高中数学二项式定理高考复习

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课题：二项式定理
一、知识要点
1.二项式定理
n0n1n?1nn
一般地,对于任意整数
n
,都 有
(a?b)?C
n
a?C
n
ab??C
n
b,这个公式叫做二项式定理.
【注意】
⑴等号右边的多项式叫做
(a?b)
n
的二项展开式;
⑵
C
n
(r
r
?
0,1,2,
?
n)
叫做二项式系数,它与展开式中对应项的系数不一定相等,二项式系数
C
nr
一定为正,而项的系数与
a,b

的系数有关,正负不能确定.
⑶公式右边共有
n?1
项,比二项式的次数
n
大1.
⑷各 项的次数都等于二项式的幂指数
n
;字母
a
按降幂排列,次数由
n< br>递减到0,字母
b
按升幂排列,次数由0递增到
n
.
⑸二项 式定理表示一个恒等式,对于任意的
a,b
,该等式都成立.通过对
a,b
取 不同的特殊值,可给某些问题的解决带来方便.
令
a
122nn< br>x?C
n
x???C
n
x
；
?1,b?x
,则得到一个比较常用的公式:
(1?x)
n
?1? C
n
012n
?C
n
?C
n
???C
n< br>；
?1,b?1
,则得到一个组合数恒等式:
2
n
?C
n
若令
a
2.二项展开式的通项
rn?rr
二项展开式的第
r?1< br>项
T
r?1
?
C
n
ab(r
?
0, 1,2,
?
n)
叫做二项展开式的通项.
rr?1
【注意】
⑴它表示二项式展开的第
r?1
项,该项的二项式系数是
C
n
,而 不是
C
n
;
⑵字母
b
的次数和组合数的上标相同;
⑶
a
与
b
的次数之和为
n
;
⑷
n
是常量,
r?0,1,2,?,n
是变量;
⑸公式中第一个量
a
与第二个量
b
的位置不能颠倒;
⑹整理通项时,一般要将通项中的系数和字母分开整理;
⑺它体现了二项展开式的项数、系数 、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着
广泛的应用.
3.二项式系数的性质
一般地,

(a?b)
展开式的二项式系数
C
n
,C
n
,C
n
?C
n
有以下 性质
1
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n
012n

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rr?1r
rn?r
⑴
C
n
?C
n
;⑵
C
n
?C
n
?C
n?1
;
n?1n?1
r?1rr?1r
⑶当
r?
时,
C
n
?C
n
;当
r?
,
C
n
?C
n
,即当
n
为偶数时,二项式系数中,
C
n
2
最大;当
n
为奇数时,
22
二项式系数中,
C
n?1
2
n
和
n
C
n?1
2
（两者相等）最大.
n
012nn
⑷
C
n
?C
n
?C
n
???C
n
? 2
；
0213n?1
⑸
C
n
?C
n
?? ?C
n
?C
n
???2
,即
二
项式展开式奇数项系 数的和等于偶数项系数的和,

二、金典题型
题型一:通项公式的应用
求二项式展开式中的有理项,一般是根据通项公式所得到的项,其所有的未知数的指数恰好都是整数的项,解这种
类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据整数的整除性求 解.若求二项展
开式中的整式项,则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一 致.
1
??
【?例1】已知在
?
3
x?
3
?
的展开式中,第6项为常数项.
2x
??
⑴求
n
;⑵ 求含
x
的项的系数;⑶求展开式中所有的有理项.





点评:解此类问题可以分两步完成:第一,根据所给出的条件（待定项）和通项公式,建立方 程来确定指数（求解时要注意二项式系数中
2
n
n
和
r
的隐 含条件（
n
,
r
均为非负整数,
n?r
））;第二,根据所 求的指数,再求所求解的项.
1
??
【?例2】若
?
x?
?
展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为（ ）
x
??

2
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n

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题型二:系数最大值问题
?
t
r?1
?t
r
t
在求展开式中系数最 大项时,可设第
r?1
项的系数为
r?1
最大,则利用
?
, 解不等式组即可得出.
t?t
?
r?1r?2
【?例3】已知
?< br>x
3
2
?3x
2
展开式各项系数和比它的二项式系数和大99 2.
?
n
⑴求展开式中二项式系数最大项; ⑵求展开式中系数最大项.



点评:应注意区分项的系数和二项式系数两个概念.在求项的系数和时,常采用赋 值法,求项的系数时,用
T
r?1
来求,而二项式系数能直
接写出.
【变式训练】
1.

?
1?2x
?
的展开式中第 6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
n





题型三:赋值法的应用
对形如
?
ax?b
?
、
ax
2
?bx?c
n
n
??
m
(a,b,c?R)
的式子求其展开式的
各项系数之和,常采用赋值法,

只需令
x?1
即可;对
?
ax?by
?< br>(a,b?R)
的式子求其展开式各项系数之和,只需令
x?y?1
即可.
3
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【?例4】已知
?
1?2x
?
?a
0
?a
1
x?a
2
x
2
???a
7
x
7
.
7
⑴求
a
1
?a
2
???a
7
;⑵
a
1
?a
3
?a
5
?a
7
;⑶
a
0
?a
2
?a
4
?a
6
;⑷
|a
0
|?|a
1
|?|a
2
|???|a
7
|
.



【变式训练】
1
??
2.对于?
2x?
?
的展开式,求⑴求各项系数之和;⑵奇数项系数之和;⑶偶数项系数之 和.
2x
??
12
三、基础落实
1
??
1.二 项式
?
x
2
?
?
展开式中,
x
的系数为（ ）
x
??
2
??
2.如果
?3x
3
?
2
?
的展开式中含有非零常数项,则正整数
n
可能是（ ）
x
??
n
5
?1
?
3.已知
?
?x
?
的展开式中只有第四项的二项式 系数最大,则展开式中的常数项等于（ ）
?
x
?
1
??
4.若
?
3x?
?
展开式中各项系数之和为64,则展开式的常 数项为（ ）
x
??
?
x1
?
5.在
?
?
?
的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式的常数项为（ ）
3
2
x
??
2
??
6.在
?
x?
?
的二项展开式中,若常数项为60,则
n
等于（ ） D12
x
??
n
n
n
n
1
??
7. < br>?
mx?
?
的展开式中
x
3
的系数为15.则
m
的值为 .
x
??
8.若
C
3n?1
27
6
?C
n?6
27
2
??
( n?N)
,则
?
x?
?
的展开式中的常数项是 .（用数字作答）
3
x
??
*
n
4
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?
ax
?
?
的展开式中,
x
3
的系数为
4
,则常 数
a
的值为 . 9.已知
?
?
?
x2
?
9
??
6
5
10.
(1?2x)
展 开式中,所有项的系数之和为 ;
(1?x)(1?2x)
展开式中
x
的系数为 .
36
9
四、课堂小结与作业
i
1.“各项的二项式系数”是指C
n
(i
?
0,1,2,
?
,n)
,而“某项 的系数”是指这一项的所有的系数;只有当字母的系数为1
时,某项的二项式系数与某项的系数才是相等 的.
n012n
2.二项式系数之和为
2?C
n
?C
n< br>?C
n
???C
n
;各项系数之和是每项的所有系数之和.
3.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时根据题意给字母赋值是求解的重要方法之一. rn?rr
4.注意
T
r?1
?C
n
ab
表示 的是二项式展开式中的第
r?1
项,而非第
r
项,此式为二次展开式的通项.
【作业】见复印件
5
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