高中数学公式定理定律概念大全75720

１.1 集合的概念与运算


（1）元素
a
和集 合A之间的关系：
a∈A，
或
a
?
A
；
（2）常用数集： 自然数集：N 正整数集：
N*
或
N
?

整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R

子集
（1）定义：A中的任何元素都属于B，则A叫B的子集 ；记作：A
?
B，
注意：A
?
B时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ
（2）性质：①
A?A,
?
?A
；②若
A?B,B?C
，则
A?C
；
③若
A?B,B?A
则
A
=
B
；
真子集
（1）定义：A是B的子集 ，且B中至少有一个元素不属于A；记作：
A?B
； < br>（2）性质：①
A?
?
,
?
?A
；②若
A? B,B?C
，则
A?C
；
补集：
（1）定义：记作：
C
U
A?{x|x?U,且x?A}
；

（C
U
A）?A
； （2）性质：
A?C
U< br>A?
?
，A?C
U
A?U，C
U
交集与并集
（1）交集：
AB?{x|x?A,且x?B}

性质：①
A?A?A,A?
?
?
?
②若
A?B?B
，则
B?A

（2）并集：
AB?{x|x?A,或x?B}

性质：①
A?A?A,A?
?
?A
②若
A?B?B
，则
A?B

集合运算中常用结论
(1)
AB?A?AB?B?A?B?C
U
B?C
U
A

（2）含n个元素的集合的所有子集有
2
n
个

2.1 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系:
判别式：△=
b
-4
ac

二次函数
y
2
??0

y
??0


??0

y
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)

的图象


一元二次方程
有两相异实数根 有两相等实数根
没有实数根

x
1

O

x
2

x
O
x
1
=x
2

x
O

x
ax?bx?c?0(a?0)
的根
一元二次不等式
2x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)

x
1
?x
2
??
b

2a
ax?bx?c?0(a?0)
的解集
一元二次不等式
2
{x|x?x
1
,x?x
2
}

“＞”取两边
{x|x??
b
}

2a
R
ax?bx?c?0(a?0)
的解集

简易逻辑
2
{x|x
1
?x?x
2
}

“＜”取中间
?

?

真值表：p或q，同假为假，否则为真；
p且q，同真为真, 否则为假；
非p，真假相反。

四种命题
（1）命题的四种形式：
原命题：若p则q；
逆命题：若q则p；
否命题：若
?
p则
?
q；
逆否命题：若q则p；
注意：
①互为逆否的两个命题是等价的；
②“命题的否定”与“否命题”
不同；


（2）利用集合之间的包含关系判断命题之间的充要关系
设满足条件p的元素构成集合A，
满足条件q的元素构成集合B
①若
A?B
，则p是q成立的充分条件；
②若
A?B
，则p是q的充要条件；
③若
A?B
，则p是q的充分不必要条件；
④若
A?B,且B?A
，则p是q的既不充分也不必要条件。
??
原命题
若p则q
互
互
互逆
否
为
逆


为
逆
逆命题
若q则p
互
否命题
若
?
p则
?
q
互逆
逆否命题
若
?
q则
?
p


第三章 基本初等函数（Ⅰ）
函数名称

函数的记号

函数的图形

函数的性质

a):不论x为何值,y
指数函数

总为正数;


b):当x=0时,y=1.

a):其图形总位于y
轴右侧,并过(1,0)点
对数函数

b):当a＞1时,在区

间(0,1)的值为负；在区

间(-,+∞)的值为正；在
定义域内单调增.

令a=mn
a):当m为偶数n为奇
数时,y是偶函数;
幂函数


a为任意实数

b):当m,n都是奇数
时,y是奇函数;
这里只画出部分函数图
形的一部分。

c):当m奇n偶时,y
在(-∞,0)无意义.

1.
指数运算：a?1(a?0)，a

a
m
n
0?p
?
1
(a?0)

p
a
?a
n
m
(a?0)，a
?
m
n?
1
n
a
m
(a?0)

2.
对数运算：log
a
M·N?log
a
M?log
a
NM ?0，N?0


log
a
??
M1
?lo g
a
M?log
a
N，log
a
n
M?loga
M

Nn
log
a
x

对数恒等式：a?x

对数换底公式：log
a
b?
log
c
b
n
?log
a
mb
n
?log
a
b

log
c
am

第四章 基本初等函数（Ⅱ）
1、角的换算
(1)换算关系:
180?
?
(弧度)
(2 )弧长公式:
l?
?
180
?
1弧度?()?57
?
18
?

?
?
?r
扇形面积公式:
S?lr?
1
2
1
?
r
2

2
2、特殊角的三角函数值
?

sin
?

0
30
0

45
0

2

2
60
0

3

2
90
0

180
0

270
0

0
1

2
3

2
3

3
1 0
?1

cos
?
1
2

2
1
1

2
3

0
?1

0
不存
在
tan
?
0
不存
在
0

3、任意角的三角函数

sin
?
?
yxy
，
cos
?
?
，
tan
?
?
，
rrx
三角函数值的符号规律：“
一全二正弦，三切四余弦
”


4、诱导公式：“
k?
?
2
?
?
，奇变 偶不变，符号看象限”

?

2k
?
?
?

?
?

?
?
?

?
?
?

2
?
?
?

2
?
?
?
?

2
?
?

正
弦
余
弦
正
切
余
切

sin
?

cos
?

?sin
?

cos
?

sin
?

?sin
?

?sin
?

cos
?

cos
?

?cos
?

?cos
?

cos
?

sin
?

?sin
?

tan
?

cot
?

?tan
?

?tan
?

?cot
?

?cot
?

tan
?

cot
?

?tan
?

cot
?

?cot
?

?cot
?

tan
?

?tan
?

5、同角三角函数的基本关系式
：
①平方关系
sin
2
?
?cos
2
?
?1
；；
sin
?
②商式关系
?tan
?
；
cos
?
6、两角和与差公式
令???
sin
?
???
?
?sin?cos??cos?sin??????sin2??2sin?cos?
令???
cos
?
???
?
?cos?cos??sin? sin??????cos2??cos
2
??sin
2
?

tan
?
???
?
?
tan??tan?
22

?2cos??1?1?2sin??

1?tan?·tan?
1?cos2?
2

1?cos2?
2
sin??
2
cos
2
??
ta n2??
2tan?

1?tan
2
?


7、三角函数的图像和性质


图像


y?sinx


y?cosx


y?tanx

定义域
值域
周期性
奇偶性



单调性
[?
R
[?1,?1]

R
[?1,?1]

1
??< br>x|x?R且x?k
?
?
?
,k?Z
??

2
??
R
?


2
?

奇函数
2
?

偶函数
[
?
2k?1
?
?
,
奇函数
上为增函

?
?
?
?
?
??k
?
,?k
?
?
上
2
?
2
?
?
2
?2k
?
,
?
2
上为增函
2k
?]
?2k
?
]
数；
[2k
?
,
?2k?1
?
?
]
为增函数（
k?Z
）
[?2 k
?
,
数；
2
上为减
3
?
?2k
?
]
2
?
上为减函数
（
k?Z
）
函数（
k?Z
）
注意：
1.
y??sinx
与
y?sinx
的单调性正好相反；
y??cosx
与
y?cosx< br>的单调性
也同样相反．一般地，若
y?f(x)
在
[a,b]
上递增（减），则
y??f(x)
在
[a,b]
上递减（增）．
2 .
y?sin(
?
x?
?
)
或
y?cos(
?
x?
?
)
（
?
?0
）的周期
T?3.
y?sin(
?
x?
?
)
的对称轴方程是
x?k
?
?
?
2
2
?
?
．
（
k?Z
），对称中心（
k
?
,0
）；
，对称中心（
k
?
?
1
?
,0
）； y?cos(
?
x?
?
)
的对称轴方程是
x?k
?
（
k?Z
）
2

abc1
???2R
S?bcsinA??
sinAsinBsinC2
8.正弦定理：， ；

余弦定理：

b
2
?c
2
?a
2< br>a
=
b?c?2bccosA
cosA=
2bc
222
第五章 立体几何
1、.空间两条直线的位置关系：
平行、相交、异面
2、直线与平面
、位置关系：在面内、相交、平行
、直线与平面平行
判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么
这条直线和这个平面平行
性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这
个平面相交，那么这条直线 和交线平行。
、直线与平面垂直
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么
这条直线垂直于这个平面
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行
3、平面与平面
、位置关系：平行 ，相交
、两个平面平行
判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一平面，那么
这两个平面平行．
另：垂直于同一条直线的两个平面平行．
性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交
线平行．
另：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直于另
一个平面．
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另
一个平面

、两个平面垂直
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平
面互相垂直。
性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的
直线垂直于另一个平面。
5、简单几何体

V
棱柱
?Sh

V
棱锥
?
1
4
Sh

V
球
＝πR
3

3
3
第六章 平面向量
1.两个向量共线的充要条件：
①向量b与非零向量
a
共线
?有且仅有一个实数
?
，使得b=
?
a
．
② 若
a
=（
x
1
,y
1
）,b=（
x
2,y
2
）则
a
∥b
?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
．
2、向量的数量积：
(1 )定义：已知两个非零向量
a
与
b
，它们的夹角为
?
，则
a
·
b
=︱
a
︱·︱
b
︱cos
?
．
其中︱
b
︱cos
?
称为向量
b
在
a
方向上的投影．
(2) 若a=（
x
1
,y
1
）,b=（
x
2
,y
2
）则a﹒b=
x
1
x
2
?y
1
y
2

（3）性质：
a
⊥
b
?
a
·
b
=0
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
（
a< br>，
b
为非零向量）;
︱
a
︱=
a?a?
c os
?
=
x
1
?y
1
;
x
1< br>x
2
?y
1
y
2
x
1
?y
1
?x
2
?y
2
2222
22
a?b
a? b
=．
（3）若点
A(x
1
,y
1
)，B(x< br>2
,y
2
)
则
AB?(x
2
?x
2
)
2
?(y
2
?y
1
)
2

第七章 平面解析几何
1、直线和圆
1.１ 直线的倾斜角与斜率：
直线的倾斜角范围是[0,π]，
直线的斜率：
k?tan
?
,k?
y
2
?y
1
A
x
,k? ?
2
?x
1
B

1.２ 直线方程的几种形式：
点斜式：
y?y
0
?k(x?x
0
)
， 斜截式：
y?kx?b


1.３ 两条直线的位置关系
（1）平行： 若斜率存在：l
1
：y=k
1
x+b
1；l
2
：y=k
2
x+b
2
有
l
1
∥l
2
?
k
1
=k
2
且b
1≠b
2
；

（2）垂直：若斜率存在：l
1
：y=k
1
x+b
1
；l
2
：y=k
2
x+b2
有
l
1
⊥l
2
?
k
1
·k
2
=-1 l
1
⊥l
2
?
k
1
·k
2
=-1













点到直线的距离公式
点
P(x
0
,y
0
)
到直线
l：Ax?By?C?0
的距离
d?Ax
0
?By
0
?C
A
2
?B
2
：

两平行直线间的距离：
两条平行直线
l
1
：Ax?By?C
1
?0，l
2
：Ax?By?C
2?0
距离：
d?
C
1
?C
2
A?B
2 2

圆的方程
（1）圆的标准方程:
(x?a)?(y?b)?r
.
（2）圆的一般方程 :
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D
2
?E
2
?4 F
＞0).
22
222
直线与圆的位置关系：
相离、相切和相交。
?
d?r?相交
判断方法（几何法）：圆心到直线的距 离
?
?
d?r?相切

?
d?r?相离
?
弦长问题：利用垂径定理，构造直角三角形解决

2.圆锥曲线
一、椭圆
PF
1
?PF
2
?2a ?F
1
F
2
方程为椭圆,
1．椭圆方程的定义：
PF?PF ?2a?FF无轨迹,
1212

PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
以F
1
,F
2
为端点的 线段
平面内与两定点F1，F2的距离的和为常数(大于
其中两定点F1，F2叫焦点，定点间 的距离叫焦距。
（1）①椭圆的标准方程：
2
2
y
x
i ．中心在原点，焦点在x轴上：
??1(a?b?0)
．
22
ab
F
1
F
2
)的点的轨迹。

22
ii．中心在 原点，焦点在
y
轴上：
y
?
x
?1(a?b?0)
．
22
ab
几何性质
①顶点：
(?a,0)(0,?b)
或
(0,?a)(?b,0)
．②轴：对称轴：
x
轴，
y
轴；长轴长
2a
，
短轴长
2b
．
③焦点：
(?c ,0)(c,0)
或
(0,?c)(0,c)
．④焦距：
F
1
F
2
?2c,c?a
2
?b
2
．
二、双曲线
1．双曲线的定义：
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
方程为双曲线
PF
1
?PF
2
?2a ?F
1
F
2
无轨迹
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
以F
1
,F
2
的一个 端点的一条射线
平面内与两个定点
F
1
,F
2
距离的差的绝 对值等于
2a(2a?|F
1
F
2
|)
的点的
轨迹 。

x
2
y
2
y
2
x
2
?
2
?1(a,b?0),
2
?
2
?1(a,b?0)< br>2
abab
（1）双曲线标准方程：．
（2）①i．焦点在
x
轴上：顶点：
(a,0),(?a,0)
，焦点：
(c,0),(?c,0)
，
x
2
y
2
x
y
渐近线方程：
??0< br>或
2
?
2
?0

ab
ab
ii．焦 点在
y
轴上：顶点：
(0,?a),(0,a)
．焦点：
(0,c) ,(0,?c)
．渐
y
2
x
2
y
x
近线方 程：
??0
或
2
?
2
?0
．
ab
ab
②轴
x,y
为对称轴，实轴长为2
a
, 虚轴长为2
b
，焦距2c．③离心率
e?
c
．
a
（3）等轴双曲线：双曲线
x
2
?y
2
??a
2
称 为等轴双曲线，其渐近线方程为
y??x
，离心率
e?2
．

三、抛物线
设
p?0
，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：

图
形
x
O
y
2
?2px

▲
y
2
??2px

▲
x
2
?2py

y
▲
x
2
??2py

▲
y
y< br>y
x
O
x
O
x
O

焦
点

F(
p
,0)

2

F(?
p
,0)

2

F(0,
p
)

2

F(0,?
p
)

2
直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）判定方法：联立直线与圆锥曲线方程，消元得关于x（或y）的一
元二次方程，求出
?
，根据
?
判定直线与圆锥曲线的
位置关系
（2）弦长 公式：直线y=kx+b和圆锥曲线f(x,y)=0交于两点
P
1
(x
1< br>,y
1
) ,P
2
(x
2
,y
2
)
则弦长P
1
P
2
=
1?k
2
|x
1
?x
2
|
?

(1?k
2
)[(x1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
]

第八章 不等式

1、不等式的基本性质：此类选择题多采用取特殊值法处理

2、均值不等式：
若
a,b?R
，则
a?b?2ab
（当且仅当
a?b
时取等号）
若
a,b?0
，则
22
a?b
?ab（当且仅当
a?b
时取等号）
2
第九章 数列
1.等差数列的性质：
①．等差数列任意两项间的关系：如果
a
n
是等差数列的第
n
项，
a
m
是
等差数列的第
m项，且
m?n
，公差为
d
，则有
a
n
?am
?(n?m)d

②.对于等差数列
?
a
n
?
，若
n?m?p?q
，则
a
n
?a
m
? a
p
?a
q
。
2.等差数列的通项公式
等差数列{a< br>n
}的首项是a，公差是d时，该数列的通项公式是
a=a+(n1)d.
3.等差数列{a
n
}的前n项的和的公式

等差数列{a
n
}的首项是a
1
，公差是d时，该数列的前n项的和的
公式是

4.等比数列的通项公式
等比数列{a
n
}的首项是a
1
，公比是q时，该数列的通项公式是
a
n
=a
1
q
n-1< br>

5.等比数列的性质：
⑴．
a
n
?a
m
q
n?m

⑵.若
n ?m?u?v
，则
a
n
?a
m
?a
u
?a
v

6.数列的求和方法：
(1)等差与等比数列
(2)裂项相消法：
常用裂项公式①
11
?
1
?
1
，②
?
1
(
1
?
1
)
， < br>n(n?1)nn?1n(n?k)knn?k
?
c
n
?
成等 比数列
(3)错位相减法：
a
n
?b
n
?c
n
,
?
b
n
?
成等差数列，