高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题4.1：三角函数中的单位圆问题的研究与拓展

------------------------------------------- ------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点
------ -----------------------------------------------








专题4.1：三角函数中的单位圆问题的研究与拓展
【课本溯源】苏教版高中数学教材必修4第13页：
由于
sin
?
?
yx
为
,cos
?
?
与点
P(x,y)
在角
?
终边上的位置无关，
rr
简单起见，
度的圆）的我们取r?1
，即选取角
?
终边与单位圆（圆心在原点，半径等于单位长
交点为
P(x,y)
，则
sin
?
?y,cos
?
?x< br>(如图)
问题：动点
A
?
x,y
?
在圆
x ?y?1
上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间
t?0
22
时，点
A
的坐标是
(,
13
)
，则当
0? t?12
时，动点
A
的纵坐标
y
关于
t
（单位：秒 ）的函数的单调递
22
增区间是__________.
?
0,1
?
和
?
7,12
?

【 解析】画出图形，设动点A与
x
轴正方向夹角为
?
，则
t?0
时
?
?
?
3
，每秒钟旋转
?
，在
t?< br>?
0,1
?
上
6
??
3
?
7
?
?
?[,]
，在
?
7,12
?
上
?< br>?[,]
，动点
A
的纵坐标
y
关于
t
都是单 调递增的.
3223

【问题提出】
问题1：苏教版高中数学教材必修4第24页，习题1.2，第17题：
11
利用单 位圆分别写出下列条件的角
?
的集合：（1）
sin
?
??
; （2）
sin
?
??
.
22

信达

--------------------------------------- ----------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点
-- -------------------------------------------------- -



问题2：（2008年江苏卷15）如图，在平面直角坐标系
xOy
中，
以
Ox
轴为始边作两个锐角
α
，
β< br>，它们的终边分别与单位圆交于
225
A
，
B
两点，已知A
，
B
的横坐标分别为．
,
105
y
A< br>B
（1）求
tan(
?
?
?
)
的值；
（2）求
?
?2
?
的值．:
解析：（1）由
(
＝7；
由
(
25
2
5
1
，则tan
β
＝．
)?(y
B
)
2< br>?1
及
y
B
>0，得
y
B
?
55< br>2
7?
O
x
2
2
72
，则tan
α
)?(y
A
)
2
?1
及
y
A
>0 ，得
y
A
?
1010
1
tan
?
?tan
?
2
??3
． ∴
tan(
?
?
?
)??
1?tan
?
tan
?
1?7?
1
2（2）
tan(
?
?2
?
)?
tan(
??
?
)?tan
?
???1
，
1?tan(
?
?
?
)tan
?
1?(?3)?
1
2
? 3?
1
2
ππ
3π3π
∵
α
∈
(0,)< br>，
β
∈
(0,)
，∴
α
＋2
β
∈< br>(0,
．
)
，则
α
＋2
β
＝
2224
【拓展探究】
探究1：在
?
0,2
?
?
内，使
sinx?cos x
成立的
x
的取值范围为________.
?
变式1：利用单位圆解不等式
3tan
?
?3?0
（k
?
－

变式2：求函数
y?lg
?
2sinx ?1
?
?1?2cosx
的定义域.
?
2k
?
?< br>
探究2：苏教版高中数学教材必修4第24页，习题1.2，第20题：
若
?
为锐角（单位为弧度），试利用单位圆及三角函数线，比较
?
，sin
?< br>,tan
?
之间的大小关系.
解：sin
α
＜
α
＜tan
α
.
证 明：如图，设角
α
的终边与单位圆相交于点
P
，单位圆与
x
轴
为
A
，过点
A
作圆的切线交
OP
的延长线于T
，过
P
作
PM
⊥
OA
于
M
，连
正半轴交点
接
AP
，则：
?
?
5
?< br>,
44
?
?
?
；
?
??
，k
?
+），k ∈Z
62
?
?
?
3
,2k
?
?
5
?
?
(k?Z )
.
6
?
?
信达

---------- -------------------------------------------------- -------奋斗没有终点任何时候都是一个起点
----------------------- ------------------------------



在 Rt△
POM
中，sin
α
＝
MP
；在Rt△
AO T
中，tan
α
＝
AT
；
又根据弧度制的定义，有
AP
＝
α
·
OP
＝
α
，易知
S
△
POA
＜
S
扇形
POA
＜
S
△
AOT
，
111
即
OA
·
MP
＜
AP< br>·
OA
＜
OA
·
AT
，可得sin
α
＜
α
＜tan
α
.
222

探究3：如图所示 ，角
α
的终边与单位圆(圆心在原点，半径为
3
??
第二象限的点< br>A
?
cos
α
，
?
，则cos
α
－ sin
α
＝________.
5
??
734
答案：－ 解析：由条件知，sin
α
＝，∴cos
α
＝－，
555
7
∴cos
α
－sin
α
＝－.
5
变式1：直线
y
＝2
x
＋1和圆
x
＋
y
＝1交于
A
，
B
两点，以
x
轴的正方向为始边，< br>OA
为终边(
O
是坐标原点)
的角为
α
，
O B
为终边的角为
β
，则sin(
α
＋
β
)＝___ _____.
4
22
答案：－ 解析：将
y
＝2
x
＋1代入
x
＋
y
＝1中得，
5
3
?< br>4
?
4
2
5
x
＋4
x
＝0，∴x
＝0或－，∴
A
(0,1)，
B
?
－，－
?
，
5
?
5
?
5
34
故sin
α
＝1，cos
α
＝0，sin
β
＝－，cos
β
＝ －，
55
4
∴sin(
α
＋
β
)＝sin
α
cos
β
＋cos
α
sin
β
＝－.
5

变式2：点P是单位圆上一点，它从初始位置
P
0
开始 沿单位圆按逆时针
（
0?
?
?
22
1的圆)交于
y

P
2

P
1

方向运动角
?
P
0

?
2
）到点
P
1
，然后继续沿单位圆逆时针方向运动
?
到点
3
P
2
，若点
4
P
2
的横坐标为
?
，
cos
?
的值等于___________.
5
33
变式3：角
?
（
0?
?
?2
?
）的终边过点
P(sin?
,cos
?
），则
?
?______

55


探究4：
A
、
B
是单位圆
O
上的动点，且
A
、
B
分别在第一、二象限．
C
半轴的交点，△
AOB
为正三角形．记∠
AOC
＝
α
. < br>34sin
α
＋sin2
α
（1）若
A
点的坐标为( ，)．求的值；
2
55cos
α
＋cos2
α
信达
O
x

19
?

10
是圆
O< br>与轴正
2

---------------------------- ---------------------------------------奋斗没有终点任何时候都 是一个起点
----------------------------------------- ------------



（2）求|
BC
|的取值范围．
344
解：(1)∵
A
点的坐标为(，)，∴tan
α
＝，
553
sin
α
sin
α
168
＋2×＋
2
222
cos
α
tan
α
＋2tan
α
93
sin
α
＋sin2
α
sin
α
＋2sin< br>α
cos
α
cos
α
∴＝＝＝＝＝20.
2222 2
cos
α
＋cos2
α
2cos
α
－sinα
sin
α
2－tan
α
16
2－
2
2－
cos
α
9
(2)设
A
点的坐标为(
x，
y
)，∵△
AOB
为正三角形，
∴
B
点的 坐标为(cos(
α
＋)，sin(
α
＋))，且
C
(1, 0)，
33
∴|
BC
|＝[cos(
α
＋)－1]＋si n(
α
＋)＝2－2cos(
α
＋)．
333
2
2
2
ππ
π
22
ππ
ππππ
5
π
而
A
、
B
分别在第一、二象限，∴
α
∈(，)． ∴
α
＋∈(，)，
62326
π
3
2
∴cos(
α
＋)∈(－，0)． ∴|
BC
|的取值范围是(2,2＋3)．
32
变式1：如图
A
、
B
是单位圆
O
上的点，< br>C
是圆与
x
轴正半轴
坐标为
(,)
，三角形
AOB
为正三角形．
（1）求
sin?COA
；
（2）求
|BC|
2
的值．
解：(Ⅰ)因为
A
点 的坐标为
(,)
，根据三角函数定义可知
x?
所以
sin?COA?
y
B
O
34
55
34
A
(,)

55
C
的交点，
A
点的
x
34
55
4
3
，
y?
，
r?1

5
5
y4
?

r5
43
(Ⅱ)因为三角形
AOB
为正三角形，所以
?AO B?60
，
sin?COA?
，
cos?COA?
，
55
所以
cos?COB?cos(?COB?60)?cos?COBcos60? sin?COBsin60

?
31433?43

????
525210
所以
|BC|
2
?|OC|
2
?|OB|
2
?2|OC||OB|cos?BOC
?1?1?2?



3?437?43

?
105
变式2：如图, 单位圆（半径为1的圆）的圆心
O
为坐标 原点，单位圆与
y
轴的正半轴交与点
A
,与钝角
?
的终边< br>OB
交于点
B(x
B
,y
B
)
,设
?BAO?
?
.
信达

---------------- -------------------------------------------------- -奋斗没有终点任何时候都是一个起点
----------------------------- ------------------------



(1) 用
?
表示
?
;
(2) 如果
sin
?
?
y
4
,求点
B(x
B
,y
B
)
的 坐标；
5
?
角终边
B
A
(3) 求
x
B
?y
B
的最小值.
解：(1)如图
?A OB?
?
?
?
?
?
?2
?
,?
?
?
3
?
?2
?
.
22
（2）由O
x
sin
?
?
y
B
r
，又
r?1
,得
y
B
?sin
?
?sin(
3
?
?2
?
)

2
47
.
??cos 2
?
?2sin
2
?
?1?2?()
2
?1?525
由钝角
?
，知
x
B
?cos
?
??1?sin
2
?
??
24
,

?B(?
24
,
7
)
.
25
2525< br>（3）【法一】
x
B
?y
B
?cos
?
?s in
?
?2cos(
?
?
cos(
?
?

?
)
， 又
?
?(
?
,
?
),< br>?
?
?
?(
3
?
,
5
?
)
，
4
2444
?
?
2
?
,
?x< br>?
B
)?
?
?1,?
?
42
??
? y
B
的最小值为
?2
.
22
【法二】
?
为钝角，
?x
B
?0,y
B
?0,x
B
?y
B
?1
,
x
B
?y
B
??(?x
B< br>?y
B
)
，
(?x
B
?y
B
)
2
?2(x
B
?y
B
)?2
,
?x
B
?y
B
??2
,
22
?x
B
?y
B
的最小值为
?2
.

探究4：如图，在平面直角坐标系
xOy
内作单位圆
O
， 以
Ox
轴为始边作任意角
α
，
β
，它们的终边与单位
圆
O
的交点分别为
A
，
B
.
→→
(1 )设
α
＝105°，
β
＝75°，求
OA
·
OB< br>；
(2)试证明差角的余弦公式C
(
α
－
β
)：cos(
α
－
β
)
cos
α
cos
β
＋sin
α
sin
β
.

→→
解：( 1)方法1：由已知，得
OA
，
OB
的夹角为30°，
3
→→→→→→
|
OA
|＝|
OB
|＝1，∴
OA
·
OB
＝|
OA
||
OB
|cos30°＝.
2< br>方法2：由三角函数的定义，得点
A
(cos105°，sin105°)，
B
(cos75°，sin75°)，
3
→→
∴
OA
·OB
＝cos105°cos75°＋sin105°sin75°＝cos(105°－75°) ＝.
2
信达
＝

------------------- ------------------------------------------------奋斗 没有终点任何时候都是一个起点
-------------------------------- ---------------------



→→→→→→→→(2)设
OA
，
OB
的夹角为
θ
，因为|
OA
|＝|
OB
|＝1，所以，
OA
·
OB
＝|
OA
||
OB
|cos
θ
＝cos
θ
，
另一方面，由三角函数的定义，得
A
(cos
α
，sin
α
)，
B
(cos
β
，sin
β
)，
→→
∴
OA
·
OB
＝cos
α
cos
β
＋s in
α
sin
β
，故cos
θ
＝cos
α
cos
β
＋sin
α
sin
β
，
由于
α
－
β
＝2
k
π±
θ
，
k
∈Z，∴ cos(
α
－
β
)＝cos
θ
，所以，cos(
α
－
β
)＝cos
α
cos
β
＋sin
α< br>sin
β
.


变式：如图，在平面直角坐标系中，锐角< br>?
、
?
的终边分别与单位圆交于
A
，
B
两点 ．
（1）如果
tan
?
?
3
5
，
B点的横坐标为，求
cos
?
?
?
?
?
的值；
4
13
（2）
若角
?
?
?
的终边与单位圆 交于C点，设角
?
、
?
、
?
?
?
的正弦线
分别为
MA
、
NB
、
PC
，求证：线段
M A
、
NB
、
PC
能构成一个三角形；
（3）探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？
若是，求出该定值；若不是，请说明理由.


34
解：（1）已 知
?
是锐角，根据三角函数的定义，得
sin
?
?，
cos
?
?，
55
又
cos
?
?
51 2
，且
?
是锐角，所以
sin
?
?
．
1 313
4531216
所以
cos(
?
?
?
)?c os
?
cos
?
?sin
?
sin
?
?? ????
．
51351365
（2）证明：依题意得，
MA?sin?
，
NB?sin
?
，
PC?sin(
?
?< br>?
)

?
?
?
因为
?
，
?
?
?
0，
?
，所以
cos
?
?(0,1)
，
cos
?
?(0,1)
，于是有
?
2
?
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
?sin
?
?sin
?
，①
又∵
?
+
?
?
?
0,
?
?
,??1?cos(
?
+
?
)?1
，
sin
?
?sin((
?
?
?
)?
?
)? sin(
?
?
?
)?cos
?
?cos(
?
?
?
)?sin
?
?sin(
?
?
?
) ?sin
?
，②
同理，
sin
?
?sin(
?
?
?
)?sin
?
，③
由①，②，③可得，
线段
MA
、
NB
、
PC
能构成一个三角形
.
（3）第（2）小题中的三角形的外接圆面积是定值，且定值为
?
.
4sin
?
、sin
?
?
?
?
?
，其中 角
A
?
、
B
?
、
C
?
的对边分别 为不妨设
?A
?
B
?
C
?
的边长分别为
s in
?
、
sin
2
?
?sin
2
?
?sin
2
(
?
?
?
)
sin
?
?
?
?
?
、sin
?
、sin
?
.则由 余弦定理，得：
cosA
?
?

2sin
?
?sin
?

信达

----------------------------------------- --------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点
---- -------------------------------------------------< br>


sin
2
?
?sin
2
?< br>?sin
2
?
cos
2
?
?cos
2
?
sin
2
?
?2sin
?
cos
?
c os
?
sin
?

?
2sin
?
?sin
?
sin
2
?
?sin
2
?
?sin2
?
sin
2
?
?2sin
?
cos
?
cos
?
sin
?

?
2sin
??sin
?
?sin
?
?sin
?
?cos
?
cos
?
??cos(
?
?
?
)
?
?
?
因为
?
，
?
?
?
0，
?
，所以
?
?
?
?(0,
?
)
， 所以
sinA
?
?sin(
?
?
?
)
，
?
2
?
设
?A
?
B
?
C
?
的外接圆半径为
R
，由正弦定理，得
2R?
所以
?A?
B
?
C
?
的外接圆的面积为



【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？
B
?
C
?
sin(
?
?
?
)
1
??1
，∴
R?< br>，
sinA
?
sin(
?
?
?
)
2
?
.
4
信达