高中数学-微积分基本定理

高中数学-微积分基本定理

A级 基础巩固
一、选择题
1．(2018·四平模拟)定积分
?
1
x
2－
x
?0
d
x
的值为( A )
π
A．
4
C．π
[解析] ∵
y
＝
x
22
π
B．
2
D．2π
2－
x
，
∴(
x
－1)＋
y
＝1表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆，
∴定积分
?
1
x
?
0
?
0
2－< br>x
d
x
所围成的面积就是该圆的面积的四分之一，
π
2－
x
d
x
＝，
4
∴定积分
?
1
x
故选A．
2．(2018·铁 东区校级二模)由曲线
xy
＝1与直线
y
＝
x
，
y
＝3所围成的封闭图形面积为
( D )
A．2－ln3
C．2
B．ln3
D．4－ln3
1
[解析] 方法一：由
xy
＝1，
y
＝3可得交点坐标为(，3)，由
xy
＝1，
y
＝
x
可得交点坐
3
标为(1,1)，

由
y
＝
x
，
y
＝3可得交点坐标为(3,3)，
∴由曲线
xy
＝1，直线
y
＝
x
，
y＝3所围成的平面图形的面积为
1

?
(3－
1< br>)d
x
＋
?
3
(3－
x
)d
x＝(3
x
－ln
x
)|

1
＋(3
x
－
1
x
2
)|
3
1
，
?
x
2
3
?
1
1
?
1
3
1
91
＝(3－1－ln3)＋(9－－3＋)＝4－ln3
22
故选D．
1
方法二：由
xy
＝1，
y
＝3可得交点坐标为(，3)，
3
由
xy
＝1，
y
＝
x
可得交点坐标为( 1,1)，
由
y
＝
x
，
y
＝3可得交点坐标为(3,3)，
11
2
91
3
对
y
积分，则
S
＝
?
3
(
y
－)
dy
＝(
y
－lny
)|
1
＝－ln3－(－0)＝4－ln3，
y
222
?
0
故选D．
3．(2018·安庆高二检测) 已知函数
f
(
x
)＝
x
＋
mx
的导函数< br>f
′(
x
)＝2
x
＋2，则
?
3
f
(－
n
?
1
x
)d
x
＝( D )
A．0
2
C．－
3
n
B．3
2
D．
3
[解析] ∵
f
(
x
)＝x
＋
mx
的导函数
f
′(
x
)＝2
x
＋2，
∴
nx
n
－1
＋
m
＝2
x
＋2，
解得
n
＝2，
m
＝2，
∴
f
(
x
)＝
x
＋2
x
，
∴
f
(－
x
)＝
x
－2
x
， < br>1
3
12
223
∴
?
3
f
(－x
)d
x
＝
?
3
(
x
－2
x
)d
x
＝(
x
－
x
)|
1
＝9－ 9－＋1＝，故选D．
333
??
11
2
2
4．函数F
(
x
)＝
?
x
cos
t
d
t
的导数是( A )
?
0
A．
f
′(
x
)＝cos
x

C．
f
′(
x
)＝－cos
x

x
B．
f
′(
x
)＝sin
x

D．
f
′(
x
)＝－sin
x

[解析]
F
(
x
)＝
?
x
cos
t
d
t
＝sin
t
|
0

＝sin
x
－sin0＝sin
x
．
?
0
所以
f
′(
x
)＝cos
x
，故应选A．
5．(2018·昆明高二检测 )若直线
l
1
：
x
＋
ay
－1＝0与
l< br>2
：4
x
－2
y
＋3＝0垂直，则积分
?
a

?
－a
(
x
＋sin
x
－5)d
x
的值为( D )
A．6＋2sin 2

3
B．－6－2cos 2
2

C．20 D．－20
[解析] 由
l
1
⊥
l
2
得4－2< br>a
＝0即
a
＝2，∴原式＝
?
(
x
＋sin
x
－5)d
x
＝
?
(
x
＋sin
x
)d
x
＋
?
(－5)d
x
＝0－20＝－20．
?
－2
?
－2
?
－2
π
2
θ
?

?
?
6．< br>3
?
1－2sin
?
d
θ
的值为( D )
2
?
?
?
?
0
2
3
2
3
2
A．－
3

2
1
B．－
2
D．
2
1
C．
2
[解析] ∵1－2sin
3

2
θ
2
＝cos
θ
，
ππ
2
θ
?

?

??
∴
3
?
1－2sin
?
d
θ
＝
3
cos< br>θ
d
θ

2
?
?
?
?
?< br>0
?
0
?
π
＝sin
θ
?
3
?
?
0

＝
3
，故应选D．
2
二、填空题
7．从如图所示的长方形区域内任取一个点
M
(x
，
y
)，则点
M
取自阴影
1
部分的概率为．
3
[解析] 长方形的面积为
S
1
＝3，
S
阴＝
?
1
3
x
d
x
＝
x
|0

＝1，则
P
＝
23
1
?
0
S
阴
＝
S
1
1
．
3
1
28．已知
f
(
x
)＝3
x
＋2
x
＋1 ，若
?
1
f
(
x
)d
x
＝2
f< br>(
a
)成立，则
a
＝－1或．
3
?
－1
[解析] 由已知
F
(
x
)＝< br>x
＋
x
＋
x
，
F
(1)＝3，
F< br>(－1)＝－1，
∴
?
1
f
(
x
)dx
＝
F
(1)－
F
(－1)＝4，
32
?< br>－1
∴2
f
(
a
)＝4，∴
f
(
a
)＝2．
1
2
即3
a
＋2
a
＋1＝2． 解得
a
＝－1或．
3
三、解答题
9．计算下列定积分：
3

x
2
＋2
x
－3
(1)?
(4－2
x
)(4－
x
)d
x;
(2)
?
d
x
．
x
??
2
0
2
2
1
[解析] (1)?
2
(4－2
x
)(4－
x
)d
x
＝
?
2
(16－8
x
－4
x
＋2
x
)d
x

223
?
0
?
0
4
3< br>1
4
?
2
3240
2
?
＝
?
16
x
－4
x
－
x
＋
x
?
|< br>0

＝32－16－＋8＝．
32
?
33
?
3
?
x
2
＋2
x
－3
?
(2)
?
d
x
＝
?
2
?
x
＋2－
?d
x

x
?
x
??
?
2
11
1
2
??
2
7
＝
?
x
＋2
x
－3ln
x
?
|
1

＝－3ln2．
2
?
2
?
10．(2017·泉州模拟)已知
f
(
x
)＝(
kx
＋
b
)e且曲线
y
＝
f< br>(
x
)在
x
＝1处的切线方程为
y
＝e(
x
－1)．
(1)求
k
与
b
的值；
(2)求
?
1
x
·ed
x
．
x
x
?
0
[解析] (1)∵
f
(
x
)＝(
kx
＋
b
)e，
∴
f
′(
x
)＝(
kx
＋
k
＋< br>b
)e，
∴
f
′(1)＝e，
f
(1)＝0， < br>即
?
?
?
?
?
x
x
2
k< br>＋
b
e＝e
k
＋
b
e＝0


解得
k
＝1，
b
＝－1．
(2)由(1)知
f
(
x
)＝(
x
－1)e，
x
f
′(
x
)＝
x
e
x
， ∴
?
1
(
x
e)d
x
＝(
x
－1)e|
0
＝0＋1＝1．
xx
1
?
0
B级 素养提升
一、选择题
1
2
x
1．(2016·岳阳高二检测)若
S
1
＝
?
2
x
d
x
，
S
2
＝
?
2
d
x
，
S
3
＝
?
2
ed
x
，则
S
1
，
S
2
，
S
3
的大小
?
1
?
1
x< br>?
1
关系为( B )
A．
S
1
<
S
2
<
S
3

C．
S
2
<
S
3
<
S
1

7
2
[解析]
S
1
＝
?
x
d< br>x
＝|
1
＝．
33
?
2
2
1B．
S
2
<
S
1
<
S
3

D．
S
3
<
S
2
<
S
1

x
3
S
2
＝
?
2
d
x
＝ ln
x
|
2
1
＝ln2－ln1＝ln2．
?
x
1
1
4

2
S
3< br>＝
?
2
e
x
d
x
＝e
x
|
2
1
＝e－e＝e(e－1)．
?
1
∵e>2．7，∴< br>S
3
>3>
S
1
>
S
2
．故选B．
b
?
fx
d
x
?
a
2．定义在R上的可导 函数
y
＝
f
(
x
)，如果存在
x
0
∈[
a
，
b
]，使得
f
(
x
0
)＝
3
b
－
a
成
立，则称
x
0
为 函数
f
(
x
)在区间[
a
，
b
]上的“平 均值点”，那么函数
f
(
x
)＝
x
－3
x
在区间[－
2,2]上“平均值点”的个数为( C )
A．1
C．3
B．2
D．4
3
2
?

x
－3
x
d
x
?
－2
[解析] 由已知得：
f
(
x
0
)＝
4
＝

?
1
x
4
－
3
x
2
??
2
?
4
?
－2
2
?
???
4
＝0，即x
0
－3
x
0
＝0，
3
解得：
x0
＝0或
x
0
＝±3，∴
f
(
x
)的 平均值点有3个，故选C．
二、填空题
?

2
3．
?
(
x
＋cos
x
)d
x
＝2．
?
?
–
π
2
π
?

2
[解析]
?
?
?
–
π
2
π
?
1
?
(
x
＋cos
x
)d
x
＝(
x
＋sin
x
)
2
?
?
2
π
2
π
-
2



＝2．
9
2
4．函数
y
＝
x
与
y
＝
kx
(
k
>0)的图象所围成的阴影部分 的面积为，则
k
＝3．
2
?
?
y
＝
kx
，
[解析] 由
?
2
?
?
y
＝
x
，

?
?
x
＝0，
解得
?
?
?
y
＝0 ，

?
?
x
＝
k
，
或
?
2
?
?
y
＝
k
.
1
2
1
3
k
1
3
1
3
1
3
9
2
由题意得，
?
k
(
kx
－
x
)d
x
＝(
kx
－
x
)|
0
＝
k
－
k
＝
k
＝，∴
k
＝3．
232362
?
0
三、解答题
5．已知
f
(x
)＝
ax
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)，且
f
(－1)＝2，
f
′(0)＝0，
?
1f
(
x
)d
x
＝－2，求
a
、
2?
0
b
、
c
的值．
[解析] ∵
f
(－1)＝2，∴
a
－
b
＋
c
＝2．①
又∵
f
′(
x
)＝2
ax
＋
b
，∴
f
′(0)＝
b
＝0②
而
?
1
f
(
x)d
x
＝
?
1
(
ax
＋
bx
＋
c
)d
x
，
2
?
0
?
0
5

1
3< br>1
2
取
F
(
x
)＝
ax
＋
bx
＋
cx
，
32
则
f
′(
x
)＝
ax
＋
bx
＋
c
，
11
∴
?
1
f
(
x
)d
x
＝F
(1)－
F
(0)＝
a
＋
b
＋
c< br>＝－2③
32
?
0
2
解①②③得
a
＝6，
b
＝0，
c
＝－4．
6．如图，直线
y
＝
kx
分抛物线
y
＝
x
－
x
与
x
轴所围成图形为面积相等的两部分，求
k
的值．
2

[解析] 抛 物线
y
＝
x
－
x
与
x
轴两交点的横坐标< br>x
1
＝0，
x
2
＝1，所以，抛物线与
x
轴 所
围图形的面积
2
S
＝
?
(
x
－
x
)d
x
＝(－)|
1
0
＝－＝．
1
2
x
2
x
3
23
?
0
11
23< br>1
6
抛物线
y
＝
x
－
x
与直线y
＝
kx
两交点的横坐标为
x
′
1
＝0，x
′
2
＝1－
k
，所以＝
?
1－
k< br> (
x
2
?
0
2
S
1－
k
2
x
1－
k
1
－
x
－
kx
)d< br>x
＝(
x
－)|
0
＝(1－
k
)
3
，
236
2
3
11
3
又知
S
＝ ，所以(1－
k
)＝．
62
3
3
14
于是
k
＝1－＝1－．
22
C级 能力拔高
设
f
(
x
)是二次函数， 方程
f
(
x
)＝0有两个相等的实根，且
f
′(
x
)＝2
x
＋2．
(1)求
y
＝
f
(
x
)的表达式．
(2 )若直线
x
＝－
t
(0<
t
<1)把
y
＝
f
(
x
)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求
t
的值．
[解析] (1)设
f
(
x
)＝
ax
＋< br>bx
＋
c
(
a
≠0)，
则
f
′(
x
)＝2
ax
＋
b
，
又已知
f
′(
x
)＝2
x
＋2，所以
a< br>＝1，
b
＝2，
所以
f
(
x
)＝
x
＋2
x
＋
c
．
又方程
f
(
x
)＝0有两个相等实根．
所以判别式
Δ
＝4－4
c
＝0，即
c
＝1．
6
2
2

故
f
(
x
)＝
x
2
＋2
x
＋1．
(2)依题意有
?
－
t
(
x
2
?
＋2
x
＋1)d
x< br>
－1
＝
?
0
(
x
2
?
＋ 2
x
＋1)d
x
，
－
t
所以
?
?
1
?
3
x
3
＋
x
2
＋
x
?
?
?
|
－
t
－1
＝
?
?
1
?
3
x
3
＋
x
2
＋
x
?
?
0
?
|
－
t

即－1
3
11
3
t
＋
t
2
－
t< br>＋
3
＝
3
t
3
－
t
2
＋< br>t
．
所以2
t
3
－6
t
2
＋6< br>t
－1＝0，
所以2(
t
－1)
3
＝－1，
所以
t
＝1－
1
．
3
2
7