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高中数学相关定理及证明

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 00:59
tags:高中数学定理

高中数学教师个人科研发展计划-高中数学用不用先修

2020年9月21日发(作者:单思恭)



高中数学相关定理、公式及结论证明

汉阴中学
正弦定理证明
内容:在
?ABC
中,
a,b,c
分别为角
A,B,C
的对边,则
abc

??.
sinAsinBsinC
证明: 1.利用三角形的高证明正弦定理
(1)当
?
ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,
根据锐角三角 函数的定义,有
CD?bsinA
CD
?
a
sin
B

由此,得
a
同理可得
c

sin
A
?
b
sin
B

sin
C
?
b
sin
B
故有
a
?
b
s in
A
sin
B
?
c
sin
C
.
从而这个结论在锐角三角形中成立.
(2)当
?
ABC是钝角三角形时,过点C作AB边上的高,
交AB的延长线于点D,根据锐角三角函数的定义,

CD
?
a< br>sin?
CBD
?
a
sin?
ABC

CD ?bsinA


由此,得
a
?
b
同理可得
cb
sin
A
sin?
ABC

sin
C
?
sin?
ABC

故有
a
sin
A< br>?
b
sin?
ABC
?
c
sin
C
.
(3)在
Rt?ABC
中,
sinA?
ab
c
,sinB?
c
,

?
ab
sinA
?
sinB
?c

< br>?C?90?,sinC?1.
?
a
sinA
?
b
s inB
?
c
sinC
.

由(1)(2)(3)可知,在< br>?
ABC中,
a
c
sin
A
?
b
s in
B
?
sin
C
成立.
2.外接圆证明正弦定理 < br>在△
ABC
中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△
ABC
的外 接圆,
O
为圆心,
连结
BO
并延长交圆于
B′
, 设
BB′
=2R.则根据直径所对的圆周
角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到

BAB′
=90°,∠
C
=∠
B′

∴sin
C
=sin
B′
=
sinC?sinB
?
?
c
2R
.
c
?2R
.
sinC
同理,可得
a
sinA
?2R,
b
sin B
?2R
.∴
a
sinA
?
b
sinB
?
c
sinC
?2R
.

3.向量法证明正弦定理
1

C
b a
A
D
B
C
b
a
A
B
D





OC'?ACcos(A?90)?bsinA
OC'?BCsinB?asinB


asinB?bsinA

ab
cb
??
sin
A
sin
B
同理
sin
C
sin
B

c
ab
故有
?
?
sin
A
sin
B
sin
C
.
余弦定理证明
内容:在
?ABC
中,
a,b,c
分别为角
A,B,C
的对边,则
?
a2
?b
2
?c
2
?2bccosA
?
222< br>?
b?a?c?2accosB

?
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
?
证明:如图在
?ABC中,
a
2
?a?BC?(AC?AB)(AC?AB)

22
?AC?2AC?AB?AB

2
22
?AC?2AC?ABcosA?AB
22
2


?b?c?2bccosA

2 22
?
a?b?c?2bccosA
222
?
?
2
?
a?b?c?2bccosA
22
同理可证:
?
2
所以
b?a?c?2accosB

?
22
?
?
c ?a?b?2abcosC
?
c
2
?a
2
?b
2< br>?2abcosC
?
数列部分
内容:
?
a
n
?
是等差数列,公差为
d
,首项为
a
1

Sn
为其
n
前项和,则
S
n
?a
1
n?
证明:由题意,
S
n
?a
1
?(a
1
? d)?(a
1
?2d)?.......?(a
1
?(n?1)d)

反过来可写为:
S
n
?a
n
?(a
n
?d)?(a
n
?2d)?.......?(a
n
?(n?1)d)

①+②得:2
S
n
?a
1
?n?a
1
?n.......?a
1
?n

n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
d?
< br>22
???????????
n个
所以,
S
n
?n(a
1
?a
n
)
③,
2
2




a
n
?a
1
?(n? 1)d
代入③中,得
S
n
?a
1
n?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
d?

22
?
na
1
,(q?1)
?
内容:
?
a
n?
是等比数列,公比为
q
,首项为
a
1

S< br>n
为其
n
前项和,则
S
n
=
?
a< br>1
?a
n
q
a
1
(1?q
n
)
?
1?q
?
1?q
,(q?1)
?
证明:< br>S
n
?a
1
?a
1
q?a
1
q2
?.......?a
1
q
n?1


qS
n
?a
1
q?a
1
q
2
?a
1
q
3
?.......?a
1
q
n

a
1
?a
1
q
n
a
1
(1?q< br>n
)
①—②得:
(1?q)S
n
?a
1
?a
1
q
, 当
q?1
时,
S
n
?

?
1?q1?q
n

a
n
?a
1
q
n?1
代入③ 中,得
S
n
?
a
1
?a
n
q

q?1
时。很明显
S
n
?na
1

1? q
?
na
1
,(q?1)
?
所以,
S
n< br>=
?
a
1
?a
n
q
a
1
( 1?q
n
)

?
1?q
?
1?q
,(q?1)
?
























3



立体几何部分
三垂线定理及其逆定理
内容:在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平 面内的射影垂直,那么它也和这条斜线
垂直。
证明:已知:如图(9),直线
l
与平面
?
相交与点A,
l

?
上的射影OA垂 直于
a,a?
?

求证:
l

a

证明: 过P作PO垂直于
?

∵PO⊥α
∴PO⊥
a


a
⊥OA ,PO∩OA=O

a
⊥平面POA

a

l

求证:如果一条直线与一个平面平行,那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行.
如图所示:已知a
?
,a在平面
?

?
?
?
=b,

求证:ab.

证明a
?
,
?a和
?
没有公共点,
又b在
?
内,
?a和b也没有公共点,
而a和b都在
?
内,a和b也没有公共点,

?ab.

求证:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.
如图所示:已知
??
,
?
?
?
?a,
?
?
?
?b.
求证:ab.

证明:a和b分别在平面
?

?


??

?a和b不相交,
又a和b都在平面
?
内,

?ab.

求证:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
如图所示:已知
?
?
?
,
?
?
?
=MN,
AB在
?
内,AB?MN于B点。
求证:AB?
?
.
则?ABC是二面角
?
-MN-
?

平面角,

?
?
?
,??ABC =90,
? AB?BC
又AB?MN,
?AB?
?

4


证明:在平面
?
内做直线BC?MN,



求证:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. < br>如图所示:已知a?
?
,b?
?
,垂足
分别为A、B.
求证:ab.
证明:假设a和b不平行,
过B点作a的平行线b'
由异面直线垂直定义,b'与平面
?
内过
点A的任意直线都垂直,也即有b'?
?

bb'?B,故直线b'与b与确定一个平面,记
?


??
=l,在平面内, 过B点有且仅有一条
直线垂直于l,故直线b'与b重合,

所以a?b.
点到直线距离公式证明
内容:已知直线
l:Ax?By?C?0,直线外一点
M(x
0
,y
0
).
则其到直线
l
的距离为
d?
Ax
0
?By
0
?C

A
2
?B
2


向量法
?By?
证:如图,设直线
l:Ax
|x1
?x
0
?
C?0(A?0,B?0)
一个法向量
n? (1,
B
)
,Q直线上任意一点,的
A
B
(y
1< br>?y
0
)|
|A(x?x)?B(y?y)|
|n?PQ|
1 010
A
d???
222

|n|
BA?B
1?
2
A
|Ax
1
?By
1
?Ax
0
?By
0
||Ax
0
?By
0
?C|
P点在直线l 上,?Ax
1
?By
1
?C?0,从而d??
A
2
?B
2
A
2
?B
2





y
P
n

Q
y
P
Q
l
l'
x







定义法
证:根据定义,点P到直线

l
的距离是点P到直线

l
的垂线段的长,如图1,
l
x
图1
设点P到直线
l
的垂线为

l
'
,垂足为Q,由

l
'
?l
可知

l
'
的斜率为

?l
'
的方程:
y?y
0
?
B

A
B
(x?x
0
)

l
联立方程组 A
B
2
x
0
?ABy
0
?ACA
2< br>y
0
?ABx
0
?BC
解得交点
Q(,)

A
2
?B
2
A
2
?B
2
5



B
2
x
0
?ABy< br>0
?ACA
2
y
0
?ABx
0
?BC
2
|PQ|?(?x
0
)?(?y
0
)
2
222 2
A?BA?B
|Ax
0
?By
0
?C|

?A
2
x
0
?ABy
0
?AC
2
?B< br>2
y
0
?ABx
0
?BC
2
?PQ|??()?()
A
2
?B
2
A
2
?B
2
A
2
?B
2
A
2
(Ax
0
?By
0
?C)
2
B
2
(Ax
0
?By
0
?C)
2
(Ax
0
?By
0
?C)
2< br>???
(A
2
?B
2
)
2
(A
2< br>?B
2
)
2
A
2
?B
2
2
平行向量定理
内容:若两个向量(与坐标轴不平行)平行,则它们相应的坐标成比例;若两个向量相对 应的坐标成比例,则
两向量平行。
证明:设
a,b
是非零向量,且
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
)


ab
,则存在实数
?
使
a?
?b
,且由平面向量基本定理可知
x
1
i?y
1
j??
(x
2
i?y
2
j)?
?
x
2i?
?
y
2
j.

?x
1
?
?
x
2
①,
y
1
?
?
y
2
② ①
?y
2
?

?x
2
得:
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
< br>若
y
1
?0,y
2
?0
(即向量
a,b不与坐标轴平行)则
平面向量基本定理
内容:如果
e
1
,e< br>2
是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任意一向量
a
,存 在唯一一对
实数
?
1
,
?
2
,使得
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
.

证明:如图过平面内一点O,作
OA?e
1
,OB?e
2
,OC?a
,过点C分别作直
线OA和直线OB的平行线,交OA于点M,交OB于点N,有且只有一组实数,使

OM?
?
1
OA,ON?
?
2
OB

B
x
1
x
2

?
y
1
y
2
?OC?OM?ON
?OC?
?
1
OA?
?2
OB

a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
.


e
2
N
a
O
M
e
1
C
A
共线向量定理
内容:如 图A,B,C为平面内的三点,且A,B不重合,点P为平面内任一点,若C在直线AB上,则有
PC?
?
PA?(1?
?
)PB

证明:由题意,
BC< br>与
BA
共线,
?BC?
?
BA

A
C
BC?PC?PB,BA?PA?PB
?PC?PB?
?
(PA?PB)

B
P
化简为:
PC?
?
PA?(1?
?
) PB


6



柯西不等式:

a

b

c

d
为实数,则< br>(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)? (ac?bd)
2

|ac?bd|?a
2
?b
2

证法:(综合法)
(a
2
?b
2
)(c
2< br>?d
2
)?a
2
c
2
?a
2
d2
?b
2
c
2
?b
2
d
2


?(ac?bd)
2
?(ad?bc)
2
?(ac?bd)
2
.
证法:(向量法)设向量< br>m?(a,b)

n?(c,d)
,则
|m|?a
2
?b
2

|n|?c
2
?d
2
.
∵ < br>m?n?ac?bd
,且
mn?|m||n|cos?m,n?
,则
| mn|?|m||n|
. ∴
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2

诱导公式
公式:
c
2
?d
2

sin( ?
?
)?-sin
?
cos(?
?
)?cos
?< br>
tan(?
?
)??tan
?
如图:

?
的终边与单位圆(半径为单位长度1的园)交
于点P(x,y),则角-
?
的终边与单位圆的交点必为
P?(x,-y).由正弦函数、余弦函数的定义,即可得
sin
?
=y, cos
?
=x, sin(-
?
)=-y, cos(-
?
)=x,
所以:sin(-
?
)= -sin
?
, cos(-
?
)= cosα
由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的-
?
诱导公式。
公式:
P(x,y)
y
?
M
O
?
?
x
P ′(x,-y)
(4-5-2)
?-sin
?

cos(
?
?
?
)?-cos
?
< br>sin(
?
?
?

?
?
?
)?ta n
?

tan(

它刻画了角180?+
?
与角
?
的正弦值(或余弦值)
P(x,y )
M
y
之间的关系,这个关系是:以角
?
终边的反向延长线
为终边的角的正弦值(或余弦值)与角
?
的正弦值(或
圆交于点P( x,y),则角
?
终边的反向延长线,即
180?+
?
角的终边与单位圆的交点必为P?(-x,-y)(如图4-5-1).
由正弦函数、余弦函数的定义,即可得sin
?
=y, cos
?
=x,
sin(180?+
?
)=-y, cos(180?+
?
)=-x,
所以 :sin(180?+
?
)=-sin
?
,cos(180? +
?
)=-cos
?

由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的诱导公式。
相应诱导公式
180
?
?
?
?
M′
x
P′(-x,-y)
O
(4-5-1)
公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin(2kπ+α)=sinα k∈z cos(2kπ+α)=cosα k∈z tan(2kπ+α)=tanα k∈z
公式二:sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα
公式三:sin(-α)=-sinα
公式四: 利用公式二和公式三可以得到π- α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα
公式五: 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα
公式六: π2±α与α的三角函数值之间的关系:
7



sin(π2+α)=cosα cos(π2+α)=-sinα tan(π2+α)=-cotα
sin(π2-α)=cosα cos(π2-α)=sinα tan(π2-α)=cotα

两角差的余弦公式证明
如图在单位圆中设P(cos
?
, sin
?
),Q(cos
?
,sin
?

则:< br>OP?OQ?OP?OQcos(
?
?
?
)?cos(
??
?
)

?
OP?OQ?cos
?
cos?
?sin
?
sin
?


?
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
? sin
?
sin
?

两角和的余弦公式证明
co s(
?
?
?
)?cos
?
?
?(?
?)
?


两角和(差)的正弦公式证明
内容:
sin(
?
?
?< br>)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
,sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

证明:
sin(
?
?
?
)?cos[
?
2
?(
?
?
?
)]?cos[(
?
2
?
?
)?
?
] ?cos(
?
2
?
?
)cos
?
?sin(
?
2
?
?
)sin
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

sin(
??
?
)?cos[
?
2
?(
?
?
?< br>)]?cos[(
?
2
?
?
)?
?
]?co s(
?
2
?
?
)cos
?
?sin(
?< br>2
?
?
)sin
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

两角和(差)的正切公式证明
tan
?
?tan
?

tan
?
?tan
?
,内容:
tan(
tan(
?
?
?
)?
?
?
?
)?
1?tan
?
tan
?
1?tan
?
tan
?
证明:
sin
?
cos
?
cos
?
sin
?
?
tan
?
?tan
?

sin(
?
?
?
)sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
cos
?< br>cos
?
cos
?
cos
?
tan(
??
?
)????
1?tan
?
tan
?
cos (
?
?
?
)cos
?
cos
?
?sin< br>?
sin
?
cos
?
cos
?
sin
?
sin
?
?
cos
?
cos
?
cos
?
cos
?

sin
?
cos
?
cos
?
sin
?
?
tan
?
?tan
?

sin(
?
?
?
)sin
?
cos?
?cos
?
sin
?
cos
?
cos
?
cos
?
cos
?
tan(
?
?
?< br>)????
1?tan
?
tan
?
cos(
?
?
?
)cos
?
cos
?
?sin
?
s in
?
cos
?
cos
?
sin
?
sin
?
?
cos
?
cos
?
cos
?
cos
?

8

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