重点高中数学公式定理汇总

重点高中数学公式定理汇总

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2

高中公式定理
必修1
1.元素与集合的关系

x?A?x?C
U
A;x?C
U
A?x?A

2.德摩根公式

C
U
(A?B)?C
U
A ?C
U
A;C
U
(A?B)?C
U
A?C
U
A

3.包含关系（U为全集时）

A?B?A?A?B?B?A?B ?C
U
B?C
U
A?A?C
U
B??

4.容斥原则
card(A?B)?cardA?cardB?card(A?B)

card(A?B?C)?cardA?cardB?cardC?card(A?B)?card(B ?C)

?card(C?A)?card(A?B?C)
5.集合
?
a
1
,a
2
,...,a
n
?
的子集个数共有< br>2
n
个；真子集有
2
n
?1
个；非空子集
2
n
?1
；非空真子集有
2
n
?2
个。
6. 二次函数解析式的三种形式
（1）一般式
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0);

（2）顶点式
f(x)?a(x?h)
2
?k(a?0);

（3）零点式
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0) .

7. 指数运算性质
（1）
a
r
a
s
?a
r?s
(a?0,r,s?Q)

（2）
(a
r)
s
?a
rs
(a?0,r,s?Q)

（3）
(ab)
r
?a
r
b
r
(a?0,b?0,r?Q)
8.对数运算性质
3

如果
a?0,
且
a?1,M?0,N?0,
那么
（1）< br>log
a
(M?N)?log
a
M?log
a
N
（2）
log
a
(
M
)?log
a
M?log
a
N

N
（3）
log
a
M< br>n
?nlog
a
M(n?R)

（4）换底公式
log
b
N?
（5）常用推论
n
n
log?log
a
b

m
b
a

log
c
a?log
a
c?1

log
a
b?log
b
c?log
c
a?1

m
log
c
N
(b?0,且b?1;c?0,且c?1;N?0).

log
c
b
9.函数零点的存在性定理
一般地 ，我们有：
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
上的图象是连续 不断的一条
曲线，并且有
f(a)?f(b)?0
，那么，函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
内有零点，
即存在
c?(a,b),
使得
f(c)?0
，这个
c
也就是方程
y?f(x)
的根。

必修2
1.圆柱，圆锥，圆台表面积

底面面积
侧面面积
表面积

4

圆柱
s
底
?
?
?r
2

圆锥
s
底
?
?
?r
2

圆台
s
上底
?
?
?r
1

s
下底
?
?
?r
2

2
2
s
侧
?2
?
?rl

s
侧
?
?
?rl

s
侧
?
?
l(r
1
?r
2
)

s
表
?
?
（r
1
2
?r
2
2
?lr
1< br>?lr
2
)
s
表
?2
?
?r（r?l)
s
表
?
?
?r（r?l)

2.柱体、椎体、台体的体积
柱体：
V
柱体?S
底
h；V
圆柱
?
?
?r
2
h
11
2
V?Sh；V?
?
?rh

锥体底圆锥
椎体：
33

圆台：
1
1
V
台体
?（S
上底
?S
上底
S
下底
?S下底
）h；

V?
?
h(r
1
2
?r
2
2
?r
1
r
2
)

3
圆台
3
3.平面的基本性质
（1）公理
a.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平
面内。
b.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
c.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一
条过该点公共直线。
d.平行于同一直线的两条直线互相平行。
（2）三个推论
经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
经过两条相交直线，有且只有一个平面。
经过两条平行直线，有且只有一个平面。
4.等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互
补。
5.异面直线判定定理
连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点
5

的直线是异面直线。
6.直线与平面平行的判定定理
平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平
行。
7.平面与平面平行判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平
行。
8.面面平行判定的推论
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条
相交直线，则这两个平面平行。
9.直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的
交线与该直线平行。
11.平面与平面平行性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平
行。
12.直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平
面垂直。
13.平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个直线垂直。
14.直线与平面垂直的性质定理
6

垂直于同一个平面的两条直线平行。
15.面面垂直性质定理：
两个平面垂直，则平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
16.两直线平行与垂直的判定
平行：
l
1
l
2
?k
1
?k
2

垂直：
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1

17.直线方程
点斜式：
y?y
0
?k(x?x
0
)

斜截式：
y?kx?b

截距式：
??1

两点式：
y?y
1
x?x
1
?

y
2?y
1
x
2
?x
1
x
a
y
b
一般式：
Ax?By?C?0

18.距离公式
两点间距离 公式：
p
1
p
2
?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2

点到 直线距离公式：
d?
Ax
0
?by
0
?C
A?B< br>22

两平行直线间距离公式：
Ax?By?C
1
?0

Ax?By?C
2
?0

d?
C
1
?C
2
A?B
22

19.圆的方程
(x?a)
2
?(x?b)
2
?r
2

20.点与圆的位置关系
圆上
?(x?a)
2
?(x?b)
2
?r
2

7

圆内
?(x?a)
2
?(x?b)
2
?r
2

圆外< br>?(x?a)
2
?(x?b)
2
?r
2

21.直线与圆位置关系
相交
?d?r

相切
?d?r

相离
?d?r
必修3
1.古典概型：
（1）试验中所有可能出现的基本件只有有限个；
（2）每个基本事件出现的可能性事
（3）相等。
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概
型。
2.数据的数字特征：
（1）众数：一组数据中，出现次数最多的数据叫作众数；
（2）中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序依次排
列，当数据有奇数个时， 处在最中间的那个数是这组数据的中位
数；当数据有偶数个时，处在最中间的两个数的
据的中位数；
（3）平均数：一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是平均数，
记作：
x?< br>1
?
x
1
?x
2
?????x
n
?
。
n
8


平均数是这组数

（4）标准差：
s?
1
n
n
22
1
x1
?x?x
2
?x?????x
n
?x
n
?< br>??????
?
。
2
1
?x
?
2
?
?
x?x
?
2
????
?
x?x
?2
。
2
（5）方差：
s
s
2
?
?< br>?
x
x
12n
1
?x?x
2
?x????x
n
?x
222
??
3.三种抽样方式：
（1）简单随机抽样的特点：
①总体个数
N
是有限的；
②每个个体被抽到的可能性相同，都是
n
；
N
③样本是从总体中逐个抽取的，即一个一个的抽取；
④是一种不放回抽样，即不可能先后抽取到同一个个体。
（2）系统抽样的特点：
①适用于总体容量
N
较大的情况；
②剔除多余个体，在第1段抽样用简单随机抽样；
③等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是（
n
为样本容量）。
（3）分层抽样：
①特点：
a.
适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；
n
N
b.
利用事件先掌握的信息，更充分的反映了总体情况；
c.
等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等。
②步骤：
a.
分层求抽样比：确定抽样比
k?
n
；
N
b.
求各层抽样数：按比例确定每层抽取个体的个数
n
i
?N
i
?k
；
c.
各层抽样：各层分别用简单随机抽样或系统抽样抽取个体；
d.
组成样本：综合每层抽取的个体，组成样本。
9

4.几何概型：
在几何概型中，事件
A
的概率的计算公式如下：
P
?
A< br>?
?
构成事件A的区域长度（面积或体积）
。
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
5.概率的基本性质：
（1）概率
P
?
A
?
的取值范围：任何事件的概率在
0~1
之 间，即
0?P
?
A
?
?1
；
（2）概率的加法公 式：如果事件
A
与事件
B
互斥，则
P
?
A?B?
?P
?
A
?
?P
?
B
?
；
（3）对立事件的概率公式：若事件
A
与事件
B
为对立事件，则P
?
A
?
?P
?
B
?
?1
。
6.回归方程：
（1）回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线
附近，就称这两个变量 之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归
直线；
（2）利用回归方程对总体进行估计：利用回归直线，我们可以进行
预测。若回归方程为
必修4
1.三角恒等变换：
（1）
sin
?
?sin< br>?
?2sin
?
?
?
?
?
?bx
0
?a
。
y?bx?a
，则在
x?x
0
处的估计值为
y


cos
?
?
?
22
??
??
?
?
sin
（2）
sin
?
? sin
?
?2cos
；
22
?
?
??
?
?
cos
（3）
cos
?
?cos
?
?2 cos
；
22
10

；

（ 4）
cos
?
?cos
?
??2sin
?
?
?
2
sin
?
?
?
2
；
1
2
1
（6）
cos
?
sin
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?
?
?
?
；
2
1
（7）
cos
?
cos
?
?
?
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
?
?
； < br>2
1
（8）
sin
?
sin
?
??
?
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
?
?
；
2
（5）
sin
?
cos
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?
?
?
?
；
（9）
sin
?
?
2tan
?
2
； 1?tan
2
?
2
（10）
cos
?
?
1?tan
2
1?tan
2
2tan
?
?
2；
2
?
2
。 （11）
tan
?
?
1?tan
2
?
2
2.和、差、倍、半角的三角函数：
（1）和（差）角公式：
①
sin
?
?
?
??
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin?
；
②
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
③
tan
?
?
?
?
?
?
ta n
?
?tan
?
。
1?tan
?
tan
?
（2）倍角公式：
①
sin2
?
?2sin
?
cos
?
；
②
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2< br>?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
；
③
tan2
?
?
2tan
?
。
1?tan
2
?
（3）半角公式：
11

①
tan
?
2
?
1?cos?
sin
?
；
?
sin
?
1?cos
?
②
sin
?
?
2tan
?
2
； 1?tan
2
1?tan
2
1?tan
2
?
2
?
?
2
。
2
③
cos
?
?
3.平面向量的数量积：
（1）交换律：
a?b?b?a
；
??????
（3）分配率：< br>?
a?b
?
?c?a?c?b?c
；
（4）
cos
?
?
a?b
a?b
（2）结合律：
?
a?b??
a?b?a?
?
b
；
，
a?b?0
；
（5）
a?b?a?b
；
（6）若
a?
?
x,y
?
，则有
a?x
2
?y
2
，或
a?x2
?y
2
。
4.同角三角函数的基本关系：
（1）平方关系 ：
sin
2
?
?cos
2
?
?1
；
（2）商的关系：
tan
?
?
sin
?
；
cos
?
2
（3）其他形式：
sin
2
?
?1? cos
2
?
，
cos
2
?
?1?sin
2
?
，
sin
?
?cos
?
tan
?
，

cos
?
?
sin
?
。
tan
?
5.三角函数的诱导公式：
（1）公式一：当
k?Z
时，
sin
?
?
?2k
?
?
?sin
?
；
cos
?
?
? 2k
?
?
?cos
?
；
tan
?
?
?2k
?
?
?tan
?
。
（2）公式二：
s in
?
?
?
?
?
??sin
?
；
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
；
tan
?
?
?
?
?
?tan
?
。
12

（3）公式三：
sin
??
?
?
??sin
?
；
cos
?
?< br>?
?
?cos
?
；
tan
?
?
?< br>?
??tan
?
。
（4）公式四：
sin
??
?
?
?
?sin
?
；
cos
??
?
?
?
??cos
?
；
tan
?< br>?
?
?
?
??tan
?
。
（5）公式五：
?
?
??
?
?
sin
?
?
??
?cos
?
；
cos
?
?
?
??sin
?
。
?
2
??
2
?
（6）公式六：
?
???
?
?
sin
?
?
?
?
?cos< br>?
；
cos
?
?
?
?
??sin
?
。
?
2
??
2
?
6.平面向量的坐标运算： < br>（1）加减法：
a?b?
?
x
1
?x
2
,y ?y
2
?
；
1
（2）数乘向量：
?
a?
?
?
x
1
,y
1
?
?
?
?
x
1
,
?
y
1
?
；
（3）数量积：< br>a?b?a?bcos
?
?x
1
x
2
?y
1
y
2
；
（4）模：
a?a?x
1
2
?y
1
2
；
（5）夹角：
cos
?
?
a?b
a?b
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x
1
?y
1
22
2
x
2
?y
2
22
。
7.函数
y?Asin
?
?
x?
?
?
图像的基本变换：
（1）先平移后伸缩：
?
个单位
????????函数
y?sin
?
x?
?
?
的图像 函数
y? sinx
的图像
?
向左（右）平移
1
横坐标变为原来的倍，纵坐标不 变
?
???????????
函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图像
A倍，横坐标不变
?
纵坐标变为原来的< br>??????????
函数
y?Asin
?
?
x?
?
?
的图像。
（2）先伸缩后平移：
13

?
函数
y?sinx
的图像
?????? ?????
函数
y?sin
?
x
的图像
1
横坐标 变为原来的倍，纵坐标不变
?????????
函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图像
A倍，横坐标不变
?
纵坐标变为 原来的
??????????
函数
y?Asin
?
?
x?< br>?
?
的图像。
向左（右）平移
?
个单位
?
8.向量的有关概念：
（1） 向量的长度或模：向量
AB
的大小，也就是向量
AB
的长度（或
称模 ），记作
AB
。
（2）零向量：长度为0的向量叫作零向量，记作
0
。
（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，叫作单位向量。
（4）相等向量：长度相等且方 向相同的向量叫作相等向量。向量
a
与
b
相等，记作
a?b
。
（5）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫作平行向量。向量
a
与
b
平行，记作
ab
。 我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任意
向量
a
，都有
0a
。
（6）共线向量：任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，
平行向量也叫作共线向 量。
9.弧长公式、扇形的面积公式：
11
l?ar
，
S
扇形
?lr?ar
2
。其中
l
为弧长，
r
为圆的 半径，
a
为圆心
22
角的弧度数。
必修5
1.数列的通项公式与前n项和的关系:

a
n
=

( 数列{
a
n
}的前n项和为
s
n
?a< br>1
?a
2
???a
n
) .
14
?
s,n?1
s
n
?s
n?1
,n?2

2.等差数列的通项公式：
a
n
?a
1< br>?(n?1)d
；
其前n项和公式为：
s
n
?
n( a
1
?a
n
)n(n?1)d1
?na
1
?d?n
2
?(a
1
?d)n
.
2222
3.等比数列的 通项公式:
a
n
?a
1
q
n?1
?
其前n 项和公式为：
s
n
?
a
1
n
?q(n?N
?
)(q?0);

q
?
a
1
(1?q
n
)
,q?1,
1?q
na
1,
q?1
或
s
n
?
?
a
1
?a
n
q
,q?1,
1?q
na
1
,q?1.

4.若
m、n、p、 q?N,
且
m?n?p?q,
那么，当数列{
a
n
}是等差 数列时，有
a
m
?a
n
?a
p
?a
q;
当数列{
a
n
}是等比数列时，有
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
.

5.等差数列{a
n
}中，若
s
n
?10,s
3n
?30,s
3n
?60.

6.等比数列{
a
n
}中，若s
n
?10,s
2n
?30,则s
3n
?70;

7.正弦定理及正弦定理与外接圆半径的关系：
a
sinA
?
b
sinB
?
c
sinC
?2R;

a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC
;
sinA?
a
2R
,sinB?
b
2R
,sinC?
c
2R;

a:b:c?sinA:sinB:sinC;

a?b?c
?2R;

sinA?sinB?sinC
正弦定理与面积公式：
8.余弦定理：
a< br>2
?b
2
?c
2
?2bccosA,
b
2< br>?a
2
?c
2
?2accosB,

c
2< br>?a
2
?b
2
?2abcosC.
11
s
A BC
?
1
2
absinC?
2
bcsinA?
2< br>acsinB,

15

b
2< br>?c
2
?a
2
cosA?,
2bc
a
2?c
2
?b
2
cosB?,

2ac
a
2
?b
2
?c
2
cosC?.
2ab
选修1-1
1.四种命题的真假性之间的关系：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
2.若
p?q，则
p
是
q
的充分条件，
q
是
p
的必 要条件．
若
p?q
，则
p
是
q
的充要条件（充分 必要条件）．
3.逻辑联结词：⑴且(and) ：命题形式
p?q
；⑵或（or）：命题形式
p?q
；
⑶非（not）：命题形式
?p
.
p

q

p?q

p?q

?p

真
真
假
假

4.椭圆的几何性质：
焦点的位
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
真
假
假
假
真
真
焦点在
x
轴上
置
焦点在
y
轴上
16

图形

标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率

5、双曲线的几何性质：
焦点的位
焦点在
x
轴上
置
焦点在
y
轴上
x
2
y
2
?
2< br>?1
?
a?b?0
?

2
ab

y
2
x
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
?a?x?a
且
?b?y?b

?b?x?b
且
?a?y?a

?
1
?
0 ,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

?
1
?
?b,0
?
、
?
2
?
b,0
?

?
1
?
?a,0
?
、
?2
?
a,0
?

?
1
?
0,?b?
、
?
2
?
0,b
?

短轴的长
?2b
长轴的长
?2a

F
1< br>?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?< br>
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴、原点对称
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?

aa
图形

标准方程
x
2
y
2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?

2
ab

y
2
x
2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?

2
ab
17

范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
渐近线方
x??a
或
x?a
，
y?R

y??a
或
y?a
，
x?R

?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a

F
1
?
?c,0
?
、< br>F
2
?
c,0
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2< br>?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?

aa
b
x

a
a
x

b
y??y??
程

5.抛物线的几何性质：
标准方
程
图形

顶点
对称轴
焦点
准线方
x??
?
p
?
F
?
,0
?

?
2
?
y
2
?2px

y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?




?
0,0
?

x
轴
?
p
?
F
?
?,0
?

?
2
?
p
??
F
?
0,
?

2
??
y
轴
p
??
F
?
0,?
?

2
??
程
p

2
x?
p

2
y??
p

2
y?
p

2
18

离心率
范围

x?0

x?0

e?1

y?0

y?0

6.过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于
?
、?
两点的线段
，即
???2p
．
??
，称为抛物线的“通径”
7.焦半径公式：
p
2
p< br>若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线< br>x
2
?2py
?
p?0
?
上，焦点为
F，则
?F?y
0
?
；
2
若点
?
?< br>x
0
,y
0
?
在抛物线
y
2
?2p x
?
p?0
?
上，焦点为
F
，则
?F?x
0
?
；
8.函数
f
?
x
?
从
x
1
到
x
2
的平均变化率：
f
?
x
2
?
?f
?
x
1
?

x
2?x
1
0
9.导数：
f
?
x
?
在点< br>x
0
处的导数记作
y
?
x?x
?f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x< br>0
)
?x
．
10.函数
y?f
?
x
?
在点
x
0
处的导数的几何意义是曲线
y?f
?
x
?
在点
?
?
x
0
,f
?
x0
?
?
处的切线的斜率．
11.常见函数的导数公式：
①
C
'
?0
；②
(x
n
)
'
?nx
n?1
； ③
(sinx)
'
?cosx
；④
(cosx)
'
??sinx
；
⑤
(a
x
)< br>'
?a
x
lna
；⑥
(e
x
)
'< br>?e
x
； ⑦
(log
a
x)
'
?
12.导数运算法则：
11
；⑧
(lnx)
'
?

xlnax
?
1
?

?
2
?
< br>?
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?f
?
?
x
?
?g
?
?
x
?
；
?
?f
?
xgx?fxg
?
xfx?gx
??
????????????
；
??< br>?
f
?
x
?
?
?
f
?
?< br>x
?
g
?
x
?
?f
?
x
?
g
?
?
x
?
?
g
?
x
?
?0
?
??
?
2
gx
??
?
?< br>3
?
??
?
g
?
x
?
?
?
．
19

13.在某个区间
?
a,b
?
内，若
f
?
?
x
?
?0
，则函数
y?f
?
x
?
在这个区间内单
调递增；
若
f
?
?
x
?
?0
，则函数
y?f?
x
?
在这个区间内单调递减．
必修1-2
1线性回归方程：
?
y?bx?a
（最小二乘法）
n
?
x
i
y
i
?nxy
?
?
i? 1
?
?
b?
n
2
其中，
?
2
x
i
?nx
?
?
i?1
?
?
?< br>a?y?bx
注意：线性回归直线经过定点
(x,y)
.
2.相关系 数（判定两个变量线性相关性）：
r?
?
(x
i?1
n
i< br>?x)(y
i
?y)
n

?
(x
i?1n
i
?x)
2
?
(y
i
?y)
2i?1
注：⑴
r
>0时，变量
x,y
正相关；
r
<0时，变量
x,y
负相关；
⑵①
|r|
越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②
|r|
接近
于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
3.条件概率
对于任何两个 事件A和B，在已知B发生的条件下，A发生的概
率称为B发生时A发生的条件概率. 记为P(A|B) , 其公式为P(A|B)
P（AB）
＝
P（A）
4相互独立事件
(1)一般地，对于两个事件A，B，如果_ P(AB)＝P(A)P(B) ，则称
A、B相互独立．
(2)如果A
1
，A
2
，…，A

n相互独立，则有P(A
1
A
2
…A
n
)＝_
P(A
1
)P(A
2
)…P(A
n
).
20

(3)如果A，B相互独立，则A与
－< br>B，
－
A与B，
－
A与
－
B也相互独立．

5．独立性检验（分类变量关系）：
(1)2×2列联表
设
A,B
为两个变量，每一个变量
都可以取两个值，变量
A:A
1
,A
2< br>?A
1
;
变量
B:B
1
,B
2
?B
1
;

通过观察得到右表所示数据：
并将形如此表的表格称为2×2列联
表．
(2)独立性检验
根据2×2列 联表中的数据判断
两个变量A，B是否独立的问题叫
2×2列联表的独立性检验．
(3) 统计量χ2的计算公式
n（ad－bc）
2
χ2=

（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）


6.复数相关结论
.(1) z=a+bi
∈
R
?
b=0 (a,b
∈
R)
?
z=
z
?
z
2
≥0；
(2) z=a+bi是虚数
?
b≠0(a,b
∈
R)；
(3) z=a+ bi是纯虚数
?
a=0且b≠0(a,b
∈
R)
?
z＋z
＝0（z≠0）
?
z
2
<0；
(4) a+bi=c+di
?
a=c且c=d(a,b,c,d
∈
R)；
7．复数的代数形式及其运算
设z
1
= a + bi , z
2
= c + di (a,b,c,d
∈
R)，则：
(1) z
1
±z
2
= (a + b)± (c + d)i；
21

(2) z
1
·z
2
= (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；
(3) z
1
÷z
2
=
(a?bi)(c?di)
?bdbc?ad
(z
≠0)
?

ac
2
?
2
i
222
(c? di)(c?di)
c?dc?d
8．几个重要的结论
(1)
(1?i)
2
??2i
；
1?i1?i
?i;??i;

1?i1?i
(2)
i< br>性质：T=4；
i
4n
?1,i
4n?1
?i,i
4 n?2
??1,i
4n?3
??i
；
i
4n
?i< br>4n?1
?i
4?2
?i
4n?3
?0;

(3)
z?1?zz?1?z?
。
9．运算律：（1）
z
m
?z
n
?z
m?n
;(2)(z
m
)
n
?z
mn
;(3)(z
1
?z
2
)
m< br>?z
1
m
z
2
m
(m,n?N);

选修2-1
1.如果闭区间
?
a,b
?
上函数
f (x)
的图像是连续曲线，且满足
f(a)f(b)?0
，
那么
f( x)
在开区间
(a,b)
内至少存在一个零点。
2.如果一条直线垂直于一个平面内两天相交直线，那么这条直线垂直
于这个平面。
3.如果两个平面平行，那么一个平面内的任何一条直线平行于另一个
平面。
?
?
4.若向量
a,b满足a?b?0,则a?b.

1< br>z
5.
结合律：(a?b)?c?c?(a?b);
交换律：a?b?b?a;

6.设
?
、
?
为实数，那么

(1)< br>?
a?a
?
(
?
?R);
(2)
?
(a?b)?
?
a?
?
b,(
?
?
?
)a ?
?
a?
?
a(
?
?R,
?
?R);
(3)(
??
)a?
?
(
?
a)(
?
?R,
?
?R).
7.空间两个向量
8.空间向量的数量积与平面向量的数量积具有同样的运算律：
22

(1)交换律a?b?b?a;
(2)分配律a?(b?c)?a?b?a?c;
< br>(3)
?
(a?b)?(
?
a)?b(
?
?R).< br>(1)a?a?a;
(2)a?b?a?b?0;
(3)cosa,b?
a?b
(a?0,b?0).
ab

9.
a与b的数量积：
a?b ?abcos
?
(
?
为a与b的夹角).

10.平面向量的坐标运算：
(1)设a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
),则a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
);
(2)设a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
),则a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
);
(3)设A? (x
1
,y
1
),B?(x
2
,y
2
), 则AB?OB?OA?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
);

?
4
?
设a?(x,y),
?
?R ,则
?
a?
?
?
x,
?
y
?
;< br>?
5
?
设a?(x
1
,y
1
),b?(x< br>2
,y
2
),则a?b?(x
1
x
2
?y< br>1
y
2
);
11.点到直线的距离：
d?PA?PA?S
O
.

22
点到平面的距离:
d?PA?n
0
.

选修2-2
1．推理与证明
（1）合情推理与类比推理：
①根据一类事物的部分对象具有某种性质，退出这类事物的所有
对象都具有这种性质的 推理，叫做归纳推理，归纳是从特殊到一般
的过程，它属于合情推理；
②根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中
一类事物具有与另外一类 事物类似的性质的推理，叫做类比推理。
23

（2）类比推理的一般步骤:
①找出两类事物的相似性或一致性；
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的
命题（猜想）；
③一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的，而是相互制
约的.如果两个事物在 某些性质上相同或相似，那么他们在另一写
性质上也可能相同或类似，类比的结论可是 真的；
④一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性
质之间越相关，那么类比得出的命题越 可靠。
（3）演绎推理（俗称三段论）：由一般性的命题推出特殊命题的过程，
这种推理称为演绎推 理。
（4）数学归纳法：
①它是一个递推的数学论证方法；
②步骤:
a.
命题在
n?1
（或
n
0
）时成立，这是递推的基础；
b.
假设在
n?k
时命题成立；
c.
证明
n?k?1
时命题也成立；
完成这三步，就可以断定对任 何自然数（或
n?n
0
，且
n?N
）结论
都成立。
（5）反证法:
??
推理
???
否①反证法的证题模式可以简要的 概括为“否定
?
定”。即从否定结论 开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到
24

新的否定，可以认为反证法的基本思想 就是“否定之否定”；
??
推导出矛②应用反证法证明的主要三步是：否定结论
?
??
结论成立。 盾
?
（6）分析法:
①所谓分析法，是指“执果索因”的思维方法，即从结论出发，
不断地去寻找需知，直 至达到已知事实为止的方法；
??
需知1
???
需知2
???②分析法的思维全貌可概括为：结论
?
已知。
（7）综合法:
①所谓综合法，是指“由因导果”的思维方法，即从已知条件出
发，不断地展开思考， 去探索结论的方法；
??
可知1
???
可知②综合法的思维过程的全貌可概 括为：已知
?
??
结论。 2
?
2．导数及其运算
（1） 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数
y?f
?
x
?
在
x?x
0
处
的瞬时变化率是
lim
f
?
x
0
??x
?
?f
?
x
0
?
，我们称它为 函数
y?f
?
x
?
在
x?x
0
处
?x?0
?x
的导数，记作
f'
?
x
?
或 y'
x?x
0
，即
f'
?
x
?
?li m
f
?
x
0
??x
?
?f
?
x< br>0
?
。
?x?0
?x
（2）导数的几何意义：曲线的切线 。通过图像，我们可以看出当
点
P
n
趋近于
P
时，直 线< br>PT
与曲线相切。容易知道，割线
PP
n
的斜率是
k
n
?
f
?
x
n
?
?f
?
x
0
?
，当点
P
趋近于
P
时， 函数
n
x
n
?x
0
n0
?x?0
y?f
?
x
?
在
x?x
0
处的导数就是
切线
PT
的斜率k
，即
k?lim
f
?
x
?
?f
?< br>x
?
?f'
?
x
?
。
x
n
?x
0
0
（3）导函数：当
x
变化时，
f'
?< br>x
?
便是
x
的一个函数，我们称它为
f
?
x
?
25

的导函数。
y?f
?
x
?
的导函数有时也记作
y'
，即
f'
?
x
?
?lim
f
?
x??x
?
?f
?< br>x
?
。
?x?0
?x
（4）基本初等函数的导数公式: < br>①若
f
?
x
?
?c
（
c
为常数）， 则
f'
?
x
?
?0
；
②若
f
?
x
?
?x
?
，则
f'
?
x
??
?
?x
a?1
；
③若
f
?
x?
?sinx
，则
f'
?
x
?
?cosx；
④若
f
?
x
?
?cosx
，则
f '
?
x
?
??sinx
；
⑤若
f
?x
?
?
?
x
，则
f'
?
x
?
?
?
x
ln
?
；
⑥若
f
?x
?
?e
x
，则
f'
?
x
?
?e
x
；
1
；
xln
?
1
⑧若
f
?
x
?
?lnx
，则
f'
?
x
?
?
。
x
x
⑦若
f
?
x
?< br>?log
?
，则
f'
?
x
?
?
（5 ）导数的运算法则：
①
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?f'
?
x
?
?g'
?
x
?
；
②
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?f'
?
x
?
?g
?
x
?
?f
?
x
?
?g'
?
x
?
；
?
?
f
?
x
?
?
f'
?
x
?
g
?
x
?
?f
?
x
?
g'
?
x
?
?③
?
。
?
2
??
gx
??
??< br>gx
??
（6）复合函数求导：
y?f
?
u
?
和
u?g
?
x
?
，称则
y
可以表示成为
x
的
函数,即
y?f
?
g
?
x
?
?
为一个复合函数，
y'?f'
?
u
?
?g'
?
x
?
?f'
?
g
?
x
?
?
?g'
?
x
?
。
3．导数在研究函数中的应用
（1）函数的单调性与导数:
一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间
?
a,b
?
内
①如果
f'
?
x
?
?0
，那么函数
y?f
?
x
?
在这个区间单调递 增；
②如果
f'
?
x
?
?0
，那么函数
y?f
?
x
?
在这个区间单调递减。
26

（2）函数的极值与导数：极值反映的是函数在某一点附近的大小
情况。
求函数
y?f
?
x
?
的极值的方法是:
①如果在
x
0
附近的左侧
f'
?
x
?
?0
，右侧
f'
?
x
?
?0
，那么
f
?
x
0
?
是极大
值；
②如果在
x
0
附近 的左侧
f'
?
x
?
?0
，右侧
f'
?x
?
?0
，那么
f
?
x
0
?
是极小
值。
（3）函数的最大(小)值与导数：
求函数
y?f
?
x
?
在
?
a,b
?
上的最大值与最小值的步骤：
①求函数
y?f
?
x
?
在
?
a,b
?
内的极值；
②将函数
y?f
?
x
?
的各极值 与端点处的函数值
f
?
a
?
，
f
?
b?
比较，其
中最大的是一个 最大值，最小的是最小值。
4．数系的扩充和复数的概念
（1）复数：形如
a?bi
（
a?R ,b?R
）的数叫做复数，
a
和
b
分别叫
它的实部和虚部；
（2）分类：复数
a?bi
（
a?R,b?R
）中，
①当
b?0
，就是实数；
②
b?0
，叫做虚数；
③当
a?0,b?0
时,叫做纯虚数。
（3）复数相等：如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复
数相等。
（4）共轭复数：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两
27

个复数互为共轭复数。
（5）复平面：建立直角坐标系来表示复数 的平面叫做复平面，
x
轴叫做实轴，
y
轴除 去原点的部分叫做虚轴。
（6）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能
比较大小。
5．复 数的运算：设
z
1
?a?bi
，
z
2
?c?di< br>（
a,b,c,d?R
）
（1）
z
1
?z
2
?
?
a?c
?
?
?
b?d
?
i
；
（2）
z
1
?z
2
?
?
ac ?bd
?
?
?
ad?bc
?
i
；
（3）
z
1
?
ac?bd
?
?
?
ad?bc?
i
?
（
z
2
?0
）。
z
2
c
2
?d
2
6．几个重要的结论：
（1）
z
1
?z
2
?z
1
?z
2
?2z
1
?z
2
；
（2）
z?z?z?z
；
（3）若
z
为虚数,则
z?z
2
。
7、乘法运算律：
（1）
z
m
?z
n
?z
m?n
；（2）
?
z
m
?
?z
mn
；（ 3）
?
z
1
?z
2
?
?z
1
n< br>?z
2
n
（
m,n?R
）。
nn
2
2
2
22
?
22
?
8、关于虚数单位
i
的一些固定结论：
（1）
i
2
??1
；（2）
i
3
??i
；（3）
i
4
?1
；（4）
i
n
?i
n?1
?i
n?2
?i
n?3
?0
。
选修2－3
1．计数原理：
（1）分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N
类办法，在第
一类办法中有
M
1
种 不同的方法，在第二类办 法中有
M
2
种不同的方
法，……，在第
N
类办法中有
M
N
种 不同的方法，那么完成这件事
28

情共有
M
1
?M
2
?????M
N
种不同 的方法。
（2）分步乘法计数原理：做一件事情，完成它有
N
类办法，在第
一类办法中有
M
1
种 不同的方法，在第二类办法中有
M
2
种不同的方
法，……，在第
N
类办法中有
M
N
种 不同的 方法，那么完成这件事
情共有
M
1
M
2
???M
N
种不同的方法。
（4）排列：从
n
个不同的元素中任取
m
（
m?n
）个元素，按照一
．．．
定顺序排成一列， 叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排
．．．
列。
（5）排列数：
A
m
?n
?
n?1
?
?? ?
?
n?m?1
?
?
n!
（
m?n,m,n?N< br>） 。
?
n?m
?
!
（6）组合：从
n
个 不同的元素中任取
m
（
m?n
）个元素并成一组，
叫做从
n
个不同 元素中取出
m
个元素的一个组合。

（7）组合数： m
A
n
n
?
n?1
?
???
?
n?m?1
?
n!
①
C?
m
?
；
?< br>A
m
m!m!
?
n?m
?
!
m
n< br>②
C
n
m
?C
n
n?m
；
③C
n
m?1
?C
n
m
?C
n
m
?1
。

（8）二项式定理：
1n?12n?22rn?rr1n
?
a?b
?
n
?C
n
0
a
n
? C
n
ab?C
n
ab?????C
n
ab????C
n
b
。

（9）二项式通项公式：
T
r?1
?C
n
r
a
n?r
b
r
（
r?0,1,??? ,n
）。
2．随机变量及其分布
（1）随机变量：如果随机试验可能出现的结果可 以用一个变量
X
来表示，并且
X
是 随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量
29

叫做随机变量。随机变量常用大写字母
X
、
?
等
Y
等或希腊字母
?
、
表示。
（2）离散型随机变量：在上面的射击、产品检 验等例子中，对于
随机变量
X
可能取的 值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机
变量叫做离散型随机变量。
（3）离散型随机 变量的分布列：一般的，设离散型随机变量
X
可能取的值为
X
1
,X
2
,???,X
i
,???X
n
，
X
取 每一个值
X
i
（
i?1,2,??????
）的概率
P?< br>?
?
?X
i
?
?P
i
，则称表为离散
型随机变量
X
的概率分布，简称分布列。

（4）分布列性质：①< br>P
i
?0
，
i?1,2,??????
；②
P
1
?P
2
????P
n
?1
。
（5）二点分布：如果随机变量X的分布列为：

其中
0?p?1
，
q?1?p
，则称离散型随机变量
X
服从参数
P
的二点< br>分布。
（6）超几何分布：一般地，设总数为
N
件的两类物品，其中一类有
M
件，从所有物 品中任取
n
（
n?N
）件，这< br>n
件中所含这类
物品件数
X
是一个离散型随机变量，则 它取值为< br>k
时的概率为
kn?k
C
M
C
N?M
（k?0,1,2,???,m
），其中
P
?
X?k
?
?
n
C
N
m?min
?
M,n
?
，且< br>n?N
，
M?N
，
n,M,N?N
*
。
（ 7）条件概率：对任意事件
A
和事件
B
，在已知事件
A
发生 的条
30

件下事件
B
发生的 概率， 叫做条件概率.记作
P
?
BA
?
，读作
A
发生的< br>条件下
B
的概率。
（8）条件概率公式：
P
?
BA
?
?
P
?
AB
?
，
P
?
A
?
?0
。
P
?
A
?
（9）相互独立 事件：事件
A
(或
B
)是否发生对事件
B
(或
A< br>)发生
的概率没有影响,这 样的两个事件叫做相互独立事件。
P
?
A B
?
?P
?
A
?
P
?
B
?
。
（10）
n
次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互
独立 的一种试验。
（11）二项分布：设在
n
次独立重复试验中某个事件
A发生的次数，
A
发生次数
?
是 一个随机变量。如果在一次试验中某事件 发生的概
率是
p
，事件
A
不发生的概率为
q?1?p，那么在
n
次独立重复试验
中
P
?
?
?k?
?C
n
k
p
k
q
n?k
，
（其中
k?0,1,??????,n
，
q?1?p
）。
于是可得随机变量
?
的概率分布如下：

这样的随机变量
?
服从二项分布，记作
?
~B
?
n,p
?
，其中< br>n
，
p
为参
数。
（12）数学期望：一般地，若离散型随机变量
?
的概率分布为

则称E
?
?x
1
p
1
?x
2
p
2
?????x
i
p
i
????
为
?
的数学 期望或平均数、均值，
数学期望又简 称为期望，是离散型随机变量。
31

（13）方差:
D
?
?
?
x< br>1
?E
?
?
2
?p
1
?
?
x
2
?E
?
?
2
?p
2
?????
?
x
n
?E
?
?
2
?p
n
叫随 机
变量
?
的均方差，简称方差。
（14）集中分布的期望与方差一览：

两点分布
二项分布
?
~B
?
n,p
?


（15）正态分布：若概率密度曲线就是或近似地是函数
f
?
x
?
?
1
2
??
期望
E
?
?p

方差
D
?
?pq,q?1?p

E
?
?np

D
?
?qE
?
?qnp,q?1?p

e
?
?
x?
?
?
2
2
?
2
，
x?R

的图像，其中解析式中的实数
?
、
?
（
?
?0
）是参数，分别表示
总体的平均数与标 准差。则其分布叫正态分布记作：N
?
?
,
?
?
，
f
?
x?
的图象称为正态曲线。
（16）基本性质：
①曲线在
x
轴的上方，与
x
轴不相交；
②曲线关于直线< br>x?
?
对称，且在
x?
?
时位于最
高点；
③当
x?
?
时，曲线上升；当
x?
?
时，曲线下降，并且当曲 线向左、右两边无限延伸时，以
x
轴为渐近线，向它无限
靠近。 ④当
?
一定时，曲线的形状由
?
确定。
?
越大，曲线越 “矮胖”，
表示总体的分布越分散；
?
越小，曲线越“瘦高”，表示总体的
32

分布越集中。
⑤当
?
相同时，正态分布曲线的位置由期望值
?
来决定。
⑥正态曲线下的总面积等于1。
（17）
3
?
原则：
从上表看到，正态总体在
?
?
?2
?
,
?
?2?
?
以外取值的概率只有4.6%，
在
?
?
?3?
,
?
?3
?
?
以外取值的概率只有0.3%，由于这 些概率很小，通
常称这些情况发生 为小概率事件。也就是说，通常认为这些情况在
一次试验中几乎是不可能发生的。
3．统计案例
（1）独立性检验：
假设有两个分类变量
X
和Y
，它们的值域分别为
?
x
1
,x
2
?
和
?
y
1
,y
2
?
，
其样本频数列联表 为：

x
1

x
2

y
1

a

y
2

总计
a?b

c?d

b

d

c

总计

a?c

b?d

a?b?c?d

可以利用独立性检验来考察两个变量
X
和
Y
是否有关系，并且能
较精确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是，由表中的数据算出随机变量
K
2
的值：
n
?
ad?bc
?< br>，其中
n?a?b?c?d
为样本容量，
K
2
的
K?
?
?
a?b
??
c?d
??
a?c
??< br>b?d
?
?
2
2
33

值越大，说明“
X
和
Y
有关系”成立的可能性越大。
K2
?3.841
时，
X
和
Y
无关；
K
2
?3.841
时，
X
和
Y
有95%可能性有关；
K
2
?6.635
时，
X
和
Y
有99%可能性有关 。
（2）回归分析：
回归直线方程
y?a?bx
，
其中
b?
?
?
x?x
??
y
i
i?1
ni
i?1
n
i
?y
2
?
?
xy?nx y
ii
n
?
?
x?x
?
?
i?1
n
?
x
i?1
2
i
?nx
2
，
a ?y?bx
。
选修4-1几何证明选讲
1.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，截得的对应线
段成比例.
2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），
截得的对应线段成比例.
3.三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线
段与这个角的两边对应线 段成比例.
4.直角三角形的射影定理：直角三角形的每一条直角边是它在斜边上
的射影与斜 边的比例中项，斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的
比例中项.
5.圆周角定理：一条弧 所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，圆
周角的角度等于它所对的弧的度数的一半.
6.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的
圆周角所对的弧也相等.
7.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90
0
的圆周角所对的< br>34

弧是半圆.
8.切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的
切线.
9.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
10.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线经过切点.
11.推论2：经过切点且垂直于切线的直线经过圆心.
12.切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线长相等.
13.弦切角定理：弦 切角等于它所夹弧所对的圆心角；弦切角的度数
等于它所夹弧的度数的一半.
14.切割线定 理：过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是
割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项.
15.推论：过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个
交点的线段长的积，等于 另一条割线上对应线段长的积.
16.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积
相等.
17.圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补.
18.推论：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
19.定理：如果一个四边形的内对角互补，那么这个四边形四个顶角
共圆.
20.推论：如果一个四边形的一个外角等于其内对角，那么这个四边
形的四个顶点共圆.
21.*托勒密定理：圆的内接四边形两对边乘积之和等于两条对角线的
35

乘积.
选修4-4坐标系与参数方程
1.点的极坐标< br>(
?
,
?
)
化为直角坐标
(x,y)
的关系 式
?
x?
?
cos
?

?

y?
?
sin
?
?
2.点的直角坐标
(x,y)
化为极坐标
(
?
,
?
)
的关系 式
?
?
2
?x
2
?y
2

?

y
?
tan
?
?(x?0)
?
x
?
3.点的直角坐标
(x,y,z)
与柱坐标
(r,
?
,z)
的关系式
0?r???
?
x?rcos
?
?

?
y?rsin
?

0?
?
?2
?

?
z?z
???z???
?
4.点的直角坐标
(x,y,z)
与球坐标
(r,
?,
?
)
的关系式
0?r???
?
x?rsin
?
cos
?
?

?
y?rsin
?
sin
?

0?
?
?
?

?
z?rcos
?
0?
?
?2
?
?
5经过点
(x
0
,y0
)
，倾斜角是
?
的直线的参数方程
0

?
（t为参数）
y?y?tsin
?
0
?
?x?x?tcos
?
6.经过两个定点
(x
1
,y
1< br>)
，
(x
2
,y
2
)
（其中
x1
?x
2
）的直线的参数方程
?
?
x?

?
?
y?
?
x
1
?
?
x
2
1?
?
（
?
为参数，
?
??1
） y
1
?
?
y
2
1?
?
7.圆心在原点 、半径为r的圆的参数方程

?
?
x?rcos
?
（
?
为参数）
?< br>y?rsin
?
8.圆心为
(a,b)
、半径为r的圆的参数方程
36

?
?
x?a?rcos
?
（
?
为参数）
?
y?b?rsin
?
x
2
y
2
9.椭圆
2
?
2
?1
的参数方程
ab
?
x?acos
?

?
（
?
为参数）
y?bsin
?
?
10 .中心在
(x
0
,y
0
)
的椭圆的参数方程
?
x?x
0
?acos
?

?
（
?
为参数）
y?y?bsin
?
0
?
x
2
y
2
11.双曲线
2
?
2
?1
(a?0,b?0)
的参数方程
ab
a
?
?
x?

?
cos
?
（
?
为参数）
?
?
y?btan
?

选修4-5不等式选讲
1.
a?b?a?b?0;

a?b?a?b?0;

a?b?a?b?0.
a
?1?a?b;

b
a

?1?a?b;

b
a

?1?a?b.

b
2.当
a?0,b?0
时
3.性质：如果
a?b
，那么
b?a
；如果
b?a
，那么
a?b
.
4.性质：如果
a?b
，
b?c
，那么
a?c
.
5.性质：如果
a?b
，那么
a?c?b?c
.
6.推论：如果
a?b,c?d
，那么
a?c?b?d
.
37

7.性质：如果
a?b
，
c?0
，那么
ac?bc
；如果
a?b
，
c?0
，那么
ac?bc
.
8.推论：如果
a?b?0
，
c?d ?0
，那么
ac?bc
.
9.推论：如果
a?b?0
，那 么
a
2
?b
2
.
10.推论：如果
a?b?0< br>，那么
a
n
?b
n
（n为正整数）.
11.推论：如果
a?b?0
，那么
a?b
（n为正整数）.
12.定理：对任意实数a和b，有

a?b?a?b
.
13.定理：对任意实数a，b，有
a
2
?b
2
?2ab
，（此式当且仅当
a?b
时取
“=”号） .
14.定理：对任意两个正数a，b，有
时取“=”号）.
15.定理：对任意 三个正数a，b，c，有
a
2
?b
2
?c
2
?3a bc
，（此式当且
仅当
a?b?c
时取“=”号）.
16.定理：对任意三个正数a，b，c，有
当
a?b?c
时取“=”号）.
17.简单形式的柯西不等式定理：对任意实数a，b，c，d，有

(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
) ?(ac?bd)
2
.
18.一般形式的柯西不等式定理：设
a
1
,a
2
,?,a
n
与
b
1
,b
2
,?,b
n
是两组实数，
则有

(a
1
2
?a
2
2
???a
n
2
)( b
1
2
?b
2
2
???b
n
2
) ?(a
1
b
1
?a
2
b
2
???a
n
b
n
)
2
，
当向量
(a
1
,a
2
,?,a
n
)
与
(b
1
,b
2
,?,b
n
)
共线时，等号成立.
19.定理：设a，b和c，d都是实数，如果
a?b,c?d
，那么
38

1
n
1
n
a?b
（此式当且仅当
a?b
?ab
，
2
a?b?c
3
（此式当且仅
?abc< br>，
3

ac?bd?ad?bc
，
此式当且仅当
a?b
（或
c?d
）时取“=”号.
20.定理（排序不等式）设有两个有序实数组

a< br>1
?a
2
???a
n
及
b
1
?b< br>2
???b
n

则 （顺序和）
a
1b
1
?a
2
b
2
???a
n
b
n
?

（乱序和）
a
1
b
j< br>?a
2
b
j
???a
n
b
j
?
12n
（逆序和）
a
1
b
n
?a
2
b
n?1
???a
n
b
1
. < br>其中
j
1
,j
2
,?j
n
是1，2，
?
，n的任一排列方式，上式当且仅当
a
1
?a
2
??? a
n
或（
b
1
?b
2
???b
n
）时取“=”号.
21.定理（贝努利不等式）：对任何实数
x??1
和任何正整数n，有

(1?x)
n
?1?nx
.
39