高中数学必修一刷题-高中数学点线面四个公理
-------------------------------------------
------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点----------
-------------------------------------------
专题3.8：三次函数切线问题的辩证思考与拓展
【探究拓展】
探究1：切线的辩证定义
设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线。
随着点Q沿着曲线C向点P运动，
割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。当点Q无限逼近点P时，直线
PQ最终就成为在点P处最逼近曲线
的直线
l
，这条直线也称为曲线在P点处的切线。
A
n
A
1
T
探究2：填表：曲线在P点附近的局部图像反映出如下特点
在运动中：
割线
形 相交
两个公共点
数 两不等根
→
→
→
→
切线
相切
一个公共点
两重根
信达
曲线其他部分可能还有公共点
方程可能还有其他根
--
--------------------------------------------------
---------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-------------------
----------------------------------
探究3：切线问题的辩证策略
例1：若直线
y?x
是曲线
y?x
3
?3x
2
?ax
的切线，则
a
＝
．
（零点法）
↑
32
y?
x
是曲线
y?x
3
?3x
2
?ax
相切
y
?x?3x?(a?1)x
与x轴相切
↓↑
联立
?
↓
（重根法）
?
y?x
32
?
y?x?3x?ax
?x
3
?3x
2
?
?
a?1
?
x?0有重根→新联立
?
?
3
y?0
2
?
y?x?3
x?(a?1)x
?
p
??
q
?
变式1：曲线<
br>y?x?px
与
y??q
相切，求证
??
?
???0
?
3
??
2
?
3
32
变式2：方程
x
3
?px?q?0
有几个实根？
探究4：切线问题的辩证思考：
联系——数形结合、函数与方程、转化与化归
发展——量变与质变、运动观点
信达
--------
--------------------------------------------------
---------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-------------------------
----------------------------
探究5：辩证思维的强化延伸
由原点向曲线
y?x?3x?x
引
切线，切于不同于点
O
的点
P
再由
P
1
?
x
1
, y
1
?
，
1
引切线切于不同于
P
1
32
的点
P
2
?
x
2
,
y
2
?
，如此继续下去……，得点到
?
P
n
?x
n
, y
n
?
?
．
（1）求
x
1
；
（2）求
x
n
与x
n?1
的关系；
（3）点列
?
P
n
?
有何特点？
<
br>拓展1：若直线
y?x
是曲线
y?x
3
?3x
2?ax?1
的切线，则
a
＝
拓展2：直线
y?kx?m
对一切
m?R
与曲线
y?x
3
?6x
2
?9x?10
有且只有一个交点，求
k
的取值范围，
并尝试一下，
将结论推广到任意三次曲线的情形，此外能否从运动变化的观点阐述上述结论的几何意义．
【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？
信达