【金版教程】人教版高中数学必修一练习：第二章单元质量测评2(含答案解析)

第二章 单元质量测评(二)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分
钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1

2
3
ab
1．化简(a>0，b>0)结果为( )
11

24
a b
A．a
a
C.
b
答案 A
31

24
a b
解析 原式＝＝a.
11

24
a b
2－x
2．[2016·福建省厦门市质检]函数f(x)＝的定义域为( )
1－log
2
x
A．(0,2]
C．(－2,2)
答案 B
x≤2
2－x≥0
?
?
?
?
2－x
解析 为使函数f(x)＝有意义，需
?
1－log
2
x≠0，
∴
?
x≠2，

1－log
2
x
?
?
?x>0
?
x>0
∴01
??
3．当α∈
?
－1，
2
，1，3
?
时，幂函数y＝x
α
的图象不可能经过( )
??
B．b
b
D.
a
B．(0,2)
D．[－2,2]


A．第二象限
C．第四象限
答案 D
B．第三象限
D．第二、四象限
1
2
－
解析 y＝x
1
的图象经过第一、三象限，y＝x 的图象经过第一象限，y＝x的图象经

过第一、三象限，y＝x
3
的图象经过第一、三象限．故选D.
4．函数f(x)＝ln (x＋x
2
＋1)，若实数a，b满足f(2a＋5)＋f(4－b)＝0，则2a－b＝( )

A．1
C．－9
答案 C
B．－1
D．9
解析 经分析得f(x)是奇函数，又是增函数，由f(2a＋5)＋f(4－b)＝ 0，得f(2a＋5)＝－
f(4－b)＝f(b－4)，所以2a＋5＝b－4，得2a－b＝－9. 故选C.
5．[2015·孝感高一期中]设函数f(x)＝log
a
(x＋b)( a＞0，a≠1)的图象过点(0,0)，其反函数
过点(1,2)，则a＋b等于( )
A．3
C．5
答案 B
?
＋b?＝0
?
log
a
?0
解析 由题意可列方 程
?
，解方程得a＝3，b＝1，所以a＋b＝4，故
?
log
?2 ＋b?＝1
?
a
B．4
D．6

答案选B.
2

3
2
?
x2
?
6．[2015·米易 中学高一月考]若a＝
?
3
?
，b＝x，c＝log x，则当x＞1时，a、b、c
的大小关系是( )
A．a＜b＜c
C．c＜a＜b
答案 C
2

3
2
?
x
2
2
?
解析 当x＞1时，因为 a＝
?
3
?
，所以0＜a＜，b＝x，所以b＞1，c＝log x，所以
3
c＜0，则a、b、c的大小关系是c＜a＜b，故选C.
7．若函数f (x)＝log
a
(x＋b)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝a
x
＋b的图象
大致是( )
B．c＜b＜a
D．a＜c＜b

答案 D
解析 由函数f(x)＝log
a
(x ＋b)的图象可知，函数f(x)＝log
a
(x＋b)在(－b，＋∞)上是减函
数 ．所以0x
＋ b在R上是减函数，故
排除A，B.因为0x
＋b的值域 为(b，＋∞)，所以g(x)＝a
x
＋b的图象应在
直线y＝b的上方，故排除C.
8．若f(x)，g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝e
x< br>，则有( )
A．f(2)C．f(2)答案 D
解析 用－x代x，则有f(－x)－g(－ x)＝e
x
，即－f(x)－g(x)＝e
x
，结合f(x)－g(x)＝e
x
，
－－
e
x
－e
x
e
x
＋e
x
可得f(x)＝，g(x)＝－.
22
－－
所以f(x) 在R上为增函数，且f(0)＝0，g(0)＝－1，所以f(3)>f(2)>f(0)>g(0)，故选D.
9．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝a；当
a2
，则函数f(x)＝(1⊕x)＋(2⊕2
x
)，x ∈[－2,2]的最大值为( )
A．3
C．12
B．6
D．20

答案 D
?
1?x≤1?
?
2?x≤1?
x
?
解析 依题意，1⊕x＝
2
，2⊕2＝
?
x2
，
?
x< br>?x>1?
?
?2??x>1?
?
1＋2?x≤1?
?
∴f(x)＝
?
2
.
x2
?
x＋?2
??x>1?
?


当x∈[－2,1]时，f(x)＝1＋2＝3；当x∈(1,2]时，
f(x)＝x
2
＋2
2x
＝x
2
＋4
x
，所以f(x)
max
＝f(2)＝20.
?
?
3x－1，x<1，
10．[2 015·山东高考]设函数f(x)＝
?
x
则满足f(f(a))＝2
f(a )
的a的取值范围是
?
?
2，x≥1，

( )
2
?
A.
?
?
3
，1
?

2
，＋∞
?
C.
?
3
??
答案 C
解析 因y＝2
x
与y＝3x－1在(－∞，1)上没有公共点，故由f(f(a ))＝2
f(a)
可得f(a)≥1，故
??
?
a<1，
?
a≥1，
2
?
，＋∞
?
，故选C. 有或
?
a
解得a的取值范围是
?
?
3
?
?
3a－1≥1
?
??
2
≥1，
B．[0,1]
D．[1，＋∞)

11．已知函数f(x)＝lg (2
x
－b)(b为常数)，若x∈[1，＋∞)时，f(x)≥0恒成立，则( )
A．b≤1
C．b≥1
答案 A
解析 当x∈[1，＋∞ )时，f(x)≥0，从而2
x
－b≥1，即b≤2
x
－1.而x∈[1，＋ ∞)时，y＝2
x
－1单调递增，
∴b≤2－1＝1.
12．[2016 ·石家庄高一期中]已知x
2
＋y
2
＝1，x＞0，y＞0，且log
a
(1＋x)＝m，log
a
n，则log
a
y等于( )
A．m＋n
1
C.(m＋n)
2
答案 D
1
解析 ∵x＞0，y＞0，∴m－n＝log
a
(1＋x)－log
a
＝log
a
(1－x
2
)＝log
a
y
2
＝2log
a
y，log
a
y
1－x
m－n< br>＝，故选D.
2
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
B．m－n
1
D.(m－n)
2
1
＝
1－x
B．b<1
D．b＝1

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数f(x)＝e
|xa|
(a为常数)．若f(x)在区间[1，＋∞)上是增 函数，则a的取值范
－
围是________．
答案 (－∞，1]
解析 令t＝|x－a|，则t＝|x－a|在区间[a，＋∞)上单调递增，而y＝e
t
在R上为增 函数，
所以要使函数f(x)＝e
|xa|
在[1，＋∞)上单调递增，则有a≤1， 所以a的取值范围是(－∞，1]．
－
?
6
＋
(
3
14．[2015·台州中学高一统考]计算
?
?
2×3
?
(－2 013)
0
＝________.
答案 100
41
－
3
16
?
2
4
0.25
?
－4× －2×8－
)
22
?
49
?

1134113
－
32
6
43244
4
?
2
???
解析 原式＝(2 ×3 )＋(2 ) －4×
??
7
??
－2 ×2 －1＝2
2
×3
3
＋2－7－2
－1＝108＋2－10＝100.
15．已知函数y＝log
a
(3a－1)的值恒为正数，则a的取值范围是____ ____．
12
?
答案
?
?
3
，
3
?
∪(1，＋∞)
解析 因 为函数y＝log
a
(3a－1)的值恒为正数，即log
a
(3a－1)＞ 0恒成立，所以
0＜a＜1
?
?
?
3a－1＜1
?
?
3a－1＞0
∞)
11
－
22
－
16．若x －x ＝1，则x＋x
1
＝________.
答案 3
11
－
22
－－
解析 对x －x ＝1两边平方得x＋x
1
－2＝1，所以x＋x
1
＝3.
三、解答题(本大题共6小题，满分70分)
17．[2015·雅安高一期中](本小题满分10分)化简或求值：
4
?
2
1
?
2
?
0
＋2
－
2
×(1 )
?
?
5
??
4
?
－
1
2
1
2
－(0.01) ；


a＞1
?
?
或
?
3a－1＞1
?
?
3a－ 1＞0

12
?
12
，解得＜a＜或a＞1，故所求a的取值范围是
?
?
3
，
3
?
∪(1，＋
33
( 2)2(lg 2)
2
＋lg 2·lg 5＋?lg 2?
2
－lg 2＋1.
121116
解 (1)原式＝1＋×－0.1＝1＋－＝.
4361015
(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋?lg 2－1?
2

＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2＝1.
1
3
18．(本小题满分12分)函数f(x)＝(a－b)x ＋b－3是幂函数，比较f(a)与f(b)的大小．
解 因为f(x)是幂函数，
1??
3
?
b－3＝0，
?
a＝4，
??
所以解 得所以f(x)＝x .
?
a－b＝1，
?
b＝3，
??

1
3
因为函数f(x)＝x 在[0，＋∞)上是增函数，且a>b>0，所以f(a)>f(b)．
4
19．[2015 ·荆州中学高一期中](本小题满分12分)已知函数f(x)＝x
n
－，且f(4)＝3.
x
(1)判断f(x)的奇偶性并说明理由；
(2)判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论；
(3)若对任意实数 x
1
，x
2
∈[1,3]，有|f(x
1
)－f(x
2
)|≤t成立，求t的最小值．
解 (1)f(4)＝4
n
－1＝3即4
n
＝4，∴n＝1，
4
∴f(x)＝x－，
x
∵函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，
4
f(－x)＝－x＋＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
x
(2)f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，证明如下：
任取0＜x
1
＜x
2
，
4
?
4441＋
则f(x
2
)－f(x
1
)＝x
2
－x< br>1
－＋＝x
2
－x
1
＋(x
2
－x
1
)＝(x
2
－x
1
)
?
?
x
1
x
2
?
，
x
2
x
1
x
1
·x
2
∵0＜x
1
＜x
2
，∴x
2－x
1
＞0，x
1
·x
2
＞0，
∴f(x
2
)＞f(x
1
)
∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
(3)依题意，t≥|f(x
1
)－f(x
2
)|
max
，
∵f(x)在[1,3]上单调递增，
∴|f(x
1
)－f(x
2
)|
max
＝|f(3)－f(1)|＝
1414
故t≥，∴t的最 小值为.
33
20．(本小题满分12分)已知f(x)＝－x
n
＋cx， f(2)＝－14，f(4)＝－252，若函数y＝log
2

2
14
，
3
?
3
?
2
f(x) 的定义域为(0,1)，试判断其在区间
?
，1
?
上的单调性．
?
2
?

?
＝－2
n
＋2c＝－14，
?
f?2?
解 由题意，有
?
解得n＝4，c＝1，所以f(x)＝－x
4
＋x.
n
?
f?4?＝－4＋4c＝－252.
?

3
任 取x
1
，x
2
，使
2
x
2
)·(x
2
1
＋x
2
)]．
2
4
1
2
<1，则f(x
1
)－f(x
2
)＝－x
4
1
＋x
1
－(－x
2
＋x
2
)＝(x< br>1
－x
2
)[1－(x
1
＋
2
因为x
1
＋x
2
>
3
3
2
2，x
2
1
＋x
2
>
4
，
2
3
2
所以(x
1
＋x
2
)(x
1
＋x
2
2
)>
所以f(x
1
)－f(x
2
)>0，
3
4
2×＝1.
2
?
3
?
2
即 f(x)在区间
?
，1
?
上单调递减．
?
2
?
又因为0<
2
<1，
2
?
3
?
2
所以y＝log
2
f(x)在区间
?
，1
?
上单调递增．
?
2
?< br>2
21．(本小题满分12分)我国加入WTO时，根据达成的协议，若干年内某产品市场供应< br>1
0，
?
，x为量p与关税的关系近似满足p(x)＝2(1－kt)(x－b )
2
(其中t为关税的税率，且t∈
?
?
2
?
1< br>市场价格，b，k为正常数)，当t＝时的市场供应量曲线如下图所示．
8

(1)根据图象，求b，k的值；
(2)设市场需求量为a，它近似满足a(x)＝2，当p ＝a时的市场价格称为市场平衡
价格．当市场平衡价格控制在不低于9元时，求关税税率的最小值．

?
?
1＝2
解 (1)由图象，知
?
??
2＝2
?
1－
k
?
?5－b?
2
＝ 0，
?
?
8
?


11
≤
.
x－5
4
即
?
?
k
?
?
?1－
8
?
?7－b?
＝1.
2

解得b＝5，k＝6.
x17
，即(1－6t)·(x－5)
2
＝ 11－，2(1－6t)＝
2
?x－5?
2
(2)p＝a时，有2(1－6t )(x－5)
2
＝2
－
1
.
x－5
由x≥9，得 x－5≥4，即0<
令m＝
11
11
m－
?
2
－< br>?
m∈
?
0，
??
. ，则2(1－6t)＝17m
2
－m＝17
?
34
?
68
???
4
??
x－5
117113
当m＝时，2(1－6t)
max
＝－＝，
416416
1319
则1－6t≤，t≥.
32192
19
所以最小关税税率定为.
192
22．[2015 ·孝感中学高一期中](本小题满分12分)已知定义在区间(－1,1)上的函数f(x)
1－x＝x＋log
1
.
1＋x
2
(1)试判断f(x)的奇偶性；
11
－，
?< br>时，f(x)是否存在最大值？若存在求出它的最大值，若不存在，请说(2)当x∈
?
?
33
?
明理由．
解 (1)对于任意的x∈(－1,1)，
1＋x
?
1－x
?
－
1
＝－x－log
1－x
＝－f(x)， ∵f(－x)＝－x＋log
1
＝－x＋log
1

??
1
1＋x1－x
?
1＋x
?
222
∴f(x)是奇函数．
1－x11
1
－，
?
为增函数，下证(2)设g(x)＝x，t(x)＝，则f(x)＝g(x)＋logt(x)，且 g(x)在
?
?
33
?
2
1＋x

t (x)＝－1＋
1111
2
－，
?
为减函数，任取x
12
，且x
1
，x
2
∈
?
－，?
， 在
?
?
33
?
1＋x
?
33< br>?
2
2?x
2
2
－x
1
?
则t(x
1
)－t(x
2
)＝－1＋－
?
－1＋
1＋x?
＝，
1＋x
1
?
?1＋x
1
??1＋x< br>2
?
2
?
∵x
1
2
，∴x2
－x
1
>0.
11
－，
?
，∴1＋x1
>0,1＋x
2
>0. 又x
1
，x
2
∈< br>?
?
33
?
∴t(x
1
)－t(x
2
)>0，即t(x
1
)>t(x
2
)．
11
－，
?
上是减函数． ∴t(x)在区间
?
?
33
?
而y＝log
1
t是减函数，
2
11
－，
?
上是增函数． ∴y＝log
1
t(x)在
?
?
33
?
2
11
－，
?
上为增函数． 所以f(x)＝g(x)＋log
1
t(x)在
?
?
33
?
2
11
－，
?时，f(x)有最大值， ∴当x∈
?
?
33
?
1
1－
3
4
1
?
1
且f(x)
max
＝f
?
＝＋log ＝.
1
?
3
?
313
2
1＋
3
11
4
－，
?
时，f(x)存在最大值，且最大值 为. ∴当x∈
?
?
33
?
3