高中数学选修2-2金版教程1-2-2(2)

1.2.2

一、选择题
1．函数y＝x－(2x－1)
2
的导数是( )
A．3－4x
C．5＋8x
B．3＋4x
D．5－8x
解析：∵y＝x －(2x－1)
2
＝－4x
2
＋5x－1，∴y′＝－8x＋5.
答案：D
2．函数y＝cos(1＋x
2
)的导数是( )
A．2xsin(1＋x
2
)
C．－2xsin(1＋x
2
)




B．－sin(1＋x
2
)
D．2cos(1＋x
2
)
解析：∵y′＝[cos(1＋x
2
)]′＝－sin(1＋x
2
) ·(1＋x
2
)′＝－2xsin(1＋x
2
)．
答案：C
3．已知函数f(x)＝ax
2
－1且f′(1)＝2，则实数a的值为( )
A．1
C.2








B．2
D．a>0
1
1
2ax
－
解析：∵f′(x)＝(ax－1)
2
·2ax＝，
2
ax
2
－1
∴f′(1)＝
答案：B
a
＝2.∴a＝2，故选B.
a－1
x
2
＋1
4．函数y＝的导数是( )
2x－1
A.
x
2
＋1·(2x－1)
2
2＋x
2
2＋x
B．－
1＋x·(2x－1)
2

4x
2
－x＋2
C.
(2x－1)
2
D. 22
(2x－1)x＋1
4x
2
－x＋2

x2
＋1
解析：y′＝()′
2x－1
(x
2
＋1)′ (2x－1)－x
2
＋1·(2x－1)′
＝
2
(2x－1)1
22
·(x＋1)′(2x－1)－2·x＋1
2x
2
＋1< br>＝
(2x－1)
2
＝－，故选B.
1＋x
2
·(2x－1)
2
2＋x
答案：B
1< br>5．若函数f(x)＝x
m
＋ax的导数f′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N< br>*
)的前n项和S
n
是( )
f(n)
n
A.
n＋1
n
C.
n－1








n＋2
B.
n＋1
n＋1
D.
n
111
解析：因为f′(x)＝2x ＋1，所以m＝2，a＝1，所以f(x)＝x
2
＋x，所以＝
2
＝
f(n)
n＋nn(n＋1)
1111111111
＝－(n∈N
*
)．所以前n项和S
n
＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝
n
n＋1
22334n
n＋1n＋1
n
，故选A.
n＋1
答案：A
1
ax
6．若函数f(x)＝－·e的图象在x＝ 0处的切线l与圆C：x
2
＋y
2
＝1相离，则点P(a，
b
b)与圆C的位置关系是( )
A．在圆外
C．在圆上






B．在圆内
D．不能确定
1a
ax
aa1
解析：f(0)＝－，又f′(x)＝－·e，k＝f′(0)＝－， 所以切线l的方程为y＝－x－，
bbbbb
即ax＋by＋1＝0，由圆心到直线的距离d＝
B.
答案：B
二、填空题
7．若f(x)＝log
3
(2x－1)，则f′(2)＝________. 122
解析：∵f′(x)＝[log
3
(2x－1)]′＝(2x－1)′＝， ∴f′(2)＝.
3ln 3
(2x－1)ln3(2x－1)ln3
1
2 2
22
>1，得a＋b<1，即点P在圆内，故选
a＋b

答案 ：
2

3ln 3
π
1
8．函数y＝sin
2x的图象在点A(，)处的切线的斜率是________．
64
π
3
解析：∵y′＝(sin
2
x)′＝2sinx(sinx)′＝2sinxcosx＝sin 2x，∴y′|
x
＝
π
＝sin＝，∴曲
32
6
π
13
线在点A(，)处的切线的斜率为.
642
答案：
3

2
x＋1
在点x＝8处的切线方程是________．
x－4
x ＋1
1
x＋1
1
x－4－(x＋1)
)′＝()－·
2< br>x－4
2
x－4(x－4)
2
9．曲线y＝
解析：∵y′＝(
＝
1
2
x－4－5
·，
x＋1(x－4)
2
1255
∴f′(8)＝··(－)＝－.
231648
3
又∵f(8)＝，
2
∴切线方程为5x＋48y－112＝0.
答案：5x＋48y－112＝0
三、解答题
10．求下列函数导数：
(1)y＝sin(2x＋3)；
1
(2)y＝(x＋)
2
；
x
(3)y＝log
2
(x
2
＋2x＋3)；
(4)y＝3
x2
＋
2x
＋
3
.
解：(1)∵(1)y＝sin(2x＋3)是由y＝sinu和u＝2x＋3复合而成，
∴y′＝(sinu)′
u
·(2x＋3)′
x
＝cosu·2
＝2cos(2x＋3)．
11
(2)解法一：y′＝2(x＋)(x＋)′
xx
112
＝2(x＋)(1－
2
)＝2x－
3
.
xxx
1
解法二：∵y＝x
2
＋2＋
2
，
x

12
∴y′＝(x
2
＋2＋
2
)′＝2 x－
3
.
xx
1
(3)y′＝
2
·(x
2
＋2x＋3)′
(x＋2x＋3)ln2
＝
2x＋2
.
(x＋2x＋3)ln2
2

11．已知函数f(x)＝e
x
(cosx＋sinx)，将满足f′(x)＝0的所有正数x从小到大排成数列
－
{xn
}．
求证：数列{f(x
n
)}为等比数列．
证明：f′ (x)＝－e
x
(cosx＋sinx)＋e
x
(－sinx＋cosx)＝ －2e
x
sinx，由f′(x)＝0，得－2e
－－－
－
x
sinx＝0，解得x＝nπ，n∈Z.从而x
n
＝nπ(n＝1,2,3……)，f(x< br>n
)＝(－1)
n
e
－
π
－
nπ
f (x
n
＋
1
)
，所以＝－
f(x
n
)e
π
.所以数列{f(x
n
)}是公比为q＝－e
－
的 等比数列．
12．曲线y＝e
2x
cos3x在(0,1)处的切线与直线C的距离 为5，求直线C的方程．
解：由曲线y＝e
2x
cos3x，得
y′＝(e
2x
)′cos3x＋e
2x
(cos3x)′
＝2e
2x
cos3x－3e
2x
sin3x，
∴y′|
x
＝
0
＝2.
∴经过点(0,1)的切线方程为y－1＝2x，
即y＝2x＋1.
设直线C的方程为y＝2x＋b，由题意得
5＝
|b－1|
，
5
∴b＝6或b＝－4.
∴直线C的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.