期．
说明：今后不加特殊说明，涉及的周期都是最小正周期.



探
究
余
弦
函
数
的
周
期






通过对定义的理解、余弦函
问题：
数图象，类比正弦函数，可以得
余弦函数
y
=cos
x
是周期函数吗？即能否找到非零常数T，
到余弦函数是 周期函数，这样使
培养学
使cos(T+
x
)= cos
x
成立？若是，请找出它的周期，若不
学生加深对定义的理解，
生类比思想和数形结合能力．
是，请说明理由．





教学程序


教学内容 设计意图

76

应

用


例1．求下列函数的最小正周期T.
（1）
f(x)?3sinx
，
x?R
；
（2）
f(x)?sin2x
，
x?R
；
（3）
f(x)?2sin(



设计例1使学生加深对定
义的理解，培养学生的数形结合
能力．


1
?
x?)
，
x?R
；
24
方法：①函数图象观察得到周期 ②周期函数定义


课
堂
反
馈




回
顾
反
思




课
外
作
业
与
课
外
思
考
1.等式
s in(30
0
?120
0
)?sin30
0
是否成立?如果 这个等
式成立,能否说
120
0
是正弦函数
y
的一个周期？
2.求下列函数的周期:
(1)y?cos4x,x?R
1
(2)y?cosx,x?R

2


通过课堂反馈能准确、及时
?sinx

地了解学生对本节课的掌握情
况,做到及时反馈、评价,及时查
漏补缺,达到堂堂清.







引导学生对所学知识进行
小结,有利于学生对已有的知识
结构进行编码处理,加强记忆．


1.周期函数、周期概念．
2.函数y=sinx和函数y=cosx是周期函数,且周期均为2
π.

3.周期的求法： ①图象法 ②定义法
4.探索问题的思想方法

课外作业：
求下列函数的周期：


x
?
< br>(1)
y?3sin
，
x?R
；(2)
y?sin(x?)< br>，
x?R
；
4
10
课外作业的布置是为了进
1?
x?R
一步巩固课堂所学知识；
?
(3)
y?cos(2x ?)
,
x?R
(4)
y?3sin(x?)
，
24
3
课外思考题的布置是让学

生把课堂探索拓展到课外探索，
课外思考：
进一步激发学生探究欲望，进一
1.求函数
f(x)?Asin(
?
x?
?
)
和
f (x)?Acos(
?
x?
?
)
步培养学生创造性思维．

（其中
A,
?
,
?
为常数，且
A?0,
?
?0
）的周期．

2.求下列函数的周期：
（1）
y? |sinx|
，
x?R
；（2）
y?|cos2x|
，
x? R



附：板书设计
77

课题：正弦、余弦函数的周期性
1． 周期函数定义 3. 例1 版演及学生演示区
2． 正弦函数y=sinx的周期为
2
?

余弦函数y=cosx的周期为
2
?
.

设计意图

为了使学生全
面系统地了解本节
内容的知识结构,达到突出重点,简
洁明了的目的.

五.评价分析:
1．个别学生建 构周期函数概念时有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始变化实际
上是函数值的周而复始变化”的本 质学生感到有一定困难.上课时虽然借助了几何画板来
帮助学生从形象思维过渡到抽象思维,但是还是有 部分学生理解起来有困难.这方面的训
练以后要加强.
2．部分学生对周期函数定义的自变量的任意性的理解有困难，课后要及时对他们加强
辅导．
3．学生运用定义求函数周期掌握得不是很好. 上黑板板演的学生都出现了不同程度
的错误.在以后的教学中还需进一步加强．
sin(wx+a)、cos(wx+a) ,周期T=2πw
|sin(wx+a)|、|cos(wx+a)|，周期T= πw
tan(wx+a)、cot(wx+a),周期T=πw
|tan(wx+a)|、|cot(wx+a)|,周期T=π2w



78