高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题2.10：函数奇偶性与单调性问题的研究与拓展

------------------------------------------- ------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点
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专题2.10：函数奇偶性与单调性问题的研究与拓展
【问题提出】
（1）下列说法中，正确命题的序号为______________
①定义在R上的函数< br>f
?
x
?
，若
f
?
?2
?
?f(2)
，则函数
f
?
x
?
是偶函数
②定义在 R上的函数
f
?
x
?
，若
f
?
?2
?
?f(2)
，则函数
f
?
x
?
不是偶函数 < br>③定义在R上的函数
f
?
x
?
，若
f
??2
?
?f(2)
，则函数
f
?
x
?
不是奇函数
（2）下列说法中，正确命题的序号为_________________
① 若定义在R上的函数
f
?
x
?
满足
f
?
2
?
?f(1)
，则函数
f
?
x
?
是R上的 单调增函数
②若定义在R上的函数
f
?
x
?
满足
f
?
2
?
?f(1)
，则函数
f
?
x?
在R上不是单调减函数
③若定义在R上的函数
f
?
x
?
在区间
?
??,0
?
上是单调增函数，在区间
?
0,??
?
上也是单调增函数，则函数
f
?
x
?
在R上是单调增函数
④若定义在R上的函数
f
?
x
?
在区 间
?
??,0
?
上是单调增函数，在区间
?
0,??
?
上也是单调增函数，则函数
f
?
x
?
在R上是单调增函 数

【探究拓展】
探究1：已知
f(x)
是一个定义在
R
上的函数，求证：
信达

-------------------------------- -----------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起 点
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（1）
g(x)?f(x)?f(?x)
是偶函数；
（2）
h(x)?f(x)

- f(?x)
是奇函数.
思考：已知函数
f(x)?x?(a?1)x?lg|a?2|(a?R,且a??2)
.写出 一个奇函数
2
g(x)
和一个偶函数
h(x)
，使
f(x )
=
g(x)
+
h(x)
.
拓展：研究是否任意一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和. 变式1：定义在R上的两个函数中，
f(x)
为偶函数，
g(x)
为奇函 数，
f(x)?g(x)?(x?1)
2
，则
f(x)?
____ ________
变式2：定义在
R
上的奇函数
f(x)
和偶函数
g(x)
满足
f(x)?g(x)?a
x
?a
?x
?2(a?0且a?1)
，若
g(2)?a,
则
f(2)?_______
15

4
变式3：定义在区间(－1,1)上的函数
f
(< br>x
)满足2
f
(
x
)－
f
(－
x< br>)＝lg(
x
＋1)，则
f
(
x
)的解析式为
___________.
拓展1：定义域均为R的奇函数
f
(
x
)与偶函数
g
(
x
)满足
f
(
x
)＋
g
(
x
)＝10．
（1）求函数
f
(
x
)与
g
(
x
)的解析式；
（2）证明：
g< br>(
x
1
)＋
g
(
x
2
)≥2
g
(
x
x
1
＋
x
2
2
)； < br>（3）试用
f
(
x
1
)，
f
(
x< br>2
)，
g
(
x
1
)，
g
(
x
2
)表示
f
(
x
1
－
x
2)与
g
(
x
1
＋
x
2
)．
解：（1）∵
f
(
x
)＋
g
(
x
)＝10 ①，∴
f
(－
x
)＋
g
(－
x
)＝10， ∵
f
(
x
)为奇函数，
g
(
x
)为偶函数 ，
∴
f
(－
x
)＝－
f
(
x
) ，
g
(－
x
)＝
g
(
x
)，∴－
f
(
x
)＋
g
(
x
)＝10②，
111
x
1
x
由①，②解得
f
(
x
)＝(10－
x
)，
g
(
x
)＝(10＋
x
)． 210210
1
x
11
x
11
x
1111xxx
（2）解法一：
g
(
x
1
)＋
g
(
x
2
)＝(10＋
x
)＋(10＋
x
)＝(1 0＋10)＋(
x
＋
x
)≥?210×10＋
2222
10 10
2
1010
121212
1212
x
－
x－
x
1
×2
2
11
x
×
x
＝ 10
1010
12
x
1
＋
x
2
2
＋
x
1
＋
x
2
＝2
1
x
1
＋
x
2
g
()．
2
x
1
＋
x
2
2
10
2
解法二：[
g
(
x
1
)＋
g
(
x
2
)]－2
g
(
x< br>1
＋
x
2
2
1
x
11
x
1
)＝(10＋
x
)＋(10＋
x
)－(10
22
1 010
12
12
＋
x
1
＋
x
2
) ＝
1
10
＋1)?10
2
x
1
＋
x2
(10
x
1
＋
x
2
＋1)(10＋10)< br>2?10
x
1
＋
x
2
x
1
x
2
－
10
x
1
＋
x
2
1
＋1( 10
＝
x
＋
x
2
x
1
＋
x
2
＋1)(10＋10)－2?(10
2?10
信达
x
1
x
2
x
1
＋
x
2
2
10
2x
1
＋
x
2
?

---------- -------------------------------------------------- -------奋斗没有终点任何时候都是一个起点
----------------------- ------------------------------



x
1
＋
x
2
x
1
＋
x
2
x
1
＋
x
2
＝
(10
x
1
＋
x
2
＋1)[10＋10－2??10
2?10
x
1
＋< br>x
2
x
1
x
2
2
](10
≥
＋1)[210×10－2??10
2?10
x
1
＋
x
2
x
1
x
2
2
]
＝0．
（3）
f
(
x
1
－
x
2
)＝
f
(
x
1
)
g
(
x
2
)－
g
(
x
1
)
f
(
x
2
)，
g
(x
1
＋
x
2
)＝
g
(
x
1< br>)
g
(
x
2
)－
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)．
（有点类似两角和差的正余弦公式的结构）
反思：掌握函数的函数解析式，奇函数，单调性，等常规问题的处理方法，第（2）问，
把函数与不等式的证明，函数与指对式的化简变形结合起来，提升学生综合应用知识的能
力．第（2）问还具有高等数学里凸函数的背景．
拓展2：请各写出一个满足下列条件的函数：
（1）
f(m?x)?f(m?x)< br>_________；（2）
f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y)
___ ____

探究2：函数
y?f(x)
是定义在
(0,??)上的增函数，并且满足
f(xy)?f(x)?f(y)
，
f(3)?1
.若存在
实数
m
，使得
f(m)?3,
则
m
的值为
变式：函数
f
?
x
?
满足：
f
?
1
?
?
1
，
4f
?
x
?
f
?
y
?
?f
?
x?y
?
?f
?
x?y
??
x,y?R
?
，则
4
f
?
20 10
?
=_____________.
拓展1：若对于任意
x,y?Rf (x?y)?f(x)?f(y)
恒成立，请写出符合条件的一个函数解析式为
_______ ______.
拓展2：已知函数
f(x)
的定义域是
x?0
的一 切实数，对于定义域内的任意
x
1
,x
2
，都有
f(x1
x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
)
，且当
x?1
时，
f(x)?0,且f(2)?1
.
（1）求证：
f(x)
是偶函数；
（2）证明：
f(x)在
?
0,??
?
上是增函数；
（3）解不等式
f(2x?1)?2
.

变式1：若定义在
R
上的函数对任意的
x
1
,x
2
?R
都有
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f(x
2)?2
成立，
且当
x?0
时，
f(x)??2
．
（1）求证：
f(x)?2
为奇函数；
信达
2

< br>----------------------------------------------- --------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点
---------- -------------------------------------------



（2）求证：
f(x)
是
R
上的增函数； < br>（3）若
f(1)??1,
f(log
2
m)?2
，求
m
取值范围．
证明：（1）令
x
1
?x
2
?0
，则
f(0?0)?f(0)?f(0)?2
，即
f(0)??2
； ---1分
令
x
1
?x,x
2
??x
，则
f(x)?f(?x)?2?f(0)??2
，∴
?
f(x)?2
?
?
?
f(?x)?2
?
?0
，
∴
f(x)?2
为奇函数；
（2）任取
x
1
,x
2
?R
，且
x
1
?x
2
，则
f( x
2
?x
1
)?f(x
2
)?f(?x
1
)?2

f(x)?2
为奇函数，∴
f(?x)?2??
?
f(x)?2
?

∴
f(x
2
?x
1
)? f(x
2
)?
?
f(x
1
)?2
?
?f( x
2
)?f(x
1
)?2

?f(x
2
) ?f(x
1
)?f(x
2
?x
1
)?2
，
x
1
?x
2
，∴
x
2
?x
1
?0
，∴
f(x
2
?x
1
)?2
?0

∴
f(x
2
)?f(x
1
)
?0
，∴
f (x)
是
R
上的增函数
（3）
f(1)??1?f(2)?2f( 1)?2?0?f(4)?2f(2)?2?2
，
?f(log
2
m)?f( 4)

由（2）
f(x)
是
R
上的增函数，∴
lo g
2
m?4
?0?m?16
．

变式2：已知
f (x)
是定义在
?
?1,1
?
上的奇函数，若
a,b??
?1,1
?
，且
a?b?0
时，恒有
f(a)?f(b)
?0
.
a?b
（1）判断
f(x)< br>在
?
?1,1
?
上是增函数还是减函数，并证明你的结论；
（2）解不等式
f(5x?1)?f(6x)
；
（3）若
f(1) ?1
,且
f(x)?m?2am?1
对所有的
x?
?
?1, 1
?
,a?
?
?1,1
?
恒成立，求实数
m
的取值范围.
2
2
变式3：定义在
R
上的函数
y?f( x)
，
f(0)?0
，当
x?0
时，
f(x)?1
，且对任意的
a,b?R
，有
f(a?b)?f(a)?f(b)
.
（1）求证：
f(0)?1
；
（2）求证：对任意的
x?R
，恒有
f(x)?0
；
信达

--------------------------------------- ----------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点
-- -------------------------------------------------- -



（3）证明：
f(x)
是
R
上的增函数；
（4）若
f(x)?f(2x?x)?1
，求实数
x
的取值范围.
变式4：已知
f(x)
是定义在
?
?1,1
?
上的 函数，且
f()?1
，且满足
x,y?
?
?1,1
?
时有
2
1
2
2x
n
x?y
1
f(x)? f(y)?f()
，数列
?
a
n
?
满足
x
1
?
，
x
n?1
?
.
2
1?x
n
1?xy
2
（1）求
f(0)
的值，并证明
f(x)在区间
?
?1,1
?
上是奇函数；
（2）探索
f(x
n?1
)
与
f(x
n
)
的关系式，并求
f (x
n
)
的表达式；
（3）是否存在自然数
m
，使得对于 任意的
n?N
，
在，求出
m
的最大值.


探究3：（北京高考题）（1）具有奇偶性的函数的单调性有何规律？请给予证明.
（2）具有奇偶性的函数的导函数的奇偶性有何规律？请给予证明.
*
111m?8
??
?
??
恒成立？若存
f(x
1
)f(x
2
)f(x
n
)4
?
变式1：确定函数
f(x）
?x
x?1
2
的单调区间.
变式2：已知函数
f(x)
的 定义域是
R
，若存在
c?R
，使得
f(c)?c
，则称c
是
f(x)
的一个不动点.设
f(x)
的不动点数目是有限多 个
3
（1）判断函数
f(x)?x
和
g(x)?
3
x
的不动点的个数；
（2）依据（1）的结论，研究奇函数的一般规律，并证明；
（3）偶函数
f(x)
的不动点的个数是偶数吗？若是，给出你的证明；若不是，说明理由.
变式3：设
f(x)
是偶函数，若曲线
y?f(x)
在点
( 1,f(1))
处的切线的斜率为1，则该曲线在点
(?1,f(?1))
处的切线的 斜率为______.

探究4：若函数
y?3?x
2
ln(1?x
)
的最大值与最小值分别为
M,m
，则
M+m
= _____ ．
1?x
信达

----------------- -------------------------------------------------- 奋斗没有终点任何时候都是一个起点
------------------------------ -----------------------



3
??
(x?1)?2011(x?1)??1
变式1：设
x,y
为实数，且 满足关系式
?
，则
x?y?____

3
?
?(y?1)?2011(y?1)?1
?
x
3
?sinx?2a?0,< br>?
?
??
?
变式2：已知
x,y?
?
?,< br>?
,a?R
，且
?
3
1
则
cos(x?2y )
的值 1
44
??
?
4y?sin2y?a?0,< br>?2
变式3：已知方程
x?2alog
2
(x?2)?a?3?0有唯一解，则实数
a
的值为_______.1
变式4：已知
222< br>1
23n
?a?ax?ax?ax???ax??
，则
a
3< br>?_______.
0
0123n
2
1?x
?
2? x
ln?tanx?2m,
?
?
2?x
?
11
?< br>变式5：已知
x,y?
?
?,
?
,
m?R
且
m?0
，若
?
，则
1?y2tany
22
??< br>?
ln??2m.
2
?
1?y1?tany
?
y1< br>?_______.?

x2
【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？
信达