高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计二

二项式定理（第
1
课时）
一、内容和内容解析
内容：二项式定理的发现与证明．
内容解析：本节是高中数学人教
A
版选修
2
－
3
第一章第
3
节的内容．二项式定理是多 项式乘法的特
例， 是初中所学多项式乘法的延伸， 此内容安排在组合计数模型之后， 随机变 量及其分布之前，既是组
合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．
由于二项式定理的发现， 可以通过从特殊到一般进行归纳概括， 在归纳概括过程中还可 以用到组合
计数模型， 因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽 略的价值．教学中应当引
起充分重视．
二、目标和目标解析
目标：
（
1
）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项 式定理．
（
2
）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式 定理的简单应
用．
（
3
）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模 型培养学生数学
建模素养．
目标解析：
（
1
）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二 项式定理符合学
生的认知规律． 但归纳概括的结论， 如果不加以严格的证明不符合数学的基 本要求．因此， 在归纳概括
的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论， 还能为证 明二项式定理提供方法．
（
2
）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列 的通项帮助理解
与应用， 学生很难短期内对定理有深入的认识．因此， 通过一些特例， 建立 二项式展开式与数列及数列
和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．
（
3
）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机 会去落实． 在
二项式定理的教学中， 从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开 式的规律是进行数学抽象教
学的很好机会； 同时利用组合计数模型证明二项式定理， 以及利 用二项式定理这个模型解决问题，也是进
行数学建模教学的好机会.
基于上述分析，本节课的教学重点定为：发现并证明二项式定理.

三、教学问题诊断分析
1
?教学问题一：现在的学生字母运算能力普遍偏弱，多个多项式的乘法对运算要求又
较高，而本节课又需要进行多个多项式的乘法去观察展开式的特征， 因此，解决运算问题是
本节课的第一个教学问题. 解决方案：运用图形计算器的代数运算功能， 可以让学生快速得 到正确结果，
让学生把主要精力用在观察、发现规律上.
2
?教学问题二：怎样发现二项式展开式的规律是本节课的第二个教学问题?这不仅是
本节课的重点，也是教学难点.解决方案：通过比较多项式
展开
式中项与项的异同点，得出
（
a b）
n
的展开式的项的规律，从而得到二项式定理的内容.
（
a
i
? b
i
）（a
2
■ b
2
）（a
3

- d）
3
?教学问题三：如何证明二项式定理是第三个教学问题?学生很容易把发现二项式展
开式的过程就当成二项式定理的证明过程. 二项式定理的证明可以用数学归纳法， 但难度较
解决方案：通 大.较为恰当的选择是把发现二项式定理过程中用到的组合计数模型来证明.
过对
（
a b）
3
的展开式项的分析，并用组合数进行刻画，由此用组合数对一般的展开式进行 刻画.
基于上述情况，本节课的教学难点定为：发现及归纳二项式展开式系数的规律.
四、教学策略分析
本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示?为了让学生通过观察、
归纳得到二项式定理，应该为学生创造积极探究的平台?因此，在教学过程中使用
计算器.既可以解决多项式乘法的复杂计算问题，
习状态中来.
在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学?问题的设置给学生留有充分的思
考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点.
在教学过程中，重视二项式定理的发现与证明，让学生体会到从特殊到一般是数学抽
象的基本过程，同时，定理的证明与定理的应用其实就是数学模型的建立与应用的典范.
此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试.
因
TI
-
图形
也可以让学生从被动学习状态转到主动学

五、教学过程与设计





教

学

环
问题或任务


节


［问题1］有人

说

(1 - x)
70
的展开式中


有x
47
项，你认为对


吗？若有，它的系数是


多少?



［问题2］
为了解决问题



1,需要用到
(
a - b)
n
的


展开，你认为这个展开


式式会怎样呢？

回

顾


刖

知




引


出

猜

想


















师生活动
教师1:提出问题1. 学生1：学生思考.
教师2:提出问题2.
学生2:学生思考.
教师 3：观察
(a b)
>
(a b)
>
(a b)
>
4 5
(a b)
>
(a b)
的展开式，你能得到哪些规
律？
学生3:利用图形计算器
CAS
的
expand()
函数, 得出
(a - b)
3
、
(a b)
4
、
(a - b)
5

的展开式.
教师4：根据你所计算的结果，填对应表格.
展开式 特点

(ct+??)
3
= a+b


{a+b^
= +3dTfr-i-3o&
2
+F

=a
4
+ +

(a+i}
:
=a
E
+ So't + lOtf ft
3
+ 10u
1
?j
J
+ + 0


学生4:发现项数、项的次数、项的系数并猜
想：
(a ■ b)
n
_-oa
n
■
、
a
n
°b补…
:;:
'a
n
^b^…:%b
设计意图
问题引入.
提出问题.
引导学生通
过对特殊情
形的观察，
归纳猜想一
般情形的基
本特征.
教师引导，
学生根据所
得具体的展
开式，从展
开式中的项
数、项的次
数、项的系
数等角度进
行归纳，并
根据归纳所
得猜想一般
的展开式的
结果.
学生体会由
特殊到一般
的归纳猜想
的过程.

［问题3］
猜想一：
(a by
1
- ^a^ -ia
n
-b
''■ ■■■■
k
a
_
b
n
b

中的
’k
二？

















探


寻

规


律


获


得

结


论









教师5:提出问题3. 学生5：引起思考，并提出想法.
教师6:提出问题：
在
(
a ? b)
3 _
，
°
a
3

：：
.*?.i
a
2
b
：：
.*. 2
ab
2
3
b
3

中，为什么
o =
1
，二?
i=
3
，
- 2=
3
，
'3=1”？
学生6：展开式计算，寻找答案.
教师7:提出问题：
(a b)
3

与 佝
b
i
)(a
2
b
?
)? b
s
)
是什么
关系？
学生 6:当
a
t
= a
2
= a
3
= a
, d =
b
2
= b
3
= b
时，佝
b
i
)(a
2
b
2
)
(a
3
b
s
) = (a b)
3

.
教师7:提出问题：
探究 佝
b
i
)(a
2
b
2
)
(a
3 ? d)
展开式的特
占
八、、
?
学生7:利用图形计算器的
CAS
功能中
expand()
函数，得出 佝■
b
i
)(a
2
■ 6)
任
b
3
)
的
展开式.
教师8：引导学生分析 佝
b
t
)(a
2
b
2
)(a
3
b
3
)
展开式的各项，并提出问题在展开式中为什么 没有
aQa
：
项，
aQ
2
等项？
学生8：学生根据所得的计算结果， 观察得到
展开式的项的特点：展开式中的每一项是由每 个括号中“取且只取”一
个字母相乘得到的.
一般问题回
到特殊情形
进行研究.
把问题回到
已知的结构
进行处理.
学生通过计
算器得到计
算结果.
教师通过引
导学生对展
开式各项构
成的观察，
得到项的构
成.

教师9 :通过表格呈现特殊
(
a + b)
3
与
⑻
+bj(a
2
+6)6 +b
3
)
的展开式的

(a
+血尸
=(o + iRa +
b) = a
7
l
iab +
2
+ 丽

｛叫
EK
叫+切皿+対)

=陽碍吗■+叫口曲■+ 驷禹+场妇札+日氾
iA
十由曲
并提出问题：
(a +b)
3
= h°a
3
+ ^a
2
b +
人
2
ab
2

+「
b
3

中，
为什么扎
i =
3
？
学生9:
(a+b)
3
展开式中的项
3a
2
b
是由
通过特殊与 一
般的项的 关系
对比， 得到对
(a^b
1
)(a^b
2
)(a
3
+b
s
)
展开式中的项 內玄
2
匕
3
，
a
i
b
z
a
3
，
b
i
a
?
a
3
去掉足码得到 aab，aba，baa
后合并同类项得到?从三个括号中的一个括号 选择
“ b”剩余两个括号选择“
因为从三个括号中的一个括号选择
系数 意义的理
解.
a
”构成的，
“ b ”，一旦
根据展开式 系
数即同类 项的
个数这 一结
论，引 导同学
们通 过一般到
特 殊，用组合
计数模型对 各
确定哪个括号选“ b ”，剩余两个括号选择也就 确定
了，因为“ b”有三种选择，所以对应同 类项的个数
就为
3
，即“
a
2
b
”的系数为3 . 教师10:能否用计数
模型进行解释？ 学生10： “
a
b
”可以看成是从三
个括号中选 择一个括号选“ b ” ，剩余两个括号选择
“
a
”， 完成这件事的所有可能，要做这件是，我们
可 分成两步来完成：第一、从三个括号中选择一
个括号选“ b ”，有
C
3
种选择；第二、剩余两 个括
号选择“
a
”就
C
；
=1
种选法，故有
2
项系数进 行研
究.
C
3
江
1 =C
3
种选法，所以，入=
C
3
.依此可以
得到其它系数的组合数形式：
(a +b)
3

虫；
0
a
3
+C
；
a
2
b +C[ab
2
+C
；
b
3
.

3
得到展开式 系
数的猜
想.
教师11：根据所得
（
a+b）
展开式的规律，你 能否得
猜想
（
a +b）
n
的展开式中

扎，人，…,人，r入
的值？
学生11：
（a+b）
n
=C
0
a
n

+冊叫+ …
+C
：
a
±
b
k
+…yv
n

教师12：提出问题3.

［问题3］
你能证明


由归纳猜想
到理论证
明.
引导提炼学 生
提炼证明
要点.


学生12:提出想法.


(a +b)
n
=
C
0
a
n
+C
：
a
nJ
b+ …

教师13：你认为证明问题 3,关键是几步？
学生13： （
1
）项的结构；（
2
）项的系数.
教师14：证明：
（
a + b）
n
是
n
个
（
a+b）
相
乘，
4C
k
a
±
b
k
+…+C
：
b
n

n

(n^N*)
吗？

强调规范表
达.
根据多项式的乘法，展开式每一项都满足
a
nA
b
k

（
…,n}
）.
证
明
疋
理
明
晰
概
念
对项
a
n
?
b
k

（
k^{0,1
，
…,n}
）看成问题：
从
n
个括号中选择
k
个括号选“ b ” ,剩余括
号选择“
a
”，相乘而成.可这样设计计数模型， 要做
这件事，可分成两步来完成：
第一、从
n
个括号中选择
k
个括号选“ b ”，有
k
C
n
种选择；
第二、剩余括号选择“
a
”就
C
：,
=1
种选法，
根据分步计数原理有
C
：
X1 = C
；
种选法.
所以，项
a
n
°b
k
的同类项有
C
，故
a
n
*b
k
的
系数为
C
；

（
k^{0,1
，
…,n}
）.
所以
，
（
a+b）
展开式每一项满足
C
n
a b
（

）.

明晰概念.

教师15:上述公式叫二项式定理， 展开式共有

n+1
项，其中各项的系数
C
（

1
,…,n}
）

［问题4］
从数列的角
度看二项式展开式，你
能获得什么认识？

叫做二项式系数.
教师16:提出问题4.
学生14:二项展开式可以看成是一个数列的
学生从数列 的
角度获得 对二
项式展
开式的再认

和，数列的通项公式是

C
k
a
n
-b
k
，表示数列第
识.
k +1
项.
教师17:二项式展开式的通项是展开式中第

［问题5］你能
根据

k +1
项：
Ty=C
k
a
n
%
k

.
让学生体会
学生15:
根据
二项式定理，把
（
a-b）
n
化成
利用二项式 定
理模型进
行计算，感 受
（a+b）
n
的展开式得出

（a—b）
的展开式吗？

［a
+（」）］
n
的形式，把此式子中的
-b”
看成二
数学模型
的在数学应 用
项式定理中的
b”
即可得到结论（写出具体展 开式）.

中的价 值.
［课堂练习1］

［课堂练习
1］
熟悉二项式
定理模型.

（1）求
（
1 +x）
n
的展开

教师18:布置课堂练习1、2.
学生16:完成课堂练习，并通过计算器核对答
案.
式；

(2)求
(2?x
--、)
6
的展

x
开式.

［课堂练习
2］让学生体

［课堂练习2］
求
（x ）
展开式中
X
3
会用通项公

式表示展开 式
的简洁

X
的系数.

性.
［问题6］
你从二项式

定理的发现、证明与应
用的过程中体会到一 些什
么？
教师19:提出问题6.
学生17:本节课获取二项式定理的过程：
师生共同回
先由
顾总结.弓1
领学生感悟
数学认知的
过程，体会 数
学核心素
养.

特殊祭
（
a+b）
、
（
a+b）
、
（
a+b）
的展开式猜
想一般
（
a +b）
的展开式项的结构，再通过对特
n


殊形式
（
a+b）
3
展开式项的研究得到
的
（
a+b）
n

展开式项的规律，最后进行理论证明；课堂展 特
示了获取一个一般性结论的过程：首先要通过
殊到一般进行猜想结论，体现了数学抽象过 程；
其次，得到猜想后，要进行理论论证，体 现了数
学逻辑推理；最后，得到结论后，要以 此为模型
进行应用，体现了数学模型的应用.
［课后练习］
学生18：学生课后进行思考，并完成课后练习
1 .写出
（
X -1）
6
的展开
式.
2.写出（农_坯）“的
展开式的第
r 1
项.
［课后思考］
3
1.
（a b c）
的展开式
2 .请同学们观察下表
（我国宋朝时期数学
家杨辉所做的一个
课后练习是
对定理巩 固，
思考练 习是
对本节 知识
的一个 深化
认识， 同时
也为下 节内
容做好 铺垫.
课
堂
小
结




升

华

认

知

知识落实为明线 核心素养为暗线
——课例《二项式定理》点评
《二项式定理》是高中数学教学的一个难点 . 此定理规律的发现与证明很 好
的体现了获取一个一般性的结论的基本过程 . 我们知道，学生在学习某一项知 识之
前，头脑里并非一片空白。他们通过学习、生活的各种经历，已经形成了一 些科学的
或非科学的概念、 经验和一套他们独有的思维方式。 黄文辉老师善于从 已知（“最
近发展区”）出发，“采用问题引导”，置疑、思疑和解疑，循循善诱、 化难为易；
他既以学生为主体，将课堂还给学生，又注意“发挥教师引导作用” 。 作用一反馈
一再作用一再反馈，在这种反复的信息交互中，学生由表及里、思维 不断优化，教学
目标逐步实现；他“注重知识的发生过程” ，与学生共同经历从 个别现象，探索、
挖掘、发现普遍规律的心路历程，感受数学之美，潜移默化的 发展了学生的科学创新
能力；他突出重点，强化数学核心素养训练，通过“建构 计数原理模型”，演绎证明
猜想，形成定理，提升了学生严谨的科学态度和逻辑 思辨能力 .
具体来说，有以下几个特点：
1、 现代技术为更好的实现教学目标服务 . 本节课的主题是探究规律、发现结
论、证明定理，计算不是本节课的任务，但要完成对规律的探究，又必须借助于 一些
特殊多项式的展开式， 故图形计算器在课堂上的使用， 能使学生从繁杂的计 算中解
放出来，更注重于教学的核心任务 .
2、 整个设计充分体现了由特殊到一般的抽象过程。在课堂教学中核心素养 的
培养不是仅仅停留在口头上， 本节课的设计很好的诠释了这一点， 教师通过问 题引
导学生不断的通过多个特殊形式的展开式的特点引导学生观察、 归纳出一般 性的规
律，让学生充分感受了数学抽象的过程。

3、问题的生成是自然的。整节课的问题，教师没有生硬的塞给学生，而是 在学
生思考过程中， 因学生的思维需求， 自然而然的提出问题， 是建立在学生主 动需
求的基础上。这样的设计提高了学生思维参与度。
4、整个教通过学过程中，明线、暗线相伴而成，定理的探究、发现、证明 是明
线，让学生充分体会获取一个结论的思维过程，
数学建模的核心素养是暗线。
推理证明、 同时渗透了数学抽象、