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重点高中数学选修2-2微积分基本定理

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 00:57
tags:高中数学定理

高中数学与大学有关的书-99年河北高中数学课本

2020年9月21日发(作者:滕毅)


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[学习目标] 1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3 .会用微积分基本定理求一些函
数的定积分.
知识点一 导数与定积分的关系
f( x)dx等于函数f(x)的任意一个原函数F(x)(F′(x)=f(x))在积分区间[a,b]上的改变 量F(b)-F(a).
以路程和速度之间的关系为例解释如下:
如果物体运动的速度函数 为v=v(t),那么在时间区间[a,b]内物体的位移s可以用定积分表示为s
=v(t)dt.另 一方面,如果已知该变速直线运动的路程函数为s=s(t),那么在时间区间[a,b]内物体
的位移 为s(b)-s(a),所以有v(t)dt=s(b)-s(a).由于s′(t)=v(t),即s(t)为 v(t)的原函数,这就是说,
定积分v(t)dt等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间[a ,b]上的增量s(b)-s(a).
思考 函数f(x)与其一个原函数的关系:
(1)若f(x)=c(c为常数),则F(x)=cx;
(2)若f(x)=x
n
(n≠-1),则F(x)=·x
n

1

(3)若f(x)=,则F(x)=lnx(x>0);
(4)若f(x)=e
x
,则F(x)=e
x

(5)若f(x)=a
x
,则F(x)=(a>0且a≠1);
(6)若f(x)=sinx,则F(x)=-cosx;
(7)若f(x)=cosx,则F(x)=sinx.
知识点二 微积分基本定理
一般地,如果f(x)是区间[
a

b
]上的连续函数,并且F′(x)= f(x),那么f(x)dx=F(b)-F(a).
思考 (1)函数f(x)的原函数F(x)是否唯一?
(2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么?
答案 (1)不唯一.


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(2)①把被积函数f(x)变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等初等函数与常数的和或差;
②用求导公式找到F(x),使得F′(x)=f(x);
③利用微积分基本定理求出定积分的值.
题型一 求简单函数的定积分
例1 计算下列定积分.
(1)3dx;(2)(2x+3)dx;
(3)(4x-x
2
)dx;(4)(x-1)
5
dx.
解 (1)因为(3x)′=3,
所以3dx=(3x)=3×2-3×1=3.
(2)因为(x
2
+3x)′=2x+3,
所以(2x+3)dx=(x
2
+3x)
=2
2
+3×2-(0
2
+3×0)=10.
(3)因为′=4x-x
2

所以(4x-x
2
)dx=
=-=.
(4)因为′=(x-1)
5

所以(x-1)
5
dx
=(x-1)
6

=(2-1)
6
-(1-1)
6
=.
反思与感悟 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤:
①求f(x)的一个原函数F(x);
②计算F(b)-F(a).


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(2)注意事项:
①有时需先化简,再求积分;
②若F(x)是f(x)的原函数,则F(x)+C(C为常数 )也是f(x)的原函数.随着常数C的变化,f(x)有无穷
多个原函数,这是因为F′(x)=f( x),则[F(x)+C]′=F′(x)=f(x)的缘故.因为f(x)dx=[F(x)+C]|=
[F(b)+C]-[F(a)+C]=F(b)-F(a)=F(x)|,所以利用f(x)的原函数计算定 积分时,一般只写一个最
简单的原函数,不用再加任意常数C了.
跟踪训练1 求下列函数的定积分:
(1)
2
dx;(2)(1+)dx.
解 (1)
2
dx
=dx
=x
2
dx+2dx+dx
=x
3
+2x+
=×(2
3
-1
3
)+2×(2-1)-
=.
(2)(1+)dx
=(+x)dx

=-
=.
题型二 求分段函数的定积分
例2 求函数f(x)=在区间[0,3]上的定积分.
解 由定积分的性质知:
f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx+f(x)dx


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=x
3
dx+x
2
dx+2
x
dx
=++
=+-+-
=+.
反思与感悟 (1)分段函数在区间[a,b ]上的定积分可分成几个定积分的和的形式.(2)分段的标准是
确定每一段上的函数表达式,即按照原 函数分段的情况分就可以.
跟踪训练2 求下列定积分:
(1)|x
2
-1|dx;(2),)dx.
解 (1)∵y=|x
2
-1|=
∴|x
2
-1|dx=(1-x2
)dx+(x
2
-1)dx
=+
=+-
=2.
(2),)dx
=,)|sinx-cosx|dx
=,)(cosx-sinx)dx+,,)(sinx-cosx)dx
=(sinx+cosx)+(-cosx-sinx)
=-1+(-1)-
=2-2.
题型三 定积分的简单应用
例3 已知f(a)=(2ax
2
-a
2
x)dx,求f(a)的最大值.
解 ∵′=2ax
2
-a
2
x,


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∴(2ax
2
-a
2
x)dx=
=a-a
2

即f(a)=a-a
2
=-+
=-
2
+,
∴当a=时,f(a)有最大值.
反思与感悟 定积 分的应用体现了积分与函数的内在联系,可以通过积分构造新的函数,进而对这
一函数进行性质、最值等 方面的考查,解题过程中注意体会转化思想的应用.
跟踪训练3 已知f(x)=ax
2+bx+c(a≠0),且f(-1)=2,f′(0)=0,f(x)dx=-2,求a、b、c的值.
解 由f(-1)=2,得a-b+c=2.①
又f′(x)=2ax+b,∴f′(0)=b=0,②
而f(x)dx=(ax
2
+bx+c)dx

=a+b+c,
∴a+b+c=-2,③
由①②③式得a=6,b=0,c=-4.
1.,)dx等于( )
A.2(-1)
C.-1
答案 C
解析 结合微积分基本定理,得
,)dx=,)(cosx-sinx)dx=(sinx+cosx)=-1.
2.下列定积分的值等于1的是( )
B.+1
D.2-


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C.1dx
答案 C
B.(x+1)dx

解析 xdx=x
2
=,(x+1)dx==+1=,1dx=x=1,dx=x=.故选C.
=.
答案
解析 dx=x
2
dx-xdx
=-=-=.
4.设函数f(x)=则f(x)dx=.
答案
解析 f(x)dx=(x
2
+1)dx+(3-x)dx
=+=.
5.已知函数f(x)为偶函数,且f(x)dx=8,则f(x)dx=.
答案 16
解析 因为函数f(x)为偶函数,且f(x)dx=8,所以f(x)dx=2f(x)dx=16.
1.求定积分的一些常用技巧
(1)对被积函数,要先化简,再求积分.
(2)若被积函数是分段函数,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和.
(3)对于含有绝对值符号的被积函数,要去掉绝对值符号才能积分.
2.由于定积分的值可 取正值,也可取负值,还可以取0,而面积是正值,因此不要把面积理解为被
积函数对应图形在某几个区 间上的定积分之和,而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.
一、选择题


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1.函数y=cosxdx的导数是( )
.--
答案 A
解析 (sinx)′=cosx,cosxdx=sinx=sinx,故选A.
2.若F′(x)=x
2
,则F(x)的解析式不正确的是( )
A.F(x)=x
3

B.F(x)=x
3

C.F(x)=x
3
+1
D.F(x)=x
3
+c(c为常数)
答案 B
解析 若F(x )=x
3
,则F′(x)=3x
2
,这与F′(x)=x
2
不一致,故选B.
3.|x+2|dx等于( )
A.(x+2)dx
B.(-x-2)dx
C.(x+2)dx+2(-x-2)dx
D.(-x-2)dx+(x+2)dx
答案 D
解析 ∵|x+2|=
∴|x+2|dx=(-x-2)dx+(x+2)dx.
故选D.
4.已知f(x)=则-1f(x)dx的值为( )
A.B.C.D.-


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答案 B
解析 f(x)dx=x
2
dx+1dx=+x|10=+1=,故选B.
5.,)sin
2
dx等于( )
A.
C.2
答案 D
解析 ,)sin
2
dx=,)dx=
0
=,故选D.
6.若S
1
=x
2
dx,S
2
=dx,S
3=e
x
dx,则S
1
,S
2
,S
3
的 大小关系为( )
A.S
1
<S
2
<S
3

C.S
2
<S
3
<S
1

答案 B
解析 S
1
=x
2
dx=x
3
S
2
==ln2<1,S
3
=e
x
dx=e
x
=e
2
-e=e(e-1)>,所以S
2
<S
1
<S
3
, 选B.
二、填空题
7.(+x)dx=.
答案
解析 (+x)dx=dx+xdx,根据定积分的几何意义可知dx等于半径为1的半圆的面积,
即dx=,xdx=x
2
|=0,
∴(+x)dx=.
8.若x
2
dx=9,则常数T的值为.
答案 3
解析 x
2
dx==T
3
=9,即T
3
=27,解得T=3. < br>9.设函数f(x)=ax
2
+c(a≠0),f(x)dx=f(x
0
),0≤x
0
≤1,则x
0
=.
B.S
2
<S
1
<S
3

D.S
3
<S
2
<S
1

B.-1
D.


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答案
解析 由f(x)dx=f(x< br>0
),得(ax
2
+c)dx==a+c=ax+c,∴=ax,∵a≠0,∴ x=,又0≤x
0
≤1,∴x
0
=.故填.
10.设f(x)=若f[f(1)]=1,则a=.
答案 1
解析 因为x=1 >0,所以f(1)=lg1=0.又x≤0时,f(x)=x+3t
2
dt=x+t
3
=x+a
3

所以f(0)=a
3
.因为f[f(1) ]=1,所以a
3
=1,解得a=1.
三、解答题
11.设f(x)是一次函数,且f(x)dx=5,xf(x)dx=,求f(x)的解析式.
解 ∵f(x)是一次函数,设f(x)=ax+b(a≠0),则
f(x)dx=(ax+b)dx=axdx+bdx
=a+b=5,
xf(x)dx=x(ax+b)dx=(ax
2
)dx+bxdx
=a+b=.
由得即f(x)=4x+3.
12.若函数f(x)=求f(x)dx的值.
解 由积分的性质,知:
f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx+f(x)dx
=x
3
dx+dx+2
x
dx

=+-+-
=-++.


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13.求定积分|x+a|dx.
解 (1)当-a≤-4即a≥4时,
原式=(x+a)dx==7a-.
(2)当-4<-a<3即-3<a<4时,
原式=[-(
x

a
)]dx+(x+a)dx

=-4a+8+
=a
2
-a+.
(3)当-a≥3即a≤-3时,
原式=[-(x+a)]dx==-7a+.
综上,得|x+a|dx=

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