高中数学怎么渗透数学文化-乐乐课堂高中数学基本不等式
A级：基础巩固练
一、选择题
1．“红豆生南国，春来发几枝？
愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人
王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是( )
A．红豆生南国 B．春来发几枝
C．愿君多采撷 D．此物最相思
答案 A
解析 “红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在我国南方”，这在唐
代是事实，故本语句
是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多
采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，
都不是命题．
2．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )
A．两个平面
B．一条直线
C．垂直
D．两个平面垂直于同一条直线
答案 D
解析 已知命题可改写为“若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平
行”．由此可知，条件是“两个平面垂直于同一条直线”．
3．已知a，b为两条不同的直线，α，β
为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，
则下列命题中，假命题是( )
A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交
D．若α，β相交，则a，b相交
答案 D
解析 由已知a⊥α，b⊥β可知，若α，β相交，a，b有可能异面．
4．给出下列命题：
①a·b＝a·c且a≠0时，必有b＝c；
②如a∥b时，必存在唯一实数λ使a＝λb；
③a，b，c互不共线时，a－b必与c不共线；
④a与b共线且c与b也共线时，则a与c必共线．
其中真命题的个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案 A
解析
对于①，由a·b＝a·c且a≠0，得a·(b－c)＝0，未必有b＝c；对于②，
若b＝0时，不
成立；对于③，如图△ABC中，
令
→
AB
＝a，
→<
br>AC
＝b，
→
CB
＝c，则
→
CB
＝
→
AB
－
→
AC
.即c＝a－b，故③不正确；对于④，
若b＝0时，a与c不一定共线，故选A.
5．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n?α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
答案 B
解析 对于A，若m∥α，n∥α，则m与n可能相交、平行或异面，A错误；
显然B正确；对
于C，若m⊥α，m⊥n，则n?α或n∥α，C错误；对于D，若m
∥α，m⊥n，则n∥α或n?α
或n与α相交，D错误．故选B.
二、填空题
6．已知下列命题：
①面积相等的三角形是全等三角形；
②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；
③若a＞b，则ac
2
＞bc
2
；
④矩形的对角线互相垂直．
其中假命题的个数是________．
答案 4
解析 ①②③④全为假命题．
7．若命题“ax
2
－2ax－3>0不成立
”是真命题，则实数a的取值范围是
________．
答案 [－3,0]
解析
∵ax
2
－2ax－3>0不成立，∴ax
2
－2ax－3≤0恒成立．
当a＝0时，－3≤0恒成立；
?
a<0，
当a≠0时，则有
?
解得－3≤a＜0.
2
?
Δ＝4a
＋12a≤0，
综上，－3≤a≤0.
8．
(2018·北京高考)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，则f(x)在[0,2
]
上是增函数”为假命题的一个函数是________．
答案
f(x)＝sinx(答案不唯一)
解析 f(x)＝sinx在[0,2]上先增后减，且满足f(
x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成
立，符合题意．
三、解答题
9．若命
题：“函数f(x)＝log
a
(3x＋m)＋2n＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点<
br>(1,3)”为真命题，求实数m，n的值．
?
log
a
?3＋m?＝0，
解 由题意知，
?
?
2n＋1＝3，
?
m＝－2，
得
?
∴m的值为－
2，n的值为1.
?
n＝1.
B级：能力提升练
?
0，0
?
现有四个命题：
?
ln x，x≥1.
＋
①若a>0，b>0，则ln
＋
(a
b
)＝bln
＋
a；
②若a>0，b>0，则ln
＋
(ab)＝ln
＋
a＋ln
＋
b；
?
a
?
③若a>0，b>0，则ln
＋
?
b
?
≥ln
＋
a－ln
＋
b；
??
④若a>0，b>0，则ln
＋
(a＋b)≤ln
＋
a＋ln
＋
b＋ln 2.
其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)
答案 ①③④
解析
对于①，当a≥1时，a
b
≥1，则ln
＋
(a
b
)＝ln a
b
＝bln a＝bln
＋
a；当0
<1，则ln
＋
(a
b
)＝0，bln
＋
a＝0，即ln
＋
(a
b
)＝bln
＋
a，故①为真命题．
同理讨论a，b在(0，＋∞)内的不同取值，可知③④为真命题．
1
对于②，可取特殊值a＝e，b＝
e
，则ln
＋
(ab)＝0，ln
＋
a＋ln
＋
b＝1＋0＝1，
故②为假命题．
综上可知，真命题有①③④.
2．已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B
构造
的命题“若p，则q”为真命题．
1＋a
解 若视A为p，则命题“若p，则q
”为“若x>
5
，则x>1”．由命题为
1＋a
真命题可知
5
≥1，解得a≥4；
1＋a
若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>”．
由命题为真命
题可知
1＋a
5
≤1，解得a≤4.
故a取任一实数
均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取
真命题“若x>1，则x>
2
5
”．
5
a＝1，则有
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