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【金榜教程】2014高三总复习人教A版数学(理)配套练习:第8章 第9讲-文档资料

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 00:38
tags:高中数学教程

高中数学必修5第一章-高中数学教研调查记录

2020年9月21日发(作者:柳支英)


第八章 第9讲
(时间:45分钟 分值:100分)
一、选择题
x
2
y
2
1. [2019·皖北协作区联考]双曲线
2< br>-
2
=1(a>0,b>0)的焦距为4,一个顶点是抛物线
ab
y< br>2
=4x的焦点,则双曲线的离心率e等于 ( )
A. 2
3
C.
2
答案:A
c
解析:依题意,得c=2,a=1,所以e==2.
a
x
2y
2
5x
2
y
2
2. [2019·保定质检]已知双 曲线
2

2
=1(a>0,b>0)的离心率为,则椭圆
2

2
=1的
ab2ab
离心率为( )
1
A.
2
C.
3

2
B.
D.
3

3
2

2
B. 3
D. 2
答案:C
2222
c
2
a+b
b
2
5b
2
1c
2
a-b
2
解析:因为在双曲线中,e=
2

2
=1+
2
=,所以
2
=.在椭圆中,e=2

2
aaa4a4aa
2
b
2
133
=1-
2
=1-=,所以椭圆的离心率e=.
a442
3. [2019 ·银川质检]已知点A(1,2)是抛物线C:y
2
=2px与直线l:y=k(x+1)的一 个交点,
则抛物线C的焦点到直线l的距离是( )
A.
C.
2

2
32

2
B. 2
D. 22
答案:B
解析:将点(1,2)代入y
2
=2px中 ,可得p=2,即得抛物线y
2
=4x,其焦点坐标为(1,0),
将点(1,2)代 入y=k(x+1)中,可得k=1,即得直线x-y+1=0,∴抛物线C的焦点到直线l
|1-0+ 1|
的距离d==2,故应选B.
2
第 1 页


y
2
4. 若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x+=1的离心率为( )
m
2
A.
C.
3

2
35

22
B. 5
D.
3
或5
2
答案:D 2
y
2
2
y
解析:因为m是2和8的等比中项,则m=±4,圆 锥曲线x+=1,即为x±=1,
m4
2
可能是椭圆,也可能是双曲线.当为椭圆时, 离心率为
1+4
=5,故选择D.
1
4-1
3
=;当为双 曲线时,离心
22
率为
x
2
y
2
3
5. [2019·山东高考]已知椭圆C:
2

2
=1(a>b>0)的离心率为 .双曲线x
2
-y
2
=1的渐
ab2
近线与椭圆C有四个交 点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为
( )
x
2
y
2
A. +=1
82
x
2
y
2
C. +=1
164
答案:D
解析:双曲线x
2
-y
2
=1的 渐近线为y=±x,与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶
点的四边形面积为16,可得四边形为正方 形,其边长为4,双曲线的渐近线与椭圆C的一
44c3
个交点为(2,2),所以有
2

2
=1,又因为e==,a
2
=b
2
+c2
,联立解方程组得a
2
=20,
aba2
b
2
=5,故选D.
6. [2019·遵义模拟]已知以F
1
(-2,0),F2
(2,0)为焦点的椭圆与直线x+3y+4=0有且仅
有一个交点,则椭圆的长轴长为 ( )
A. 32
C. 27
答案:C
y
2
解析:根据题意设椭圆方程为
2

2
=1(b>0),则将x=-3 y-4代入椭圆方程,得
b+4
b
4(b
2
+1)y
2+83b
2
y-b
4
+12b
2
=0,∵椭圆与直线x +3y+4=0有且仅有一个交点,
x
2
B. 26
D. 7
x
2
y
2
B. +=1
126
x
2
y
2
D. +=1
205
第 2 页


∴Δ=(83b
2
)
2
-4×4(b
2
+1)(-b
4
+12b
2
)=0,即(b
2
+4)·(b
2
-3)=0.
∴b
2
=3,长轴长为2
二、填空题
7. [2019·金版原创 ]从抛物线x
2
=4y上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|
=5,设 抛物线的焦点为F,则△MPF的面积为________.
答案:10
解析:由题意知, 抛物线的准线方程为y=-1,|PM|=|PF|=5,∴P点的纵坐标为4,
P(±4,4),
1
∴S

MPF
=×5×4=10.
2
x
2
y
2
8. [2019·合肥模拟]已知双曲线以椭 圆+=1的焦点为顶点,以椭圆的长轴端点为焦
35
点,则该双曲线方程为________.
y
2
x
2
答案:-=1
23
y
2
x
2
解析:椭圆方程为+=1,
53< br>∴其焦点坐标为(0,±2),长轴端点为(0,±5),即双曲线顶点为(0,±2),焦点为(0,< br>y
2
x
2
±5),设双曲线方程为
2

2< br>=1,则a=2,c=5,∴b
2
=3.
ab
y
2
x
2
∴所求双曲线方程为-=1.
23
9. [2019·浙江高考]定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到 直线l
的距离.已知曲线C
1
:y=x
2
+a到直线l:y=x的距 离等于曲线C
2
:x
2
+(y+4)
2
=2到直线
l:y=x的距离,则实数a=________.
9
答案:
4
解析:曲 线C
2
:x
2
+(y+4)
2
=2到直线l:y=x的距离 为圆心到直线的距离与圆的半径
|-4|
1
之差,即d-r=-2=2,由y=x2
+a可得y′=2x,令y′=2x=1,则x=.在曲线
2
2
111 1
C
1
上对应的点P(,+a),所以曲线C
1
到直线l的距离即为 点P(,+a)直线l的距离,
2424
1111
|--a||-a||-a|
2444
1797
故=,所以=2,可得|a-|=2,a=-或a=,当a=-时,曲线< br>4444
222
b
2
+4=27.
第 3 页

< p>
79
C
1
:y=x
2
-与直线l:y=x相交,两者距 离为0,不合题意,故a=.
44
三、解答题
x
2
y
2
3
10. [2019·焦作质检]已知椭圆C< br>1
:+
2
=1(02
:x< br>2

4b2
2py(p>0)的焦点是椭圆的顶点.
(1)求抛物线C
2
的方程;
(2)过点M(-1,0)的直线l与抛物线 C
2
交于E,F两点,过E,F作抛物线C
2
的切线l
1

l
2
,当l
1
⊥l
2
时,求直线l的方程.
解:(1)∵椭圆C
1
的长半轴长a=2,半焦距c=
1.
∴椭圆C
1
的上顶点为(0,1).
∴抛物线C
2
的焦点为(0,1).
∴抛物线C
2
的方程为x
2
=4y.
(2)由已知可得直线l的斜率必存在,设直线l的方程为 y=k(x+1),E(x
1,y
1
),F(x
2

y
2
).
11
由x
2
=4y,得y=x
2
.∴y′=x.
42
11
∴切线l
1
,l
2
的斜率分别为x
1,x
2
.
22
11
当l
1
⊥l
2< br>时,x
1
·x
2
=-1,即x
1
x
2
=-4.
22
c
4-b
2
.由e==
a
4-b
2
3
=,得b
2

22
?
?
y= k?x+1?,

?
得x
2
-4kx-4k=0.
?x
2
=4y,
?
∴Δ=(4k)
2
-4×(-4k)> 0,解得k<-1或k>0.①
且x
1
x
2
=-4k=-4,即k=1,满足①式.
∴直线l的方程为x-y+1=0.
3
11. [2019·许昌调研]已知点A( -2,0),B(2,0),直线PA与直线PB的斜率之积为-,记
4
点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;

第 4 页


(2)设M,N是 曲线C上任意两点,且|AM-AN|=|AM+AN|,问直线MN是否恒过某
定点?若是,请求出定 点坐标;否则,请说明理由.
3yy3
解:(1)设P(x,y),则由直线PA与直线PB 斜率之积为-,得·=-(x≠±2).
44
x+2x-2
x
2
y
2
整理得曲线C的方程为+=1(x≠±2).
43
(2)若|AM-AN|=|AM+AN|,则AM⊥AN.
由题意知A(-2 ,0),设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2< br>).
若直线MN斜率不存在,则N(x
1
,-y
1
). < br>-y
1
x
2
y
2
11
由AM⊥AN,得·= -1,又+=1,
43
x
1
+2x
1
+2
→→→ →
→→→→→→
→→
y
1
2
解得直线MN方程为x=-.
7
若直线MN斜率存在,设方程为y=kx+m.
?
?
y=kx+ m,

?
x
2
y
2
得(4k
2
+ 3)x
2
+8kmx+4m
2
-12=0.
?
?
4

3
=1,
4m
2
-12
即x
1
+x
2

2
,x
1
·x
2

2
.(*)
4k+34k+3
-8km
y
1
y
2< br>→→
由AM⊥AN,得·=-1,
x
1
+2x
2
+ 2
整理得(k
2
+1)x
1
x
2
+(km+2)( x
1
+x
2
)+m
2
+4=0.
2
将(*)式代入,解得m=2k或m=k.
7
此二种情况均有(4k2
+3)x
2
+8kmx+4m
2
-12=0,均有Δ>0.
若m=2k,此时直线过定点(-2,0),不合题意,舍去.
22
故m=k,即直线MN过定点(-,0),斜率不存在时依然满足.
77
12. 椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,两焦点F
1
,F
2
之间的距离为23,椭圆上
第一象限内的点P满足PF
1
⊥PF
2
,且△PF
1
F
2
的面积为1.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若椭圆C的右顶点为A,直线l:y=kx+m(k≠0 )与椭圆C交于不同的两点M,N,

第 5 页


且满足AM⊥AN.求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.
x
2
y
2
解:(1)设椭圆的标准方程为
2

2
=1( a>b>0),因为|F
1
F
2
|=23,所以c=3,b
2
=a
2
ab
x
2
y
2
3
-3,所以椭圆 的方程可化为
2

2
=1.因为△PF
1
F
2的面积为1,所以P点的纵坐标为,
a
a-3
3
3
3
3
3
326
不妨设P点的坐标为(x
0
,)(x
0
> 0),因为PF
1
⊥PF
2
,所以·=-1,解得x
0
=,
33
x
0
-3x
0
+3
81
33
263xy
则P点的坐标为(,),代入
2

2
=1,得
2

2
=1,解得a
2
=4或a
2
=2(舍去),< br>33a
a-3
a
a-3
22
x
2
2
所以椭圆C的标准方程为+y=1.
4
2
x
2
?
?
4
+y=1
(2)由方程组
?
?
?
y=kx+m

,得(1+4k
2
)x
2
+8kmx+4m
2
-4 =0,
Δ=(8km)
2
-4(1+4k
2
)(4m
2< br>-4)>0,整理得4k
2
-m
2
+1>0.
4m
2
-4
设M(x
1
,y
1
),N(x
2
, y
2
),则x
1
+x
2
=-,x
1
x2
=.
1+4k
2
1+4k
2
8km
由AM ⊥AN且椭圆的右顶点为A(2,0),得(x
1
-2)(x
2
-2)+y< br>1
y
2
=0,
因为y
1
y
2
=( kx
1
+m)(kx
2
+m)=k
2
x
1
x
2
+km(x
1
+x
2
)+m
2
, < br>所以(1+k
2
)x
1
x
2
+(km-2)(x1
+x
2
)+m
2
+4=0,
4m
2
-4-8km
2
即(1+k)·+(km-2)·+m+4=0,
1+4k
2
1+4k
2
2
整理得:5m
2
+16mk+12k2
=0,
6k
解得m=-2k或m=-,均满足4k
2
-m< br>2
+1>0.
5
当m=-2k时,直线的l方程为y=kx-2k,过定点(2,0),与题意矛盾,舍去;
6k66
当m=-时,直线l的方程为y=k(x-),过定点(,0),符合题意.
555
6
故直线l过定点,且定点的坐标为(,0).
5

第 6 页

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