2014年全国高中数学竞赛-高中数学指数函数运算公式
集合复习巩固
【学习目标】
1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
2．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
3．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
4．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
【知识网络】
【要点梳理】
集合的基本概念
1．集合的概念
一般地，我们把研究对象统称为元素，如1～10内的所有质数，包括2，3，5，7，则3是我们所要
研究的
对象，它是其中的一个元素，把一些元素组成的总体叫做集合，如上述2，3，5，7就组成了一
个集合。
2．元素与集合的关系
（1）属于： 如果
a
是集合A的元素，
就说
a
属于A，记作
a
∈A。要注意“∈”的方向，不能把
a
∈A颠倒
过来写.
（2）不属于：如果
a
不是集合A的元素，就说
a
不属于集合A，记作
a?A
。
3．集合中元素的特征
（1）确定性：集合中的元素必须是确定的。任何一个对象都能明确判断出它是否为某个集合的元素；
（2）互异性：集合中的任意两个元素都是不同的，也就是同一个元素在集合中不能重复
出现。
（3）无序性：集合与组成它的元素的顺序无关。如集合{1，2，3}与{3，1，2}是同
一个集合。
4．集合的分类
集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类：
有限集：含有有限个元素的集合。
无限集：含有无限个元素的集合。
要点诠释：
把不含有任何元素的集合叫做空集，记作
?
，空集归入有限集。
集合间的关系
1．(1)子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B
的元素，那么集合A叫做集合B
的子集，记作A
?
B，对于任何集合A规定
?
?A
。
(2)
如果A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记做
.
两个集合A与B之间的关系如下：
?
?
A?B?A?B且B?A
A?B
??
)?
?
A?B?(
?
A?B
?
其中记号
A?B<
br>（或
B?A
）表示集合A不包含于集合B（或集合B不包含集合A）。
2．子集具有以下性质：
（1）A
?
A，即任何一个集合都是它本身的子集。
（2）如果
A?B
，
B?A
，那么A=B。
（3）如果
A?B
，
B?C
，那么
A?C
。
（4）如果， BC，那么。AC
3．包含的定义也可以表述成：如果由任一x∈A，可以推
出x∈B，那么
A?B
（或
B?A
）。
不包含的定义也可以表述成
：两个集合A与B，如果集合A中存在至少一个元素不是集合B的元素，那么
A?B
。
4．有限集合的子集个数：
（1）n个元素的集合有2个子集。
n
（2）n个元素的集合有2－1个真子集。
（3）n个元素的集合有2－1个非空子集。
（4）n个元素的集合有2－2个非空真子集。
要点诠释：
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．换言之，任何集合至少有一个子集．
集合的基本运算
1．用定义求两个集合的交集与并集时，要注意“或”“且”的意义，“或”
是两个皆可的意思，“且”是两
者都有的意思，在使用时不要混淆。
2．用维恩图表示交集与并集。
已知集合A与B，用阴影部分表示A∩B，A∪B，如下图所示。
n
n
n
3．关于交集、并集的有关性质及结论归结如下：
（1）A∩A=A，A∩
?
=
?
，A∩B=(B∩A)
?
A（或B）；
A∪A=A，A∪
?
=A，A∪B=(B∪A)
?
A（或B）。 <
br>（2）
A
?
(C
U
A)?
?
；
A<
br>?(
C
U
A
)?
U
。
*（3）德摩根定律
：
C
U
A
（4）
A
C
U
B?C
U
(AB)
；
C
U
AC
U
B?C
U
(AB)
。；
B?A?A?B
；
AB?A?B?A
。
4．全集与补集
（1）它们是相互依存不可分离的两个概念。把我们所研究的各个集合的全部
元素看成是一个集合，则称之
为全集。而补集则是在
A?U
时，由所有不属于A但属于
U的元素组成的集合，记作
C
U
A
。数学表达式：
若
A?U
，则U中子集A的补集为
C
U
A?{x?U且x?A}
。
（2）补集与全集的性质
①
C
U
(C
U
A)?A
②
A?U
，
C
U
A?U
。
③
C
U
U
=
?
，
C
U
?
=
U
。
5．空集的性质
空集的特殊属性，即空集虽空，但空有所用。对任意集合A，有
???
，
??{?}
；
A???
；
A??A
；
??A
。
【典型例题】
类型一：集合的含义与表示
例1．选择恰当的方法表示下列集合。
（1）“mathematics”中字母构成的集合；
（2）不等式
x?1?0
的解集；
（3）函数
y?
举一反三：
【变式1】将集合
?
(x,y)|
?
2
x?4
的自变量的取值范围。
?
?
?
x?y?5
?
?
表示成列举法，正确的是（
）
?
2x?y?1
?
A.{2，3} B.{（2，3）}
C.{x=2，y=3} D.（2，3）
【变式2】已知集合
A?
??
x,y
?
∣
x,y
为实数，且
x
2
?y
2
?1
?
，
B?
?
?
x,y
?
x,y
为实数，且
y?x
?
，则
A?B
的元素个
数为 （ ）
Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2
Ｄ．3
例2．若含有三个元素的集合可表示为
?
a,
举一反三：
?
?
b
?
,1
?
，也可以表示为
a
2
,a?b,0
，求
a
2009
?b
2009
的值。
a
???
【变式1】若
?3?a?3,2a?1,a
2
?1
。求实数
a
的值。
例3．已知集合
A?x|mx
2
?2x?3?0,m?R
（1）若A是空集，求
m
的取值范围。
（2）若A中只有一个元素，求
m
的值。
（3）若A中至多只有一个元素，求
m
的取值范围。
??
??
类型二：集合的基本关系
例1．设集合A={x｜1≤x≤3}，B={x｜x－a≥0}，若A
举一反三：
【变式1】 已知集合A={x｜x≥1或x＜－1}，B={x｜2a＜x＜a+1}，若B
?
A，求a的取值范围。
【变式2】若集合B={1，2，3，4，5}，C={小于10的正奇数}，且集合A满足A
?B，A
?
C，则集合A的个
数是________。
例2．设集合A?x|x
2
?4x?0,x?R,B?x|x
2
?2(a?1)x?a
2
?1?0,x?R
,若
B?A
，求实数
a
的范围。
举一反三：
【变式
】已知集合
A?xx
2
?3x?2?0,B?xax?1?0
．
（1）若
a?2
，求
A
（2）若
B?A
，求实数
a
的取值所组成的集
合
C
．
B
；
B，则a的取值范围是________。
????
??
??
类型三：集合的基本运算
例1．
已知全集U=R，集合M={x|－2≤x－1≤2}和N={x|x=2k－1，k=1，2，…}的关系的韦
恩（Venn）图如
下图所示，则阴影部分所示的集合的元素区有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷多个
举一反三：
【
变式1】已知全集U=R，则正确表示集合M=｛—1，0，1｝和N=｛x
x
2
?x
?0
关系的韦恩图是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】设全集为
R
，A?
?
x|3?x?7
?
，
B?
?
x|2?x
?10
?
，求
例2．若集合A
={x｜x―ax+a―19=0}，B={2，3}，C={2，―4}，满足A∩B
的值是____
____。
例3．设集合A={x｜a―4＜x＜a+4}，B={x｜x＜－1或x＞5}，若A∪
B=R，则a的取值范围是________。
举一反三：
【变式1】 已知集合A={
x｜－2≤x≤5}，B={x｜k+1≤x≤2k－1}，若A∩B=
?
，求实数k的取值范
围。
22
R
(AB)
及
?
R
A
?
B
．
?
，且A∩C=?
，则实数a
例4．已知集合
A?x4?x?8
?
,B?x2?x?10
?
,C?xx?a
?
．
（Ⅰ）求
A
（Ⅱ）若
A
???
B
；
?
C
R
A
?
B
；
C??
，求a的取值范围．
举一反三：
【变式1】
A={x｜－2≤x＜7}，
U
B?{x|k?1?x?k?4}
，若A∪B=R，求实数k的取值范围。
已知集合
课后作业
1．全集
U?
?
?
1,?2,?3,?4,0
?
，集合
A?
?
?1,?2,0
?
,B?
?
?3,?4,0
?
，则
?
C
U
A
?
?B?
（ ）
A．
?
0
?
B．
?
?3,?4
?
C．
?
?1,?2
?
D．
?
2．若集合
A?{?1,1}
，
B?{x|mx?1}
，且
AA．
1
B．
?1
C．
1
或
?1
D．
1
或
?1
或
0
3．若集合
M?(x
,y)x?y?0,N?(x,y)x?y?0,x?R,y?R
，则有（ ）
A．
M
B?A
，则
m
的值为（ ）
??
?
22
?
N?M
B．
MN?N
C．
MN?M
D．
MN??
4．满足{1}?M?{1，2，3，4，5}的集合M的个数为（ ）
A． 4
B．6 C． 8 D． 16
5．表示图形中的阴影部分( )
A
B
A．
(A?C)?(B?C)
C
B．
(A?B)?(A?C)
C．
(A?B)?(B?C)
D．
(A?B)?C
<
br>6．已知集合
A?{x|x?3或x?7},B?{x|x?a}.
若
A．a?3
B．
a?3
?
R
A
?
∩B
?
?
,则a
的取值范围为（ ）
D．
a?7
C．
a?7
7．设S是整数集Z的非空子集
，如果
?a,b?S
，有
ab?S
，则称S关于数的乘法是封闭的．若T,V
是Z
的两个不相交的非空子集，
T
恒成立的是
A．
T,V
中至少有一个关于乘法是封闭的
B．
T,V
中至多有一个关于乘法是封闭的
C．
T,V
中有且只有一个关于乘法是封闭的
D．
T,V
中每一个关于乘法都是封闭的
8．设
U?R,A??
x|a?x?b
?
,
U
V?Z
，且
?a,b
,c?T
，有
abc?T,?x,y,z?V
有
xyz?V
，则下列
结论
A?
?
x|x?4或x?3
?
,则
a?______,
b?_____
。
9．50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项
的学生有30名，参加乙项的学生
有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为
。
10．若
A?
?
1,4,x
?
,B?1,x
2
且
A
2
??
B?B
，则
x?
。
11．已知集合
A?{x|ax?3x?2?0}
至多有一个元素，则
a
的取值范围 ；
若至少有一个元素，则
a
的取值范围
。
12．已知集合
A?{x4?x?8}
，
B?{x2?x?10}
，
C?{xx?a}
．
（Ⅰ）求A∪B；
(C
R
A)B
；
（Ⅱ）若
A
13．设
A?x|x
2
?px?q?0,B?x|qx
2
?px?1?0
，其
中
p,q?0
，同时满足①
A
C??
，求a的取值范围．
????
B??
；②
?
R
B
?
A?
?
?2
?
。求
p,q
的值。
14．设集合A＝{x|x－3x＋2＝0}，B＝{x|x＋2(a＋1)x＋(a－5)＝0}.
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围.
222
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】∵ 集合
A?
?
?1,?2,0
?
,B?
?
?3,?4,0
?
，
全集
U?
?
?1,?2,?3,?4,0
?
，
∴
C
U
A?
?
?3,?4
?
．
∴ ?
C
U
A
?
?B?
?
?3,?4
?<
br>．
故选B．
2. 【答案】 D
【解析】当
m?0
时，
B?
?
,
满足
A
?
1
?
B
?A
，即
m?0
；当
m?0
时，
B?
??
,
?
m
?
而
AB?A
，∴
1
?
1或?1，m?1或?1
；∴
m?1,?1或0
；
m
3.
【答案】 A
【解析】
N?（
?
0，0）
?
，
N?M
；
4．【答案】D
【解析】∵{1}?M?{1，2，3，4，5}，
∴
2，3，4，5共4个元素可以选择，
即满足{1}?M?{1，2，3，4，5}的集合M的个数可化为
{2，3，4，5}的子集个数；
故其有16个子集，
故选D．
5.
【答案】A
6．【答案】A
【解析】利用数轴去解
7．【答案】A <
br>【解析】若按照整数集的范围考虑，则不妨令T＝N，V为负整数集，满足题意，但x，y∈V时，
xy?V
，
排除D；若从整数特征考虑，令T为偶数集，V为奇数集，均关于数的乘法是封闭
的，排除B、C，故选A。
8.
【答案】
a?3,b?4
【解析】
A?C
U
(C<
br>U
A)?
?
x|3?x?4
?
?
?
x|a?
x?b
?
9. 【答案】 45
【解析】
画出Venn图如下图所示。
10.
【答案】
0,2,或?2
【解析】由
AB?B得B?A
，则
x
2
?4或x
2
?x
，且
x?1
。 ?
?
99
???
,或a?0
?
，
?
a
|a?
?
88
???
11. 【答案】
?
a|a?
【解析】当
A
中仅有一个元素时，
a?0
，或
??
9?8a?0
；
当
A
中有
0
个元素时，
??9?8a?0
；
当
A
中有两个元素时，
??9?8a?0
；
12．【答案
】（Ⅰ）
{x2?x?10}
；（Ⅱ）
a?
?
4,??
?<
br>
【解析】（Ⅰ）∵
A?{x4?x?8}
，
B?{x2?x?10}
，
∴
A∪B
?{x2?x?10}
C
R
A
?
?
x|x?4
,
或
x?8
?
(C
R
A)
B
?
?
x|2?x?4
,
或
8?x?10
?
（Ⅱ）若
AC??
，由数轴知
a?
?
4,??
?
B??
，所以两个方程至少有一个共同解且—2是前者方程的解， 13．【解析】
A
?
a
2
?ap?q?0
?
设两方程的共同解为
a<
br>，则
?
2
，解得
a??1
。当
a?1
时，又
—2是前者方程的解，由根与
?
?
qa?ap?1?0
?
p?3系数的关系得
p?1,q??2
。同理得
?
。
q?2
?
14．【解析】由x－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，
故集合A＝{1,2}.
2
(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，
得a＋4a＋3＝0?a＝－1或a＝－3；
当a＝－1时，B＝{x|x－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；
当a＝－3时，B＝{x|x－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件；
综上，a的值为－1或－3；
(2)对于集合B，
Δ＝4(a＋1)－4(a－5)＝8(a＋3).
∵A∪B＝A，∴B?A，
①当Δ<0，即a<－3时，B＝?满足条件；
②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件；
③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1,2}才能满足条件，
则由根与系数的关系得 <
br>22
2
2
2
5
?
?
1?2??2a?1?<
br>??
a???
??
?
2
??
矛盾；
2
?
?
a
2
?7.
?
1
?2?a?5.
?
综上，a的取值范围是a≤－3.