高中数学一对一300块钱-高中数学框架文科
函数与方程
【学习目标】
(1)重点理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点；
(2)结合二
次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系；
(3)
根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似
解
的常用方法.
【要点梳理】
函数的零点
1.函数的零点
（
1）一般地，如果函数
y?f(x)
在实数
?
处的值等于零，即
f(
?
)?0
，则
a
叫做这个函数的零点.
要点诠释：
①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；
②函数的零点也就是函数
y?f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐标；
③函数
y?f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
的实数根．
④零点都是指变号零点（函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点）．
归纳
：方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点．
（2）二次函数的零点
2
二次函数
y?ax?bx?c
的零点个数
，方程
ax?bx?c?0
的实根个数见下表.
2
判别式 方程的根
两个不相等的实根
两个相等的实根
无实根
函数的零点
两个零点
一个二重零点
无零点
??0
??0
??0
（3）二次函数零点的性质
①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.
②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.
引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.
2．函数零点的判定
（1）利用函数零点存在性的判定定理
如果函
数
y?f(x)
在一个区间
?
a，b
?
上的图象不间断，并
且在它的两个端点处的函数值异号，即
f
?
a
?
f
?
b
?
?0
，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点
x0
?
?
a，b
?
，使
f
?
x
0
?
?0
，
这个
x
0
也就是方程
f(x)
?0
的根.
要点诠释：
①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定
有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；
若不单调，则个数不确定．
②若函数
f
(x)
在区间
?
a,b
?
上有
f(a)?f(b)?0，
f(x)
在
(a,b)
内也可能有零点，例如
f(x)?x<
br>在
?
?1,1
?
2
上，
f(x)?x?2x?3在区间
?
?2,4
?
上就是这样的．故
f(x)
在?
a,b
?
内有零点，不一定有
f(a)?f(b)?0
． <
br>2
③若函数
f(x)
在区间
?
a,b
?
上的
图象不是连续不断的曲线，
f(x)
在
?
a,b
?
内也可能
是有零点，例如函数
f(x)?
1
?1
在
?
?2,2
?
上就是这样的．
x
（2）利用方程求解法
求函数的零点时，先考虑解
方程
f(x)?0
，方程
f(x)?0
无实根则函数无零点，方程
f
(x)?0
有实根则函
数有零点．
（3）利用数形结合法
函数
F
(x)?f(x)?g(x)
的零点就是方程
f(x)?g(x)
的实数根，也就是函
数
y?f(x)
的图象与
y?g(x)
的图象交点的横坐标．
一元二次方程根的分布与方程系数的关系
（1）设x
1
、x
2是一元二次方程ax+bx+c=0（a＞0）的两实根，则x
1
、x
2
的分布范围与一元二次方程的系数
之间的关系是：
2
?
?
??0<
br>?
①当x
1
＜x
2
＜k时，有
?
f(k)?
0
；
?
b
?
??k
?
2a
?
?
??0
?
②当k＜x
1
＜x
2
时，
有
?
f(k)?0
；
?
b
?
??k
?<
br>2a
③当x
1
＜k＜x
2
时，
f(k)?0
；
?
??0
?
f(k)?0
1
?
?
④当
x
1
，x
2
∈（k
1
，k
2
）时，有?
f(k
2
)?0
；
?
?
k
1??
b
?k
2
?
2a
?
⑤当x
1、x
2
有且仅有一个在（k
1
，k
2
）时，有
f(k
1
)f(k
2
)?0
．
要点诠释：
讨论
二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对
称轴
与区间的相对位置．当k=0时，也就是一元二次方程根的零分布．
（2）所谓一元二次方程根的零分
布，是指方程的根相对于零的关系．比如一元二次方程有一正根，有一负
根，其实就是指这个二次方程一
个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧．
设一元二次方程ax+bx+c=0（
a≠0）的两个实根为x
1
，x
2
，且x
1
≤x
2
．
2
?
?
??b
2
?4ac?0
?b
?
①
x
1
?0,x
2
?0?
?x
1
?x
2
???0
；
a
?
c?
xx??0
12
?
a
?
?
?
??b
2
?4ac?0
?
b
?
②
x
1
?
0,x
2
?0
?
x
1
?x
2
???0；
a
?
c
?
xx??0
12
?
a<
br>?
c
?0
；
a
bb
④x
1
=0，
x
2
＞0
?
c=0，且
?0
；x
1
＜0，
x
2
=0
?
c=0，且
?0
．
aa
③
x
1
?0?x
2
?
二分法
1.二分法
所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的
区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得
到零点近似值的方法.
2.用二分法求函数零点的一般步骤：
已知函数
y?f
?
x
?
定义在区间D上，求它在D上的一个零点x
0
的近似值x，使它满足给定的精确度
.
第一步：在D内取一个闭区间
?
a
0
,b
0
?
?D
，使
f
?
a
0
?
与
f
?
b
0
?
异号，即
f
?
a
0
?
?f
?
b
0
?
?0
，零点位于区
间
?
a
0
,b
0
?
中.
第二步：取区间
?
a
0
,b
0
?
的中点，则此中点对应的坐标为
x
0
?a
0
?
11
?
b
0
?a<
br>0
?
?
?
a
0
?b
0
?
.
22
计算
f
?
x
0
?
和
f
?
a
0
?
，并判断：
①如果
f
?
x<
br>0
?
?0
，则
x
0
就是
f
?
x
?
的零点，计算终止；
②如果
f
?
a
0?
?f
?
x
0
?
?0
，则零点位于区间
?
a
0
,x
0
?
中，令
a
1
?
a
0
,b
1
?x
0
；
③如果
f
?
a
0
?
?f
?
x
0
?
?0，则零点位于区间
?
x
0
,b
0
?
中，令a
1
?x
0
,b
1
?b
0
第三步：取区间
?
a
1
,b
1
?
的中点，则此中点
对应的坐标为
x
1
?a
1
?
11
?
b
1
?a
1
?
?
?
a
1
?b
1
?
.
22
计算
f
?
x
1
?
和
f
?
a
1
?
，并判断：
①如果
f
?
x
1
?
?0
，则
x
1
就是
f
?
x
?
的零点，计算终止；
②如果
f
?
a
1
?
?f
?
x
1
?
?0，则零点位于区间
?
a
1
,x
1
?
中，令a
2
?a
1
,b
2
?x
1
；
③如果
f
?
a
1
?
?f
?
x
1
?
?0
，则零点位于区间
?
x
1
,b
1<
br>?
中，令
a
2
?x
1
,b
2
?b<
br>1
；
……
继续实施上述步骤，直到区间
?
a
n<
br>,b
n
?
，函数的零点总位于区间
?
a
n
,
b
n
?
上，当
a
n
和
b
n
按照给
定的精确度所
取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数
y?f
?
x?
的近似零点，计算终止.这时函数
y?f
?
x
?
的近
似零点满足给定的精确度.
要点诠释：
（1）第一步中要使：①区
间长度尽量小；②
f(a)
、
f(b)
的值比较容易计算且
f(a)
f(b) <0
．
（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程
的根式等价的．对于求方程
f(x)?g(x)
的根，可以构造函数
F(x)?f(x
)?g(x)
，函数
F(x)
的零点即为方程
f(x)?g(x)
的
根．
【经典例题】
类型一、求函数的零点
例1．已知函数
f(x)?(x?3)(x?1)(x?2)
．
（1）解方程(x+3)(x+1)(x―2)=0；
（2）画出函数
f(x)?(
x?3)(x?1)(x?2)
的图象（简图），并求出函数
f(x)?(x?3)(x?1)
(x?2)
的零点；
（3）讨论函数
f(x)?(x?3)(x?1)(x?2)<
br>在零点两侧的函数值的正负．
举一反三：
【变式1】已知函数
f(x)?(x?a)(x?b)?1(
a?b)
，且m，n是方程
f(x)?0
的两个根（m＜n），则实数a、
b
、m、n的大小关系可能是（ ）
A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b
C．m＜a＜n＜b D．a＜m＜b＜n
例2.
求下列函数的零点.
(1)
f
?
x
?
?3x?2
；
(2)
f
?
x
?
?x
4
?1
.
举一反三：
2
【变式1】求函数：(1
)
y??x?2x?3
；(2)
y?x?7x?6
的零点.
3
类型二、函数零点的存在性定理
例1．已知函数
f(x)?3?x
，问：方
程
f(x)?0
在区间
?
?1,0
?
内有没有实数根？为什
么？
x2
举一反三：
【变式1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点：
（1）
f(x)?x
2
?3x?18,x?
?
1,8
?
;
（2）f(x)?x
3
?x?1,x?
?
?1,2
?
；
【变式2】若函数
f(x)
?x
3
?3x?1,x?[?1,1]
，则下列判断正确的是（ ）
A．方程f（x）=0在区间[0，1]内一定有解
B．方程f（x）=0在区间[0，1]内一定无解
C．函数f（x）是奇函数
D．函数f（x）是偶函数
类型三、一元二次方程根的分布
例1．已知关于x的二次方程x+2mx+2m+1=0．
（1）若方程有两根，其中一根在
区间（―1，0）和（1，2）内，求
m
的取值范围．
（2）若方程两根均在区间（0,1）内，求
m
的取值范围．
2
举一反三：
【变式1】 关于x的方程ax―2(a+1)x+a―1=0，求a为何值时：
（1）方程有一根；
（2）方程有一正一负根；
（3）方程两根都大于1；
（4）方程有一根大于1，一根小于1．
类型四、用二分法求函数的零点的近似值
例1.求函数f
?
x
?
?x?2x?3x?6
的一个正数零点(精确到0.1
).
32
2
举一反三：
【变式1】若函数
f(x)?x?x?2x?2
的一个正数零点附近的函数值
用二分法计算，其参考数据如下：
f（1）=－2
f（1.375）=－0.260
f（1.5）=0.625
f（1.25）=－0.984
那么方程
x?x?2x?2?0
的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
32
32
f（1.4375）=0. 162 f（1.40625）=－0.
054
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【变式
2】用二分法求函数
f
?
x
?
?x
2
?5
的一个正零点（精确到
0.01
）
类型五、用二分法解决实际问题
例1.某电脑公司生产A种
型号的笔记本电脑，2006年平均每台电脑生产成本5000元，并以纯利润20%标定
出厂价．从2
007年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低，2010年
平均
每台A种型号的笔记本电脑尽管出厂价仅是2006年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效益．
（1）求2010年每台电脑的生产成本；
（2）以2006年的生产成本为基数，用二分法
求2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率（精确到0.01）
举一反三：
【变式1】 如右图所示，有一块边长为15
cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm的小正方
形，然后折成一个无盖的盒子．
（1）求出盒子的体积y（cm）以x（cm）为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；
（2）如果要做成一个容积是150
cm的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少？（精确到0.1 cm）
3
3
课后作业
1．函数
f(x)??x?3x?4
的零点是（ ）．
A.-1,4
B. -4,1 C.
?
2
11
,1 D.，-1
44
3?2x?x
2
2．函数
y?
的定义域是（ ）
x?2
A.
?
x|?1?x?2
?
B.
?
x|2?x?3
?
C.
?
x|?1?x?3
?
D.
?
x|?1?x?3,且x?2
?
3．若方程
?k?1
?
x?2x?3?0
有两个不相等的实数根，则实数
k
的
取值范围是（ ）
2
A.
k?
4444
B.
k?
C.
k?
，且
k?1
D.
k?
，且
k?1
3333
32
4.已知函数f(x)?x?2x?2
有唯一零点，则下列区间必存在零点的是（ ）
A.
?
?2,?
?
?
3
?
1
??
3
???
1
?
?,?1?1,?
B. C. D.
??????
,0
?
2
?
22
?????
2
?
5.
关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（ ）
A．“二分法”求方程的近似解一定可将y=f（x）在[a，b]内的所有零点得到；
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y=f（x）在[a，b]内的零点；
C．应用“二分法”求方程的近似解，y=f（x）在[a，b]内有可能无零点；
D．“二分法”求方程的近似解可能得到f（x）=0在[a，b]内的精确解．
6.若函数
f(x)?x?2x?a
没有零点，则实数
a
的取值范围是（ ）
A.
a?1
B.
a?1
C.
a?1
D.
a?1
7.设函数
f
?
x
?
?x?
bx?c
是[-1，1]上的增函数，且
f
?
?
3
2
?
1
??
1
?
?
?f
??
?0
，则方程
f
?
x
?
?0
在[-1，1]
2
???
2
?
内( )
A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根
C.有唯一的实数根 D.没有实数根
8.
若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若f（a）f（b）＞0，不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0；
B．若f（a
）f（b）＜0，存在且只存在一个实数c∈（a，b），使得f（c）=0；
C．若f（a）f（b）
＞0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0；
D．若f（a）f（b）＜0，有可能不存在实数c∈（a，b），使得f（c）=0．
9.函数
f
?
x
?
?x?
2
2
的
零点是__________.
x
10．若
f(x)?ax?ax?1
至多
只有一个零点，则
a
的取值范围是 ．
11．已知抛物线
y?ax?bx?c(a?0)
的图象经过第一、二、四象限，则直线
y?ax?b
不
经过第 象
限．
12.三次方程
x?x?2x?1?0
在下列连
续整数____________之间有根.
①-2与-1 ②-1与0 ③0与1 ④1与2
⑤2与3
13. 已知函数
f(x)?x?2x?5x?6
的一个零点为1．
（1）求函数
f(x)
的其他零点；
（2）求
f(x)?0
时
x
的取值范围．
14．用二分法求
x?x?1?0
在区间
?
1,1.5
?
的一个实根(精确到0.01).
3
32
2
32
【答案与解析】
1. 【答案】B
【解析】令
f(x)?0
，
解得
x
1
??4,x
2
?1
，故选B．
2.
【答案】D
【解析】依题意知
3?2x?x?0,
且
x?2?0
，解得
?1?x?3
，且
x?2
．
3. 【答案】C
【解析】依题意，
k?1
，
??b?4ac?4?3k?0
，解得
k
?
4. 【答案】C
【解析】由题意，可知
f(?1)?f(?)?0
，
故
f(x)
在
?
?1,?
故选C.
5. 【答案】D.
【解析】 由“二分法”求方程的近似解基本思想可得。
6. 【答案】B
【解
析】由方程
x?2x?a?0
的判别式小于0，可得
a?1
，故选B.
7. 【答案】C
【解析】
2
2
2
4
,
且
k?1
．
3
1
2
?
?
1
?
?
上必存在零点
．
2
?
?
1
?
f
?
x
?
在[-1，1]上是增函数且
f
?
?
?
?
?
2<
br>?
?
1
?
f
??
?0
?
2
?
?
11
?
?f
?
x
?
?0<
br>在
?
?,
?
上有唯一实根
?
22
?
?f
?
x
?
?0
在[-1，1] 上有唯一实根.故选C.
8. 【答案】C.
【解析】由零点存在性定理知C正确．
9.
【答案】
2,?2
【解析】由
f
?
x
?
?0
得
x?
10．【答案】
2,?2
，所以函数的零点是
2,?2
.
?
??a
2
?4a?0,
【解析】
0?a?4
依题意，
?
或
a?0,
综上
0?a?4
．
?
a?0.
11．【答案】
【解析】二
由抛物线在第一、二、四象限知
a?0,?
12. 【答案】①②④
【解析】 令<
br>f
?
x
?
?x
3
?x
2
?2x?1
x -2 -1 0 1 2 3
b
?0
，所以b?0
，即
y?ax?b
不经过第二象限．
2a
f(x) -1
1 -1 -1 7 29
f
?
?2
?
?f
?
?
1
?
?0, f
?
?1
?
?f
?
0
?
?0, f
?
1
?
?f
?
2
?
?0
?f
?
x
?
?0
在
?
?
2,?1
?
,
?
?1,0
?
,
?
1,2<
br>?
内均有根.
13.【解析】（1）依题意，设
f(x)?(x?1)(x?
mx?n)?x?(m?1)x?(n?m)x?n,
232
?
m?1??
2,
?
m??1,
?
所以
?
n?m??5,
解得<
br>?
令
f(x)?0
，即
?
x?1
?
?
x
2
?x?6
?
?0
，
?
n??6.
?
?n?6
?
解得
x?1,?2,3
．
所以函数
f(x)
的其他零点是
?2,3
．
（2）函数<
br>f(x)
的三个零点将
x
轴分成四个区间：
?
??,?2?
,
?
?2,1
?
,
?
1,3
?,
?
3,??
?
．
作出函数
f(x)
的示意
图如右图，观察图象得
f(x)?0
时，
x
的取值范围是
?
?2,1
?
14．【答案】1.32
【解析】设
f
?
x
?
?x?x?1,
3
?
3,??
?
．
f
?
1
?<
br>??1?0,f
?
1.5
?
?
7
?0
． <
br>8
∴在
?
1,1.5
?
内
f
?
x<
br>?
?0
有实数解.
取
?
1,1.5
?
为初始运算区间，用二分法逐次计算列表如下：
区间 中点 中点函数值
[1，1.5]
[1.25，1.5]
[1.25，1.375]
[1.3125，1.375]
[1.3125，1.34375]
[1.3125，1.328125]
1.25
1.375
1.3125
1.34375
1.328125
1.3203125
-0.296875
0.224609
-0.051514
0.082611
0.014576
-0.018711
[1.3203125，1.328125] 1.32421875 -0.002128
∵1.328125-1.3203125=0.0078155<0.01
∴所求根的近似值为
x?
1.3203125?1.328125
?1.32.
2