【精编】高考数学一轮复习教程：随堂巩固训练43

精心整理 提升自我
随堂巩固训练(43)
1. 经过点P(3，5)， 且圆心为(0，1)的圆的方程为__x
2
＋(y－1)
2
＝25__． < br>解析：圆的半径为（3－0）
2
＋（5－1）
2
＝5，所以圆的方程为 x
2
＋(y－1)
2
＝25.
2. 以A(－1，2)，B(5 ，－6)为直径两端点的圆的标准方程为__(x－2)
2
＋(y＋2)
2
＝ 25__．
解析：设以A(－1，2)，B(5，－6)为直径两端点的圆的标准方程为(x－a)< br>2
＋(y－b)
2
＝r
2
(r>0)，
－1＋5a＝＝2，
2
则所以圆心C(2，－2)，所以r
2
＝AC
2< br>＝(－1－2)
2
＋(2＋2)
2
＝25，故所求
2－6b＝＝－2，
2
圆的标准方程为(x－2)
2
＋(y＋2)
2< br>＝25.
3. 已知圆内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是A(5，6)，C(3，－4 )，则圆的方程
为__(x－4)
2
＋(y－1)
2
＝26__．
解析：由题意知圆心是(4，1)，圆的直径为AC＝（5－3）
2
＋（6＋4）2
＝226，半径
为26，所以圆的方程为(x－4)
2
＋(y－1)< br>2
＝26.
4. 已知圆的方程为x
2
＋y
2
＋ λx＋(λ－2)y＋5＝0，且定点P(2，3)在圆外，则实数λ的
12
－，－2
?
∪(4，＋∞)__． 取值范围为__
?
?
5
?
λ?
2
?
λ－2
?
2
λ
2
（λ－2）< br>2
?
解析：圆的方程化为标准方程为
?
x＋
2
?＋
y＋
＝＋－5，圆的半径为
4
2
?
4
?22
λ
2
（λ－2）
λ
2
（λ－2）
＋－5> 0，即＋－5>0，化简得λ
2
－2λ－8>0，解得λ>4或λ<－2.
4444< br>1212
由点P(2，3)在圆外，可得4＋9＋2λ＋(λ－2)×3＋5>0，解得λ>－. 综上，可得－
<λ<－
55
2或λ>4.
5. 若圆C的半径为1，圆心 C在第一象限，且圆C与直线4x－3y＝0和x轴都相切，
则圆C的标准方程是__(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝1__．
|4a－3|
解析：由题意得半径 为1，则圆心的纵坐标也是1，设圆心的坐标为(a，1)，则
22
4＋3
1
＝1，解得a＝2或a＝－.又a>0，所以a＝2，故圆C的标准方程为(x－2)
2
＋(y －1)
2
＝1.
2
6. 已知过点A(4，1)的圆C与直线x－y－1 ＝0相切于点B(2，1)，则圆C的标准方程
为__(x－3)
2
＋y
2< br>＝2__．
解析：设圆C的标准方程为(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
，则圆心(a，b)到直线x－y－1＝0的距
|a－b－1|
离d＝＝r①.又圆C过点A(4，1)，B(2，1)，所以(4－a)
2
＋(1－b)< br>2
＝r
2
②，(2－a)
2
2
＋(1－b)
2
＝r
2
③，由①②③解得a＝3，b＝0，r＝2，所以圆C的标准方程为(x－3 )
2
＋y
2
＝
2.
7. 若圆C的半径为1，其圆心C 与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程
为__x
2
＋(y－1)2
＝1__．

解析：因为圆心C与点(1，0)关于直线y＝x对称，所以圆 心为(0，1)．又圆C的半径
为1，所以圆C的标准方程为x
2
＋(y－1)
2
＝1.
8. 经过三点A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)的圆的一般方 程为__x
2
＋y
2
－7x－3y＋2
＝0__．
解析： 设圆的一般方程为x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0(D
2
＋E
2
－4F>0)．由题意得
?
?
?

1

精心整理 提升自我
1＋1＋D－E＋F＝0，D＝－7，
????
?
1＋16＋D＋4E＋F＝0，
解得
?
E＝－3，
满足D
2
＋E
2
－4F＝(－7)
2
＋(－3)
2
－4×2＝50>0，
??
?
16＋4＋4D－2E＋F＝0，
?
F＝2，
所以圆的一般方程为x
2
＋y
2
－7x－3y＋2 ＝0.
9. 若一个三角形三边所在直线的方程分别为x＋2y－5＝0，y－2＝0，x＋y－4 ＝0，则
3
?
2
?
1
?
2
5
?< br>能够覆盖此三角形且面积最小的圆的方程为__
?
x－
2
?
＋
?
y－
2
?
＝__．
2
解析：由三角形三边所在 的直线方程可得三角形的三个顶点分别是(1，2)，(2，2)，(3，
1)．能够覆盖三角形且面积 最小的圆是该三角形的外接圆．设圆的方程为x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey
D＋2E＋F＝－5，D＝－3，
??
??
3
x－
?
＋F ＝0，则
?
2D＋2E＋F＝－8，
解得
?
E＝－1，
所以 圆的方程为x
2
＋y
2
－3x－y＝0，即
?
?
2
?
??
?
3D＋E＋F＝－10，
?
F＝0，
2< br>1
?
2
5
?
＋
?
y－
2
?
＝.
2
10. 已知两个定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足PA ＝2PB，则动点P的轨迹所
包围的图形的面积为__4π__．
解析：设点P的坐标为(x ，y)，由PA＝2PB，得(x＋2)
2
＋y
2
＝4[(x－1)
2
＋y
2
]，即(x－2)
2
＋y
2
＝4，所以点 P的轨迹是以点(2，0)为圆心，2为半径的圆，其所包围的图形的面积为4π.
11. 设△AB C的顶点坐标分别为A(0，a)，B(－3a，0)，C(3a，0)，其中a>0，圆M
为△ABC 的外接圆．
(1) 求圆M的方程；
(2) 当a变化时，圆M是否过某一定点？请说明理由．
解析：(1) 设圆M的方程为x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0.
因为圆M过三点A(0，a)，B(－3a，0)，C(3a，0)，
a
2
＋aE＋F＝0，
?
D＝0，
?
所以
?
3a－
?< br>3a＋
?
3aD＋F＝0，
解得
?
E＝3－a，
< br>?
?
F＝－3a，
3aD＋F＝0，
所以圆M的方程为x
2< br>＋y
2
＋(3－a)y－3a＝0.
(2) 将圆M的方程变形为(y＋3)a－(x
2
＋y
2
＋3y)＝0，
?
y＋3＝0，
?
x＝0，
??
所以
?
22
解得
?

??
x＋y＋3y＝0，y＝－3，
??
所以当 a变化时，圆M过定点(0，－3)．
12. 已知方程x
2
＋y
2
＋ax＋2ay＋2a
2
＋a－1＝0(a∈R)表示一个圆．
(1) 求实数a的取值范围；
(2) 求该圆面积的取值范围；
(3) 求圆心的轨迹方程．
a
?
2
3
?
解析：(1) 将圆的方程变形为
?< br>x＋
2
?
＋(y＋a)
2
＝－a
2
－a＋1 ，
4
32
所以r
2
＝－a
2
－a＋1>0，解得 －243
2
－2，
?
. 故实数a的取值范围是
?
3
??
3
2
3
?
2
?
2
424
2
(2) 由(1)知r＝－a－a＋1＝－
?
a＋
3?
＋，所以当a＝－时，r
2
取得最大值，
44333
4π
0，
?
. 所以该圆面积的取值范围为
?< br>3
??
a
?
?
x＝－
2
，
(3) 设圆心的坐标为(x，y)，则有
?

?
?
y＝－a，
2

精心整理 提升自我
1
消去a，得圆心的轨迹方程为2x－y＝0(－3
22评注：方程Ax＋By＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个圆的充要条件是“A＝B≠0，C
＝ 0，且D
2
＋E
2
－4AF>0”；求半径的取值范围即二次函数求值域问题 ，求解时需配方；回
忆求动点轨迹的步骤．
13. 已知方程y－1＝1－x
2
.
(1) 画出方程表示的曲线；
(2) 过 点P(1，3)的直线l与方程y－1＝1－x
2
表示的曲线有两个公共点，求直线l的
斜率k的取值范围．
22
?
x＋（y－1）＝1，
?
解析：(1) 方程可化为(y－1 )＝1－x(y－1≥0且1－x≥0)，整理得
?
－1≤x≤1，
?
?y≥1.
222

画出方程y－1＝1－x
2
表示的曲线AB，如图．
(2) 如图，过点P 的直线l在直线m，n处与曲线AB相切，在直线h
处与曲线AB有两个交点，当l在m，h之间旋转时 ，l与曲线AB仅一个
公共点；当l在n，h之间旋转时，l与曲线AB有两个交点．
3－1
直线h的斜率k
h
＝＝1，
1－（－1）
设直线n 的斜率为k
n
，则直线n的方程为y－3＝k
n
(x－1)，
即k
n
x－y－k
n
＋3＝0.
|2－k
n
|3
?
3
?
，1
. 因为圆心 (0，1)到直线n的距离为＝1，解得k＝，所以k∈
n
4
??
4
1＋k
2
n
点评：将方程转化为熟悉的曲线方程，从而画出图象，但必须注意转化的等 价性．



3