高中数学教程

重点：导数的概念、常见函数的导数、函数的和、差、积、商的导数、复合函数的导数
知识要点梳理知识点一：函数的平均变化率
函数中,如果自变量在处有增量,那么函数值 y也相应的有增量△
y=f(x
0
+△x)-f(x
0
),其比值叫 做函数从到+△x的平均变化率，即
。
若
从到
，
的平均变化率。
，则平均变化率可表示为，称为函数
注意：
1．事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；
2．函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当
化情况。 < br>取值越小，越能准确体现函数的变
3．函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像
上两点割线的斜率。
4．是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函
更小考虑。 数的平均变化率是0，并不一定说明函数
知识点二：导数的概念：1．导数的定义：
对函数 ，在点
没有变化，应取
处给自变量x以增量Δx，函数y相应有增量
。若极限
在点x
0
处的导数，记作或，此时也称
存在，则此极限称为
在点x
0
处可导。 即：
（或
注意：增量△x可以是正数，也可以是负数。
2．导函数：如果函数在开区间
）
内的每点处都有导数，此时对于每一个
，从而构成了一个新的函数, 称这个函，都对应着一个确定的导数

数为函数在开区间内的导函数，简称导数，
处的导数不是同一概念，
在附近的变化情况。
是常数，是函数在 注意：函数的导数与在点
处的函数值，反映函数
3．导数几何意义：
1. 曲线 上一点P(x
0
，y
0
)及其附近一点Q(x
0
+△x,y
0
+△y)，经过点P、Q作
曲线的割线PQ，其倾斜角为 当点Q(x
0
+△,y
0
+△
y)沿曲线无限接近于点P(x
0
，y0
)，即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫
做曲线在点P处的切线。
若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的
斜率。曲线的切线是割线的极限 位置，即：
2. 导数的几何意义：函数y=f(x)在点x
0
的导数是曲线
的切线的斜率。
3. 如果在点可导，则曲线
。
4. 若曲线

在点处的导数不存在，就是切线与
在点（
上点（
。
）处
）处的切线方程为：
轴平行。
，，切线与轴正向夹角为锐角； ，切线 与轴正向夹角为钝角；
切线与轴平行。
5（3）可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点 x
0
处可导，那么函数y=f(x)在点x
0
处连续。
4. 瞬时速度：
我们知道物体运动的速度等于位移与时间的比，而非匀速直线运动中这个比值是变化< br>的，如何了解非匀速直线运动中每一时刻的运动快慢程度，我们采用瞬时速度这一概念。
如 果物体的运动规律满足s=s(t)(位移公式)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物
体t到t+ △t这段时间内，当△t→0时平均速度的极限，即
如果把函数
示运动物体在时刻
看作是物体的运动方程（也叫做位移公式），那么导数
的瞬时速度。
。
表
知识点三：常见基本函数的导数公式
（1）
（3）
（C为常数），
，
（2）
（4）
（n为有理数），
，

（5）， （6），
（7）， （8），知识点四：
函数四则运算求导法则
设，均可导 （1）和差的导数：


（2）积的导数：
（3）商的导数：
知识点五：复合函数的求导法则
1.一般地，复合函数
的导数
对自变量的导数
（）
，等于已知函数
，即
对中间变量
或，乘以中间变量对自变量的导数
注意：选择中间变量是复合函数求导 的关键。求导时需要记住中
间变量，注意逐层求导，不遗漏。其中还应特别注意中间变量的关系，求导后 ，要把中间变
量转换成自变量的函数。
2．求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：
（1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；
（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；
（3）把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数。
整个过程可简记为分解——求导——回代。 熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复
合，可以相应地多次用中间变量。
规律方法指导
1. 理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件。具体解题
时 ，还应结合函数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，调动思维的积极性，在解决
新问题时，触类 旁通，得心应手。
2．熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的
求导法则。
3. 对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量
求导。
典型例题：例1．求下列函数的导数
①y=(2x-3)②
5
③
55
④y=sin2x
3
解析：①设u=2x-3，则y=(2x-3)分解为y=u，u=2x-3
5444
由复合函数的求导法则得： y'=f'(u)u'(x)=(u)'(2x-3)'=5u·2=10u＝10 (2x-3)②设
u=3-x，则可分解为，

。
③
y'=3(sin2x)·(sin2x)'=3sin2xcos2x(2x)'=6·sin2x·cos 2x
例2．已知曲线
一点切线方程。
222
④
，问曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直，并写出这
解析：
得x=4，代入，得y=5，
，令，即，
∴曲线在点(4,5)处的切线与直线y=-2x+3垂直，切线方程为，即
x-2y+6=0。

432
例3．已知曲线C：y=3x-2x-9x+4。
①求曲线C上横坐标为1的点的切线方程； ②第①小题中切线与曲线C是否还有其
它公共点。
32
解析：①把x=1代入C的方程，求得y=-4，∴切点为(1,-4)，y'=12x-6x-18x
∴切线斜率为k=12-6-18=-12，∴切线方程为y=-12x+8。
②由 得3x-2x-9x+12x-4=0，即(x-1)(x+2)(3x-2)=0，
4322< br>。
公共点为(1,-4)（切点），，除切点外，还有两个交点。
评析： 举例说明曲线与直线相切并不说明只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们
知道直线与曲线相切，有 且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确。
*例4．设，求f'(x)。

解析：当x>0时，，当x<0时，，
由于x=0是该函数的分界点，由导数定义知


由于f'
+
(0)=f'
-
(0)=1，故有f'(0)=1于是：，即：
。
例5．已知使函数的导数为0的x值也使y值为0，求常数a。
解析：y'=3x+2ax，令y'=0，得x=0或
2
，
由题设x=0时，y'=y=0，此时
训练题：
1．已知函数
，∴a=0；当时也解出a=0。
，且f'(1)=2，则a的值为______。
2．设f(x)=xlnx，则f'(2)=________。
3．给出下列命题：
①； ②(tanx)'=secx
2
③函数y=|x-1|在x=1处可导； ④函数y=|x-1|在x=1处连续。 其中正确的命题
有：_____。
4．函数y=cosx在点
432
处的切线方程为_______。
5．已知 函数f(x)=ax+bx+cx+dx+e为偶函数，它的图象过点A(0,-1)，且在x=1处的
切线方程为2x+y-2=0，求函数y=f(x)的表达式。

参考答案：
1. 2 2.














3. ②，④ 4.
4

2
5．解：∵ f(x)是偶函数，f(-x)=f(x)，∴ b=d=0，f(x)=ax+cx+e，
423
又∵图象过点A(0，-1)，∴ e=-1，∴ f(x)=ax+cx-1，f'(x)=4ax+2cx，
当x=1时，f'(1)=4a+2c=-2......① 对于2x+y-2=0，当x=1时，y=0。
∴点(1,0)在f(x)图象上，a+c-1=0........② 由①，②解出a=-2，c=3，
42
因此f(x)=-2x+3x-1。