高中数学：人教A版数学必修四培优教程练习：第2章 平面向量单元质量测评2

ruize
第二章 单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非 选择题)两部分．满分150分，
考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分) < br>一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题
给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的)
→→→→→
1．(AB＋MB)＋(BO＋BC)＋OM化简后等于( )
→
A．BC
→
C．AC
★答案★ C
→→→→→→
解析 原式＝AB＋BO＋OM＋MB＋BC＝AC.
→→→
2．设点A(－1,2)，B(2,3)，C(3，－1)，且AD＝2AB－3BC，则点D
的坐标为 ( )
A．(2,16)
C．(4,16)
★答案★ A
→→→
解析 设D(x，y)，由题意可知AD＝(x＋1，y－2)，AB＝(3,1)，BC
＝(1，－4)，
→→
所以2AB－3BC＝2(3,1)－3(1，－4)＝(3,14)，
??< br>?
x＋1＝3，
?
x＝2，
所以
?
所以
?< br>
?
y－2＝14，
?
??
y＝16.
→
B．AB
→
D．AM
B．(－2，－16)
D．(2,0)

3．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，
则x＝( )
A．6 B．5

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C．4
★答案★ C
D．3
解析 ∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．
又∵(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.
4．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a，b
的夹角为( )
A．150°
C．60°
★答案★ B
解析 设向量a，b的夹角为θ ，则|c|
2
＝|a＋b|
2
＝|a|
2
＋|b|
2
＋
1
2|a||b|cosθ，则cosθ＝－
2
.
又θ∈[0°，180°]，所以θ＝120°.
abc
5．设非零向量a，b，c，若p＝＋＋，则|p|的取值范围为( )
|a||b||c|
A．[0,1]
C．[0,3]
★答案★ C
abc
解析 ∵，，分别为a，b，c方向上的单位向量，∴当a，b，
|a||b| |c|
c同向时，|p|取最大值3，|p|的最小值为0.
→→
6．向量BA＝(4，－3)，向量BC＝(2，－4)，则△ABC的形状为( )
A．等腰非直角三角形
B．等边三角形
C．直角非等腰三角形
D．等腰直角三角形
★答案★ C
→→
解析 ∵BA＝(4，－3)，BC＝(2，－4)，
B．[1,2]
D．[1,3]
B．120°
D．30°

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→→→
∴AC＝BC－BA＝(－2，－1)，
→→
∴CA·CB＝(2,1)·(－2,4)＝0，
→→→→
∴∠C＝90°，且|CA|＝5，|CB|＝25，|CA|≠|CB|.
∴△ABC是直角非等腰三角形．
→→
→→→→→
AB·BC
7． 在△ABC中，若|AB|＝1，|AC|＝3，|AB＋AC|＝|BC|，则
→
|BC|< br>＝( )
3
A．－
2

1
C．
2

★答案★ B
→→→
解析 由向量的 平行四边形法则，知当|AB＋AC|＝|BC|时，∠A＝
→→
→→→
AB·BC< br>90°.又|AB|＝1，|AC|＝3，故∠B＝60°，∠C＝30°，|BC|＝2，所以
→
|BC|
→→
|AB||BC|cos120°1
＝＝－
2
.
→
|BC|
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E为BC的 中点，
→→→→
点F在CD上．若AB·AF＝3，则AE·BF的值是( )
1
B．－
2

3
D．
2

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A．－5－3
C．4＋3
★答案★ B
B．5＋3
D．5－3

→→→→
解析 如图，过点F作FG⊥ AB于点G，因为AB·AF＝|AB|·|AF|cos
→→→→→→→→→→→
〈AB，A F〉＝|AB|·|AG|＝3，所以|AG|＝·BF＝(AB＋BE)·(BC＋CF)
→→→→→ →→→
＝AB·BC＋AB·CF＋BE·BC＋BE·CF＝0－3×(3－1)＋2×4＋0＝5< br>＋3，故选B.
→→→→
9．已知点O为△ABC所在平面内一点，且OA
2
＋BC
2
＝OB
2
＋CA
2
→→
＝OC< br>2
＋AB
2
，则O一定为△ABC的( )
A．外心
C．垂心
★答案★ C
→→→→→→→→→
解析 OA
2
＋BC
2
＝OB
2
＋CA
2
?OA
2
－ OB
2
＝CA
2
－BC
2
?(OA－
→→→→→→ →→→→→→→
OB)·(OA＋OB)＝(CA－BC)·(CA＋BC)?BA·(OA＋OB)＝ BA·(CA－BC)
→→→→→→→→→→→
?BA·(OA＋OB－CA＋BC)＝0?2 BA·OC＝0?BA⊥OC，同理CB⊥OA.
故O为△ABC的垂心．
10．设向量a与 b的夹角为θ，定义a与b的“向量积”：a×b
是一个向量，它的模|a×b|＝|a||b|sin θ，若a＝(－3，－1)，b＝(1，3)，
则|a×b|＝( )
B．内心
D．重心

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A．3
C．23
★答案★ B
B．2
D．4
a·b
－3－3
3
解析 cosθ＝＝＝－
2
，
|a||b|
2×2
11
∴sinθ＝
2
，∴|a×b|＝2×2×
2
＝2.
→→
11．设0≤θ<2π，已知两个向量OP
1
＝(cosθ，sinθ)，OP
2
＝(2＋sinθ，
→
2－cosθ) ，则向量P
1
P
2
长度的最大值是( )
A．2
C．32
★答案★ C
→→→
解析 ∵P
1
P
2
＝OP
2
－OP
1
＝(2＋sinθ－cosθ，2－cosθ－ sinθ)，
→
∴|P
1
P
2
|＝
≤32. < br>12．已知O为坐标原点，A，B两点的坐标分别为(a,0)，(0，a)，
→→→→
其中常数a>0，点P在线段AB上，且AP＝tAB(0≤t≤1)，则OA·OP的
最大值为( )
A．a
C．3a
★答案★ D
→→→
解析 AB＝OB－OA＝(0，a)－(a,0)＝(－a，a)，
→→
∴AP＝tAB＝(－at，at)．
→→→
又OP＝OA＋AP＝(a,0)＋(－at，at)＝(a－at，at)，
B．2a
D．a
2

?2＋sinθ－cosθ?
2＋?2－cosθ－sinθ?
2
＝10－8cosθ
B．3
D．23

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→→
∴OA·OP＝a(a－at)＋0×at＝a2
(1－t)(0≤t≤1)．
→→
∴当t＝0时，OA·OP取得最大值，为a
2
.
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将★答案★
填在题中的横线上) 13．设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，
则a的坐标为__ ______．
★答案★ (－4，－2)
解析 设a＝(x，y)，x＜0，y＜0，则 x－2y＝0且x
2
＋y
2
＝20，解
得x＝－4，y＝－2.即a ＝(－4，－2)．
→→
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 AB·AC
→→
＝BA·BC＝1，那么c＝________.
★答案★ 2
→→→→
解析 由题知，AB·AC＋BA·BC＝2，
→→→→→→→→→
即AB·AC－AB·BC＝AB·(AC＋CB)＝AB
2
＝2?c＝|AB|＝2. < br>→
15．如图，在正方形ABCD中，已知|AB|＝2，若N为正方形内(含
→→边界)任意一点，则AB·AN的最大值是________．

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★答案★ 4
→→→→→→→
解析 ∵AB· AN＝|AB||AN|·cos∠BAN，|AN|·cos∠BAN表示AN在AB
→→→
方向上的投影，又|AB|＝2，AB·AN的最大值是4.
16．已知向量a＝(1,1)，b＝( 1，－1)，c＝(2cosα，2sinα)(α∈
R)，实数m，n满足ma＋nb＝c，则(m－ 3)
2
＋n
2
的最大值为________．
★答案★ 16
?
?
m＋n＝2cosα，
解析 由ma＋nb＝c，可得
?
故(m＋n)
2
＋(m－n)
2
?
?
m－n＝2sinα ，

＝2，即m
2
＋n
2
＝1，故点M(m，n)在单位圆 上，则点P(3,0)到点M的
距离的最大值为OP＋1＝3＋1＝4，其中O为坐标原点，故(m－3 )
2
＋
n
2
的最大值为4
2
＝16.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知O，A，B是平面上不共线的三点，直
→→
线AB上有一 点C，满足2AC＋CB＝0，
→→→
(1)用OA，OB表示OC；
(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形．
→→
解 (1)∵2AC＋CB＝0，
→→→→
∴2(OC－OA)＋(OB－OC)＝0，
→→→→
2OC－2OA＋OB－OC＝0，
→→→
∴OC＝2OA－OB.
→→→
1
→→
1
→→
(2)如图，DA＝DO＋OA＝－
2
OB＋OA＝
2
(2OA －OB)．

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→
1
→
故DA＝
2
OC.故四边形OCAD为梯形． →→
18．(本小题满分12分)如图，平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝
1b，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且BF＝
3
BC.

→→
(1)以a，b为基底表示向量AM与HF；
→→
(2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求AM·HF.
→→→
1
解 (1)由已知，得AM＝AD＋DM＝
2
a＋b.
→→→
1
连接AF，∵AF＝AB＋BF＝a＋
3
b，
→ →→
1
?
1
?
1
∴HF＝HA＋AF＝－
2
b＋
?
a＋
3
b
?
＝a－
6
b.
??

ruize
?
1
?
(2)由已知，得 a·b＝|a||b|cos120°＝3×4×
?
－
2
?
＝－6，
??
→→
?
11
?
1
??
111
2
111
2
?
a－b
?
＝|a|
2
＋a· 从而AM·HF＝
?
2
a＋b
?
·b－|b|＝×3＋
6< br>2126212
????
1
2
11
×(－6)－
6< br>×4＝－
3
.
→→
19．(本小题满分12分)在四边形ABCD中 ，AB＝(6,1)，BC＝(x，
→→→
y)，CD＝(－2，－3)，BC∥DA.
(1)求x与y的关系式；
→→
(2)若AC⊥BD，求x，y的值以及四边形ABCD的面积．

解 (1)如图所示．
→→→→
因为AD＝AB＋BC＋CD＝(x＋4，y－2)，
→→
所以DA＝－AD＝(－x－4,2－y)．
→→→
又因为BC∥DA，BC＝(x，y)，
所以x(2－y)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.
→→→→→→
(2)由 于AC＝AB＋BC＝(x＋6，y＋1)，BD＝BC＋CD＝(x－2，y－
3)．
→→→→
因为AC⊥BD，所以AC·BD＝0，

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即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，
所以y
2
－2y－3＝0，所以y＝3或y＝－1.
→→→
当y＝ 3时，x＝－6，于是BC＝(－6,3)，AC＝(0,4)，BD＝(－8,0)．
→→
所以|AC|＝4，|BD|＝8，
1
→→
所以S
四 边形
ABCD
＝
2
|AC||BD|＝16.
→→→
当y ＝－1时，x＝2，于是有BC＝(2，－1)，AC＝(8,0)，BD＝(0，
－4)．
→→
所以|AC|＝8，|BD|＝4，S
四边形
ABCD
＝16.
??
?
x＝－6，
?
x＝2，
综上可知
?
或
?

??
y＝3y＝－1，
??

S
四边形
ABCD
＝16.
20．(本小题满分12分)平面直角 坐标系中，已知点A(3,0)，B(0,3)，
C(cosα，sinα)．
→→
(1)若AC·BC＝－1，求sinαcosα的值；
→→→→
(2)若|OA＋OC|＝13且α∈(0，π)，求OB与OC的夹角．
解 (1)∵A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，
→→
∴AC＝(cosα－3，sinα).BC＝(cosα，sinα－3)，
→→
又∵AC·BC＝－1，
∴cosα(cosα－3)＋sinα(sinα－3)＝－1，
2
∴cosα＋sinα＝
3
，
4
两边平方，得1＋2sinα·cosα＝
9
.

ruize
5
∴sinαcosα＝－
18
.
→→
(2)∵OA＋OC＝(3＋cosα，sinα)，
→→
|OA＋OC|＝13，
∴(3＋cosα)
2
＋sin
2
α＝13，
1
∴cosα＝
2
，∵α∈(0，π)，
π
3
∴α＝
3
，sinα＝
2
，
?13
?
→→
33
∴C
?
，
?
，OB· OC＝
2
，
2
??
2
33
→→
→→2
OB·OC3
∴cos〈OB，OC〉＝＝＝
2
，
→→3× 1
|OB||OC|
→→
π
∴OB与OC的夹角为
6
.

21．(本小题满分12分)如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，
→→→< br>且OP＝xOA＋yOB.
→→
(1)若AP＝PB，求x，y的值；
→→ →→→→
(2)若AP＝3PB，|OA|＝4，|OB|＝2，且OA与OB的夹角为60°，求→→
OP·AB的值．

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→→→
1
→
1
→
解 (1)若AP＝PB，则OP＝
2
OA＋
2
OB，
1
故x＝y＝
2
.
→→→→
3
→→
3< br>→→
1
→
3
→
(2)若AP＝3PB，则OP＝OA＋
4
AB＝OA＋
4
(OB－OA)＝
4
OA＋
4
OB，
→→
?
→
→
?
→
→
13
?
·OP·AB＝
?
(OB－OA)
OA＋OB
?
4
?
4
??

1
→
2
1
→→
3
→
2
＝－
4
OA－< br>2
OA·OB＋
4
OB
113
＝－
4
×4
2
－
2
×4×2×cos60°＋
4
×2
2
＝－3.
22．(本小题满分12分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，s inβ)，
且a，b满足关系|ka＋b|＝3|a－kb|(k>0)．
(1)求a与b的数量积用k表示的解析式f(k)；
(2)a能否和b垂直？a能否和b平行？若不能，则说明理由；若能，
则求出相应的k值；
(3)求a与b夹角的最大值．
解 (1)由已知|a|＝|b|＝1.
∵|ka ＋b|＝3|a－kb|，∴(ka＋b)
2
＝3(a－kb)
2
，
∴k
2
|a|
2
＋2ka·b＋|b|
2
＝3(|a|< br>2
－2ka·b＋k
2
|b|
2
)，
2
k ＋1
2
∴8ka·b＝2k＋2，∴f(k)＝a·b＝
4k
(k>0)．
(2)∵a·b＝f(k)>0，
∴a与b不可能垂直．若a∥b，由a·b>0知a，b同向，
于是有a·b＝|a||b|cos0＝|a||b|＝1，
k
2
＋1即
4k
＝1，解得k＝2±3.∴当k＝2±3时，a∥b.
k
2＋1
a·b
(3)设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝a·b＝
4k
( k>0)，∴cosθ
|a||b|

ruize
1
?
2
?
1
?
2
?
1
???
1
?< br>1
?
1
?
1
2
＝
4
?
k＋
k
?
＝
4
?
(
k
)
＋
? ??
＝
4
??
k－
?
＋2
?
，∴当k＝即 k＝1时，
k
?
??
??
k
?????
k
1
cosθ取到最小值为
2
.又0°≤θ≤180°，
∴a与b夹角θ的最大值为60°.