日本高中数学满分-高中数学任意的三角函数ppt
ruize
学期综合测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)
两部分．满分150分，
考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一
、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的)
1．tan(－570°)＋sin240°＝( )
53
A．－
6
33
C．
2
★答案★ A
3353
解析
原式＝－tan30°－sin60°＝－
3
－
2
＝－
6
.
3π
???
π
?
2．若sin
?
θ＋
2<
br>?
>0，cos
?
2
－θ
?
>0，则角θ的终边位于
( )
????
A．第一象限
C．第三象限
★答案★ B
3π
??
解析
∵sin
?
θ＋
2
?
＝－cosθ>0，∴cosθ<0，
??
?
π
?
?
－θ
cos
2
?
＝sinθ>0，∴θ为第二象限角，选B．
??
3
B．
6
D．3
B．第二象限
D．第四象限
1
3．下列函数中同时满足
最值是
2
，最小正周期是6π的三角函数的
解析式是( )
1
?
x
π
?
A．y＝
2
sin
?
3
＋
6
?
??
?
x
π
?
C．y
＝2sin
?
3
＋
6
?
??
π?
1
?
B．y＝
2
sin
?
3x＋
6
?
??
1
?
π
?
D．y＝
2<
br>sin
?
x＋
6
?
??
★答案★ A
ruize
1
2π
1
解析
由题意得，A＝
2
，
ω
＝6π，ω＝
3
.故选A．
4．若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是( )
A．43
C．±43
★答案★ B
解析 tan600°＝tan(2×360°－1
20°)＝tan(－120°)＝－tan120°＝
3＝
a
，a＝－43.
－4
B．－43
D．3
π
??
?
5．将函
数y＝sin
2x＋
3
?
的图象经怎样的平移后所得的图象关于点
?
?
?
π
?
?
－，0
?
成中心对称( )
?
12
?
π
A．向左平移
12
π
C．向右平移
12
★答案★ C
π
B．向左平移
6
π
D．向右平移
6
π
???
kπ
π
?
????
2x＋－，0
解析 函数y＝sin
3
?
的对称中心为
?
26
?
，其中离
?
?
π
??
π
?
π
?
－
，0
?
最近的对称中心为
?
－，0
?
，故函数图象只需向右
平移
12
个单
?
12
??
6
?
位即可．
6．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)的部分图象如
图所
示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(11)的值等于( )
A．2
C．2＋22
B．2＋2
D．－2－22
ruize
★答案★ C
解析 由图象可知，函数的振幅为2，初
相为0，周期为8，则A
2ππ
＝2，φ＝0，
ω
＝8，从而f(x)＝2s
in
4
x.所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(11)
ππ3π
＝
f(1)＋f(2)＋f(3)＝2sin
4
＋2sin
2
＋2sin
4
＝2＋22.
7．设θ为两个非零向量a，b的夹角．已知对任意实数t，|b＋ta|
的最小值为1.那么，( )
A．若θ确定，则|a|唯一确定
B．若θ确定，则|b|唯一确定
C．若|a|确定，则θ唯一确定
D．若|b|确定，则θ唯一确定
★答案★ B
解析 |b＋ta|
2<
br>＝b
2
＋2a·bt＋a
2
t
2
，令f(t)＝a<
br>2
t
2
＋2a·bt＋b
2
，又t是
4a
2
b
2
－?2a·b?
2
4a
2
b
2
－4a
2
b
2
cos
2
θ
任意实数，所以可得f
(t)的最小值为＝＝
4a
2
4a
2
4b
2
sin
2
θ
22
＝1，即|b|sin
θ＝1，易知若θ确定，则|b|唯
一确定．
4
sinx＋a
8．设a>0，对于函数f(x)＝
sinx(0
B．有最小值而无最大值
C．有最大值且有最小值
D．既无最大值又无最小值
★答案★ B
sinx＋a
解析 令t＝sinx，t∈(0,1]，则函数f(x
)＝
sinx
(0
函数y＝1＋
t
，t∈(0,1]的值域．又a>0，所以y＝1＋
t
，t∈(0,1]是一个
减函数
，故选B．
9．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(x∈R)，其中ω>0，－π<φ≤π，
若
ruize
π
f(x)的最小正周期为6π，且当x＝
2
时，f(x)取得最大值，则(
)
A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数
B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数
C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数
D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数
★答案★ A
1
π
解析 ∵f(x)的最小正周期为6π，∴ω＝
3
.∵当x＝<
br>2
时，f(x)有最大
1
πππ
值，∴
3
×
2
＋φ＝
2
＋2kπ(k∈Z)，φ＝
3
＋2kπ(k∈Z)．∵－
π<φ≤π，∴φ
?
x
π
?
π
＝
3
，∴f
(x)＝2sin
?
3
＋
3
?
，由函数图象，易得在区间[
－2π，0]上是增函
??
数，而在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均没有单调性，
在区间[4π，6π]
上是单调增函数．故选A．
10．已知|a|＝1，|b|＝2，a与
b的夹角为60°，c＝2a＋3b，d＝ka
－b(k∈R)，且c⊥d，那么k的值为( )
A．－6
14
C．－
5
★答案★ D
解析 a·b＝1×2×cos60°＝1，
∵c⊥d，∴c·d＝(2a＋3b)·(ka
－b)＝2ka
2
－2a·b＋3ka·b－3b
2
＝2k－
14<
br>2＋3k－12＝0，∴k＝
5
.
?
π
?
11．已
知向量a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈
?
2
，π
?
，若
??
B．6
14
D．
5
<
br>π
??
2
?
a·b＝
5
，则tan
α＋4
?
＝( )
??
1
A．
3
1
C．
7
2
B．
7
2
D．
3
ruize
★答案★ C
解析 a·b＝cos2α＋sinα(2sinα－1)＝cos2α＋2sin
2
α－sinα＝1－
2
2sin
α＋2sinα－sinα＝1－sinα＝
5
，
22
3
∴sinα＝
5
.
?
π<
br>?
4
??
∵α∈
2
，π
，∴cosα＝－
5
，
??
sinα3
∴tanα＝
cosα
＝－
4
，
3
－
4
＋1
π
?
tanα＋1
?
1
∴tan
?
α＋
4
?
＝＝＝.
?
3<
br>?
7
??
1－tanα
1－
?
－
4
?
??
12.如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y
→→轴正半轴上移动，则OB·OC的最大值是( )
A．2
B．1＋2
C．π
D．4
★答案★ A
解析 设∠OAD＝θ，因为AD＝1，所
以OA＝cosθ，OD＝sinθ，
π
则∠BAx＝
2
－θ，AB＝1，
?
π
?
所以x
B
＝cos
?
2
－
θ
?
＋OA＝sinθ＋cosθ，
??
ruize ?
π
?
?
y
B
＝sin
2
－θ
?
＝cosθ，即OB＝(sinθ＋cosθ，cosθ)，同理C(sinθ，sinθ
??
→
→
＋cosθ)，OC＝(sinθ，sinθ＋cosθ)．
→→
所以OB·OC＝(sinθ＋cosθ，cosθ)·(sinθ，sinθ＋cosθ)＝1＋si
n2θ，所
→→
以当sin2θ＝1时，OB·OC的最大值为2，选A．
第Ⅱ卷
(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将★答案★
填在题中的横线上) 13．设a＝(log
2
x,2)，b＝(1，－1)，a∥b，则x＝________
.
1
★答案★
4
1
解析
a∥b?2＝－log
2
x，∴x＝
4
.
2π
14．若非
零向量a与b的夹角为
3
，|b|＝4，(a＋2b)·(a－b)＝－32，
则向量
a的模为________．
★答案★ 2
解析 (a＋2b)·(a－b)
＝a
2
＋a·b－2b
2
2π
＝|a|＋|a||b|cos
3
－2|b|
2
2
1
＝|a|
2
－
2
×4|a|－2×4
2<
br>＝－32，
解得|a|＝2或0(舍去)．
2π
15．已知e
1<
br>，e
2
是夹角为
3
的两个单位向量，a＝e
1
－2e
2
，b＝ke
1
＋e
2
.若a·b＝0，则实数k的值为_
_______．
5
★答案★
4
解析 由题意知，a·b＝(
e
1
－2e
2
)·(ke
1
＋e
2
)＝0
，即ke
2
e
2
－
1
＋e
1
·
ruize
2
2ke
1
·e
2
－2e
2
＝0，即
2π2π
5
k＋cos
3
－2kcos
3
－2＝0，化简可求得k＝
4
.
16．有下列四个命题：
①若α，β均为第一象限角，且α>β，则sinα>sinβ；
π
??
1
②若函数y＝2cos
?
ax－
3
?
的最小正周期是4π， 则a＝
2
；
??
sin
2
x－sinx
③函数y＝是奇函数；
sin x－1
π
??
④函数y＝sin
?
x－
2
?
在[0，π]上是增函数．
??
其中正确命题的序号为________．
★答案★ ④
解析 α＝390°>30°＝β，但sinα＝sinβ，所以①不正确；
π
??
2π
函数y＝2cos
?
ax－
3
?
的最小正周期为T＝
|a|
＝4π，
??
11
所以|a |＝
2
，a＝±
2
，因此②不正确；
π
??
③中 函数定义域是{x
?
x≠2kπ＋
2
，k∈Z
?
，显然不关 于原点对称，
??
π
???
π
?
???
所以③不正 确；由于函数y＝sin
x－
2
＝－sin
2
－x
?
＝－cosx，它在(0，
????
π)上单调递增，因此④正确．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，A(1，－2)，B(－3，
－4)，O为坐标 原点．
→→
(1)求OA·OB；
→→→
(2)若点P在直线AB上，且OP⊥AB，求OP的坐标．
→→
解 (1)OA·OB＝1×(－3)＋(－2)×(－4)＝5.
ruize
→→
(2)设P(m，n)，因为P在AB上，所以BA与PA共线．
→→
BA＝(4,2)，PA＝(1－m，－2－n)，所以4·(－2－n)－2(1－m)＝0.
即2n－m＋5＝0.①
→→
又因为OP⊥AB，所以(m，n)·(－4，－2)＝0.
所以2m＋n＝0.②
→
由①②解得m＝1，n＝－2，所以OP＝(1，－2)．
18．(本小题满分12分)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为θ.
(1)若a∥b，求a·b；
(2)若a－b与a垂直，求θ.
解
(1)∵a∥b，∴θ＝0°或180°，
∴a·b＝|a||b|cosθ＝±2.
(2)∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，
即|a|
2
－a·b＝1－2cosθ＝0，
2
∴cosθ＝
2
.
又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°. <
br>π
??
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)
?
ω>0，0<φ<
2
?
的
??
部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)将函数y＝f(x)的图象上所有点的纵坐标
不变，横坐标缩短为原
ruize
1
π
来的
2，再将所得函数图象向右平移
6
个单位，得到函数y＝g(x)的图象，
求g(x
)的单调递增区间．
3
11ππ9π3π
解 (1)由图得
4
T＝
6
－
3
＝
6
＝
2
，
2π
∴T＝2π，∴ω＝
T
＝1.
?
11π
??
11π
?
又f
?
6
?
＝0，得Asin
?
6
＋φ
?
＝0，
????
11π11π
∴
6
＋φ＝2kπ，k∈Z，φ＝2kπ－
6
，k∈Z.
ππ
∵0<φ<
2
，∴当k＝1时，φ＝
6
.
π
又由f(0)＝2，得Asin
6
＝2，∴A＝4，
π
??
∴f(x)＝4sin
?
x＋
6
?
.
??<
br>π
??
1
??
(2)将f(x)＝4sin
x＋
6<
br>的图象上所有点的横坐标缩短为原来的
2
，纵
??
π
??π
??
2x＋
坐标不变得到y＝4sin
6
?
，再将图
象向右平移
6
个单位得到
?
π
?
π
???
π
??
g(x)＝4sin
?
2
?
x－
6
?
＋
6
?
＝4sin
?
2x－
6
?，
?
??
?
?
?
πππ
由2kπ－
2
≤2x－
6
≤2kπ＋
2
(k∈Z)，
ππ
得kπ－
6
≤x≤kπ＋
3
(k∈Z)，
π
π
??
?
∴g(x)的单调递增区间为
kπ－
6
，kπ＋<
br>3
?
(k∈Z)．
??
→
20．(本小题满分12分)已知
向量OA＝(cosα，sinα)，α∈[－π，0]，
→
向量m＝(2,1)，n＝(0，
－5)，且m⊥(OA－n)．
→
(1)求向量OA；
ruize
2
(2)若cos(β－π)＝
10
，0＜β＜π，求cos(2α－β)的
值．
→
解 (1)因为OA＝(cosα，sinα)，
→
所以OA－n＝(cosα，sinα＋5)．
→→
因为m⊥(OA－n)，所以m·(OA－n)＝0，
所以2cosα＋sinα＋5＝0.①
又sin
2
α＋cos
2
α＝1，②
525
由①②得sinα＝－
5
，cosα＝－
5
，
→
?
255
?
??
. 所以OA＝
－，－
55
??
2
(2)因为cos(β－π)＝
10
，
2
所以cosβ＝－
10
，
又0＜β＜π，
72
π
所以sinβ＝1－cos
2
β＝
10
，且
2
＜β＜π.
?
5
??
25
?
4
2
?＝，又因为sin2α＝2sinαcosα＝2×
?
－
?
×
?
－
cos2α＝2cos
α
5
55
????
43<
br>－1＝2×
5
－1＝
5
，
所以cos(2α－β)＝cos2αcosβ＋sin2αsinβ
3
?
2
?
472
＝
5
×
?
－
?
＋5
×
10
?
10
?
2522
＝
50
＝
2
.
1
?
2
π
???
21．(本小题满分12分)已知f(x)
＝
?
1＋
tanx
?
sinx－2sin
?
x＋<
br>4
?
????
π
??
?
sin
x－
4
?
.
??
ruize
(1)若tanα＝2，求f(α)的值；
?
π
π
?
(2
)若x∈
?
12
，
2
?
，求f(x)的取值范围．
??
π
?
π
?
1－cos2x
1
??
解
(1)f(x)＝(sinx＋sinxcosx)＋2sin
?
x＋
4
?<
br>·cos
?
x＋
4
?
＝＋
22
????2
π
?
11
?
11
??
2x＋
sin
2x＋sin
2
?
＝
2
＋
2
(sin2x－cos
2x)＋cos2x＝
2
(sin2x＋cos2x)＋
2
.
?
由tanα＝2，得sin2α＝
2sinαcosα2tanα4
＝＝.
sin
2
α＋cos
2
α
tan
2
α＋1
5
cos
2
α－sin
2
α
1－tan
2
α
3
cos2α＝
2
＝＝－
5
.
sin
α＋cos
2
α
1＋tan
2
α
113
所
以，f(α)＝
2
(sin2α＋cos2α)＋
2
＝
5
.
11
(2)由(1)得f(x)＝
2
(sin2x＋cos2x)＋
2
π
?
12
?
＝
2
sin
?<
br>2x＋
4
?
＋
2
.
??
?
ππ
?
5ππ5π
??
由x∈
12
，
2
，得
12
≤2x＋
4
≤
4
.
??
2＋1
π
??
2
所以－
2
≤sin
?
2x＋4
?
≤1,0≤f(x)≤
2
.
??
?
2＋1
?
?
. 所以f(x)的取值范围是
?
0，
2
??
22．(本小题满分12分)已知M(1＋cos2x,1)，
N(1，3sin2x＋a)(x
→→
∈R，a∈R，a是常数)，且y＝OM·ON(O为坐
标原点)．
(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；
π
??
??<
br>0，
(2)若x∈
2
?
时，f(x)的最大值为4，求a的值，并说明
此时f(x)
?
π
??
的图象可由y＝2sin
?
x＋6
?
的图象经过怎样的变换而得到；
??
(3)函数y＝g(x)的图
象和函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，
求y＝g(x)的表达式，并比较g(1)和g(2
)的大小．
ruize
→→
解 (1)y＝f(x)＝OM·ON
＝(1＋cos2x,1)·(1，3sin2x＋a)＝3sin2x
π
??
＋co
s2x＋1＋a＝2sin
?
2x＋
6
?
＋1＋A
．
??
π
??
(2)x∈
?
0，
2
?<
br>，
??
π
??
π
7π
??
?
则<
br>2x＋
6
?
∈
?
6
，
6
?
，
????
所以f(x)的最大值为3＋a＝4，解得a＝1，
π
??<
br>此时f(x)＝2sin
?
2x＋
6
?
＋2，
??
π
??
?
其图象可由y＝2sin
x＋
6
?
的图象经纵坐标不变，横坐标缩小为原
??
1
来的
2
，再将所得图
象向上平移2个单位得到．
(3)设M(x，y)为y＝g(x)的图象上任一点，
由函数
y＝g(x)的图象和函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，得
M(x，y)关于x＝1的对称
点M′(2－x，y)在y＝f(x)的图象上，
所以y＝g(x)＝f(2－x)
π??
＝2sin
?
2?2－x?＋
6
?
＋1＋a ??
π
??
?
＝2sin
－2x＋4＋
6
?<
br>＋1＋A
．
??
π
??
g(1)＝2sin
?
2＋
6
?
＋1＋a，
??
π5π
g(2)＝
2sin
6
＋1＋a＝2sin
6
＋1＋A
．
ππ5π
因为
2
<2＋
6
<
6
<π，
所以g(1)>g(2)．