2016版高中数学课程标准-高中数学导数证明视频
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
3π
1．若－2π<α<－
2
，则
α
A．sin
2
α
C．－sin
2
答案 D
解析
1－cos?α－π?
＝
2
1－cos
?π－α?
＝
2
1＋cosα
?
α
?
?
c
os
?
2
＝
?
2
?
，
1－cos?α－π?
的值是( )
2
α
B．cos
2
α
D．－cos
2
3π
α
3π
∵－2π
<α<－
2
，∴－π<
2
<－
4
.
αα
?
α
?
∴cos
2
<0，∴
?
cos
2<
br>?
＝－cos
2
.
??
?
π
?
2
．函数y＝2cos
2
?
x－
4
?
－1是( )
??
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
π
C．最小正周期为
2
的奇函数
π
D．最小正周期为
2
的偶函数
答案 A
?
π
???
π
??
解析 y＝2cos
2
?
x－
4
?
－1＝cos
?
2
?
x－4
??
??????
π
???
π
?
2x－－2x
????
＝sin2x， ＝cos＝cos
2
???
2
?
2π
而y＝sin2x为奇函数，其最小正周期T＝
2
＝π，故
选A.
α
?
2
πα
??
α
2
?
sin＋cos
???
3．化简得( )
2
?
＋2sin
?
4
－
2
?
?
2
?
A．2＋sinα
C．2
答案 C
π
??
B．2＋2sin
?
α－
4
?
<
br>??
π
??
D．2＋2sin
?
α＋
4
?<
br>
??
αα
??
πα
???
π
?
解析 原式＝1＋2sin
2
cos
2
＋1－cos
?
2
?
4
－
2
??
＝2＋sinα－cos
?
2
－α
?
＝2＋sinα
??????
－sinα＝2.
1
?
π
?
4．已知sinα＋cosα＝
3
，则2
cos
2
?
4
－α
?
－1＝( )
??
81782
A.
9
B.
18
C．－
9
D．－
3
答案 C
118
解析
∵sinα＋cosα＝
3
，平方可得1＋sin2α＝
9
，可得sin2α
＝－
9
.
8
?
π
??
π
?
2c
os
2
?
4
－α
?
－1＝cos
?
2－2α
?
＝sin2α＝－.
9
????
π
?
727
α
?
α－
?
5．已知sin
?
＝，cos
2α＝，则tan
4
?
10252
＝( )
?
A．3
B．－3 C．±3 D．±4
答案 A
π
?
7277
?
解析 由sin
?
α－
4
?
＝
10
?sinα－cosα＝
5
①，cos2α＝<
br>25
?cos
2
α－sin
2
α＝
??
77
1
25
，所以(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝
25
②，由①②可得cosα＋sinα＝－
5
③，由
34
α
①③得s
inα＝，cosα＝－，所以角α为第二象限角，所以为第一、三象限角，
552
α
tan
2
＝
1－cosα
＝
1＋cosα
4
1＋<
br>5
4
＝3，故选A.
1－
5
二、填空题
π
6．若α－β＝
4
，则sinαsinβ的最大值为________．
答案
2＋2
4
π
?
π
?
解析
α＝β＋
4
，则sinαsinβ＝sin
?
β＋
4
?sinβ
??
π
?
π
?
1
??
2β
＋
4
?
－cos?
＝－
2
?cos
?
4
?
?
?
?
π
?
1
?
2
＝
－
2
cos
?
2β＋
4
?
＋
4
??
∴最大值为
2＋2
4
.
sin3α1
3
7．设α为第四象限角，且
sinα
＝
5
，则tan2α＝___
_____.
3
答案 －
4
sin3α
sin?2α＋α?
解析
sinα
＝
sinα
?1－2sin
2
α?si
nα＋2cos
2
αsinα
134
＝＝2cos2α＋1＝，所以cos2
α＝
sinα55
.又α是第四象
33
限角，所以sin2α＝－
5
，tan2α＝－
4
.
8.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________．
答案 －2sin4
解析 原式＝4cos
2
4＋21－2sin4cos4
＝2|cos4|＋2?sin4－cos4?
2
＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|.
5π3π
因为
4
<4<
2
，所以sin4
从而原式＝－2cos4－2sin4＋2cos4＝－2sin4.
三、解答题
9．化简：cosα
解 原式＝cosα
1－sinα
＋sinα
1＋sinα
?1－sinα?
2
cos
2
α
＋sinα<
br>1－cosα
3π
，π<α<
2
.
1＋cosα
?1－cosα?
2
sin
2
α
<
br>1－sinα1－cosα
＝cosα·
|cosα|
＋sinα·
|
sinα|
，
3π
因为π<α<
2
，所以cosα<0，sinα<0.
所以原式＝－(1－sinα)－(1－cosα)＝sinα＋cosα－2.
1
10．已知函数f(x)＝(2cos
2
x－1)sin2x＋
2
cos4x
.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
2
?
π
?
(2)若α∈
?
2
，π
?
，且f(α)＝
2
，求α
的值．
??
1
解
(1)因为f(x)＝(2cos
2
x－1)sin2x＋
2
cos4x
1
＝cos2xsin2x＋
2
cos4x
π?
12
?
4x＋
?
＝
2
(sin4x＋cos
4x)＝
2
sin，
4
?
??
2ππ
所以f(x
)的最小正周期T＝
4
＝
2
，
πππ
kπ2
当4
x＋
4
＝
2
＋2kπ，k∈Z，即x＝
16
＋
2<
br>，k∈Z时，f(x)取最大值为
2
.
π
?
2
?<
br>4α＋
?
(2)因为f(α)＝
2
，所以sin＝1，
4<
br>?
??
π
?
9π17π
??
π
?
因
为α∈
?
2
，π
?
，所以4α＋
4
∈
?<
br>4
，
4
?
，
????
π5π9π
所以4α＋＝，故α＝.
4216
B级：“四能”提升训练
7
π
1．已知cos2θ＝
25
，
2
＜θ＜π.
(1)求tanθ的值；
θ
2cos
2
2
＋sinθ
(2)求的值．
?<
br>π
?
2sin
?
θ＋
4
?
??
7<
br>解 (1)因为cos2θ＝
25
，
cos
2
θ－sin<
br>2
θ
7
所以
2
＝，
cos
θ＋sin2
θ
25
1－tan
2
θ
7
所以＝，
1＋tan
2
θ
25
3
解得tanθ＝±
4
，
π
3
因为
2
＜θ＜π，所以tanθ＝－
4
. <
br>θ
2cos
2
2
＋sinθ
1＋cosθ＋sinθ
(2)＝，
cosθ＋sinθ
?
π
?
2sin
?
θ＋
4
?
??
π
3
因为
2
＜θ＜π，t
anθ＝－
4
，
34
所以sinθ＝
5
，cosθ＝－
5
，
43
2cos
2
＋sinθ1－
5
＋
5
1＋cosθ＋sinθ
所以＝＝
43
＝－4.
cosθ＋sinθ
?
π
?
－
5
＋
5
2sin
?
θ
＋
4
?
??
2．如图，ABCD是一块边长为100
m的正方形地皮，其中AST是半径为90 m
的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建
一个矩形停车场，使矩
形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上
，
求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值．
2
θ
解 如图
，连接AP，设∠PAB＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP交AB于M，则AM
＝90cosθ，M
P＝90sinθ.
所以PQ＝MB＝100－90cosθ，
PR＝MR－MP＝100－90sinθ.
所以S
cosθ)
＋8100sinθcosθ.
令t＝sinθ＋cosθ(1≤t≤2)，
t
2
－1
则sinθcosθ＝
2
.
t
2
－1
8100
?
10
?
2
所以S
矩形<
br>PQCR
＝10000－9000t＋8100·
2
＝
2
?<
br>t－
9
?
＋950.
??
10
故当t＝
9
时，S
矩形
PQCR
有最小值950 m
2
；
当t＝2时，S
矩形
PQCR
有最大值(14050－90002)
m
2
.
矩形
PR＝(100－90cosθ)(100－90sinθ)＝
10000－9000(sinθ＋
PQCR
＝PQ·
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