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三角形坐标面积公式坐标表示的焦半径公式

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 00:30
tags:半径公式

适合女孩用的笔记本-通化师范

2020年9月21日发(作者:庾翼)
一. 坐标表示的焦半径公式
1、 椭圆(一类)
由代入整理得
,
同理,
可以假想点P在y轴右边,
公式常见应用:
(1) 椭圆上点到焦点最远距离a+c,最近距离a-c
(2) 椭圆上三点A
的焦半径
(3) 定义直线
,B,C,若成等差数列,则到同一个焦点

且x>0 帮助,显然总有符合椭圆定义。
也成等差数列。
为椭圆 的左右准线。
由焦半径公式,椭圆上任意一点 P(x,y) 到对应焦点和对应准线的距离之比
总等于离心率e.
2. 双曲线
由代入整理得
,
由双曲线上点
若点P在右支上,
若点P在左支上,
公示的应用:
(1)若双曲线上同一支上的三点A
它们到同一个焦点的焦半径
(2)定义直线 为双曲线
,B,C,有成等差数列,则
,
同理,
同理,
.总有
.总有
.
.
也成等差数列。
的左右准线。
由焦半径公式,双曲线上任意一点 P(x,y) 到对应焦点和对应准线的距离之比
总等于离心率e.
3.抛物线

公式的应用:抛物线上三点A
若,则
,B

,C,

二. 圆锥曲线统一定义及方向角表示的焦半径公式
1、 统一定义:平面上到定点F与定直线l 距离之比等于
常数e的点轨迹。若0若e=1,则轨迹为抛物线。
若e>1,则轨迹为双曲线。
2.方向角焦半径公式
(1)方向角定义
如图:将Fx当始边,FM当终边所成角定义为
点M的方向角。方向角范围
将焦准距离统一表示为P。
对于椭圆,双曲线
(2)公式:
(3)公式的应用:
焦点弦长公式

说明:
(1)焦点弦长公式中,方向角以平方形式出现,
不影响计算,可将方向角改为焦点弦和对称轴
夹角:.

(要求记忆)
e:离心率, 对于椭圆,双曲线, .

(2)有对称性改为夹角,公式对椭圆,双曲线的左右焦点弦都成立。
(3)对于双曲线当
在。
若 较小,使
两个端点分在两支上。
(4)对于抛物线
角。
(5)通径:垂直对称轴的焦点弦称通径,在
表示2eP.
对于椭圆,双曲线: ;对于抛物线: 2eP=2P.
焦点弦与对称轴夹角 ,
,令得通径的统一
,∵e=1 , . 为焦点弦与对称轴夹
时,此时公式应表为 ,此时焦点弦的
所决定的 焦点弦与渐近线平行,在实际上不存
(6)以上结论容易推广到二类圆锥曲线,比如
则有 .
三.相交弦长公式
将直线y=Kx+d 代入椭圆

存在相交弦


中,由求根公式


在具 体问题,只要已知直线斜率和求得的代入后方程可直接写出相交弦长表达式,完全
可以略去中间过程。
上面的观点对于双曲线,抛物线和直线产生的相交弦长也完全用类似的方法推导。只是
对于双曲 线,直线不能与渐近线平行;对于抛物线,直线不能与对称轴平行。
四. 焦点三角形问题
对于椭圆和双曲线存在焦点三角形







对于焦点三角形问题,应注意两条:
一是用定义:椭圆:
二是用正余弦定理:
举例:已知椭圆
(即∠) ,试求
,点P位其上一点,点P对
表示式。

移项,消去


说明:上面这个例子完全适用双曲线中的焦点三角形。
请你推导右面双曲线的图,若∠





五. 其他有关知识点:


,求 。

4:
张角
;双曲线: 。
解:由余弦定理:
1. 椭圆中的基本
令∠
可以通过三角函数对椭圆中的a,b,c,e进行相互转换。
比如:由
2. 双曲线中的基本矩形:
称为是相互共轭两条双曲线,作
.椭圆的方程便可以假设为:
,四条直线构成一个矩形,称作
是这两条双曲线的基本矩形(如图):
基本矩形的对角线定是这两条双曲线的渐近线。
基本矩形中是的一个基本:
OA=a ,AD=b, OD=c .令∠DOA=,则
近线的倾斜角。设斜率K,则
就是其一条渐

可以利用三角函数在双曲线的a,b,c,e,K之间进行过渡。
对于 ,则
. 令∠BOD
互余,在共轭双曲线之间e与
3. 双曲线渐近线
有关系.
是它的基本


m>0为一类双曲线,m<0为二类双曲线,不论一类, 二类,令m=0得到的两条直线定
为双曲线的渐近线,具体运作时,移项,开方:
双曲线方程和 它的渐近线方程,两者相互反馈。
例:已知双曲线以坐标轴为对称轴,一条渐近线的方程为
试求该双曲线方程。
由 可

得 .

,且过点(6,4)。
。这一结果可以使
4. 有关抛物线的知识点:
(1)四类抛物线:
焦点
(2)焦点弦端点坐标公式
如图, 为 的焦点弦,则有: y
可以简化为两大类:

.




的垂线,

练习题:由焦点弦的一个端点B做准线
垂足E。证明:A,O,E三点共线。 E

上面的性质可以推广到其他类型的抛物线。

(3)抛物线上两点连线斜率公式
对于一类抛物线

关于圆锥曲线的切线
1. 椭圆
1) 若点为椭圆上一点,则椭圆过点P的切线方程为
(1) 知点
, 则
上两点



同一法证明:由
线还有一个公共点
(1)+(2)-2(3):

2) 椭圆切线的一般表示

为椭圆与直线的公共点,若椭圆与直
(2) (3)

,直线与椭圆仅有一个公共点,故为切线。
为椭圆上点的一般表示,代入上面的切点公式得
. 此为椭圆切线的一般表示。
练习题:求椭圆
设椭圆切线

3) 切点弦直线
上点与直线距离的最大值。
,令其斜率

点为椭圆 外一点,由P可向椭圆引
两条切线PA,PB,切点A,B。直线AB称为切点弦直线。
容易证明点
设切点
切线PA:
切线PB:
由(1),(2),直线
2. 双曲线
(1) 若点
(2)若点
为双曲线上一点,则双曲线过点P的切线方程为 。
的切点弦直线方程为
,则
,由切线过
,由切线过

,则
,则
。 (1)
。 (2)
。故为切点弦直线。

为双曲线拱形外一点,则由P可引双曲线的两条切线PA,PB,切点A,B,
。 切点弦直线AB方程为
3. 抛物线
(1)若点

为抛物线
.
上一点,则抛物线在点处的切线方程
完全类似于椭圆时情形,用同一方法进行证明。
若抛物线方程为
若抛物线方程为
(2)若点
,其上一点
,其上一点< br>为抛物线
,则点P处切线方程为
,则点P处切线方程为
拱形外一点,则由P可引 抛物线



的两条切线PA,
PB,切点A,B,则切点弦AB所在直线方程为
练习题:(08山东理) y
M为 上任意一点,MA,MB为 的两条切线。
求证:A,M,B三点横坐标成等差。
证明:设,由求导公式得过点A的抛物线切线为
,同理点 处切线为
若这两条直线是由点所引的两切线, A
.这一结果表明直线 B
过点

x
,点

,故直线
为直线AB
M
3. 圆
1) 若点
2) 若点

3) 若点


练习题:
1. 由P(3,4)向圆
解:由P(3,4)向圆
方程

2.(09山东)圆

为圆
为圆
上一点,则方程
上一点,则方程

为圆在点P处的切线。
为圆在点P处的切线。
上一点,则方程
为切点弦直线。
引两条切线PA,PB,切点A,B,求△PAB外接圆方程。
所引切点弦直线方程为
为过A,B两点的圆系方程,代入P(3,4),
,外接圆方程为
在椭圆内部,求t使圆
.
上任意一点处
的切线与椭圆交于点A,B两点,都有OA⊥OB。
解:设


为圆
代入椭圆
.
上一点,此点切线为

.

再将切线 写成
,得 .
,代入椭圆得
由OA⊥OB知
5.有关切点弦直线的统一结论:
在准线上任一点的切点弦直线必过对应的焦点。
1) 椭圆
代入左焦点
,左准线 上一点
.
的切点弦直线
,方程成立。
对于双曲线,抛物线同样证明。
2) 抛物线准线上一点的切点弦直线,不仅过焦点,且两条切线垂直。
可以直接证明:
设过点M()的直线 代入 ,得一代入后方程:(请
自己写结果) 由这一方程的
程。由韦达定理
间接证明:
.
得一斜率为K的二次关系式, 视为K的一元二次方
先证切点弦直线必过焦点,再由焦点弦端点坐标公式,证明所引的两条切线必定垂直 。
y
关于圆锥曲线焦点弦一个有关角度的结论:
如图,AB为圆锥曲线任意一条焦点弦,点E C B
为准线和对称轴焦点(亦称准点),则定有∠AEF=∠BEF。
证明:设点C,D为点B,A在准线上的射影,由圆锥 E F x
曲线统一定义:


练习题:椭圆

. D A
,过点P(4,0)做斜率K直线交椭圆于A,B两点,再过P做斜率 -K

直线交椭圆于C,D两点。(如图)
求证:AB与CD交于定点。 y
证明:利用上面定理(要先证明引理),用同一法证明:
∵点P(4,0)为准点,设椭圆右焦点F。连接DF角椭圆
与,则为焦点弦。 A
∴ .
又由假设知。
∵A与同为椭圆上一点,∴只能是A= .
也即AD连线过右焦点F,同理,BC连线过右焦点F。
∴AB与CD交于定点F 。


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