高中数学联赛常用定理

常用定理
1、费马点
（I）基本概念
定义：在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
(1 )若三角形ABC的3个角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点 也称为三角形
的等角中心。
(2)若三角形有一角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
（II）证明
我们要如何证明费马点呢：

费马点证明图形
(1)费马点对边的角为120度。
△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,
△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B
同理可得∠CBP=∠CA1P
由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度
同理,∠APB=120度，∠APC=120度
(2)PA+PB+PC=AA1
将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形， 所以∠BPD=60度
又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，
又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D 、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。
(3)PA+PB+PC最短
在△ABC任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心 旋转60度与△BGA1重合，连结AM、
GM、A1G(同上)，则AA1 平面四边形费马点
平面四边形中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。
（1）在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。

1

费马点
（2）在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点D（P）。
经过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点的找法：
当三角形有一个角大于或等于一百二十 度的时候，费马点就是这个角的顶点；如果三个角都在120度以，那么，费马点就
是使得费马点与三角 形三顶点的连线两两夹角为120度的点。
（III）费马点性质：


费马点
（1）平面一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。
特殊三角形中：
(2).三角皆小于120°的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边 ，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,
则三线 交于一点P,则点P就是所求的费马点.
(3).若三角形有一角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.
(4)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合


二、梅涅劳斯定理和塞瓦定理
1、梅涅劳斯定理


2

梅涅劳斯定理证明
梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏 定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边
AFBCDO< br>???1
AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么
FBCDOA

证明：做平行线即可，过程略
2、角元形式：
（1）第一角元形式的梅涅劳斯定理

如图：若E，F，D三点共线，则
(sin∠ACFsin∠FCB)(sin∠BADsin∠DAC)(sin∠CBAsin∠ABE)=1
即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积
该形式的梅涅劳斯定理也很实用
（2）第二角元形式的梅涅劳斯定理
在平面上任取一点O，且EDF共线，则（sin∠A OFsin∠FOB)(sin∠BODsin∠DOC)(sin∠COAsin∠AOE)=1。(O不与点 A、B、C
重合)
三、塞瓦定理
塞瓦定理
在△ABC任取一点O，
直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BDDC)*(CEEA)*(AFFB)=1
证法简介 （Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：
∵△ADC被直线BOE所截，
∴ (CBBD)*(DOOA)*(AEEC)=1 ①
而由△ABD被直线COF所截，∴ (BCCD)*(DOOA)*(AFFB)=1②
②÷①:即得：(BDDC)*(CEEA)*(AFFB)=1
（Ⅱ）也可以利用面积关系证明
∵BDDC=S△ABDS△ACD=S△BODS△COD= (S△ABD-S△BOD)(S△ACD-S△COD)=S△AOBS
△AOC ③
同理 CEEA=S△BOC S△AOB ④ AFFB=S△AOCS△BOC ⑤
③×④×⑤得BDDC*CEEA*AFFB=1
塞瓦定理推论
1.设E是△ABD任 意一点，AE、BE、DE分别交对边于C、G、F，则(BDBC)*(CEAE)*(GADG)=1
因为(BCCD)*(DGGA)*(AFFB)=1，（塞瓦定理）所以 (BDCD)*(CE AE)*(AFFB)=K（K为未知参数）且
(BDBC)*(CEAE)*(GADG)=K（K为 未知参数）又由梅涅劳斯定理得：(BDCD)*(CEAE)*(AFFB)=1
所以(BDBC)*(CEAE)*(GADG)=1
2.塞瓦定理角元形式

3

AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：
(sin∠BADsin∠DAC)*(sin∠ACFsin∠FCB)*(sin∠CBEsi n∠EBA)=1
由正弦定理及三角形面积公式易证
3.如图，对于圆周上顺次6点A,B,C,D,E,F，直线AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：
(ABBC)*(CDDE)*(EFFA)=1

由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。
4.还能利用塞瓦定理证三角形三条高交于一点
设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定 理，因为(AD:DB)*(B E:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）
[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB) (AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)[(AE*ctgB)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于 一点。

四、西姆松定理

西姆松定理图示
西姆松定理是一 个几何定理。表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称< br>为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的 外接圆上。
西姆松定理说明
相关的结果有：
（1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。
（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。
（3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。
（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
证明
证明一： △ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分别连DE、DF.
易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP的补角） 且∠PDE=∠PCE
② 而∠ACP+∠PCE=180°
③ ∴∠FDP+∠PDE=180°
④ 即F、D、E共线. 反之，当F、D、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆.

4

证明二： 如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂 直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和

M、P、L、C分别四点共圆，有
∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM.
故A、B、P、C四点共圆。
若A、B、P、C四点共圆，则∠PBN = ∠PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB ，有B、P、L、N和M、P、L、C
四点共圆，有
∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM.
故L、M、N三点共线。
相关性质的证明
连AH延长线交圆于G,
连PG交西姆松线与R,BC于Q
如图连其他相关线段
AH⊥BC,PF⊥BC==>AGPF==>∠1=∠2

A.G.C.P共圆==>∠2=∠3
PE⊥AC,PF⊥BC==>P.E.F.C共圆==>∠3=∠4
==>∠1=∠4
PF⊥BC
==>PR=RQ
BH⊥AC,AH⊥BC==>∠5=∠6
A.B.G.C共圆==>∠6=∠7
==>∠5=∠7
AG⊥BC==>BC垂直平分GH
==>∠8=∠2=∠4
∠8+∠9=90,∠10+∠4=90==>∠9=∠10

5

==>HQDF
==>PM=MH
第二个问，平分点在九点圆上，如图：设O,G,H 分别为三角形ABC的外心，重心和垂心。
则O是,确定九点圆的中点三角形XYZ的垂心，而G还是它的重心。
那么三角形XYZ的外心 O1， 也在同一直线上，并且
HGGO=GOGO1=2，所以O1是OH的中点。
三角形ABC和三角形XYZ位似，那么它们的外接圆也位似。两个圆的圆心都在OH上，并且两圆 半径比为1:2
所以G是三角形ABC外接圆和三角形XYZ外接圆(九点圆)的反位似中心(相似点在位似中心的两边),H 是正位似中心(相
似点在位似中心的同一边)...
所以H到三角形ABC的外接圆上的连线中点必在三角形DEF的外接圆上....
五、托勒密定理
1、定理的容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文：圆的接四边形中，
两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦
的和差公 式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．
证明
一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。）
在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD
因为△ABE∽△ACD
所以 BECD=ABAC,即BE·AC=AB·CD (1)
而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE
所以△ABC∽△AED相似.
BCED=ACAD即ED·AC=BC·AD (2)
(1)+(2),得
AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC
又因为BE+ED≥BD
（仅在四边形ABCD是某圆的接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）
所以命题得证
复数证明
用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D 的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、
(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到复数恒等式： (a ? b)(c ? d) + (a ? d)(b ? c) = (a ? c)(b ? d) ，两边取模，运用
三角不等式得。 等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的 辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。 四点不限于同一平
面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。
二、
设ABCD是圆接四边形。 在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。 在AC上取一点K，使得∠ABK =
∠CBD； 因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。 因此△ABK与△DBC相似，同理也有△ABD ~ △
KBC。 因此AKAB = CDBD，且CKBC = DABD； 因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA； 两式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD
+ BC·DA； 但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。证毕。
三、
托勒 密定理：圆接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩 形的面
积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知：圆接四边形ABCD，求证：AC·BD＝AB· CD＋AD·BC．
证明：如图1，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴ △ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC ①。又
∠ACB=∠DC P，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD ②。①＋②得 AC(BP＋DP)=AB·CD＋AD·BC．即AC·BD=AB·CD
＋AD·BC．


6

推论
1.任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。
2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个 凸四边形接于一圆、
推广
托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。
简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，
得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD
注意：
1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐 角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。
2.四点不限于同一平面。
六、欧拉定理：在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则AD·BC+AB·CD=AC·BD
七、重要不等式
1、均值不等式：
a
1
,
a
2
?
a
n
?R?,则
n
TIP:完全的均值不等式
?
a
k
k?1
n
?
?
a
k
k?1
n
n

√[(a^2+ b^2)2] ≥(a+b)2 ≥√ab ≥2(1a+1b)
（二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均）
2、柯西不等式
柯西不等式的一般证法有以下几种：
（1）Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.
我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则我们知道恒有 f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移项得到结论。
（2）用向量来证.
m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)
mn=a1b1+a2b2+......+anbn= (a1^+a2^+......+an^)^12乘以(b1^+b2^+......+bn^)^12乘以 cosX．
因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小 于等于a1^+a2^+......+an^)^12乘以(b1^+b2^+......+bn^)^12
这就证明了不等式．
柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法． < br>柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重 视。

7

3.排序不等式
排序不等式是高中数学竞赛大纲要求的基本不等式。
设有两组数 a 1 , a 2 ,…… a n, b 1 , b 2 ,…… b n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n, b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 则
有 a 1 b n + a 2 b n?1 +……+ a n b1≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 +……+ a n b n 式
中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一个排列， 当且仅当 a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 时成
立。
以上排序不等式也可简记为： 反序和≤乱序和≤同序和.
证明时可采用逐步调整法。
例如，证明：其余不变时，将a 1 b 1 + a 2 b 2 调整为a 1 b 2 + a 2 b 1 ，值变小，只需作差证明（a 1 -a 2 ）*（b
1 -b 2 ）≥0，这由题知成立。
依次类推，根据逐步调整法，排序不等式得证。
4.契比雪夫不等式
切比雪夫不等式有两个
（1）设存在数列a1,a 2,a3.....an和b1,b2,b3......bn满足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1 ≤b2≤b3≤......≤bn
那么，∑aibi≥(1n)(∑ai)(∑bi)
（2）设存在数列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn满足a1 ≤a2≤a3≤.....≤an和b1≥b2≥b3≥......≥bn
那么，∑aibi≤(1n)(∑ai)(∑bi)
5.琴生不等式
设f(x)为上凸 函数，则f[(x1+x2+……+xn)n]≥[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]n,称为琴生 不等式（幂平均）。
加权形式为：
f[(a1x1+a2x2+……+anx n)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn),其中
ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.
6.幂平均不等式
{
幂平均不等式：ai>0(1≤i≤n),且α>β，则有
iff a1=a2=a3=……=an 时取等号
加权的形式：
设ai>0，pi>0(1≤i≤n)，且α>β，则有
n
?
?
a
i
i?1
1
?
n
}
≥(∑ai^βn)^1β成立
（∑pi*ai^α∑pi)^1α≥(∑pi*ai^β∑pi)^1β
iff a1=a2=a3=……=an， p1=p2=p3=……=pn 时取等号。
特例：
调和平均（-1次幂）， - 几何平均（0次幂）， - 算术平均（1次幂）， ， - 二次平均（2次幂）
7权方和不等式
1）
a1 ^ （m+1） b1^m + a2 ^ （m+1） b2^m + a3 ^ （m+1） b3^m + …… + an ^ （m+1） bn^m ≥ (a1+a2+a3+ ……
+an) ^ （m+1） (b1+b2+b3+ …… +bn)^m
其中
a,b,n为正整数，m＞0 或 m＜-1
当且仅当a1b1=a2b2=...=anbn时，等号成立
2）

8

a1 ^ （m+1） b1^m + a2 ^ （m+1） b2^m + a3 ^ （m+1） b3^m + …… + an ^ （m+1） bn^m ≤ (a1+a2+a3+ ……
+an) ^ （m+1） (b1+b2+b3+ …… +bn)^m
其中
a,b,n为正整数，-1 当且仅当a1b1=a2b2=...=anbn时，等号成立
权方和不等式的等价形式：
（Holder不等式）：∑[i=1，n]ai*bi≤（∑[i=1，n]ai^p）^(1p) * （∑[i=1,n]bi^q)^(1q)
上式中1p+1q=1,ai,bi为正实数
八、棣莫弗(de Moivre)定理
设两个复数(用三角形式表示)Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),则:
Z1Z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].
证:先讲一下复数 的三角形式的概念.在复数平面上,可以用向量Z(a,b)来表示Z=a+ib.于是,该向量可以分成两个在 实轴,虚
轴上的分向量.如果向量Z与实轴的夹角为θ,这两个分向量的模分别等于rcosθ,ris inθ(r=√a^2+b^2).所以,复数Z可以表
示为Z=r(cosθ+isinθ).这里θ 称为复数Z的辐角.
因为Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),所以
Z1Z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)
=r1r2 (cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)
=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(cosθ1sinθ2+s inθ1cosθ2)]
=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].
其实该定理可以推广为一般形式:
棣莫弗定理的推广
设n个复数Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),……，Zn=rn(cosθn+isinθn), 则：
Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos(θ1+θ2+……+θn)+isin(θ1+θ 2+……+θn)].
证：用数学归纳法即可，归纳基础就是两个复数相乘的棣莫弗定理。
如果把棣莫弗定理和欧拉(Euler)公式“e^iθ=cosθ+isinθ”（参见《泰勒公 式》，严格的证明需要复分析）放在一起看，
则可以用来理解欧拉公式的意义。
利用棣莫弗定理有：
Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos(θ1+θ2+……+θn )+isin(θ1+θ2+……+θn)]
如果可以把所有的复数改写成指数的形式，即：Z 1=r1e^iθ1,Z2=r2e^iθ2,……，Zn=rne^iθn,
Z1Z2……Zn=r1r2……rne^i(θ1+θ2+……+θn)
这和指数的可加性一致.
在一般形式中如果令Z1=Z2=……=Zn=Z,则能导出复数开方的公式.有兴趣可自己推推看.
九、欧几里德除法
欧几里德算法
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：
定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

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欧几里德算法（辗转相除法）求两个数的最大公约数的步骤如下：
先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；
再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；
又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；
这样逐次用后一个数去除前一个余 数，直到余数是0为止。那么，最后一个除数就是所求的最大公约数（如果最后的除数
是1，那么原来的 两个数是互质数）。
例如求1515和600的最大公约数，
第一次：用600除1515，商2余315；
第二次：用315除600，商1余285；
第三次：用285除315，商1余30；
第四次：用30除285，商9余15；
第五次：用15除30，商2余0。
1515和600的最大公约数是15
十、裴蜀定理
在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。
简介
裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数a、b和它们的最大公约

数 d，关于未知数x和y的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：若a,b是整数,且(a,b)=d,那么对于任意 的整数x,y,ax+by都一定
是d的倍数,特别地,一定存在整数x,y,使ax+by=d成立。
它的一个重要推论是：a,b互质的充要条件是存在整数x,y使ax+by=1.
证明
如果 a 和 b 有一个是0，那么它们两个的最大公约数是0。这时定理显然成立。
以下证明a和b都不等于0的情况。不妨设a,b都大于零，a>=b.设(a,b)=d
对ax+by=d，两边同时除以d，可得(a1)x+(b1)y=1，其中(a1,b1)=1。
转证(a1)x+(b1)y=1。由带余除法：
a1=(q1)b+(r1),其中0= b1=(q2)(r1)+(r2),其中0= (r1)=(q3)(r2)+(r3),其中0= .....
(rn-3)=(qn-1)(rn-2)+(rn-1)
(rn-2)=(qn)(rn-1)+(rn)
(rn-1)=(qn+1)(rn)
于是，有(a1,b1)=(b1,r1)=(r1,r2)=...=(rn-1,rn)=1
故
(rn-2)=(xn)(rn-1)+1
即1=(rn-2)-(xn)(rn-1)
由倒数第三个式子（rn-1）=(rn-3)-(xn-1)(rn-2)代入上式，得
1=[1+(xn)(xn-1)](rn-2)-(xn)(rn-3)
然后用同样的办法用它上面的等式逐个地消去(rn-2),...(r1),
可证得1=(a1)x+(b1)y。
n个整数间的裴蜀定理
设a1,a2,a3. .....an为n个整数，d是它们的最大公约数，那么存在整数x1......xn使得x1*a1+x2 *a2+...xn*an=d。

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特别来 说，如果a1...an互质(不是两两互质），那么存在整数x1......xn使得x1*a1+x2*a 2+...xn*an=1。
任意主理想环上的情况
裴蜀可以推广到任意的主理想环上。设环A是主理想环，a和b 为环中元素，d是它们的一个最大公约元，那么存在环中元
素x和y使得：
ax + by = d
这是因为在主理想环中，a和b的最大公约元被定义为理想aA + bA的生成元。
定理
在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的 定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对
任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于 未知数x和y的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：
ax + by = m
有解当且仅当m是d的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解x、y都称为裴蜀数，可用辗转相除 法求得。
例如，12和42的最大公因子是6，则方程12x + 42y = 6有解。事实上有(-3)×12 + 1×42 = 6及4×12 + (-1)×42 = 6。
特别来说，方程 ax + by = 1 有解当且仅当整数a和b互素。
裴蜀等式也可以用来给最大公约数定义：d其实就是最小的可以写成ax + by形式的正整数。这个 定义的本质是整环中“理想”
的概念。因此对于多项式整环也有相应的裴蜀定理。
推广
以上定理可推广到n个，n≥2
如1st IMO 1959第1题：证明对任意 自然数n，(21n+4)(14n+3)为既约分数。证明：很容易看出3(14n+3)-2(21n+4) =1，
由裴蜀定理，21n+4与14n+3互质，故(21n+4)(14n+3)为既约分数。Q. E.D.
另如：5x+4y+3z可表示全部整数.因为3，4，5互质，所以5x+4y+3 z可以等于1，则必定可以等于其他任意整数
十一、费马小定里
费马小定理的证明
一、准备知识：
引理1．剩余系定理2
若a,b,c为任意3个整数，m为正整数，且(m,c)=1,则当ac≡bc(mod m)时，有a≡b(mod m)
证明：ac≡bc(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)c≡0(mod m)因为(m,c)=1即m,c互质，c可以约去，a–b≡0(mod m)
可得a≡b(mod m)
引理2．剩余系定理5
若m为整数且m>1,a[1],a[2],a[ 3],a[4],…a[m]为m个整数，若在这m个数中任取2个整数对m不同余，则这m个整数对
m 构成完全剩余系。
证明：构造m的完全剩余系（0,1,2,…m-1），所有的整数必然这些 整数中的1个对模m同余。取
r[1]=0,r[2]=1,r[3]=2,r[4]=3,…r=i- 1,1因为只有在这种情况下才能保证集合{a1,a2,a 3,a4,…am}中的任意2个数不同余，否则必然有2个数同余。由式(1)自然得到集
合{a1, a2,a3,a4,…am}对m构成完全剩余系。
引理3．剩余系定理7
设 m是一个整数，且m>1，b是一个整数且(m,b)=1。如果a1,a2,a3,a4,…am是模m的一个 完全剩余系，则
ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]也构成模m的一个完 全剩余系。
证明：若存在2个整数ba和ba[j]同余即ba≡ba[j](mod m)，根据引理2则有a≡a[j](mod m)。根据完全剩余系的定义和
引理4（完全剩余系中任 意2个数之间不同余，易证明）可知这是不可能的，因此不存在2个整数ba和ba[j]同余。由引理5
可知ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]构成模m的一个完全剩余系。
引理4．同余定理6
如果a,b,c,d是四个整数，且a≡b(mod m),c≡d(mod m),则有ac≡bd(mod m)
证明：由题设得ac≡bc(mod m),bc≡bd(mod m)，由模运算的传递性可得ac≡bd(mod m)
二、证明过程：

11

构造素数p的完全剩余系P={1,2,3,4…(p- 1)}，因为(a,p)=1，由引理3可得A={a,2a,3a,4a,…(p-1)a}也是p的一个完全
剩余系。令W=1*2*3*4…*(p-1)，显然W≡W(mod p)。令Y=a*2a*3a* 4a*…(p-1)a,因为{a,2a,3a,4a,…(p-1)a}是p的完全剩余
系，由引理2 以及引理4可得a*2a*3a*…(p-1)a≡1*2*3*…(p-1)(mod p)即W*a^(p- 1)≡W(modp)。易知(W,p)=1，由引理1可
知a^(p-1)≡1(modp）
十二、欧拉定理
初等数论中的欧拉定理
定理容
在数论中，欧拉定理（也称费马- 欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互素，(a,n)
= 1，则
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
证明
首先证明下面这个命题：
对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i =1,2,…φ(n))是不大于n且与n互素的数，即n的一个化简剩余系，或称简
系，或称缩系)， 考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)}
则S = Zn
1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于n互质，因此
任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素
2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj
则a*xi(mod n) ≠ a*xj(mod n)，这个由a、n互质和消去律可以得出。
所以，很明显，S=Zn
既然这样，那么
（a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n)
= （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n)
= （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)
考虑上面等式左边和右边
左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n)
右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)
而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互质
根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
推论：对于互质的数a、n，满足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n)
费马定理:
a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。
同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有a^p ≡ a (mod p)
平面几何里的欧拉定理
定理容
设三角形的外接圆半径为R，切圆半径为r，外心与心的距离为d，则d^2=R^2-2Rr．
证明
O、I分别为⊿ABC的外心与心．
连AI并延长交⊙O于点D，由AI平分ÐBAC，故D为弧BC的中点．
连DO并延长交⊙O于E，则DE为与BC垂直的⊙O的直径．
由圆幂定理知，R2-d2=(R+d)(R-d)=IA·ID．（作直线OI与⊙O交于两点，即可用证明）
但DB=DI（可连BI，证明ÐDBI=ÐDIB得），

12

故只需证2Rr=IA·DB，即2R∶DB=IA∶r 即可．
拓扑学里的欧拉公式
V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是 多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。
如果P可以 同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的 球面，
那么X(P)=2-2h。
X(P)叫做P的拓扑不变量，是拓扑学研究的围。
V+F-E=2的证明
方法1：（利用几何画板）
逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E
先以简单的四面体ABCD为例分析证法。
去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、 棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，
只需去掉一个面变为平面图形 ，证V+F1-E=1
（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。
（2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。
以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。
对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。
方法2：计算多面体各面角和
设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面角总和Σα
一方面，在原图中利用各面求角总和。
设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面角总和为：
Σα = [(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2) ·180度]
= (n1+n2+…+nF -2F) ·180度
=(2E-2F) ·180度 = (E-F) ·360度 （1）
另一方面，在拉开图中利用顶点求角总和。
设剪去的一个面为n边形，其角和为(n-2)·180角，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶 点在中间。中间V-n
个顶点处的角和为(V-n)·360度，边上的n个顶点处的角和(n-2)· 180度。
所以，多面体各面的角总和：
Σα = (V-n)·360度+(n-2)·180度+(n-2)·180度
=（V-2）·360度（2）
由(1)(2)得： (E-F) ·360度=（V-2）·360度
所以 V+F-E=2.
方法3 用拓朴学方法证明欧拉公式


图

13

尝试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。
欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假设F，E和V分别表示 面，棱（或边），角（或
顶）的个数，那末
F-E+V=2。
证明 如图（图是立方体，但证明是一般的，是“拓朴”的）：
（1）把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。
（2）去掉多面体的一个面，就可以 完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。假设F′，E′和V′
分别表示这个 平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。
（3）对 于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角
形为止，像图中③的样子。每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+ V′不变。因此当完全分割成
三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两 边在平面图形的边界上。
（4）如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去 掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也
就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而 V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。
（5）如果某一个三角形有二边在边界上，例如图 ⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这
样就去掉△DEF。这样 F′减去1，E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变。
（6）这样继续进行 ，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。这时F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′= 1-3+3=1。
（7）因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因 此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是
分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。
（8）如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点 。因此
F′-E′+V′仍然没有变。
即F′-E′+V′=1
成立，于是欧拉公式：
F-E+V=2
得证。
复变函数论里的欧拉公式
定理容
e^ix=cosx+isinx
e是自然对数的底，i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
将公式里的x换成-x，得到：
e^-ix=cosx- isinx，然后采用两式相加减的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)2.
这两个也叫做欧拉公式。
“上帝创造的公式”
将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：
e^i∏+1=0.
这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两 个超越
数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0 。数学家们评价它是“上帝创
造的公式”，我们只能看它而不能理解它。
欧拉定理的运用方法
（1）分式：
a＾r(a-b)(a-c)+b＾r(b-c)(b-a)+c＾r(c-a)(c-b)
当r=0,1时式子的值为0
当r=2时值为1

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当r=3时值为a+b+c
（2）复数
由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：
sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）2i
cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）2
（3）三角形
设R为三角形外接圆半径，r为切圆半径，d为外心到心的距离，则：
d＾2=R＾2-2Rr
（4）多面体
设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则
v-e+f=2-2p
p为欧拉示性数，例如
p=0 的多面体叫第零类多面体
p=1 的多面体叫第一类多面体
(5) 多边形
设一个二维几何图形的顶点数为V，划分区域数为Ar，一笔画笔数为B,则有：
V+Ar-B=1
(如：矩形加上两条对角线所组成的图形，V=5,Ar=4,B=8)
(6). 欧拉定理
在同一个三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九点圆圆心Nine- point-center、垂心Orthocenter共线。
其实欧拉公式是有很多的，上面仅是几个常用的。
使用欧拉定理计算足球五边形和六边形数
问：足球表面由五边型和六边型的皮革拼成，计算一共有多少个这样的五边型和六边型？
答：足球是多面体，满足欧拉公式F－E＋V＝2，其中F,E,V分别表示面,棱,顶点的个数
设足球表面正五边形(黑皮子)和正六边形(白皮子)的面各有x个和y个，那么
面数F＝x＋y
棱数E＝(5x+6y)2（每条棱由两块皮子共用）
顶点数V＝(5x+6y)3（每个顶点由三块皮子共用）
由欧拉公式，x＋y－(5x+6y)2＋(5x+6y)3＝2，
解得x＝12。所以，共有12块黑皮子
所以，黑皮子一共有12×5＝60条棱，这60条棱都是与白皮子缝合在一起的
对于白皮子来 说：每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其它白色皮子的边缝在一
起。
所以白皮子所有边的一半是与黑皮子缝合在一起的
那么白皮子就应该一共有60×2＝120条边，120÷6＝20
所以共有20块白皮子
（或者，每一个六边形的六条边都与其它的三个六边形的三条边和三个五边形的三条边连接；每一个 五边形的五条边都与
其它的五个六边形的五条边连接
所以，五边形的个数x=3y5。
之前求得x=12，所以y=20）
【同余理论中的欧拉定理】
设a,m∈N,(a,m)=1,则a^(f(m))≡1(mod m)
(注:f(m)指模m的简系个数)
十三、子定理

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今有物不知其数，三三数之余二 ，五五数之余三 ，七七数之余二，问物几何？”
十四、组合
圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式；
组合计数，组合几何；
抽屉原理；
容斥原理；
极端原理；
图论问题；
集合的划分；
覆盖；
平面凸集、凸包及应用*。


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