高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题1.3：五类证明题的方法和结构问题的研究与拓展

------------------------------------------- ------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点---------- -------------------------------------------








专题1.3：五类证明题的方法和结构问题的研究与拓展
【问题提出】
问题1：（ 1）设
a
1
,a
2
,,a
n
是各项均不为零的n
（
n≥4
）项等差数列，且公差
d?0
，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．
（i）当
n?4
时，求
a
1
的数值；
d
（ii）求
n
的所有可能值．
（2）求证：对于给定的正整数< br>n
(
n≥4
)，存在一个各项及公差均不为零的等差数列
b
n
，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．
b
1
，b
2
，
，
解：（1）①当
n
=4时,
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
中不可能删去首项 或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推
出
d
=0
22
若删去
a
2
，则
a
3
?a
1
?a
4
，即
(a
1
?2d)?a
1
?(a
1
? 3d)
化简得
a
1
?4d?0
，得
a
1
? ?4

d
22
若删去
a
3
，则
a
2
?a
1
?a
4
，即
(a
1
?d)?a< br>1
?(a
1
?3d)
化简得
a
1
?d?0< br>，得
a
1
?1

d
综上，得
a
1< br>a
??4
或
1
?1

dd
②当
n< br>=5时,
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,a
5
中同样不可能删去
a
1
,a
2
,a
4
,a
5
，否则出现连续三项。
若删去
a
3，则
a
1
?a
5
?a
2
?a
4
，即
a
1
(a
1
?4d)?(a
1
?d)?(a
1
?3d)
化简得
3d?0
，因为
d?0
，所以< br>2
a
3
不能删去；
信达

-------- -------------------------------------------------- ---------奋斗没有终点任何时候都是一个起点------------------------- ----------------------------



当n
≥6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列
a
1
,a
2
,a
3
,,a
n?2
,a
n?1
,a
n< br>中，由于不能删去首
项或末项，若删去
a
2
，则必有
a
1
?a
n
?a
3
?a
n?2
，这与
d? 0
矛盾；同样若删去
a
n?1
也有
a
1
?a
n
?a
3
?a
n?2
，
这与
d?0
矛盾 ；若删去
a
3
,,a
n?2
中任意一个，则必有
a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
，这与
d?0
矛盾。(或者说：当
n
≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)，综上 所述，
n?4

（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列b
1
,b
2
,......b
n
，
其中b
x?1
,b
y?1
,b
z?1
（
0?x?y ?z?n?1
）为任意三项成等比数列，则
b
2
y?1
?b
x?1
?b
z?1
，
222
即
(b
1
? yd)?(b
1
?xd)?(b
1
?zd)
，化简得
(y? xz)d?(x?z?2y)b
1
d
（*）
2
由
b
1
d?0
知，
y?xz
与
x?z?2y
同时为0或同时不 为0
当
y?xz
与
x?z?2y
同时为0时，有
x?y? z
与题设矛盾。
2
b
1
y
2
?xz
故< br>y?xz
与
x?z?2y
同时不为0，所以由（*）得
?
< br>dx?z?2y
2
因为
0?x?y?z?n?1
，且x、y、z为整数 ，所以上式右边为有理数，从而
意的正整数
n(n?4)
，只要
b
1
为有理数.于是，对于任
d
b
1
为无理数，相应的数列就是满足题意 要求的数列.例如n项数列1，
1?2
，
d
1?22
，……，
1?(n?1)2
满足要求。
变式1：设等差数列
?
a
n
?
的首项为
1
，公差
d(d?N),m
为数列
?
a
n
?
中的项
*
?
1
?
（1）若
d?3
，试判断
?x??
??
的展开式中是否含有常数项，并说明理由；
x
??
?
1
?
（2）求证：存在无穷多个
d
，使得对每一个
m
,
?x??
??
的展开式中均不含有常数项.
x
??
m?r
?
1
?
rm?r
?
1
?
r
2
a?3n?2
??
:解：（1）
n
，
?

?
x?
?
的展开式的通项为
T
r ?1
?C
m
x?
??
?C
m
x
x
???
x
?
mr
3
m
m
若存在，则可设
m ?3n?2
，则考察
3n?2?
34
r?0
，
r?2n?? N

23
?
1
?
x??
则
?
??
的展开式中不含有常数项
x
??
（2）假设存在，可设
m?1?( n?1)d
，考察
1?(n?1)d?
则当
d?3k(k?N)
时，
r?
*
m
322n?2
r?0
，
r??d

233
2
?(2n?2)k?N
，所以命题成立。
3
信达

--------------------------------------- ----------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点------ -----------------------------------------------



2
*
变式2：设各项均为正实数的数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且满足
4S< br>n
?(a
n
?1)
（
n?N
）．
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2）设数列
{b
n
}
的通项公式为
b
n
?
求
t和
m
的值；
（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其 三边长为数列
{a
n
}
中的三项
a
n
1
，
a
n
2
，
a
n
*
（
t?N
*
），若
b
1
，
b
2
，
b
m< br>（
m?3,m?N
）成等差数列，
a
n
?t
a
n
3
．
22
解：（1）由题意，
4S
n
?(a
n
?1)
①，当
n?2
时，有
4S
n?1
?(a
n?1
?1)
②，
②-①，得
(a
n
?a
n?1
)(a
n
?a
n?1
?2)?0
，
?
{a
n
}
各项为正，
?a
n
?a
n?1
?0
，
4a
1
?(a
1
?1)
2
，从而
a
n
?a
n?1
?2
，故
{a
n
}
成公差2的等差数列．又
n?1
时，解得
a
1
? 1
．故
a
n
?2n?1
．
（2）
b
n< br>?
2n?1
，要使
b
1
，
b
2
，< br>b
m
成等差数列，须
2b
2
?b
1
?bm
，即
2n?1?t
?
t?2
312m?14
tt< br>m
，整理得
m?3?
，因为，为正整数，只能取2，3，5．故
?，
2???
2?t1?t2m?1?tt?1
m?7
?
?
t?3
?
t?5
，．
??
?
m?5
?
m?4
*
22
（3）作如下构造：
a
n
1
?(2k ?3)
，
a
n
2
?(2k?3)(2k?5)
，
a
n
3
?(2k?5)
，其中
k?N
，它们依次
为数 列
{a
n
}
中第
2k?6k?5
项，第
2k?8k ?8
项，第
2k?10k?13
，显然它们成等比数列，且
222
a
n
1
?a
n
2
?a
n
3
，所以它 们能组成三角形．由
k?N
*
的任意性，知这样的三角形有无穷多个．
下面 用反证法证明其中任意两个
?A
1
B
1
C
1
和?A
2
B
2
C
2
不相似：若
?A
1< br>B
1
C
1
∽
?A
2
B
2
C
2
，且
k
1
?k
2
，则
2k
1< br>?52k
1
?3
(2k
1
?3)(2k
1
? 5)(2k
1
?3)
2
?
，整理得，所以
k
1?k
2
，这与
k
1
?k
2
矛盾，因此，
?
2
2k
2
?5)2k
2
?3
(2k
2
?3)(2k
2
?5)
(2k
2
?3)
任意两个三 角形不相似．故原命题正确．

问题2：讨论下列函数的奇偶性：
（1）
f(x)?x?
2
a
（
a?R
）
x
信达

--------------------------- ----------------------------------------奋斗没有终点任何时候 都是一个起点-------------------------------------------- ---------



（2）
f(x)?x
2
?x?a
（
a?R
）
（3）
f(x)?ax?bx?c
（
a?0
）
（4）
f(x)?[x[x]]
.
变式1：设函数
f(x)?2
1
3
x?ax
2
?bx?c
(a?0)
在< br>x?0
处取得极值
?1
．
3
（1）设点
A(?a, f(?a))
，求证：过点A的切线有且只有一条；并求出该切线方程．
（2）若过点
(0,0)
可作曲线
y?f(x)
的三条切线，求
a
的取值范围；
（3）设曲线
y?f(x)
在点
(x
1
,f(x
1
))
，
(x
2
,f(x
2
))
(
x
1
?x
2
)处的切线都过点
(0,0)
，
''
证明：
f(x
1
)?f(x
2
)
（证明否定性命题 常用方法是反证法）
解：（1）
f
'
(x)?x
2
?2a x?b
，由题意可得
f
'
(0)?0
，
f(0)??1，解得
b?0,c??1

经检验，
f(x)
在
x?0
处取得极大值。
?
f(x)?
1
3
x?ax
2?1

3
设切点为
(x
0
,y
0
)< br>，则切线方程为
y?y
0
?f
'
(x
0
)( x?x
0
)

即为
y?(x
0
?2ax
0
)x?
2
2
32
x
0
?ax
0
? 1

3
32233
把
(?a,f(?a))
代入可得
x
0
?3ax
0
?3ax
0
?a?0
，即为(x
0
?a)?0

∴
x
0
??a
， 即点A为切点，且切点是唯一的，故切线有且只有一条.
切线方程为
ax?y?
2
1
3
a?1?0

3
2
（2）因为切线方程为
y?(x
0
?2ax
0
)x?
把
(0,0)
代入可得
2
32
x
0
?ax
0
?1

3
2
32
x
0
?ax
0
?1?0
，
3
2
32
因为有三条切线， 故方程
x
0
?ax
0
?1?0
有三个不同的实根
3
2
32
设
g(x)?x?ax?1
(a?0)

3
g'(x)?2x?2ax
，令
g'(x)?2x?2ax
=0， 可得
x?0
和
x??a

x

(??,0)

+
0

0
(0,?a)

一
?a

0
(?a,??)

+
g
'
(x)

信达

--------------------------------------- ----------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点------ -----------------------------------------------



g(x)

增 极大值 减 极小值 增
3因为方程有三个根，故极小值小于零，
a?1?0
，所以
a??
3
3

''22
（3）假设
f(x
1
)?f(x
2
)
，则
x
1
?2ax
1
?x
2
? 2ax
2
，所以
x
1
?x
2
??2a
< br>1
3
?
2
32
x?ax?1?0
22
?2
33
?
3
22
由题意可得
?
两式相减可得< br>(x
2
?x
1
)?a(x
2
?x
1
)?0

3
?
2
x
3
?ax
2
? 1?0
11
?
?
3
因为
x
1
?x
2
，故
2
2
(x
2
?x
2
x
2< br>?x
1
2
)?a(x
1
?x
2
)?0

3
22222
把
x
1
?x
2
??2a
代入可得
x
2
?x
2
x
2
?x
1
?3a
，所以
(x
1
?x
2
)?x
2x
2
?3a

2
所以
x
2
x
2
?a

?
x?x
2
?
''
2
又由
x
2
x
2
?
?
1
?
?a
，矛盾.所以假设不成立，即证
f (x
1
)?f(x
2
)

?
2
?
方法：反证法
2
1,2,3,4,?,2015< br>?
，求证：不存在这样的函数
f:A?
?
1,2,3
?
，使 变式2：已知集合
A?
?
得对任意的整数
x
1
,x
2
?A
，若
x
1
?x
2
?
?1,2,3
?
，则
f(x
1
)?f(x
2
)< br>.

问题3：叙述并证明向量共线定理.

2
问题4：设 数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1
，< br>a
n?1
?a
n
?a
1
，
M?a?Rn?N
*
,a
n
?2
．
??
（1）当
a?(??,?2)
时，求证：
a?M
； < br>（2）当
a?0
时，求证：满足条件
a?M
的最大值是
证明： （1）如果
a??2
，则
a
1
?|a|?2
，
a? M
．
（2）当
0?a≤
时，
a
n
≤
（< br>?n≥1
）．事实上，〔1〕当
n?1
时，
a
1
?a ≤
．
设
n?k?1
时成立（
k≥2
为某整数），则〔2〕 对
n?k
，
a
k
≤a
k?1
2
1
.
4
1
4
1
2
1
2
?
1
?
11
?a≤
??
??
．
?
2
?
42
2
信达

------ -------------------------------------------------- -----------奋斗没有终点任何时候都是一个起点----------------------- ------------------------------



由 归纳假设，对任意
n
∈N，|
a
n
|≤
（3）当
a ?
*
1
＜2，所以
a
∈
M
．
2
1
1
2
时，
a?M
．证明如下：对于任意
n≥1
，
a
n
?a?
，且
a
n?1
?a
n
?a
．
4
4
1111
2
对于任意
n≥1
，
a
n?1
?a
n
?a
n
?a
n
?a?(a
n
?)
2
?a?≥a?
，则
a
n?1< br>?a
n
≥a?
．
2444
1
所以，
an?1
?a?a
n?1
?a
1
≥n(a?)
．
4
当
n?
2?a
1
时，
a
n?1
≥n( a?)?a?2?a?a?2
，即
a
n?1
?2
，因此
a? M
．
1
4
a?
4
变式1：设各项均为正数的数列
?
a
n
?
的前n项和为
S
n
，已知
2a< br>2
?a
1
?a
3
，数列
差数列.
（1）求 数列
?
a
n
?
的通项公式（用
n,d
表示）； < br>?
S
?
是公差为
d
的等
n
（2）设
c
为实数，对满足
m?n?3k且m?n
的任意正整数
m,n,k
， 不等式
S
m
?S
n
?cS
k
都成立.求证：
c
的最大值为
9
2

解：（1）由题意知：
d?0
，
S
n
?S
1
?(n?1)d?a
1
?(n?1 )d

2a
2
?a
1
?a
3
?3a
2
?S
3
?3(S
2
?S
1
)?S
3< br>，
3[(a
1
?d)
2
?a
1
]
2
?(a
1
?2d)
2
,

化简，得：
a< br>1
?2a
1
?d?d?0,a
1
?d,a
1
?d

22
S
n
?d?(n?1)d?nd,S
n
?n
2
d
2
，
22222
当
n?2
时，
a
n
?S
n
?S
n?1
?nd?(n?1)d?( 2n?1)d
，适合
n?1
情形。
2
故所求
a
n
?(2n?1)d

（2）（方法一）
m
2
?n
2
S
m
?S
n
?cS
k
?md?nd?c?kd?m?n?c?k
，
c ?
恒成立。
k
2
222222222
m
2
?n< br>2
9
?
， 又
m?n?3k且m?n
，
2(m?n) ?(m?n)?9k?
k
2
2
2222
故
c?
9< br>9
，即
c
的最大值为。
2
2
22
（方法二 ）由
a
1
?d
及
S
n
?a
1
?( n?1)d
，得
d?0
，
S
n
?nd
。
信达

-------------------------------- -----------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起 点------------------------------------------------- ----



于是，对满足题设的
m,n,k
，
m?n
，有
(m?n)
2
2
9
22
9
S
m
?S
n
?(m?n)d?d?dk?S
k
。
222
222
所以
c
的最大值
c
max
?
9
。
2
9
33
。设
k
为偶数，令
m?k?1,n?k?1
，则
m, n,k
符合条件，且
2
22
331
S
m
?S
n
?(m
2
?n
2
)d
2
?d
2
[(k?1)
2
?(k?1)
2
]?d
2
(9k
2
?4)
。
222
另一方面，任取实数
a?
22
于是，只要
9k?4?2ak
，即当
k?
2
1
22
时，
S
m
?S
n
?d?2ak?aS
k
。
2
2a?9
所以满足条件的
c?
因此
c
的最大值为

99
，从而
c
max
?
。
22
9

2
变式2：如果对任意一个三角形，只要它的三边长
a
，
b
，
c
都在函数
f
(
x
) 的定义域内，就有
f
(
a
)，
f
(
b
)，
f
(
c
)也是某个三角形的三边长，则称
f
(
x< br>)为“保三角形函数”.
（1）判断下列函数是不是“保三角形函数”，并证明你的结论： < br>①
f
(
x
)＝
x
；②
g
(
x
)＝
sinx
(
x
∈(0，
π
)).
（2）若函数
h
(
x
)＝
lnx
(
x
∈［
M
，＋∞))是保三角形函数，求证：
M
的最小值为2.
解：（1 ）
f
(
x
)＝
x
是保三角形函数，
g
(< br>x
)＝
sinx
(
x
∈(0，
π
))不是保 三角形函数.
【证明】①
f
(
x
)＝
x
是保三角形函数. 对任意一个三角形的三边长
a
，
b
，
c
，则
a
＋
b
＞
c
，
b
＋
c
＞
a
，
c
＋
a
＞
b
，
f
(
a
)＝
a
，
f
(
b
)＝
b
，f
(
c
)＝
c
.
因为(
a
＋
b
)＝
a
＋2
ab
＋
b
＞
c
＋ 2
ab
＞(
c
)，所以
a
＋
b
＞
c
.
同理可以证明：
b
＋
c
＞
a
，c
＋
a
＞
b
.
所以
f
(
a
)、
f
(
b
)、
f
(
c
)也是某 个三角形的三边长，故
f
(
x
)＝
x
是保三角形函数.4分
②
g
(
x
)＝
sinx
(
x
∈( 0，
π
))不是保三角形函数.取
π
，
5π
，
5π
?
?
0，π
?
，显然这三个数能作为一个三角形的
266< br>1
三条边的长.而
sin
π
＝1，
sin
5π
＝，不能作为一个三角形的三边长.
2
6
2
所以
g
(< br>x
)＝
sinx
(
x
∈(0，
π
))不是保 三角形函数.
信达
22

------------------- ------------------------------------------------奋斗 没有终点任何时候都是一个起点------------------------------------ -----------------



(2)【解】
M
的最小值为2.
(
i
)首先证明当
M
≥2时，函数
h
(
x
)＝
lnx
(
x
∈［
M
，＋∞))是保三角形函数.
对任意一个三角形三边长
a< br>，
b
，
c
∈［
M
，＋∞)，且
a
＋
b
＞
c
，
b
＋
c
＞
a
，
c
＋
a
＞
b
，
则
h
(
a
)＝
lna
，
h
(
b
)＝
lnb
，
h
(
c
)＝
lnc
.
因为
a
≥2，
b
≥2，
a
＋
b
＞
c
，所以(< br>a
－1)(
b
－1)≥1，所以
ab
≥
a
＋
b
＞
c
，所以
lnab
＞
lnc
， 即
lna
＋
lnb
＞
lnc
.同理可证明
ln b
＋
lnc
＞
lna
，
lnc
＋
lna< br>＞
lnb
.
所以
lna
，
lnb
，
lnc
是一个三角形的三边长.
故函数
h
(
x
)＝lnx
(
x
∈［
M
，＋∞)，
M
≥2)，是保 三角形函数.……………13分
(
ii
)其次证明当0<
M
＜2时 ，
h
(
x
)＝
lnx
(
x
∈［
M
，＋∞))不是保三角形函数.
当0<
M
＜2时，取三个数
M，
M
，
M
∈［
M
，＋∞)，
因为0＜
M
＜2，所以
M
＋
M
＝2
M
＞
M
，所以
M
，
M
，
M
是某个三角形的三条边长，
而
lnM
＋
lnM
＝2
lnM
＝
lnM
， 所以
lnM
，
lnM
，
lnM
不能为某个三角形的三边长，
所以
h
(
x
)＝
lnx
不是保三角形函数.所以， 当
M
＜2时，
h
(
x
)＝
lnx
(
x
∈［
M
，＋∞))不是保三角形函数.
综上所述：
M
的最小值为2.
思考1：如果
g
?
x
?
是定义在
R
上的周期函数，且值域为
?
0,??
?
，则
g
?
x
?
是不是“保三角形函数”？
设
T?0
为
g
?
x
?
的一个周期，由于其值域为?
0,??
?
，所以，存在
n?m?0
，使得
g
?
m
?
?1,g
?
n
?
?2
，
取正整数
?
?
22
22
2
n?m
，可知
?
T?m,
?
T?m,n
这三个数可作为一个三角形的三边长，但
g< br>?
?
T?m
?
?1
，
T
．
g?
?
T?m
?
?1,g
?
n
?
?2< br>不能作为任何一个三角形的三边长．故
g
?
x
?
不是“保三角 形函数”

思考2：由解法可知
g
?
x
?
?sin x
不是保三角形函数，但是在定义域的某个区间上能不能成为保三角形函
数？比如
g< br>?
x
?
?sinxx?
?
0,A
?
是保三角 形函数，求
A
的最大值.
（可以利用公式
sinx?siny?2sin< br>分析：
A
的最大值为
??
x?yx?y
cos
）
22
5
?
．
6
5
?
一方面，若
A?
，下证
g
?
x
?
不是“保三角形函数”.
6
?
5
?
5
?
,?
?
0,A
?，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，但 取
,
266
?
5
?
15
?
1
sin?1,sin?,sin?
不能作为任何一个三 角形的三边长，故
g
?
x
?
不是“保三角形函数”.
26262
信达

----------------------- --------------------------------------------奋斗没有终点 任何时候都是一个起点---------------------------------------- -------------



5
?
时，
g
?
x
?
是“保三角形函数”．
6
5
?
对任意三角形的三边
a,b,c
，若
a,b ,c?(0,)
，则分类讨论如下：
6
另一方面，以下证明
A?
（ 1）
a?b?c
此时
a
2
?
，
5
?5
??
?
??
，同理，
b,c?
，
6633
?
5
?
111
∴
a,b,c?(,)
，故
sina,sinb,sinc?(,1]
，
sina?sinb???1sinc
．
36222
2
?
?b?c?2
?
?
同理可证其余两 式.
∴
sina,sinb,sinc
可作为某个三角形的三边长．
（2）
a?b?c?2
?

此时，
a?bc
??
?
，可得如下两种情况：
22
a?b
?
ca?b
?
≤
时，由于
a?b?c
，所 以，
0??≤
.
22222
?
ca?b
由
sin x
在
(0,]
上的单调性可得
0?sin?sin≤1
；
222
a?b
?
ca?b
?
?
时，
0??
?
??
，
22222
ca?b
?
?
?
上 的单调性可得
0?sin?sin?1
；
?
22
?
2?
同样，由
sinx
在
?
0,
总之，
0?si n
ca?b
?sin≤1
.
22
5
?
又由
a?b?c?
及余弦函数在
?
0,
?
?
上单调递减，得
6
a?b
a?bc5
?
cos?cos?cos?cos?0
，
22212
∴
sina?sinb?2sin
a?ba?bcc
cos?2sincos?sinc
．
2222
5
?
时，
g
?
x
?
是“保
6
同理可证其余两式，所以
si na,sinb,sinc
也是某个三角形的三边长．故
A?
三角形函数”．
综上，
A
的最大值为

5
?

6
a
n?2
…问题5：已知{
a
n
}是由非负整数组成的无穷数列，该 数列前
n
项的最大值记为
A
n
，第
n
项之后各项< br>a
n?1
，
信达

---------------- -------------------------------------------------- -奋斗没有终点任何时候都是一个起点--------------------------------- --------------------



的最小值记为
B
n
，
d
n
=
A
n
－
B
n

（1）若{
a
n
}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个 周期为4的数列(即对任意
n
∈N，
a
n?4
?a
n
)，写出
*
d
1
，
d
2
，
d
3
，
d
4
的值；
（2）设
d
为非负整数，证明：< br>d
n
=－
d
(
n
=1,2,3…)的充分必要条件为 {
a
n
}为公差为
d
的等差数列；
（3）证明：若
a
1
=2，
d
n
=1(
n
=1,2,3…)，则 {
a
n
}的项只能是1或2，且有无穷多项为1


变式 ：设数列
{a
n
}
、
{b
n
}
、
{c
n
}
满足：
b
n
?a
n
?a
n?2
，
c
n
?a
n
?2a
n?1
?3a
n?2
（
n
=1,2,3,…），
证明
{a
n< br>}
为等差数列的充分必要条件是
{c
n
}
为等差数列且
b
n
?b
n?1
（
n
=1,2,3,…）
证明：必要性，设是{a
n
}公差为d
1
的等差数列，则
b
n+1
–b
n
=(a
n+1
–a
n+3
)–(a
n
–a
n+2
)=(a
n+1
–a
n)–(a
n+3
–a
n+2
)=d
1
–d
1< br>=0
所以b
n
?
b
n+1
(n=1,2,3,…)成立
又c
n+1
–c
n
=(a
n+1
–a
n
)+2(a
n+2
–a
n+1
)+3(a
n+3
–a
n+2
)=d
1
+2d
1
+3d
1
=6d
1
(常数)(n=1,2,3,…)
所以数列{c
n
}为等差数列 充分性：设数列{c
n
}是公差为d
2
的等差数列，且b
n?
b
n+1
(n=1,2,3,…)
∵c
n
=an
+2a
n+1
+3a
n+2
①
∴c
n+2
=a
n+2
+2a
n+3
+3a
n+4
②

①-②得c
n
–c
n+2
=（a
n
–a
n +2
）+2(a
n+1
–a
n+3
)+3(a
n+2
–a
n+4
)=b
n
+2b
n+1
+3b
n+2

∵c
n
–c
n+2=(
c
n
–c
n+1
)+(c
n+1
–c
n+2
)=–2d
2
∴b
n
+2b
n+1
+3b
n+2
=–2d
2< br>③

从而有b
n+1
+2b
n+2
+3b
n +3
=–2d
2
④
④-③得（b
n+1
–b
n< br>）+2(b
n+2
–b
n+1
)+3(b
n+3
–b
n+2
)=0⑤
∵b
n+1
–b
n
≥0,bn+2
–b
n+1
≥0,b
n+3
–b
n+2
≥0,
∴由⑤得b
n+1
–b
n
=0(n=1,2,3,…)，
由此不妨设b
n
=d
3
(n=1,2,3,…)则a
n–a
n+2
=d
3
(常数).
由此c
n
=a
n
+2a
n+1
+3a
n+2=
c
n
=4 a
n
+2a
n+1
–3d
3

从而c
n+ 1
=4a
n+1
+2a
n+2
–5d
3，

两式相减得c
n+1
–c
n=
2
(
a
n+1–a
n
)–2d
3

信达

----- -------------------------------------------------- ------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点---------------------- -------------------------------



因此
a
n?1
?a
n
?
11
(c
c?1< br>?c
c
)?d
3
?d
2
?d
3
(常 数)(n=1,2,3,…)
22
所以数列{a
n
}公差等差数列
【解后反思】理解公差d的涵义，能把文字叙述转化为符号关系式.利用递推关系是解决数列的重要方法,要求考生熟练掌握等差数列的定义、通项公式及其由来.
点评：通过数列bn沟通了数列an和cn之间的关系，分三步进行：
第一步：建立cn与bn的关系；
第二步：通过bn与cn的性质发现an的性质；
第三步：由an的性质证明结论。

【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？
信达