高中数学学科课外活动-高中数学俩平面平行
ruize
A级：基础巩固练
一、选择题
1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则( )
→→
A．BD＝CE
→→
C．BE＝BC
★答案★ D
→→
解析 ∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，即DE与BC共
线．
→
1
→→
2．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，AO＝
2<
br>(AB＋AC)，且
→→→→
|OA|＝|AB|，则BA·BC为( )
A．1
C．－1
★答案★ A
→→
解析 由题意知，O为BC
的中点，且∠ABC＝60°，|BC|＝2，|AB
→→
1
|＝1，∴BA·BC＝
1×2×
2
＝1.
3．人骑自行车的速度是v
1
，风速为v
2
，则人骑自行车逆风行驶的
速度为( )
A．v
1
－v
2
C．|v
1
|－|v
2
|
★答案★ B
解析
对于速度的合成问题，关键是运用向量的合成进行处理，
人骑自行车逆风行驶的速度为v
1＋v
2
，因此选B.
B．v
1
＋v
2
?
v
1
?
D．
?
v
?
?
2
?
→→
B．BD与CE共线
→→
D．DE与BC共线
B．3
D．－3
ruize
→→
?
→→
?
→→
A
BAC
?
→
ABAC1
?
＋
4．已知非零向量AB与AC满
足·BC＝0，且·＝，
→→
2
?
→→
?
?
|AB
||AC|
?
|AB||AC|
则△ABC为( )
A．三边均不相等的三角形
C．等腰非等边三角形
★答案★ D
B．直角三角形
D．等边三角形
解析
?
→
→
?
→→
ABAC
?
＋
?
·∵BC＝0，∴∠A的平分线所在
的向量与BC垂
→→
??
?
|AB||AC|
?
→→
ABAC11
π
直，所以△ABC为等腰三角形．又·＝，∴cosA＝
2
，∴∠A＝
3
.
→→
2
|AB||AC|
故△ABC为等边
三角形．
5．已知直线x＋y＝a与圆x
2
＋y
2
＝2交于A，B
两点，O是坐标原
→→→
点，C是圆上一点，若OA＋OB＝OC，则a的值为( )
A．±1
C．±3
★答案★ A
B．±2
D．±2
解析
如图，连接AC，BC，可知四边形OACB是菱形，OC⊥AB，
ruize
2
所以原点O到直线AB的距离等于半径的一半，即
2
，进而可得a＝±1.
二、填空题
6．某人从点O向正东走30 m到达点A，再向正北走303
m到
达点B，则此人的位移的大小是________m，方向是东偏北________．
★答案★ 60 60°
→→→→→
解析
如图所示，此人的位移是OB＝OA＋AB，且OA⊥AB，
→
则|OB|＝→→
|OA|
2
＋|AB|
2
＝60(m)，
→
|AB|
tan∠BOA＝＝3.∴∠BOA＝60°.
→
|O
A|
1
??
??
－4，
7．已知向量a＝(6,2)，b＝
2
?
，过点A(3，－1)且与向量a＋
?
2b平行的直线l的方程为___
_____．
★答案★ 3x＋2y－7＝0
3
??
?
解析 a
＋2b＝(6,2)＋(－8,1)＝(－2,3)＝－2
1，－
2
?
，∴过
A(3，
??
3
－1)且与向量a＋2b平行的直线l的方程为y＋1＝－
2
(x－3)，即3x＋
2y－7＝0.
8．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β
|≤1，且以向量α，β为邻边的
1
平行四边形的面积为
2
，则α与β的夹角
θ的取值范围是________．
ruize
?
π
5π
?
★答案★
?
6
，
6
?
??
解析
以α，β为邻边的平行四边形的面积为
1
S＝|α||β|sinθ＝|β|sinθ＝
2
，
1111<
br>所以sinθ＝，又因为|β|≤1，所以≥
2
，即sinθ≥
2
且θ
∈[0，
2|β|2|β|
?
π
5π
?
π]，所以θ∈?
6
，
6
?
.
??
三、解答题
9
．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G
→→
为BE与DF的交点
．若AB＝a，AD＝b.
→→
(1)试以a，b为基底表示BE，DF；
(2)求证：A，G，C三点共线．
→→→
1
解
(1)BE＝AE－AB＝
2
b－a，
→→→
1
DF＝AF－AD＝
2
a－b.
→→
(2)证明：D，G，F三点共线，则DG＝λDF，
→→→
1
AG＝AD＋λDF＝
2
λa＋(1－λ)b.
→→
B，G，E三点共线，则BG＝μBE，
ruize
→→→
1
AG＝AB＋μBE＝(1－μ)a＋
2
μb，
1
?
?
2
λ＝1－μ，
由平面向量基本定理知
?
1
?
?
1－λ＝
2
μ，
2
解得λ＝μ＝
3
，
→
11
→
∴AG＝
3
(a＋b)＝
3
AC，所以A，G，C三点共线．
10．今有一小船位于d＝60 m宽的河边P处，从这里起，在下游
l＝80
m处河流变成瀑布，若河水流速方向由上游指向下游(与河岸平
行)，水速大小为5 ms，如图，为了
使小船能安全渡河，船的划速不能
3
??
?
＝
5
?
小于多少？当划速最小时，划速方向如何？
sin37°
??
解
如图，由题设可知，船的实际速度v＝v
划
＋v
水
，其方向为临
→<
br>界方向PO.
则最小划速|v
划
|＝|v
水
|·sinθ，
sinθ＝
d603
＝＝，
2222
5
d＋l60＋80
∴θ＝37°.
ruize
3
∴最小划速应为v
划
＝5×sinθ
＝5×
5
＝3(ms)．
当划速最小时，划速的方向与水流方向的夹角为127°.
B级：能力提升练
1．一只渔船在航行中遇险，发出求救警报，在遇险地西南方向10
mile处有一只货船收到警报立即侦察，发现遇险渔船沿南偏东75°，以
9
mileh的速度向前航行，货船以21
mileh的航速前往营救，并在最短
时间内与渔船靠近，求货船的位移．
解
如下图，设渔船在A处遇险，货船在B处发现渔船遇险，两
船在C处相遇，所经时间为t(h)．
由已知，∠BAC＝45°＋75°＝120°，
→→→
|AB|＝10，|AC|＝9t，|BC|＝21t.
→→→→→→
∵BC＝AC－AB，∴BC
2
＝(AC－AB)
2
，
→→→→
→
即BC
2
＝AC
2
－2AC·AB＋AB
2
.
∴(21t)
2
＝(9t)
2
－2×9t×10×cos120°＋
100.
化简得36t
2
－9t－10＝0，
2
即(3t－2)(12t＋5)＝0.∵t>0，∴t＝
3
.
→
2
→
2
∴|BC|＝
3
×21＝14，|AC|＝
3
×9＝6.
→→→
又AC＝BC－BA，
ruize
→→→→→→→→
∴AC
2
＝(BC－BA)
2
，即AC<
br>2
＝BC
2
－2BC·BA＋BA
2
.
∴36＝196－2×14×10×cos∠ABC＋100.
13
由此解得cos∠ABC＝
14
.∴∠ABC≈21°47′.
故货船的位移是北偏东66°47′，距离为14 mile.
2．如图，用两条同样长的绳
子拉一物体，物体受到重力为G.两绳
受到的拉力分别为F
1
，F
2
，夹角为θ.
(1)求其中一根绳子受的拉力|F
1
|与|G|的关系式
，用数学观点分析
|F
1
|的大小与夹角θ的关系；
(2)求|F
1
|的最小值；
(3)如果每根绳子的最大承受拉力为|G|，求θ的取值范围．
解
(1)由力的平衡得F
1
＋F
2
＋G＝0，
设F
1
，F
2
的合力为F，则F＝－G.
由F
1
＋F
2
＝F且|F
1
|＝|F
2
|，|F|＝|G
|，
1
|F|
θ
2
|G|
解直角三角形得cos
2
＝＝.
|F
1
|2|F
1
|
∴|F
1
|＝，180°]．
θ
，θ∈[0°
2cos
2
由于函数
y＝cosθ在θ∈[0°，180°]上为减函数，
|G|
ruize <
br>θ
|G|
∴θ逐渐增大时，cos
2
逐渐减小，即
θ
逐渐增大．
2cos
2
∴θ增大时，|F
1
|也增大．
|G|
(2)由上述可知，当θ＝0°时，|F
1
|有最小值为
2
.
|G|
(3)由题意，得
2
≤|F
1
|≤|G|，
111
θ
∴
2
≤
θ
≤1，即
2
≤cos
2
≤1.
2cos
2
由于y＝cosθ在[0°，180°]上为减函数，
θ
∴0°≤
2
≤60°，∴θ∈[0°，120°]．