高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题2.22：一次齐次分式函数图象与性质的研究与拓展

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专题2.22：一次齐次分式函数图象与性质的研究与拓展
【问题提出】如何绘制
f(x)?
奇偶性）

【探究拓展】 ax?b
(ad?bc,ad?0)
的图象，并研究它的相关性质？（对称性，值域，cx?d
2x?3
的单调增区间为______________
x?1
ax?3
变式1：已知函数
y?
在区间
?
??,?1
?< br>上是增函数，则实数
a
的取值范围是________
x?1
x?b 1
变式2：若函数
y?
在
?
a,b?4
?
(b?? 2)
上的值域为
?
2，+?
?
，则
a
b
? ____

x?216
探究1：函数
y?
先定单调性，由函数图像可 得
a??2,b??4


探究2：设
a?0
,
b ?0
,已知函数
f(x)?
ax?b
.
x?1
（1）当< br>a?b
时,讨论函数
f(x)
的单调性(直接写结论);
（2）当
x?0
时，
（i）证明
f(1)?f()?[f(
b
a
b
2
)]
；
a
（ii）若
2ab
?f(x)?ab
,求
x
的取值范围.
a?b
信达

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解：（1）由
f(x)?a?
b?a
，得
x ?1
当
a?b
时，
f(x)
分别在
?
??,?1< br>?
,
?
?1,??
?
上是增函数；……………2分
当
a?b
时，
f(x)
分别在
?
??,?1
?,
?
?1,??
?
上是减函数；……………2分
（2）（i） ∵
f(1)?
a?b
b2abb
，
f()?,f()?
2< br>aa?ba
a
b
?b
a
?ab
…………2分
b
?1
a
∴
f(1)f()?ab?[f(
b
a
b
2
bb
2
)]
，∴
f(1)f()?[f()]
…………1分
aaa
（ii）∵
2ab
?f(x)?ab

a?b
b
a
b
)
，……………2分
a
∴ 由（i）可知，
f()?f(x)?f(
①当
a?b
时，
f(x)? a
，H=G=a，
x
的取值范围为
x?0
.……………2分
②当
a?b
时，∵
bb
b

?1
，∴?
aa
a
b
?x?
a
b
…2分
a< br>由（Ⅰ）可知，
f(x)
在
?
0,??
?
上是增函数 ，∴
x
的取值范围为
③当
a?b
时，∵
bb
b
?1
，∴
?
aa
a
由（Ⅰ）可知，
f(x)
在
?
0,??
?
上是减函数，∴
x
的取值范围为< br>bb
?x?
…2分
aa
b
?x?
a
b；当
a?b
时，
x
的
a
综上，当
a?b
时，
x
的取值范围为
x?0
；当
a?b
时，
x< br>的取值范围为
取值范围为

bb
?x?
…………1分
aa
拓展：请用平移思想研究下列两题：
（i）设函数
f(x)?(x?a )x?a?b
（
a,b
都是实数）．
则下列叙述中，正确的序号是 ．（请把所有叙述正确的序号都填上）1,3
①对任意实数
a,b
，函数
y ?f(x)
在
R
上是单调函数；
信达

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②存在实数
a,b
，函数
y?f(x)
在
R
上不是单调函数 ；
③对任意实数
a,b
，函数
y?f(x)
的图像都是中心对称图形；
④存在实数
a,b
，使得函数
y?f(x)
的图像不是中心对称图形 ．
（ii）在平面直角坐标系中，
A
?
0,0
?
,B(1 ,2)
两点绕定点
P
顺时针方向旋转
?
角后，分别到
A?
?
4,4
?
,
B
?
(5,2)
两点 ，则
cos
?
的值为 ．
?

探究3：已知
a?0
,函数
f(x)?
为 ．

探究4：给定实数
a(a?0且a?1)
，设函数
y?
x?2ax?2a
3
5

在区间
?
1,4
?
上 的最大值等于
1
，则
a
的值
2
23
或
32
x?1
.证明：
ax?1
（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于
x
轴；
（2）这个函数的图象关于直线
y?x
成轴对称图形.

【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？
信达