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扇形弧度公式焦半径公式的证明.

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 00:29
tags:半径公式

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2020年9月21日发(作者:易希高)

焦半径公式的证明
【寻根】 椭圆的根在哪里?自然想到椭圆的定义:到两定点
F
1

F
(距离之和为定值2
a
(2
a>
2
c

2
|
F
1
F
2
| =2
c

的动点轨迹(图形).
这里,从椭圆的“根上”找到了两个参数
c

a
.
第一个 参数
c
,就确定了椭圆的位置;再加上另一个参数
a
,就确定了椭圆的形状和 大小.比较它们的“身
份”来,
c

a
更“显贵”.
遗憾的是,在椭圆的方程
之嫌.
里,却看不到
c
的踪影,故有人开 玩笑地说:椭圆方程有“忘本”
为了“正本”,我们回到椭圆的焦点处,寻找
c
,并寻 找关于
c
的“题根”.



一、用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式
数学题的题根不等同数学教学的根基,数学教学的根基 是数学概念,如椭圆教学的根基是椭圆的定义.
但是在具体数学解题时,不一定每次都是从定义出发,而 是从由数学定义引出来的某些已知结论(定理或公
式)出发,如解答椭圆问题时,经常从椭圆的方程出发 .

【例1】 已知点
P

x

y
)是椭圆上任意一点,
F
1
(-
c
,0)和
F
2< br>(
c
,0)是椭圆的两个焦
点.求证:|
PF
1
|=
a+
;|
PF
2
|=
a
-.
【分析】 可用距离公式先将|
PF
1
|和|
PF
2
|分别表示出来. 然后利用椭圆的方程“消
y
”即可.
【解答】 由两点间距离公式,可知
|
PF
1
|= (1)
从椭圆方程解出
(2)
代(2)于(1)并化简,得
|
PF
1
|=

(-
a

x

a
)
同理有

|
PF
2
|=
【说明】 通过例1,得出了椭圆的焦半径公式

(-
a

x

a
)
r
1
=
a+ex

r
2
=
a-ex
(
e
=)
从公 式看到,椭圆的焦半径的长度是点
P

x,y
)横坐标的一次函数.
r
1

x
的增函数,
r
2

x
的减
函数,它们都有最大值
a+c
,最小值
a-c
.从焦半径公式, 还可得椭圆的对称性质(关于
x,y
轴,关于原点).

二、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径
用椭圆方程推导焦半径公式,虽然过程简便,但容易使人 误解,以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为
其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性,我们考虑从椭圆 定义直接导出公式来.
椭圆的焦半径公式,是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义,对焦半径直接用距离公式即可.
【例2】
P
(
x,y
)是平面上的一点,
P
到 两定点
F
1
(-
c
,0),
F
2

c
,0)的距离的和为2
a

a>c
>0).试用
x
y
的解析式来表示
r
1
=|
PF
1
|和
r
2
=|
PF
2
|.
【分析】 问题是求
r
1
=
f

x
)和
r
2
=
g

x
).先可视
x
为参数列出关于
r
1

r
2
的方程组,然后从中得出
r
1

r
2
.
【解答】 依题意,有方程组

②-③得
代①于④并整理得
r
1
-
r
2
= ⑤
联立①,⑤得
【说明】 椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出,对椭圆的 方程有自己的独立性.由于公式中含
c
而无
b
,其基础性显然.

三、 焦半径公式与准线的关系
用椭圆的第二定义,也很容易推出椭圆的焦半径公式. 如图右,点
P

x

y
)是以
F
1< br>(
-c,
0)为焦点,以
l
1

x=-
为 准线的椭圆上任意一点.
PD

l
1

D.
按椭圆
的第二定义,则有


r
1
=
a+ex
,同理有
r
2
=
a-ex.

对中学生 来讲,椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”.准线
因此,把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理 更符合逻辑性.

缺乏定义的“客观性”.
【例3】
P
x

y
)是以
F
1
(-
c
,0),< br>F
2

c
,0)为焦点,以距离之和为2
a
的椭圆上 任意一点.直线
l

x=-

PD
1

l

l

D
1
.
求证:.
【解答】 由椭圆的焦半径公式 |
PF
1
|=
a
+
ex
.
对|
PD
1
|用距离公式 |
PD
1
|=
x-
=
x+
.
故有.
【说明】 此性质即是:该椭圆上任意一点,到定点
F
((
F()与定直线
l
1
:
x
=-
1
-
c,
0)
2
c,
0)(
l
2

x=
)
的距离之比为定值
e
(0<
e<
1).

四、用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程
现行教材在椭圆部分,只完成了“从曲线到方程”的 单向推导,实际上这只完成了任务的一半.而另
一半,从“方程到曲线”,却留给了学生(关于这一点, 被许多学生所忽略了可逆推导过程并不简单,特别
是逆过程中的两次求平方根).
其实,有了焦半径公式,“证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明.
【例4】 设点P

x

y
)适合方程
0)的距离之和为2
a

c
=
a
-
b
).
222
.求 证:点
P

x

y
)到两定点
F
1

-c,
0)和
F
2

c

【分析】 这题目是为了完成“从方程到曲线”的这一逆向过程.利用例2导出的焦点半径公式,很
快可推出结果.
【解答】
P

x

y
)到
F< br>1
(-
c
,0)的距离设作
r
1
=|
PF< br>1
|.由椭圆的焦点半径公式可知
r
1
=
a+ex

同理还有
r
2
=
a-ex

①+② 得
r
1
+
r
2
=2
a

即 |
PF
1
|+|
PF
2
|=2
a
.
P

x

y
)到两定点
F
1
(-
c
,0)和
F
2

c,
0)的距离之和为2
a.

【说明】 椭圆方程是二元二次方程,而椭圆的焦半径公式是一元一次函数. 因此,围绕着椭圆焦半
径的问题,运用焦半径公式比运用椭圆方程要显得简便.

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