高中数学必修1课后答案及解析-2018高中数学全国123卷
高中数学等差数列提
高题(含答案解析)
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等差数列提高题
第I卷
徐荣先汇编
一.选择题(共20小题)
1.记S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和.若a
4
+a
5
=24,S
6
=48,则{a
n
}的公差为
( )
A.1 B.2 C.4 D.8
2.等
差数列{a
n
}中,a
3
,a
7
是函数f(x)=x
2
﹣4x+3的两个零点,则{a
n
}的前9
项和等于( )
A.﹣18 B.9 C.18 D.36
3.已知S
n
为等差数列{a<
br>n
}的前n项和,若a
4
+a
9
=10,则S
12<
br>等于( )
A.30 B.45 C.60 D.120
4.等差数列{a
n
}中,a
3
=5,a
4
+a
8
=22,则{a
n
}的前8项的和为( )
A.32 B.64 C.108 D.128 5.设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若a
2
+
a
4
+a
9
=24,则S
9
=( )
A.36
B.72 C.144 D.70
6.在等差数列{a
n
}中,a
9
=a
12
+3,则数列{a
n
}的前11项和S
11
=(
)
A.24 B.48 C.66 D.132
7.已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且S
6
=24,S
9
=63,则a<
br>4
=( )
A.4 B.5 C.6 D.7
8.一已知等差数列{a<
br>n
}中,其前n项和为S
n
,若a
3
+a
4
+a
5
=42,则S
7
=( )
A.98 B.49 C.14
D.147
9.等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且S
5
=6,a
2
=1,则公差d等于( )
A. B. C. D.2
10.已知等差数列{a
n
}的前n项和S
n
,其中
(
)
A.60 B.130 C.160 D.260
且a
11
=20,则
S
13
=
11.已知S
n
是等差数列{a
n
}的前
n项和,若4S
6
+3S
8
=96,则S
7
=( )
A.48 B.24 C.14 D.7
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12.等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且满足a
4
+a
10
=20,则S
13
=(
)
A.6 B.130 C.200 D.260
13.在等差数列{a
n
}中,S
n
为其前n项和,若a
3
+a
4
+a
8
=25,则S
9
=( )
A.60 B.75 C.90 D.105
14.等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且S
5
=﹣15,a
2
+a
5
=﹣2,则公差d等于
( )
A.5 B.4 C.3 D.2
15.已知等差数列{a
n
},a
1
=50,d=﹣2,S
n
=0,则n等于( )
A.48 B.49
C.50 D.51
16.设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若S
4
=﹣4,S
6
=6,则S
5
=( )
A.1 B.0 C.﹣2 D.4
17.设等差数列{a
n
}的前n项和
为S
n
,若a
4
,a
6
是方程x
2
﹣18
x+p=0的两根,那
么S
9
=( )
A.9 B.81 C.5
D.45
18.等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且S
5
=15,a
2
=5,则公差d等于( )
A.﹣3 B.﹣2
C.﹣1 D.2
19.等差数列{a
n
}中,a
1
+a
3
+a
5
=39,a
5
+a
7
+a
9=27,则数列{a
n
}的前9项的和S
9
等
于( )
A.66 B.99 C.144 D.297
20.等差数列{a
n
}中
,a
2
+a
3
+a
4
=3,S
n
为等差数
列{a
n
}的前n项和,则S
5
=
( )
A.3
B.4 C.5 D.6
二.选择题(共10小题)
21.设S
n
是等差
数列{a
n
}的前n项和,已知a
2
=3,a
6
=11,则
S
7
= .
22.已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若a
3
=4,S
3
=3,则公差d= . <
br>23.已知等差数列{a
n
}中,a
1
=1,a
2
+
a
3
=8,则数列{a
n
}的前n项和S
n
= .
24.设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若公差d=2,a<
br>5
=10,则S
10
的值
是 .
25.设{an
}是等差数列,若a
4
+a
5
+a
6
=21
,则S
9
= .
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26.已知等差数列{a
n
}的前n项和为Sn
,若a
3
=9﹣a
6
,则S
8
=
.
27.设数列{a
n
}是首项为1的等差数列,前n项和S
n
,
S
5
=20,则公差
为 .
28.记等差数列{a
n}的前n项和为S
n
,若
S
6
= .
29.
设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若a
4
=4,则S
7
= .
30.已知等差数列{a
n
}中,a
2
=2,a
12
=﹣2,则{a
n
}的前10项和为 .
I卷答案
一.选择题(共20小题)
1.(2017?新课标Ⅰ)
记S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和.若a
4
+a
5
=24,S
6
=48,
则{a
n
}的公差为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
【解答】解:∵S
n
为等差数列{an
}的前n项和,a
4
+a
5
=24,S
6
=
48,
,则d= ,
∴,
解得a
1
=﹣2,d=4,
∴{a
n
}的公差为4.
故选:C.
2.(201
7?于都县模拟)等差数列{a
n
}中,a
3
,a
7
是函数
f(x)=x
2
﹣4x+3的
两个零点,则{a
n
}的前9项和等于
( )
A.﹣18 B.9 C.18 D.36
【解答】解:∵等差数列{a
n
}中,a
3
,a
7
是函数f(x)=x
2
﹣4x
+3的两个零点,
∴a
3
+a
7
=4,
∴{a
n
}的前9项和S
9
=
故选:C.
==.
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精品文档 3.(2017?江西模拟)已知S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和,
若a
4
+a
9
=10,则S
12
等于( )
A.30 B.45 C.60 D.120
【解答】解:由等差数列的性质可得:
.
故选:C.
4.(
2017?尖山区校级四模)等差数列{a
n
}中,a
3
=5,a
4
+a
8
=22,则{a
n
}的前8
项的和为( )
A.32 B.64 C.108 D.128
【解答】解:a
4
+a8
=2a
6
=22?a
6
=11,a
3
=5,
∴
故选:B.
5.(2017?宁德三模)设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若a
2
+a
4
+a
9
=24,则
S
9
=( )
A.36 B.72 C.144
D.70
,
【解答】解:在等差数列{a
n
}中,
由a
2
+a
4
+a
9
=24,得:3a
1
+12d=
24,即a
1
+4d=a
5
=8.
∴S
9
=9a
5
=9×8=72.
故选:B.
6.(2017?湖南一模)在等差数列{a
n
}中,a
9
=a12
+3,则数列{a
n
}的前11项和
S
11
=(
)
A.24 B.48 C.66 D.132
【解答】解:在等差数列{a
n<
br>}中,a
9
=a
12
+3,
∴
解a
1
+5d=6,
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,
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∴数列{a
n
}的前11项和S
11
=
故选:C.
(a
1
+a
11
)=11(a
1
+5
d)=11×6=66.
7.(2017?商丘三模)已知等差数列{a
n
}的前n
项和为S
n
,且S
6
=24,S
9
=63,
则a<
br>4
=( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【解答】解:∵等差数列{
a
n
}的前n项和为S
n
,且S
6
=24,S
9<
br>=63,
∴,
解得a
1
=﹣1,d=2,
∴a
4
=﹣1+2×3=5.
故选:B.
8.(2
017?葫芦岛一模)一已知等差数列{a
n
}中,其前n项和为S
n
,若<
br>a
3
+a
4
+a
5
=42,则S
7
=( )
A.98 B.49 C.14 D.147
【解答】解:等差数列{a
n
}中,因为a
3
+a
4
+a
5
=42,
所以3a
4
=42,解得a
4
=14,
所以S
7
=
故选A.
9.(2017?南关区校级模
拟)等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且S
5
=6,a
2
=1,
则公差d等于( )
A. B. C. D.2
【解
答】解:∵等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且S
5
=
6,a
2
=1,
=7a
4
=7×14=98,
∴,
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解得,d=.
故选:A.
10.(2017?锦州一模)已知等差数列{a
n
}的前n项和S
n
,其中
a
11
=20,则S
13
=( )
A.60 B.130 C.160 D.260
且
【解
答】解:∵数列{a
n
}为等差数列,
∴2a
3
=a
3,即a
3
=0
又∵a
11
=20,
∴d=S
13
=
故选B.
?(a
1
+a
13
)=?(a
3
+a
11
)=?20=130 11.(2017?龙门县校级模拟)已知S
n
是等差数列{a
n
}的前
n项和,若
4S
6
+3S
8
=96,则S
7
=(
)
A.48 B.24 C.14 D.7
【解答】解:设等差数列{a
n
}的公差为d,
∵4S
6
+3S
8
=96,∴
化为:a
1
+3d=2=a
4
.
则S
7
=
故选:C.
12.(2017?大连模
拟)等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且满足a
4
+a
10
=20,则
S
13
=( )
A.6 B.130
C.200 D.260
=7a
4
=14.
+=96,
【解答
】解:∵等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且满足a
4
+a
10
=20,
∴S
13
=(a
1
+a
13
)=(a
4
+a
10
)=20=130.
故选:B.
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13.(2017?大东区一模)在等差数列{a
n
}中,S
n
为其前n项和,若
a
3
+a
4
+a
8
=2
5,则S
9
=( )
A.60 B.75 C.90 D.105
【解
答】解:∵等差数列{a
n
}中,S
n
为其前n项和,a
3
+a
4
+a
8
=25,
∴3a
1
+12d=25,∴
∴S
9
=
故选:B.
14.(2017?延边州模拟)等差数列{a
n
}的前n项和为Sn
,且S
5
=﹣15,a
2
+a
5
=
﹣2,则公差d等于( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【解答】解:∵等差数列{
a
n
}的前n项和为S
n
,且S
5
=﹣15,a
2
+a
5
=﹣2,
=9a
5
=9×
,
=75.
∴,
解得a
3
=﹣2,d=4.
故选:B.
15.(2017?金凤区校级四模)已知等差数列{a
n
},a
1
=50,d=﹣2,S
n
=0,则n
等于( )
A.48
B.49 C.50 D.51
【解答】解:由等差数列的求和公式可得,
=
整理可
得,n
2
﹣51n=0
∴n=51
故选D
=0
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16.(20
17?唐山一模)设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若S
4<
br>=﹣4,S
6
=6,则
S
5
=( )
A.1
B.0 C.﹣2 D.4
d=﹣【解答】解:设等差数列{a
n
}的公差为d,∵
S
4
=﹣4,S
6
=6,∴
4,d=6,
解得a
1
=﹣4,d=2.
则S
5
=5×(﹣4)+
故选:B.
17.(201
7?南关区校级模拟)设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若a
4
,a
6
是
方程x
2
﹣18x+p=0的两根,那么S9
=( )
A.9 B.81 C.5 D.45
【解答】解:∵等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,
a
4
,a
6
是方程x
2
﹣18x+p=0的两根,那
∴a
4
+a
6
=18,
∴S
9
=
故选:B.
18.(2017?宜宾模拟)
等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且S
5
=15,a<
br>2
=5,则公
差d等于( )
A.﹣3 B.﹣2 C.﹣1 D.2
==81.
×2=0,
【解答】解:∵等差数列{a
n
}的前n
项和为S
n
,且S
5
=15,a
2
=5,
∴,
解得a
1
=7,d=﹣2,
∴公差d等于﹣2.
故选:B.
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19.(2017?西宁模拟)等差数列{a
n
}中,a
1
+a
3<
br>+a
5
=39,a
5
+a
7
+a
9
=27,则数列{a
n
}
的前9项的和S
9
等于( )
A.66 B.99 C.144 D.297
【解答】解:∵等差数列{a
n}中,a
1
+a
3
+a
5
=39,a
5
+a
7
+a
9
=27,
∴3a
3
=39,3a
7
=27,解得a
3
=13,a
7
=9,
∴数列{a
n
}的前9项的和:
S
9
=
故选:B.
20.(2017?大庆二模)等
差数列{a
n
}中,a
2
+a
3
+a
4
=
3,S
n
为等差数列{a
n
}的前n
项和,则S
5
=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解答】解:∵等差数列{a
n}中,a
2
+a
3
+a
4
=3,
S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和,
∴a
2<
br>+a
3
+a
4
=3a
3
=3,
解得a
3
=1,
∴S
5
=
故选:C.
二.选择题(共10小题)
21.(2017?榆林一模)设S
n
是等差数
列{a
n
}的前n项和,已知a
2
=3,a
6
=11,则S
7
= 49 .
【解答】解:∵a
2
+a
6=a
1
+a
7
∴
故答案是49
=5a
3
=5.
==.
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22.(20
17?宝清县校级一模)已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若a3
=4,
S
3
=3,则公差d= 3 .
【解答】解:由等差
数列的性质可得S
3
=
解得a
2
=1,故公差d=a
3﹣a
2
=4﹣1=3
故答案为:3
23.(2017?
费县校级模拟)已知等差数列{a
n
}中,a
1
=1,a
2
+a
3
=8,则数列{a
n
}
的前n项和S
n
=
n
2
.
【解答】解:设等差数列{a
n
}的公差为d,
∵a
1
=1,a
2
+a
3
=8,
∴2×1+3d=8,解得d=2.
则数列{a
n
}的前n项和S
n
=n+
故答案为:n
2
.
24.(2017?淮安
四模)设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若公差d=2,
a<
br>5
=10,则S
10
的值是 110 .
【解答】解:∵等差数列{
a
n
}的前n项和为S
n
,若公差d=2,a
5
=10,
∴a
5
=a
1
+4×2=10,
解得a
1
=2,
∴S
10
=10×2+
故答案为:110.
25.(
2017?盐城一模)设{a
n
}是等差数列,若a
4
+a
5
+a
6
=21,则S
9
= 63 .
【解答】解:∵{a
n
}是等差数列,a
4
+a
5
+a
6
=21,
∴a
4
+a
5
+a
6
=3a
5
=
21,解得a
5
=7,
∴
故答案为:63.
=63.
=110.
=n
2
.
==3,
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26.(20
17?乐山三模)已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若a
3
=9﹣a
6
,则
S
8
= 72 .
【解答】解:由题意可得a
3
+a
6
=18,
由等差数列的性质可得a
1
+a
8
=18
故S
8
=(a
1
+a
8
)=4×18=72
故答案为:72
27.(2017?凉山州模拟)设数列{a
n
}是首项为1的等差数列,前n项和S
n
,
S
5
=20,则公差为
.
【解答】解:设等差数列{a
n
}的公差为d,∵a
1
=1,S
5
=20,
∴5+d=20,解得d=.
故答案为:.
<
br>28.(2017?鹿城区校级模拟)记等差数列{a
n
}的前n项和为S
n<
br>,若
,则d= 3 ,S
6
= 48 .
【解答】解:设等差数列{
a
n
}的公差为d,∵
+
∴S
6
=
故答案为:3,
48.
29.(2017?金凤区校级一模)设等差数列{a
n
}的前
n项和为S
n
,若a
4
=4,则
S
7
= 28 .
【解答】解:∵等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,a
4
=4,
∴S
7
=(a
1
+a
7
)=7a
4
=28.
故答案为:28.
d=20,解得d=3.
=48.
,∴
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30.(2017?衡阳三模)已知等差数列{a
n
}中,a
2
=2,a
12
=﹣2,则{a
n
}的前10<
br>项和为 6 .
【解答】解:∵等差数列{a
n
}中,a
2
=2,a
12
=﹣2,
∴,
解得a
1
=2.4,d=﹣0.4,
∴{a
n
}的前10项和为:
=6.
故答案为:6.
第II卷
一、选择题
1.在等差数列{
a
n
}中,a
2
=1,
a
4
=5,则{
a
n
}的
前5项和
S
5
=( )
A.7
C.20
B.15
D.25
a
5
5
S
9
2
.设
S
n
是等差数列{
a
n
}的前
n
项和
,若=,则等于( )
a
3
9
S
5
A.1
C.2
B.-1
1
D.
2
3.等差数列{a
n
}中,
a
1
=1,
a
3
+
a
5
=14,其前
n
项和
S
n
=100,则n
等于
( )
A.9
C.11
B.10
D.12
4.(2015·全国卷Ⅰ)已知{
a
n
}是公差为1的
等差数列,
S
n
为{
a
n
}的前
n
项和,若
S
8
=4
S
4
,则
a
10=( )
17
A.
2
C.10
B.
19
2
D.12
5.若数列{
an
}的通项公式是
a
n
=(-1)
n
(3
n<
br>-2),则
a
1
+
a
2
+…+
a
1
0
=
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( )
A.15
C.-12
二、填空题
6.已知{
a
n
}是等差数列,
a
4
+
a
6
=6,其前5项和
S
5
=10,则其公差为
d
=
_____
___.
7.{
a
n
}为等差数列,
S
n
为其前
n
项和,已知
a
7
=5,
S
7
=21,则
S
10
=
________.
?
?
8.若数列
?
?
?
n
B.12
D.-15
1
n
+1
?
?
?
的前
?
?
19
n
项和为
S
n
,且
S
n
=,则
n
=________.
20
[能力提升]
1.如图2?2?4所示将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)
有
n
(
n
>1,
n
∈N
*
)个点,相应的图案中总的点数记为a
n
,则
a
2
+
a
3
+
a<
br>4
+…+
a
n
等于( )
图2?2?4
3
n
2
A.
2
C.
3
n<
br>B.
D.
nn
+1
2
n
-1
2
nn
-1
2
1
3.
(2015·安徽高考)已知数列{
a
n
}中,
a
1
=1,
a
n
=
a
n
-1
+(
n
≥2),
则数列
2
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{
a
n
}的前9项和等于________.
资*源%库4.(2
015·全国卷Ⅰ)
S
n
为数列{
a
n
}的前
n<
br>项
和.已知
a
n
>0,
a
2
n
+2
a
n
=4
S
n
+3.
(1)求{
a
n
}的通项公式;
(2)设
b
n
=
第III卷
1.已知{
a
n
}为等差数列,
a
1
=35,
d
=-2,
S<
br>n
=0,则
n
等于( )
A.33
C.35
【答案】 D
【解析】 本题考查等差数列的前
n
项和公式.由
S
n
=
na
1
+
35
n+
B.34
D.36
1
a
n
a
n
+1
,求数列{
b
n
}的前
n
项和.
nn
-1
2
d
=
nn
-1
2
×(-2)=0,可以求
出
n
=36.
2.等差数列{
a
n
}中,3(
a
3
+
a
5
)+2(
a
7
+
a10
+
a
13
)=24,则数列前13项的和
是( )
A.13
C.52
【答案】 B
【解析】 3(
a<
br>3
+
a
5
)+2(
a
7
+
a
10
+
a
13
)=24?6
a
4
+6
a
10
=24?
a
4
+
a
10
=4?
S
13
13
=
B.26
D.156
a
1+
a
13
2
=
13
a
4
+
a
10
2
13×4
==26.
2
3.等差数列的前
n
项和为
S
n
,
S
10
=20,
S
20
=50.则
S
30
=________.
【答案】 90
【解析】 等差数列的片断数列和依次成等差数列.
∴
S
10
,<
br>S
20
-
S
10
,
S
30
-
S
20
也成等差数列.
∴2(
S
20
-
S10
)=(
S
30
-
S
20
)+
S<
br>10
,解得
S
30
=90.
4.等差数列{
an
}的前
n
项和为
S
n
,若
S
12<
br>=84,
S
20
=460,求
S
28
.
【分析】 (1)应用基本量法列出关于
a
1
和
d
的方程组
,解出
a
1
和
d
,进而
求得
S
28
;
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(2)
因为数列不是常数列,因此
S
n
是关于
n
的一元二次函数且常数项为
零.设
S
n
=
an
2
+
bn
,代
入条件
S
12
=84,
S
20
=460,可得
a<
br>、
b
,则可求
S
28
;
?
?
S<
br>n
?
?
S
n
dd
(3)由
S
n=
n
+
n
(
a
1
-)得=
n
+(
a
1
-),故
??
是一个等差数列,又2
22
n
22
?
n
?
?
?
d
2
d
×20=12+28,∴2×
S
20
S
12
S
28
20
=
12
+
28
,可求得
S
28
.
【解析】 方法一:设{
a
n
}的公差为
d
,
则
S
n
=
na
1
+
nn
-1
2d
.
12×11
?
?
12
a
+
2<
br>d
=84,
由已知条件得:
?
20×19
20
a+
d
=460,
?
2
?
1
1
?
2
a
1
+11
d
=14,
整
理得
?
?
2
a
1
+19
d
=46,
所以
S
n
=-15
n
+
2
?
a
1
=-15,
解得
?
?
d
=4.
nn
-1
2
×4=2
n
2
-17
n
,
所以
S
28
=2×28-17×28=1 092. 方法二:设数列的前
n
项和为
S
n
,则
S
n<
br>=
an
2
+
bn
.
因为
S
12
=84,
S
20
=460,
2
?
12
a
+12
b
=84,
所以
?2
?
20
a
+20
b
=460,
?
1
2
a
+
b
=7,
整理得
?
?
20
a
+
b
=23.
解之得
a
=2,
b
=-17,
所以
S
n
=2
n
2
-17
n
,
S
28
=1
092.
方法三:∵{
a
n
}为等差数列,
所以
Sn
=
na
1
+
nn
-1
2
d
,
?
?
S
n
?
?
S
n
dd?
所以=
a
1
-+
n
,所以
?
是等差
数列.
n
22
?
?
n
?
?
因为12,2
0,28成等差数列,
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所以
S
12
S
20
S
28
12
,
20
,
28
成等差数列,
,解得
S
28
=1 092. 所以2×
S
20
S
12
S
28
20
=
12
+
28
【
规律方法】 基本量法求出
a
1
和
d
是解决此类问题的基本方法,应
熟练
掌握.根据等差数列的性质探寻其他解法,可以开阔思路,有时可以简化计
算.
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.已知等差数列{
a
n
}
中,
a
2
=7,
a
4
=15,则前10项的和
S<
br>10
等于( )
A.100
C.380
【答案】 B
【解析】
d
=
B.210
D.400
a
4
-
a
2
15-7
4-2
=
2
=4,则
a
1
=3,所以
S
10
=210. 2.在等差数列{
a
n
}中,
a
2
+
a
5
=19,
S
5
=40,则
a
10
=( )
A.27
C.29
【答案】 C
?
2
a
1
+5
d
=19,
【解析】 由已
知
?
?
5
a
1
+10
d
=40.
?
a
1
=2,
解得
?
?
d
=3.
B.24
D.48
∴
a
10
=2+9×3=29.
3.数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
=
n
2
+2
n
-1,则这个数列一定是( )
A.等差数列
C.常数列
【答案】 B
B.非等差数列
D.等差数列或常数列
【解析】 当
n
≥2时,
a
n
=
S
n-
S
n
-1
=
n
2
+2
n
-
1-[(
n
-1)
2
+2(
n
-1)-1]
=2<
br>n
+1,当
n
=1时
a
1
=
S
1<
br>=2.
?
2,
n
=1,
∴
a
n
=
?
?
2
n
+1,
n
≥2,
这不是等差数列.
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4.设等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
.若
a
1
=-11,
a
4
+
a
6
=-6,则当
S
n
取
最小值时
,
n
等于( )
A.6
C.8
【答案】 A
?
a
1
=-11,
【解析】
?
?
a4
+
a
6
=-6,
∴
S
n
=
na
1
+
B.7
D.9
?
a
1=-11,
∴
?
?
d
=2,
nn
-1
2
d
=-11
n
+
n
2
-<
br>n
=
n
2
-12
n
.
=(
n
-6)
2
-36.
即
n
=6时,
S
n
最小.
5.一个只有有限项的
等差数列,它的前5项的和为34,最后5项的和为
146,所有项的和为234,则它的第7项等于(
)
A.22
C.19
【答案】 D
【解析】 ∵
a
1
+
a
2
+
a
3
+
a
4
+
a
5
=34,
B.21
D.18
a
n
+
a
n
-1
+
a
n
-2
+<
br>a
n
-3
+
a
n
-4
=146,
∴5(
a
1
+
a
n
)=180,
a
1+
a
n
=36,
S
n
=
na
1+
a
n
2
=
n
×36
2
=234.
∴
n
=13,
S
13
=13
a
7
=234.∴
a
7
=18.
6.一个有11项的等差数列,奇数项之和为30,则它的中间项为( )
A.8
C.6
【答案】 D
【解析】
S
奇
=6
a
1
+
B.7
D.5
6×5
×2
d
=30,
a
1
+5
d
=5
,
S
2
偶
=5
a
2
+
5×4
×2
d
=
2
5(
a
1
+5
d
)=25
,
a
中
=
S
奇
-
S
偶
=30-2
5=5.
7.若两个等差数列{
a
n
}和{
b
n
}的前
n
项和分别是
S
n
,
T
n
,已知=
S
n
7
n
,则
T
n
n
+3
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a
5
等于( )
b
5
A.7
C.
27
8
2
B.
3
D.
21
4
【答案】 D
9
a5
2
a
5
a
1
+
a
9
2【解析】 ===
b
5
2
b
5
b
1
+
b
9
9
2
a
1
+
a
9
b
1
+
b
9
==
S
9
21
. T
9
4
8.已知数列{
a
n
}中,
a
1
=-60,
a
n
+1
=
a
n
+3,则|
a
1
|+|
a
2
|+|
a
3
|+
…+
|
a
30
|等于( )
A.445
C.1
080
【答案】 B
【解析】
a
n
+1
-
a
n
=3,∴{
a
n
}为等差数列.
∴
an
=-60+(
n
-1)×3,即
a
n
=3
n
-63.
∴
a
n
=0时,
n
=21,
a
n
>0时,
n
>21,
a
n
<0时,
n<
br><21.
B.765
D.1 305
S
′
30
=|
a
1
|+|
a
2
|+|
a
3
|+…+|
a
30
|
=-
a
1
-
a2
-
a
3
-…-
a
21
+
a
22
+
a
23
+…+
a
30
=-2(<
br>a
1
+
a
2
+…+
a
21
)+S
30
=-2
S
21
+
S
30
=765.
二、填空题(每小题10分,共20分)
9.设等差数列{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,若
a
6
=
S
3
=12,则数列的通项公式
a
n
=________.
【答案】 2
n
【解析】
设等差数列{
a
n
}的公差
d
,则
?
a
1
+5
d
=12
?
?
a
1
+
d<
br>=4
?
a
1
=2
,∴
?
?
d
=2
,∴
a
n
=2
n
.
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10.等差数
列共有2
n
+1项,所有奇数项之和为132,所有偶数项之和为
120,则
n
等于________.
【答案】 10
S
2
n
+1
【解析】 ∵等差数列共有2
n
+1项
,∴
S
奇
-
S
偶
=
a
n
+1=.
2
n
+1
132+120
即132-120=,求得n
=10.
2
n
+1
【规律方法】
利用了等差数列前
n
项和的性质,比较简捷.
三、解答题(每小题20分,共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过
程或演算步骤)
11.在等差数列{
a
n
}中,
(1)已知
a
6
=10,
S
5
=5,求
a
8
和
S
8
;
(2)若
a
1
=1,
a
n
=-51
2,
S
n
=-1 022,求
d
.
【分析】 在等差数列
中,五个重要的量,只要已知三个量,就可求出其
他两个量,其中
a
1
和d
是两个最基本量,利用通项公式和前
n
项和公式,先求
出
a<
br>1
和
d
,然后再求前
n
项和或特别的项.
【解析】
(1)∵
a
6
=10,
S
5
=5,
?
a
1
+5
d
=10,
∴
?
?
5
a<
br>1
+10
d
=5.
解方程组,得
a
1
=-5,
d
=3,
∴
a
8
=
a
6
+2
d
=10+2×3=16, S
8
=
8
a
1
+
a
8
2=44.
=(2)由
S
n
=
na
1
+
a
n
2
n
-512+1
2
=-1 022,
解得
n
=4.
又由
a
n
=
a
1
+(
n
-1)
d
,
即-512=1+(4-1)
d
,
解得
d
=-171.
【规律方法】 一般地,等差数列的五个基本量
a
1
,
a
n
,
d
,
n
,
S
n
,知道其
中任意
三个量可建立方程组,求出另外两个量,即“知三求二”.我们求解这
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类问题的通性通法,是先列方程组求出基本量
a
1
和
d
,然后再用公式求出其他
的量.
12.已知等差数
列{
a
n
},且满足
a
n
=40-4
n
,
求前多少项的和最大,最大
值为多少?
【解析】 方法一:(二次函数法)∵
an
=40-4
n
,∴
a
1
=40-4=36,
∴
S
n
=
2
a
1
+
a
n
n
36+40-4
n
2
=
2
·
n
=-2
n
2
+38
n
19
2
19
2<
br>=-2[
n
-19
n
+()]+
22
19
2
19
2
=-2(
n
-)+.
22
令
n
-
1919
=0,则
n
==9.
5,且
n
∈N
+
,
22
∴当
n
=9或<
br>n
=10时,
S
n
最大,
19
2
192
∴
S
n
的最大值为
S
9
=
S
10
=-2(10-)+=180.
22
方法二:(图象法)∵
a
n
=40-4
n
,∴
a
1
=40-4=36,
a
2
=40-4×2=32,∴
d
=32-36=-4,
S
n
=
na
1
+
nn
-1
2
d<
br>=36
n
+
nn
-1
2
·(-4)=-2
n
2
+38
n
,
点(
n
,
S
n<
br>)在二次函数
y
=-2
x
2
+38
x
的图象
上,
S
n
有最大值,其对称轴为
x
=-
38
2×-
2
=
19
=9.5,
2
∴当
n
=10或9时,
S
n
最大.
∴
S
n
的最大值为
S
9
=
S
10
=
-2×10
2
+38×10=180.
方法三:(通项法)∵
a
n
=40-4
n
,∴
a
1
=40-4=36,
a
2
=40-4×2=32,
∴
d
=32-36=-4<0,数列{
a
n
}为递减数列.
?
a
n
≥0,
令
?
?
a
n
+1
≤0,
?
n
≤10,
∴
?
?
n≥9,
?
40-4
n
≥0,
有
?
?
40-4
n
+1≤0,
即9≤
n
≤10.
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当
n
=9或
n
=10时,
S
n
最大. <
br>∴
S
n
的最大值为
S
9
=
S
10<
br>=
a
1
+
a
10
2
×10=
36+
0
×10=180.
2
【规律方法】 对于方法一,一定要强调
n
∈N
+
,也就是说用函数式求最
值,不能忽略定义域,另外,三种方法中都得出
n
=9或
n
=10,需注意
a
m
=0
时,
S
m
-1
=
S
m
同为
S
n
的最
值.
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