高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题6.：数列中不等关系问题的研究与拓展

------------------------------------------- ------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点---------- -------------------------------------------








专题6.14：数列中不等关系问题的研究与拓展
【探究拓展】
探究1：（1）已 知各项均为正数的等比数列
?
a
n
?
，若
2a
4< br>?a
3
?2a
2
?a
1
?8
，
则
2a
8
?a
7
的最小值为 54
11
?
（2）数列
?
a
n
?
满足< br>a
1
?1,a
n?1
?1?a
n
(a
n?1)
，
(n?N
?
)
，且
?
a
1< br>a
2
值为___________.
?
?
1
a
2012
=2，则
a
2013
?4a
1
的最小
7

2
?
1
a
2012
=2，可化为
11< br>111
??
??
解：
a
1
?1,a
n?1< br>?1?a
n
(a
n
?1)
可得，故由
a
1< br>a
2
a
n
a
n
?1a
n?1
?1< br>2?a
1
11
??2
，则
a
2013
?可转化为单元函数求最值问题
3?2a
1
a
1
?1a
2013
?1
【解】由递推关系得
11111
??
，累乘得
??2
，
a
n
?1a
n?1
?1a
n
a
1
?1a
2013
?1
则
1
a
2013< br>?1
?
3?2a
1
3
?0
，得
1?a
1
?
，
a
1
?1
2
所以
a
2 013
?4a
1
?
a
1
?1
11
?
1
?
7
5
?1?4a
1
???
?
?4a
1
?6
?
???
a?
，当且仅当时，等号成立．
1
?
4
3?2a
1
2
?
4a
1< br>?6
?
2
1
，定义
?
n
?a
1a
2
a
3
2
信达
变式1：等比数列
?
a
n
?
中，
a
1
?512
，公比
q??
a
n
，则

---------------------- ---------------------------------------------奋斗没有终 点任何时候都是一个起点--------------------------------------- --------------



?
1
,?
2
,?
3
中最大项是_______．
2
S
n
2
变式2：设首项不为零的等差数列
?
a< br>n
?
的前
n
项和为
S
n
，若不等式
a?
2
?ma
1
对任意正整数
n
都成立，
n
2
n
则实数
m
的最大值为______
1

5
22
a
n

S
n

解析：a
1
＝0时，不等式恒成立，当
a
1
≠0时，
λ
≤
2
＋
22
，将
a
n
＝
a
1< br>＋(
n
－1)
d
，
a

na
1

1
nn
－1
d
5
?n
－1
d
6
?
2
111
＋
?
＋∴
λ
≤，∴λ
max
＝.
S
n
＝
na
1
＋代入上式，并化简得：
λ
≤
?
a
1
5
?
524
?
55
探究2：（1）等比数列
?
an
?
的公比
q?1
，第17项的平方等于第24项，使得不等式
a
1
?a
2
??a
n
?
11
??
a
1
a
2
?
1
恒成立的正整数
n
的取值 范围是__________
a
n
（2）若
a
n
?n?（ n?N
*
）
，且
a
n
?a
3
，则实数c
的取值范围是_________．
n*
变式1：设数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
．已知
a
1
?a
，
a
n?1
?S
n
?3,n?N
.
n
（1）设
b
n
?S
n
?3
，求数列
?
b
n
?
的通项公式；
*
（2）若a
n?1
?a
n
,n?N
，求
a
的取值范围．
c
n
变式2：已知常数
λ
≥0，设各项均为正数的数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，满足：
a
1
=1，
S
n?1
?
a
n?1
．
S
n
?
?
?3
n
?1a
n?1
（
n ?N*
）
a
n
??
（1）若
λ
=0，求数列{a
n
}的通项公式；
1
（2）若
a
n?1
? a
n
对一切
n?N*
恒成立，求实数
λ
的取值范围． 2
1
拓展：（2014上海卷）已知数列
?
a
n
?满足
a
n
≤a
n?1
≤3a
n
,n?N
?
,a
1
?1
．
3
（1）若
a
2?2,a
3
?x,a
4
?9
，求
x
的取值范围 ；
（2）若
?
a
n
?
是公比为
q
的等比 数列，
S
n
?a
1
?a
2
?
（3）若a
1
,a
2
,
数列
a
1
,a
2
,
,a
k
成等差数列，且
a
1
?a
2< br>?
1
?a
n
，若
S
n
?S
n?1< br>?3S
n
，
n?N
?
，求
q
的取值范围；
3
?a
k
?1000
，求正整数
k
的最大值，以及
k
取最大值时相应
,a
k
的公差．
解：（1）由条件得< br>2x
?x?6
且
?9?3x
，解得
3?x?6
．
33
信达

-------------------------- -----------------------------------------奋斗没有终点任何时 候都是一个起点------------------------------------------- ----------



所以
x
的取值范围是[3，6]．
11
（2）由
a
n
?3a
n
，且
a
n
?a
1
q
n?1
?0
，得
a
n
?0
，所以
S
n?S
n?1

33
11
又
a
n
?a< br>n+1
?3a
n
，所以
?q?3
．
33
当
q?1
时，
S
n
?n
，
S
n?1
?n?1
，由
n?1?3n
得
S
n?1
?3S
n< br>成立．
1?q
n?1
1?q
n
?3?
当
q ?1
时，
S
n?1
?3S
n
即．
1?q1?q< br>①若
1?q?3
，则
?
3?q
?
q
n
?2

由
q
n
?q,n?N
*
,
得?
3?q
?
q?2
，所以
1?q?2

1②若
?q?1
，则
?
3?q
?
q
n
? 2
．
3
1
由
q
n
?q,n?N
*
,
得
?
3?q
?
q?2
，所以
?q?1

3
?
1
?
综上，
q
的取值范围为
?
,2
?
．
?
3
?
（3）设数列
a
1< br>,a
2
,
1
,a
k
的公差为
d
．由
a
n
?a
n?1
?3a
n
，且
a
1
?1
，
3
,k?1.

1
得
?
1?
?
n?1
?
d
?
?
?1+nd?3
?
?
1?
?
n?1
?
d
?
?
,n ?1,2,
3
?
?
?
?
2n?3
?
d?? 2,
即
?
n?1,2,
2n?1d??2,
??
?
?
,k?1.

2
当
n?1
时，
??d?2
，
3
当n?2,
所以
d?
k?1
时，由
?22
??.

2k?13
?2?2?2
?,
得
d?,

2n?1 2n?32n?1
所以
1000?ka
1
?
得
k?1999
．
k
?
k?1
?
2
d?k?
k
?
k?1
?
?2
，即
k
2
?2000k?1000 ?0
，
22k?1
所以
k
的最大值为
1999
，
k?1999
时，
a
1
,a
2
,,a
k< br>的公差为
?
1
．
1999
【考点】建立不等关系、解不等式、等差数列、等比数列、恒成立问题、分类讨论


信达

---------------------- ---------------------------------------------奋斗没有终 点任何时候都是一个起点--------------------------------------- --------------





探究3：（1） 等差数列
?
a
n
?
与等比数列
?
b
n?
中，
a
1
?b
1
?0,a
3
?b< br>3
?0,且a
1
?a
3
，则
a
2
____b
2
；a
5
____b
5
(大小关系)
变式：已知公差不为零的正项等差数列{
a
n
}的前n项和为
S
n< br>，正项等比数列{
b
n
}的前n项的和为
T
n
，若< br>a
15
?b
5
,a
30
?b
20
, 则S
30
?S
15
_____T
20
?T
5
（用不等号连接）
*
（2）设
S
n
是数列
?
a
n
?
的前
n
项和，对任意
n?N
总有
S< br>n
?qa
n
?1(q?0，q?1，

且m?k)
．
m，k?N
*
，
①求数列的
?
a
n
?通项公式
a
n
；
②试比较
S
m?k
与
211
1
?
与的大小．
(S
2m
?S
2k)
的大小；③当
q?1
时，试比较
SS
S
2
2 m2k
m?k
*
拓展1：已知等差数列
?
a
n
?< br>的首项
a
1
?0
，公差
d?0
，前
n
项和为
S
n
，设
m，n，p
∈N，且
m?n?2p

2
（1）求证：
S
n
?S
m
?2S
2 p
；（2）求证：
S
m
?S
n
?S
p
；
2009
（3）若
S
1005
?1
,求证：
?i?1
1
?2009

S
i
拓展2：首项为
a
1
的正项数列
?
a
n
?
的前
n
项 和为
S
n
,
q
为非零常数,已知对任意正整数
n,m
,
S
n?m
?S
m
?q
m
S
n
总成立.
（2）求证：数列
?
a
n
?
是等比数列； < br>mh2k
（2）若不等的正整数
m,k,h
成等差数列，试比较
am
与
a
k
的大小；
?a
h
（3）若不等的正 整数
m,k,h
成等比数列，试比较
a?a
与
a
的大小.
（1）证:因为对任意正整数
n,m
，
S
n?m
?S
m
?q
m
S
n
总成立,
令
n?m?1
，得
S
2
?S
1
?qS
1
,则
a
2
?qa
1

令
m?1
，得
S
n?1?S
1
?qS
n
(1),从而
S
n?2
?S< br>1
?qS
n?1
(2),
(2)－(1)得：
a
n ?2
?qa
n?1
,
(n?1)

信达
1
m
m
1
h
h
2
k
k

-- -------------------------------------------------- ---------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点------------------- ----------------------------------


< br>综上得
a
n?1
?qa
n
(n?1)
,所以数列?
a
n
?
是等比数列
（2）正整数
m,k,h
成等差数列，则
m?h?2k
,所以
m
2
?h
2
?
则
a
m
?a
h
?a
1
q
mhm m
2
?m
1
(m?h)
2
?2k
2
, < br>2
a
1
h
q
h
2
?h
?a
1
2k
q
m
2
?h
2
?m?h

mh2k
①当
q?1
时，
a
m

?ah
?a
1
2k
?a
k
②当
q?1
时，
a
m
?a
h
?a
1
q
mh
mh2 km
2
?h
2
?m?h
?a
1
2k
q2k
2
?2k2k

?(a
1
q
k?1
)
2k
?a
k
2
③当
0?q?1
时，
a
m
?a
h
?a
1
q
2km
2
?h
2
?m?h
?a
1
2k
q
2k?2k2k

?(a
1
q
k?1
)
2k
?a
k
（3）正整数
m,k,h
成等比数列，则
m?h?k
2
,则
1
m
m
1
h
h
1
m?1
m
1h?1
h
11
?
mh
1
11
2??
m h
1112
??2?
,
mhmhk
2
所以
a?a ?(a
1
q)(a
1
q)?aq
1122
?
a1
m
2
a
1
khk
?q()
，
ak
?q()

qq
1122
a
1
2
m
① 当
a
1
?q
,即
?1
时，
a
m
?a
h
h
?a
k
k
?q?a
k
k

q
1 1112
2
?
aa
a
1
22
11
m
?a
h
h
?q()
mh
?q()
k
?a
k
k
②当
a
1
?q
,即
?1
时，
a
m
qq
q
11112
2
?
aa
a1
22
1
mh
1
kmh
k
?q()
? a
k
③当
a
1
?q
,即
?1
时，
a
m
?a
h
?q()
qq
q
【专题反思】你学到 了什么？还想继续研究什么？
信达