高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题6.11：数列中公共项问题的研究与拓展

------------------------------------------- ------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点
------ -----------------------------------------------








专题6.11：数列中公共项问题的研究与拓展
【探究拓展】
探究1：设
?
a
n
?
是公差不为0的等差数列，
a
1
?2且
a
1
,a
3
,a
6
成等比数列，则
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
=__ _________.
变式1：等比数列
?
a
n
?
的前n 项和为
s
n
，且4
a
1
，2
a
2
，
a
3
成等差数列，若
a
1
=1，则
s
4
=_________.
变式2：已知
?
a
n
?
为等差数列，公差
d?0
，
?
a
n
?
的部分项
a
k1
、
a
k2
、…、
a
kn
恰为等比数列，若
k
1
?1
，
k
2
?5
，
k
3
?17
，求
k
n
.
变式3：设数列
{a
n
}
是公差不为零的等差数列，
a
1< br>?2
，
a
3
?6
，若自然数
n
1
, n
2
,?n
k
,?
满足
3
?
n
1
?
n
2
???
n
k
??
，且
a< br>1
,a
3
,a
n
1
,?a
n
,?< br>是等比数列，则
n
k
=_______.
k
3
k? 1
；提示：
{a
n
}
是以2为首项，2为公差的等差数列，∴
a
n
?2n
；∴
a
n
k
?2n
k

a
1
,
a
3
,
a
n
1
,?
a
n
,?
是以2为首项，3为公比的等比数列，∴
a
n
k
?23
k?1
，∴
n
k
?3
k?1< br>．
k
变式4：已知各项均为正数的等差数列
{a
n
}
的公差d不等于0，设
a
1
,a
3
,a
k
是公比 为q的等比数列
{b
n
}
的
前三项，
（1）若k=7，
a
1
?2

信达

------------------------------------------------- ------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点
------------ -----------------------------------------



（i）求数列
{a
n
b
n
}
的前n项和 T
n
；
（ii）将数列
{a
n
}
和
{b
n
}
的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列
{c
n
}
，设其前n项和为S
n
，求
S
2
n
?n?1
?2
2n?1
?3?2
n?1
(n?2,n?N
*
)的值；
（2）若存在m>k,
m?N
使得
a
1
,a< br>3
,a
k
,a
m
成等比数列，求证k为奇数.
（研究子数列问题的根本着力点是算两次）
(1)因为
k?7
，所以
a
1
,a
3
,a
7
成等比数列，又
?
a
n
?
是公差
d?0
的等差数列，
所以
?
a
1
?2d
?
?a
1
?
a
1
?6 d
?
，整理得
a
1
?2d
，又
a
1
?2
，所以
d?1
，
b
1
?a
1
?2
，
q?
2
*
b
2
a
3
a
1
?2d
???2
，所以
a
n
?a
1
?< br>?
n?1
?
d?n?1,b
n
?b
1
?q< br>n?1
?2
n
，
b
1
a
1
a1
①用错位相减法或其它方法可求得
?
a
n
b
n
?
的前
n
项和为
T
n
?n?2
n?1
；
① 因为新的数列
{c
n
}
的前
2
n
?n ?1
项和为数列
?
a
n
?
的前
2
n
?1
项的和减去数列
?
b
n
?
前
n
项的 和，所以
(2
n
?1)(2?2
n
)2(2
n
?1 )
S
2
n
?n?1
???(2
n
?1)(2
n?1
?1)
.
22?1
所以
S
2
n
?n?1
?2
2n?1
?3?2
n?1
(n?2,n?N
*
)
=1．
2
(2)由
(a
1
?2d)?a
1
(a
1
?(k?1))d
，整理得
4d?a
1
d(k?5)
，
因为
d?0
，所以
d?
2
a1
(k?5)
a
a?2d
k?3
，所以
q?
3
?
1
.
?
a
1
a
1
2
4
3
3
?
k?3
?
因为存在
m
＞
k,m
∈
N
使得
a
1
,a
3
,a
k
,a
m
成等比数列，所以
a
m
?a
1
q ?a
1
??
，
?
2
?
*
又在正项等差数 列{
a
n
}中，
a
m
?a
1
?(m?1) d?a
1
?
3
a
1
(m?1)(k?5)
， 4
a(m?1)(k?5)
?
k?3
?
3
所以
a
1
?
1
?a
1
??
，又因为
a
1
?0
，有
2
?
4?(m?1)(k?5)
?
?( k?3)
，
4
?
2
?
因为
2
?
4?(m?1)(k?5)
?
是偶数，所以
(k?3)
3
也是偶数， 即
k?3
为偶数，所以
k
为奇数.
拓展1：（1）是否存在不相同的三个数，使得三个数既成等差数列又成等比数列？
（2）是否存在这样的三元素集，使得三个元素既成等差数列又成等比数列？
（3）设
a
1
,a
2
,
?
,a
n
是各项不为零的
n(n?4)
项等差数列，且公差
d?0
，若将数列删去某一项后，得到信达

---------------------------------- ---------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点< br>----------------------------------------------- ------



的数列（按原来顺序）是等比数列，所有数对
?
n,
?
?
a
1
?
?
所组成的集合为___ __
d
?
（4）（1）设
a
1
,a
2
, a
n
是各项均不为零的等差数列
(n?4)
，且公差
d?0
，若将此数列删去某一项得
到的数列（按原来的顺序）是等比数列.
①当
n?4时，求
a
1
的数值；②求
n
的所有可能值；
d
b
n
，其（2）求证：对于一个给定的正整数
(n?4)
，存在一个各项及 公差都不为零的等差数列
b
1
,b
2
中任意三项（按原来的顺序）都 不能组成等比数列
【解】本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。
（1）①当
n
=4时,
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出
d
=0
22
若删去
a
2
，则
a
3
?a
1
?a
4
，即
(a
1
?2d)?a
1
?(a
1
?3d)
化简得
a
1
?4d?0
，得
a
1
??4

d
22
若删去
a
3
， 则
a
2
?a
1
?a
4
，即
(a
1
?d)?a
1
?(a
1
?3d)
化简得
a
1
?d?0
，得
a
1
?1

d
综上，得< br>a
1
a
??4
或
1
?1

dd②当
n
=5时,
a
1
,a
2
,a
3< br>,a
4
,a
5
中同样不可能删去
a
1
,a< br>2
,a
4
,a
5
，否则出现连续三项。
若删去a
3
，则
a
1
?a
5
?a
2
?a
4
，即
a
1
(a
1
?4d)?(a
1
?d)?(a
1
?3d)
化简得
3d?0
，因为
d ?0
，所以
a
3
不
能删去；
当
n
≥6时 ，不存在这样的等差数列。事实上，在数列
a
1
,a
2
,a
3
,
2
,a
n?2
,a
n?1
,a
n中，由于不能删去首项或
末项，若删去
a
2
，则必有
a
1
?a
n
?a
3
?a
n?2
，这与
d?0
矛盾；同样若删去
a
n?1
也有
a
1
?a
n
?a
3
?a
n?2
，这与
d?0
矛盾；若删去< br>a
3
,,a
n?2
中任意一个，则必有
a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
，这与
d?0
矛 盾(或者说：当
n
≥6时，
无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)综上所述，
n?4

（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列
b
1
,b
2
,......b
n
，其中
b
x ?1
,b
y?1
,b
z?1
（
0?x?y?z?n?1）为任意三项成等比数列，则
b
22
化简得
(y?xz)d?(x?z? 2y)b
1
d
（*）
2
y?1
2
即
(b
1
?yd)?(b
1
?xd)?(b
1
?zd)
，
?b
x?1
?b
z?1
，
2
由
b
1
d?0
知，
y?xz
与
x?z?2y
同时为0或同时不为 0
当
y?xz
与
x?z?2y
同时为0时，有
x?y?z
与题设矛盾
2
信达

----------------- -------------------------------------------------- 奋斗没有终点任何时候都是一个起点
------------------------------ -----------------------



b
1y
2
?xz
故
y?xz
与
x?z?2y
同时不 为0，所以由（*）得
?

dx?z?2y
2
因
0?x?y ?z?n?1
，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而
于是对于任意的正整数n(n?4)
，只要
b
1
为有理数
d
b
1
为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列
d
例如n项数列1，
1?2
，
1?22
，……，
1?(n?1)2满足要求
拓展2：已知｛a
n
｝是等差数列，｛b
n
｝是公比 为q的等比数列，a
1
=b
1
，a
2
=b
2
≠a
1
，记S
n
为数列｛b
n
｝的前n
项和；
（1）若b
k
=a
m
（m，k是大于2的正整数），求证：S
k-1
=（m－1）a
1
；
（2）若b
3
=a
i
（i是某个正整数），求证：q是整数，且数列｛b
n
｝中每一项都是数列｛an
｝中的项；
（3）是否存在这样的正数q，使等比数列｛b
n
｝中有 三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以
说明；若不存在，请说明理由；
拓展3： 在数列
{a
n
}
中，
a
1
?1
，且对任意 的
k?N
?
，
a
2k?1
,a
2k
,a< br>2k?1
成等比数列，其公比为
q
k
，
a
2k,a
2k?1
,a
2k?2
成等差数列，其公差为
d
k
，设
b
k
?
1
.
q
k
?1（1）若
d
1
?2
，求
a
2
的值；
（2）求证：数列
?
b
k
?
为等差数列；
（3） 若
q
1
?2
，设
c
n
?
b
n，是否存在
m
、
k
k?m≥2,k,m?N
*
，使得< br>c
1
、
c
m
、
c
k
成等比数列．若 存
b
n?1
??
在，求出所有符合条件的
m
、
k< br>的值；若不存在，请说明理由．
2
?1?a
3
， 解：（1）∵d
1
?2
，∴
a
3
?a
2
?2
,又
a
2
解得
a
2
?2
或
a
2
??1
.………………4分
（2）∵
a
2k
,a
2k?1
,a
2k?2
成等差数列,∴
2a
2k?1
?a< br>2k
?a
2k?2
，
而
a
2k
?
得
1
q
k?1
?1
a
2k?1
q?1
1< br>.……6分
,a
2k?2
?a
2k?1
?q
k?1
,故
?q
k?1
?2
，则
q
k?1
?1?
k
q
k
q
k
q
k
?
q
k
111
??1
，所以
??1
，即
b
k?1
?b
k
?1
.
q
k
?1q
k
?1qk?1
?1q
k
?1
故数列
?
b
k
?
是公差为1的等差数列.………9分
（3）由
q
1
?2
得
b
1
?
1
?1
，则
b
n
?1?( n?1)?1?n
.
q
1
?1
信达

-- -------------------------------------------------- ---------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点
--------------- --------------------------------------



∴
c
n
?
b
n
n
1mk
.则
c
1
?,c
m
?
．
?
,c
k
?
b
n?1
n?1
2m?1k?1
假设存在
m
、
k
k?m≥2,k,m?N
*
，使得
c
1
、
c
m
、
c
k
成等比数列，
则
cm
2
1k
?
m
?
?c
1
c
k
，即
?
．
?
??
m?12k?1
??
2
??
2m
2
整理得
k?
．…………12分
?m< br>2
?2m?1
因为
k?0
，所以
?m
2
?2 m?1?0
．
解得
1?2?m?1?2
．
因为
m≥2, m?N
*
，所以
m?2
，此时
k?8
．
故存在< br>m?2
，
k?8
，使得
c
1
、
c
m
、
c
k
成等比数列．………16分
变式：在数列
{an
}
中，
a
1
?1
,且对任意的
k?N
*
,
a
2k?1
,a
2k
,a
2k?1
成等比数列，其公比为
q
k
.（1）若
q
k
?2(k?N< br>*
)
，求
a
1
?a
3
?a
5
?...?a
2k?1
；
（2）若对任意的
k?N
,
a
2k
，
a
2k?1
，
a
2k?2
成等差数 列，其公差为
d
k
，设
b
k
?
①求证：
?
b
k
?
成等差数列，并指出其公差；
②若
d
1< br>?2
,试求数列
{d
k
}
的前
k
项的和D
k
.
解：(1)因为
q
k
?2
,所以
*
1
< br>q
k
?1
a
2k?1
?4
,故
a
1
,a
3
,a
5
,???,a
2k?1
是首项为1, 公比为4的等比数列,所以
a
2k?1
1?4
k
1
k
a
1
?a
3
?a
5
?????a
2k?1
??(4?1)

1?43
(2)①因为
a
2k
,a2k?1
,a
2k?2
成等差数列,所以
2a
2k?1
?a
2k
?a
2k?2
,
而
a
2k
?< br>a
2k?1
q?1
1
,a
2k?2
?a
2k ?1
?q
k?1
,所以
?q
k?1
?2
,则
q
k?1
?1?
k

q
k
q
k
q
k
?
q
k
111
??1
,所以
??1< br>,即
b
k?1
?b
k
?1
,
q
k
?1q
k
?1q
k?1
?1q
k
?1
得< br>1
q
k?1
?1
所以
?
b
k
?是等差数列,且公差为1
2
②因为
d
1
?2
,所以< br>a
3
?a
2
?2
,则由
a
2
?1? a
3
?a
2
?2
,解得
a
2
?2
或
a
2
??1

信达

--------- -------------------------------------------------- --------奋斗没有终点任何时候都是一个起点
---------------------- -------------------------------



(ⅰ)当
a
2
?2
时,
q
1
?2
,所以< br>b
1
?1
,则
b
k
?1?(k?1)?1?k
,即
1
?k
,
q
k
?1
a
2k?1< br>(k?1)
2
k?1
得
q
k
?
,所以, < br>?
2
k
a
2k?1
k
a
2k?1
a
2k?1
a
3
(k?1)
2
k
2
2
2
??????
2
?1?(k?1)
2

??????? a
1
?
则
a
2k?1
?
22
k(k?1) 1
a
2k?1
a
2k?3
a
1
a
2k?1
(k?1)
2
k(k?3)
??k(k?1)
,则
d
k
?a
2k?1
?a
2k
?k?1
,故
D
k
?
所以
a
2k
?

k?1
q
k
2
k
(ⅱ)当
a
2
??1
时,
q
1
??1
,所以
b
1
??
13
113
? k?
得,则
b
k
???(k?1)?1?k?
,即
q
k
?12
222
1
2
,
q
k
?
3
k?
2
k?
1
2
3
2
1
2< br>(k?)(k?)()
a
2k?1
a
2k?1
a
3< br>1
222
???????a
1
?
所以
a
2k ?1
?
???????1?4(k?)
2
,
351
a2k?1
a
2k?3
a
1
2
(k?)
2
(k?)
2
(?)
2
222
则
a
2k
?
a
2k?1
?(2k?1)(2k?3)
,所以
d
k
?a
2k?1
?a
2k
?4k?2
,从而
D
k< br>?2k
2
.
q
k
综上所述,
D
k
?

k(k?3)
2
或
D
k
?2k

2
探究3：（1）在等差数列数列
?
a
n
?
中，
2a
n
?a
n?k
?a
n?k
(n?k?0)
是否成立？

（2）如果在数列
?
a
n
?
中，
2a< br>n
?a
n?k
?a
n?k
(n?k?0)
，你能得到 什么结论？
2
**
拓展1：数列
?
a
n
?
的各项均为正数.若对任意的
n?N
，存在
k?N
，使得
a
n?k
?a
n
?a
n?2k
成立，则称
数列
?< br>a
n
?
为“
J
k
型”数列.
（1）若数列
?
a
n
?
是“
J
2
型”数列，且
a
2
?8,a
8
?1
，求
a
2n
； （2）若数列
?
a
n
?
既是“
J
3
型 ”数列，又是“
J
4
型”数列，证明：数列
?
a
n
?
是等比数列.
信达

-------------------- -----------------------------------------------奋斗没 有终点任何时候都是一个起点
--------------------------------- --------------------



a
解：（1）由 题意得
a
2
，
a
4
，
a
6
，a
8
，…成等比数列，且公比
q?
8
a
2
??
1
3
?
1
，
a
2n
?a
2
q
n?1
?
1
2
2
?
?
n?4
．
（2）证明：由{
a
n
}是“
J
4
型”数列，得
a
1
，
a
5
，
a
9
，
a
13
，
a
17
，
a
21
，…成等比数列， 设公比为
t
.
由{
a
n
}是“
J
3
型”数列，得
a< br>1
，
a
4
，
a
7
，
a
10
，
a
13
，…成等比数列，设公比为
?
1
； a
2
，
a
5
，
a
8
，
a11
，
a
14
，…成等比数列，设公比为
?
2
；
a
3
，
a
6
，
a
9
，
a
12
，
a
15
，…成等比数列，设公比为
?
3
；
则
a
13
a
a
?
?
1
4
?t
3
，
17
?
?
2
4
?t
3
，
21
?
?
3
4
?t
3
．
a
1
a
5
a
9
4
所以
?< br>1
?
?
2
?
?
3
，不妨记
?
?
?
1
?
?
2
?
?
3
，且t?
?
3
．
于是
a
3k?2
?a
1
?
k?1
?a
1
??
3
?
(3k?2)? 1
，
a
3k?1
?a
5
?
k?2
?a< br>1
t
?
k?2
?a
1
?
a
3k?a
9
?
k?3
k?
2
3
?a
1?a
1
??
3
?
(3k?1)?1
，
?a< br>1
t
?
2k?3
?a
1
?
k?
1< br>3
??
3
?
3k?1
，
所以
a
n
?a
1
??
3
?
n?1
，故{
a
n
}为等比数列．
拓展2：设
M
为部分正整数组成的集合，数列
{ a
n
}
的首项
a
1
?1
，前
n
项 的和为
S
n
，已知对任意整数
k?M
，当
n?k
时 ，
S
n?k
?S
n?k
?2(S
n
?S
k
)
都成立．
（1）设
M?{1}
，
a
2
?2
，求
a
5
的值；
（2）设
M?{3,4}
， 求数列
{a
n
}
的通项公式
【解】（1）由题设，当
n? 2时,S
n?1
?S
n?1
?2(S
n
?S
1)
，
(S
n?1
?S
n
)?(S
n
? S
n?1
)?2S
1
，
从而
a
n?1
? a
n
?2a
1
?2,又a
2
?2,故当n?2时,a
n
?a
2
?2(n?2)?2n?2.
a
5
的值为8 < br>（2）由题设知，当
k?M?{3,4},且n?k时,S
n?k
?S
n?k
?2S
n
?2S
k

且S
n?1?k
?S
n?1?k
?2S
n?1
?2S
k
，两式相减 a
n?1?k
?a
n?1?k
?2a
n?1
,即an?1?k
?a
n?1?k
?a
n?1
?a
n?1?k

信达

--------------------------- ----------------------------------------奋斗没有终点任何时候 都是一个起点
---------------------------------------- -------------



所以当
n?8时,a
n?6
,a
n?3
,a
n
,a
n?3
,a
n?6
成等差数列，且
a
n?6
,a
n?2
,a
n ?2
,a
n?6
也成等差数列
从而当
n?8
时，
2a
n
?a
n?3
?a
n?3
?a
n?6
?a
n?6
.










且
a
n?6
?a
n?6
? a
n?2
?a
n?2
,所以当n?8时,2a
n
?a
n?2
?a
n?2
，
即
a
n?2
?a
n
?a
n
?a
n?2
.于是当n?9时,a
n?3
,a
n?1
,a
n?1
,a
n?3
成等差数列，
从而
a
n?3
?a
n?3
?a
n?1
?a
n?1
，
故由（*）式知
2a
n
?a
n?1
?a
n?1
,即a
n?1
?a
n
?a
n
?a< br>n?1
.

当
n?9
时，设
d?a
n
?a
n?1
.

当
2?m?8时,m?6?8
，从而由（ *）式知
2a
m?6
?a
m
?a
m?12

故
2a
m?7
?a
m?1
?a
m?13
.

从而
2(a
m?7
?a
m?6
)?a
m?1< br>?a
m
?(a
m?13
?a
m?12
)
，于 是
a
m?1
?a
m
?2d?d?d.

因此，a
n?1
?a
n
?d
对任意
n?2
都成立，又 由
S
n?k
?S
n?k
?2S
k
?2S
k
(k?{3,4})
可知
（*）
(S
n?k
?S
n
)?(S
n
?S
n?k
)?2S
k
,故9d?2 S
3
且16d?2S
4
，



解得< br>a
4
?
73d
d,从而a
2
?d,a
1?.

222
因此，数列
{a
n
}
为等差数列 ，由
a
1
?1知d?2.

所以数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?2n?1.

【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？
信达