高中数学选修微积分基本定理

[学习目标] 1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微 积分
基本定理求一些函数的定积分.
知识点一 导数与定积分的关系
f(x)dx 等于函数f(x)的任意一个原函数F(x)(F′(x)＝f(x))在积分区间[a，b]上的
改变 量F(b)－F(a).
以路程和速度之间的关系为例解释如下：
如果物体运动的速度函数 为v＝v(t)，那么在时间区间[a，b]内物体的位移s可
以用定积分表示为s＝v(t)dt.另 一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为
s＝s(t)，那么在时间区间[a，b]内物体的位移 为s(b)－s(a)，所以有v(t)dt＝s(b)
－s(a).由于s′(t)＝v(t)，即s (t)为v(t)的原函数，这就是说，定积分v(t)dt等于
被积函数v(t)的原函数s(t)在 区间[a，b]上的增量s(b)－s(a).
思考 函数f(x)与其一个原函数的关系：
(1)若f(x)＝c(c为常数)，则F(x)＝cx；
(2)若f(x)＝x
n
(n≠－1)，则F(x)＝·x
n
＋
1
；
(3)若f(x)＝，则F(x)＝lnx(x>0)；
(4)若f(x)＝e
x
，则F(x)＝e
x
；
(5)若f(x)＝a
x
，则F(x)＝(a>0且a≠1)；
(6)若f(x)＝sinx，则F(x)＝－cosx；
(7)若f(x)＝cosx，则F(x)＝sinx.

知识点二 微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[
a
，
b
]上的连续 函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx
＝F(b)－F(a).
思考 (1)函数f(x)的原函数F(x)是否唯一？
(2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么？
答案 (1)不唯一.
( 2)①把被积函数f(x)变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等初等函数
与常数的和或差；
②用求导公式找到F(x)，使得F′(x)＝f(x)；
③利用微积分基本定理求出定积分的值.
题型一 求简单函数的定积分
例1 计算下列定积分.
(1)3dx；(2)(2x＋3)dx；
(3)(4
x
－
x
2
)d
x
；(4)(
x
－1)
5< br>d
x
.
解 (1)因为(3x)′＝3，
所以3dx＝(3x)＝3×2－3×1＝3.
(2)因为(x
2
＋3x)′＝2x＋3，
所以(2x＋3)dx＝(x
2
＋3x)
＝2
2
＋3×2－(0
2
＋3×0)＝10.

(3)因为′＝4x－x
2
，
所以(4x－x
2
)dx＝
＝－＝.
(4)因为′＝(x－1)
5
，
所以(x－1)
5
dx
＝(x－1)
6

＝(2－1)
6
－(1－1)
6
＝.
反思与感悟 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤：
①求f(x)的一个原函数F(x)；
②计算F(b)－F(a).
(2)注意事项：
①有时需先化简，再求积分； < br>②若F(x)是f(x)的原函数，则F(x)＋C(C为常数)也是f(x)的原函数.随着常数C的变化，f(x)有无穷多个原函数，这是因为F′(x)＝f(x)，则[F(x)＋C]′＝F′(x)
＝f(x)的缘故.因为f(x)dx＝[F(x)＋C]|＝[F(b)＋C]－[F(a)＋C]＝ F(b)－F(a)＝
F(x)|，所以利用f(x)的原函数计算定积分时，一般只写一个最简单的原 函数，
不用再加任意常数C了.
跟踪训练1 求下列函数的定积分：
(1)
2
dx；(2)(1＋)dx.
解 (1)
2
dx

＝dx
＝x
2
dx＋2dx＋dx
＝x
3
+2x+
＝×(2
3
－1
3
)＋2×(2－1)－
＝.
(2)(1＋)dx
＝(＋x)dx
＝
＝－
＝.
题型二 求分段函数的定积分
例2 求函数f(x)＝在区间[0,3]上的定积分.
解 由定积分的性质知：
f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＋f(x)dx
＝x
3
dx＋x
2
dx＋2
x
dx
＝＋＋
＝＋－＋－
＝＋.

反思与感悟 (1 )分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成几个定积分的和的形
式.(2)分段的标准是确定每一段 上的函数表达式，即按照原函数分段的情况分
就可以.
跟踪训练2 求下列定积分：
(1)|x
2
－1|dx；(2)dx.
解 (1)∵y＝|x
2
－1|＝
∴|x
2
－1|dx＝(1－x2
)dx＋(x
2
－1)dx
＝＋
＝＋－
＝2.
(2)dx
＝|sinx－cosx|dx
＝(cosx－sinx)dx＋(sinx－cosx)dx
＝(sinx＋cosx)＋(－cosx－sinx)
＝－1＋(－1)－
＝2－2.
题型三 定积分的简单应用
例3 已知f(a)＝(2ax
2
－a
2
x)dx，求f(a)的最大值.
解 ∵′＝2ax
2
－a
2
x，
∴(2ax
2
－a
2
x)dx＝

＝a－a
2
，
即f(a)＝a－a
2
＝－＋
＝－
2
＋，
∴当a＝时，f(a)有最大值.
反思与感悟 定积 分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造
新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等 方面的考查，解题过程中注意体
会转化思想的应用.
跟踪训练3 已知f(x)＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝
－2，求a 、b、c的值.
解 由f(－1)＝2，得a－b＋c＝2.①
又f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝0，②
而f(x)dx＝(ax
2
＋bx＋c)dx
＝
＝a＋b＋c，
∴a＋b＋c＝－2，③
由①②③式得a＝6，b＝0，c＝－4.
等于( )
A.2(－1)
C.－1
答案 C
B.＋1
D.2－

解析 结合微积分基本定理，得
dx＝(cosx－sinx)dx＝(sinx＋cosx)＝－1.
2.下列定积分的值等于1的是( )

C.1dx
答案 C
解析 xdx＝x
2
＝，(x＋1)dx＝＝＋1＝，1dx＝x＝1，dx＝x＝.故选C.
＝.
答案
解析 dx＝x
2
dx－xdx
＝－＝－＝.
4.设函数f(x)＝则f(x)dx＝.
答案
解析 f(x)dx＝(x
2
＋1)dx＋(3－x)dx
＝＋＝.
5.已知函数f(x)为偶函数，且f(x)dx＝8，则f(x)dx＝.
答案 16
解析 因为函数f(x)为偶函数，且f(x)dx＝8，所以f(x)dx＝2f(x)dx＝16.
1.求定积分的一些常用技巧
B.(x＋1)dx

(1)对被积函数，要先化简，再求积分.
(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求
和.
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分.
2.由于定积分的值可 取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此
不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区 间上的定积分之和，而是在x
轴下方的图形面积要取定积分的相反数.
一、选择题
1.函数y＝cosxdx的导数是( )
.－－
答案 A
解析 (sinx)′＝cosx，cosxdx＝sinx＝sinx，故选A.
2.若F′(x)＝x
2
，则F(x)的解析式不正确的是( )
A.F(x)＝x
3

B.F(x)＝x
3

C.F(x)＝x
3
＋1
D.F(x)＝x
3
＋c(c为常数)
答案 B
解析 若F(x )＝x
3
，则F′(x)＝3x
2
，这与F′(x)＝x
2
不一致，故选B.
3.|x＋2|dx等于( )

A.(x＋2)dx
B.(－x－2)dx
C.(x＋2)dx＋2(－x－2)dx
D.(－x－2)dx＋(x＋2)dx
答案 D
解析 ∵|x＋2|＝
∴|x＋2|dx＝(－x－2)dx＋(x＋2)dx.
故选D.
4.已知f(x)＝则－1f(x)dx的值为( )
A.B.C.D.－
答案 B
解析 f(x)dx＝x
2
dx＋1dx＝＋x|10＝＋1＝，故选B.

2
dx等于( )
A.
C.2
答案 D
解析 sin
2
dx＝dx＝
0
＝，故选D.
6.若S< br>1
＝x
2
dx，S
2
＝dx，S
3
＝ex
dx，则S
1
，S
2
，S
3
的大小关系为( )
A.S
1
＜S
2
＜S
3
B.S
2
＜S
1
＜S
3

B.－1
D.

C.S
2
＜S
3
＜S
1

答案 B
解析 S
1
＝x
2
dx＝x
3
S
2
＝＝ln2＜1，S
3
＝e
x
dx＝e
x＝e
2
－e＝e(e－1)＞，所以S
2
＜
S
1
＜S
3
，选B.
二、填空题
7.(＋x)dx＝.
答案
解析 (＋x)dx＝dx＋xdx，根据定积分的几何意义可知dx等于半径为1的半圆
的面积，
即dx＝，xdx＝x
2
|＝0，
∴(＋x)dx＝.
8.若x
2
dx＝9，则常数T的值为.
答案 3
解析 x
2
dx＝＝T
3
＝9，即T
3
＝27，解得T＝3. < br>9.设函数f(x)＝ax
2
＋c(a≠0)，f(x)dx＝f(x
0
)，0≤x
0
≤1，则x
0
＝.
答案
解析 由f( x)dx＝f(x
0
)，得(ax
2
＋c)dx＝＝a＋c＝ax＋c，∴＝ ax，∵a≠0，∴x
＝，又0≤x
0
≤1，∴x
0
＝.故填.
10.设f(x)＝若f[f(1)]＝1，则a＝.
答案 1
D.S
3
＜S
2
＜S
1

解析 因为x＝1>0，所以f(1)＝lg1＝0.又x≤0时，f(x)＝x＋3t
2dt＝x＋t
3
＝x＋
a
3
，
所以f(0)＝a3
.因为f[f(1)]＝1，所以a
3
＝1，解得a＝1.
三、解答题
11.设f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，求f(x)的解析式.
解 ∵f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则
f(x)dx＝(ax＋b)dx＝axdx＋bdx
＝a＋b＝5，
xf(x)dx＝x(ax＋b)dx＝(ax
2
)dx＋bxdx
＝a＋b＝.
由得即f(x)＝4x＋3.
12.若函数f(x)＝求f(x)dx的值.
解 由积分的性质，知：
f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＋f(x)dx
＝x
3
dx＋dx＋2
x
dx
＝
＝＋－＋－
＝－＋＋.
13.求定积分|x＋a|dx.

解 (1)当－a≤－4即a≥4时，
原式＝(x＋a)dx＝＝7a－.
(2)当－4＜－a＜3即－3＜a＜4时，
原式＝[－(
x
＋
a
)]dx＋(x＋a)dx
＝
＝－4a＋8＋
＝a
2
－a＋.
(3)当－a≥3即a≤－3时，
原式＝[－(x＋a)]dx＝＝－7a＋.
综上，得|x＋a|dx＝