高中数学计算技巧-高中数学中包含的数学文化
A级:基础巩固练
一、选择题
?
π
??
π
?
???
+θ-θ
1.若sin
2
<0,且cos2
?
>0,则θ是( )
????
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
答案 B
?
π
?
?
解析
∵sin
2
+θ
?
<0,
??
∴cosθ<0,即θ是第二或第三象限角.
?
π
?
∵cos
?
2
-θ
?
>0,∴sinθ>0,
??
即θ是第一或第二象限角.
综上,θ是第二象限角.
2.在△ABC中,下列四个关系中正确的有( )
A+B
C
①sin(
A+B)=sinC;②cos(A+B)=sinC;③sin
2
=sin
2
;④
A+B
C
cos
2
=sin
2
.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
答案 C
解析 因为△ABC中
,A+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)
A+B
=sinC,故①正确;
cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC,故②错误;sin
2
π-C
A+
B
π-C
CC
=sin
2
=cos
2
,故③错误;
cos
2
=cos
2
=sin
2
,故④正确.综
上
,①④正确.故选C.
π
??
??
θ-
3.下列与sin
2
?
的值相等的式子为( )
?
?
π
?
A.s
in
?
2
+θ
?
??
?
π
?
B.cos
?
2
+θ
?
??
<
br>?
3π
?
C.cos
?
2
-θ
?
??
?
3π
?
D.sin
?
2
+θ
?
??
答案 D
π
???
π
?
解析
因为sin
?
θ-
2
?
=-sin
?
2
-
θ
?
=-cosθ,
????
?
π
?
?
对于A,sin
2
+θ
?
=cosθ;
??
?
π
?
对于B,cos
?
2
+θ
?
=-sinθ; <
br>??
?
3π
???
π
???
π
?
?
??????
对于C,cos
2
-θ
=cos
π+
2
-θ
=-cos
2
-θ
?
=-sinθ;
??????
??
?
3π
???
π
???
π
?
对于D,
sin
?
2
+θ
?
=sin
?
π+
?2
+θ
??
=-sin
?
2
+θ
?
=
-cosθ.
????????
4.若f(sinx)=3-cos2x,则f(cosx)=( )
A.3-cos2x B.3-sin2x
C.3+cos2x D.3+sin2x
答案 C
??
π
??
解析 f(cosx)=f
?
sin
?
2
-x
??
=3-cos(π-2x)=3+cos2x
,故选C.
????
?
π
??
3π
?
???5.若sin(π+α)+cos
2
+α
=-m,则cos
2
-
α
?
+2sin(6π-α)的
????
值为( )
2
A.-
3
m
2
C.
3
m
答案 B
?
π
?
?
解析
∵sin(π+α)+cos
2
+α
?
=-m,
??
3
B.-
2
m
3
D.
2
m
m
即-sinα-sinα=-2sinα=-m,从而sinα=
2
, <
br>?
3π
?
3
??
∴cos
2
-α
+
2sin(6π-α)=-sinα-2sinα=-3sinα=-
2
m.故选
??
B.
二、填空题
6.化简:sin(450°-α)-sin(1
80°-α)+cos(450°-α)+cos(180°-α)
=________.
答案 0
解析 原式=sin(90°-α)-sinα+cos(90°-α)-cosα
=cosα-sinα
+sinα-cosα=0.
4
7.已知α是第三象限角,且
cos(85°+α)=
5
,则sin(α-95°)=
________.
3
答案
5
4
解析
∵α是第三象限角,cos(85°+α)=
5
>0,
∴85°+α是第四象限角.
3
∴sin(85°+α)=-
5
,sin(α-95°)=sin[(85
°+α)-180°]=-sin[180°
3
-(85°+α)]=-sin(85°+α)
=
5
.
?
π
?
8.在△ABC中,3sin
?<
br>2
-A
?
=3sin(π-A),且cosA=-3cos(π
??<
br>-B),则C=________.
π
答案
2
?
π
?
解析
∵3sin
?
2
-A
?
=3sin(π-A),
??
3
∴3cosA=3sinA,即tanA=
3
,
π
∴A=
6
.
又cosA=-3cos(π-B),
3
∴cosA=3cosB,即
2
=3cosB,
1
π
∴cosB=
2
,∴B=
3
,
πππ
∴C=π-
6
-
3
=
2
.
三、解答题
3π
??
sin?α-3π?cos?2π-α?sin
?
-α+
2
?
??
9.已知f(α)=.
cos
(
-π-α
)
sin?-π-α?
(1)化简f(α);
3π<
br>?
1
?
?
(2)若α是第三象限的角,且cos
α-
2
?
=
5
,求f(α)的值.
??
3π
??sin?α-3π?cos?2π-α?sin
?
-α+
2
?
?
?
解 (1)f(α)=
cos?-π-α?sin?-π-α?
?-sinα?·
cosα·?-cosα?
=
?-cosα?·sinα
=-cosα.
3π
??
1
??
(2)因为cos
α-
2
=-si
nα=
5
,
??
1
所以sinα=-
5
.
又α是第三象限的角,
所以cosα=-
26
所以f(α)=
5
.
B级:能力提升练
?
ππ
?
是否存在角α,β,α∈
?<
br>-
2
,
2
?
,β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=
2
??
?
π
?
?
cos
2
-β
?
,3cos(-α)=-2cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β
??
?<
br>1
?
2
26
??
-
1-
5
=-5
.
??
的值;若不存在,请说明理由.
解
假设存在角α,β满足条件,
?
?
sinα=2sinβ,
①
则
?
?
?
3cosα=2cosβ,
②
由①
2
+②
2
得sin
2α+3cos
2
α=2.
12
∴sin
2
α=
2
,∴sinα=±
2
.
?
ππ
?
π
∵α∈
?
-
2
,
2
?
,∴α=±
4
.
??
π
3
π
当α=时,cosβ=,∵0<β<π,∴β=;
42
当α=-
π
时,cosβ=
3
42
,∵0<β
<π,∴
∴存在α=
π
,β=
π
46
满足条件.
6
β=
π
6
,此时①式不成立,
故舍去.
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