高中数学不等式选讲答案-高中数学函数与集合有关系吗
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高一数学第二次月考模拟试题（必修一+二第一二章）
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题(每小题5分，共60分) <
br>1．设集合
A
＝{4,5,7,9}，
B
＝{3,4,7,8,9}，
全集
U
＝
A
∪
B
，则集合?
U
(
A
∩
B
)中的元素共有( )
A．3个
B．4个 C．5个 D．6个
2．下列函数为奇函数的是( )
A．
y
＝
x
B．
y
＝
x
C．
y
＝2
D．
y
＝log
2
x
1
3．函数
y＝＋log
2
(
x
＋3)的定义域是( )
23
x
x
A．R B．(－3，＋∞)
C．(－∞，－3) D．(－3,0)∪(0，＋∞)
4．梯形
A1
B
1
C
1
D
1
（如图）是一水平放置的平面
图形
ABCD
的直观图
2
（斜二测），若
A
1
D
1
∥
y
轴，
A
1
B
1
∥
x
轴，
A
1
B
1
?C
1
D
1?2
，
A
1
D
1
?1
，
3
则平面图形
ABCD
的面积是（ ）
D
1
A
1
B
1
O
1
C
1
A.5 B.10
C.
52
D.
102
5．已知圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ）
A.
120?
B.
150?
C.
180?
D.
240?
6．已知f
(
x
－1)＝
x
＋1，则
f
(7)的值，为
( )
33
A.7－1 B.7＋1 C．3
D．2
9
7．已知log
2
3＝
a
，log
2<
br>5＝
b
，则log
2
等于( )
5
3
a
2
2
a
A．
a
－
b
B．2
a
－
b
C. D. <
br>bb
2
8．函数
y
＝
x
＋
x
(－1
≤
x
≤3)的值域是( )
113
A．[0,12]
B．[－，12] C．[－，12] D．[，12]
424
1
9．下列四个图象中，表示函数
f
(
x
)＝
x<
br>－的图象的是( )
2
x
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2
10．函数
y
＝－
x
＋8
x
－16在区间[3,5]上( )
A．没有零点
B．有一个零点 C．有两个零点 D．有无数个零点
11．给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是(
)
A．4 B．3 C．2 D．1
12．已知
f
(
x
)是定义在(0，＋∞)上的增函数，若
f
(
x
)>
f
(2－
x
)，则
x
的取值范围是( )
A．
x
>1
B．
x
<1 C．0<
x
<2
D．1<
x
<2
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．已知集合<
br>A
＝{
x
|
x
<－1或2≤
x
<3}，B
＝{
x
|－2≤
x
<4}，则
A
∪
B
＝__________.
14．函数
y
＝log
2
3
－4
x
的定义域为__________．
15．据有关资料统计，通过环境整治，
某湖泊污染区域
S
(km)与时间
t
(年)可近似看作指数函数关系，已知近两年污染区域由0.16 km降至0.04 km，则污染区域降至0.01
km还需要__________年．
16．空间四边形
ABCD
中，
P<
br>、
R
分别是
AB
、
CD
的中点，
PR
=3、
AC
= 4、
BD
=
25
,那么
AC与
222
2
BD
所成角的度数是_________.
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)已知
集合
A
＝{
x
|1≤
x
<4}，
B
＝{<
br>x
|
x
－
a
<0}，
(1)当
a
＝3时，求
A
∩
B
；
(2)若
A
?
B
，求实数
a
的取值范围．
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7
1
27
-
1
0
18．(12分)(1)计算：(2)
2
＋(lg5)＋()
3
；
964
(2)解方程：log
3
(6－9)＝3.
19．(12分)判断函数
f
(
x
)＝
20． 如图，在长方体
ABCD—
A
1
B
1
C
1
D
1
中，<
br>AB
＝2，
BB
1
＝
BC
＝1，
E
为
D
1
C
1
的中点，连结
ED
，
EC，
EB
和
DB
．
(1)求证：平面
EDB
⊥平面
EBC
；
(2)求二面角
E
－
DB
－
C
的正切值.
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11
3
＋
x
＋的奇偶性．
a
－12
x
x
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21．(12分)
已知正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
，
O
是底
ABCD
对角线的交点.
求证：（1）
C
1
O
∥面
AB
1
D
1
；
（2）
A
1
C?
面
AB
1
D
1
．
22．( 12分)已知函数
f
(
x
)是正比例函数，函
数
g
(
x
)是反比例函数，且
f
(1)＝1，
g<
br>(1)＝1，
(1)求
f
(
x
)，
g
(
x
)；
(2)判断函数
h
(
x
)＝
f
(
x
)＋
g
(
x
)的奇偶性；
1
(3)证明函数S(x)＝xf(x)＋g()在(0，＋∞)上是增函数．
2<
br>D
1
A
1
D
O
AB
B
1
C
1
C
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高一数学期末考试模拟试题（答案）
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．解
析：
U
＝
A
∪
B
＝{3,4,5,7,8,9}，
A
∩
B
＝{4,7,9}，∴?
U
(
A
∩
B
)＝{3,5,8}，有3个元素，故选A.
答案：A
2．解析：A为偶函数，C、D均为非奇非偶函数．答案：B
3．解析：要使函数有意义，自变量
x
的取值须满足
?
x
≠0
?
?
?
?
x
＋3>0
，解得
x
>－3且
x
≠0.答案：D
4． 解析：梯形<
br>A
1
B
1
C
1
D
1
上底长为2，下
底长为3腰梯形
A
1
D
1
长为1，腰
A
1
D
1
与下底
C
1
D
1
的夹角为
45? ，
所以梯形
A
1
B
1
C
1
D
1
的高为
12522
2
S
平面
，所以梯形
A
1
B
1
C
1
D
1
的面积为
（2+
3）=
，根据
S
直观
=
2244
2
可知，平面图
形
ABCD
的面积为5.答案：A
5．
解析：由
?
r
?
?
rl?3
?
r
知道
l?2r
所以圆锥的侧面展
开图扇形圆心角度数为
22
r1
?360???360??180?
，故选C
答案：C
l2
6．解析：令
x
－1＝7，得
x
＝2，∴<
br>f
(7)＝3.答案：C
9
7．解析：log
2
＝log<
br>2
9－log
2
5＝2log
2
3－log
2
5＝2
a
－
b
.答案：B
5
1
2
8．
解析：画出函数
y
＝
x
＋
x
(－1≤
x
≤
3)的图象，由图象得值域是[－，12]．答案：B
4
11
9．解析：函数
y
＝
x
，
y
＝－在(0，＋∞)上为增函数，所以函数
f
(
x
)＝
x
－在(0，＋∞)上为增函数，
3
xx
故满足条件的图象为A.答案：A
10．解析：∵
y
＝－
x
＋8
x
－16＝－(
x
－4)，∴函数在[3,5]上只有一个零点4.答
案：B
11．解析：因为①②④正确，故选B．
22
x
>0
?<
br>?
12．解析：由题目的条件可得
?
2－
x
>0
?<
br>?
x
>2－
x
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．答案：{
x
|
x
<4}
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，解得1<
x
<2，故答案应为D.答案：D
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br>1
14．解析：根据对数函数的性质可得log
2
(3－4
x
)≥0＝log
2
1，解得3－4
x
≥1，得
x
≤，所以定
义域
2
11
为(－∞，]．答案：(－∞，]
22
111
tt
222
15．解析：设
S
＝
a
，则由题意可得
a
＝，从而
a
＝，于是
S
＝()，设从0.04 km降至0.01
km还
422
1
t
1
需要
t
年，则()＝，即t
＝2.
24
答案：2
16、
解析：
如图，取
AD
中点
Q
，连
PQ
，
RQ
，则
PQ?5
，
RQ?2
，而
PR
=3，所以
PQ
2<
br>?RQ
2
?PR
2
，
所以
PQR
为直角三角
形，即
PQ
与
RQ
成
90?
的角，所以
AC
与
BD
所成角的度数是
90?
.
?PQR?90?
，答案：
90?
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)已知
集合
A
＝{
x
|1≤
x
<4}，
B
＝{<
br>x
|
x
－
a
<0}，
(1)当
a
＝3时，求
A
∩
B
；
(2)若
A
?
B
，求实数
a
的取值范围．
解：(1)当
a
＝3时，
B
＝{
x
|
x
－3<0}＝{
x
|
x
<3}，则有
A
∩
B
＝{
x
|1≤
x
<3}．
(2)
B
＝{
x
|
x
－
a
<0}＝{
x
|
x
<
a
}，
当
A
?
B
时，有
a
≥
4，即实数
a
的取值范围是[4，＋∞)．
7
1
27
-<
br>1
0
18．(12分)(1)计算：(2)
2
＋(lg5)＋()
3
；
964
(2)解方程：log
3
(6－9)＝3.
25
1
3
3－
1
54
0
解：(1)原式＝()
2
＋(lg5)＋[()]
3
＝＋1＋＝4.
9433
(2)由方程log<
br>3
(6－9)＝3得6－9＝3＝27，∴6＝36＝6，∴
x
＝2.
经检验，
x
＝2是原方程的解．
19．(12分)判断函数
f(
x
)＝
x
xx
3
x
x
2
1
1
3
＋
x
＋的奇偶性．
a
－12
x
解：
由
a
－1≠0，得
x
≠0，
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∴函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
11a
1
3
f
(－
x
)＝
－
x
＋
(－
x
)
3
＋＝－
x
＋
x
a
－
121－
a
2
x
a
x
－1＋1
3
111<
br>3
＝－
x
＋＝－
x
－
x
－＝－
f<
br>(
x
)．
x
1－
a
2
a
－12<
br>∴
f
(
x
)为奇函数．
20．(12分) 如图，在长方体
ABCD
—
A
1
B
1
C
1
D1
中，
AB
＝2，
BB
1
＝
BC
＝1
，
E
为
D
1
C
1
的中点，连结
ED
，
EC
，
EB
和
DB
．
(1)求证：平面
EDB
⊥平面
EBC
；
(2)求二面角
E
－
DB
－
C
的正切值.
证明：(1)在长方体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB
＝2，
BB
1
＝
BC
＝1，
E
为
D
1
C
1
的中点．∴△
DD
1
E
为等腰直角三
角形，∠<
br>D
1
ED
＝45°．同理∠
C
1
EC
＝45
°．∴
?DEC?90?
，即
DE
⊥
EC
．
在长
方体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
BC
⊥平面
D
1
DCC
1
，又
DE
?
平面
D
1
DCC
1
，
∴
BC
⊥
DE
．又
EC?BC?C
，∴
DE⊥平面
EBC
．∵平面
DEB
过
DE
，∴平面
DEB
⊥平面
EBC
．
(2)解：如图，过
E
在平面<
br>D
1
DCC
1
中作
EO
⊥
DC
于<
br>O
．在长方
体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，∵面ABCD⊥面
D
1
DC
C
1
，∴
EO
⊥面
ABCD
．过
O
在平面
DBC中作
OF
⊥
DB
于
F
，连结
EF
，
∴
EF
⊥
BD
．∠
EFO
为二面
角
E－
DB
－
C
的平面角．利用平面几何知识可得
OF
＝<
br>20题)
又
OE
＝1，所以，tan
?
EFO
＝<
br>5
．
21.(12分)
已知正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
，
O
是底
ABC
D
对角线的交点.
求证：（１）
C
1
O
∥面
AB
1
D
1
；
1
， (第
5
D
1
A
1
D
B
1
C
1
?
面
AB
1
D
1
． （2 ）
AC
1
证明：（1）连结
A
1
C
1
，设
AC
1
1
C
O
B
B
1
D
1
?O
1
连结
AO
1
，
A
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
是正方体
?A
1
ACC
1
是平行四边形
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?A
1
C
1
AC
且
A
1
C
1
?AC
又
O
1
,O
分别是
A
1
C
1,AC
的中点，
?O
1
C
1
AO
且
O
1
C
1
?AO
?AOC
1
O
1
是平行四边形
?C
1
OAO
1
,AO
1
?
面
A
B
1
D
1
，
C
1
O?
面
AB1
D
1
?
C
1
O
面
AB
1
D
1
（2）
又
CC
1
?
面
A
1B
1
C
1
D
1
?CC
1
?B
1
D
!
A
1
C
1
?B
1
D
1
，
?B
1
D
1
?面AC
11
C
即AC?B
1
D
1
1
同理可证
A
1
C?AB
1
，
又
D
1
B
1
AB
1
?B
1
?
A
1
C?
面
AB
1
D<
br>1
22．(12分)已知函数
f
(
x
)是正
比例函数，函数
g
(
x
)是反比例函数，且
f
(1)＝1，
g
(1)＝1，
(1)求
f
(
x
)，
g
(
x
)；
(2)判断函数
h
(
x
)＝
f
(
x
)＋
g
(
x
)的奇偶性；
1
(3)证明函数
S
(
x
)＝
xf
(
x
)＋
g()在(0，＋∞)上是增函数．
2
解：(1)设
f
(x
)＝
k
1
x
(
k
1
≠0)，
g
(
x
)＝(
k
2
≠0)．
1
∵f
(1)＝1，
g
(1)＝1，∴
k
1
＝1，
k
2
＝1.∴
f
(
x
)＝
x
，
g
(
x
)＝.
k
2
x
x
1
(2)
由(1)得
h
(
x
)＝
x
＋，则函数
h
(
x
)的定义域是
x
(－∞，0)∪(0，＋∞)，
h
(－
x
)＝－
x
＋
11
＝－(
x
＋)＝－
h
(
x
)，∴函数
h
(
x)＝
f
(
x
)＋
g
(
x
)是奇函数．
－
xx
2
(3)证明：由(1)得
S
(
x
)＝
x
＋2.设
x
1
，
x
2
∈
(0，＋∞)，且
x
1
<
x
2
，
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则
S
(
x
1
)－
S
(
x
2
)＝(
x
1
＋2)－(x
2
＋2)＝
x
1
－
x
2
＝(
x
1
－
x
2
)(
x
1
＋
x2
)．
∵
x
1
，
x
2
∈
(0，＋∞)，且
x
1
<
x
2
，∴
x
1<
br>－
x
2
<0，
x
1
＋
x
2
>0.
∴
S
(
x
1
)－
S
(
x
2
)<0.∴
S
(
x
1
)<
S
(
x
2
)．
1
∴函数
S
(
x<
br>)＝
xf
(
x
)＋
g
()在(0，＋∞)上是增函数
．
2
2222
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