高中数学二项式定理题型总结

二项式定理
知识点归纳
1．二项式定理及其特例：
（1）
(a?b)
（2）
(1?
n0n1nrn?rrnn
?Cn
a?C
n
ab?L?C
n
ab?L?C
n
b (n?N
?
)
，
1rr
x)
n
?1?C
n
x?L?C
n
x?L?x
n

2．二项展开式的通项公式 ：
T
r?1
rn?rr
?C
n
ab
(r?0，1， 2?，n)

3．常数项、有理项和系数最大的项：
求常数项、有理项和系数最大的 项时，要根据通项公式讨论对
r
的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性
4 二项式系数表（杨辉三角）
(a?b)
n
展开式的二项式系数，当n
依次取
1,2,3
…时，二项式系数表，表中每行两端都是
1
，除
1
以
外的每一个数都等于它肩上两个数的和
5．二项式系数的性质：
012nr
(a?b)
n
展开式的二项式系数是
C
n
，
C
n
，
C
n
，…，
C
n
．< br>C
n
可以看成以
r
为自变量的函数
f(r)
，
定义域是
{0,1,2,L,n}
，例当
n?6
时，其图象是
7< br>个孤立的点（如图）
（1）对称性．
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（
C
n
mn?m
?C
n
） 直线
r?
n
是图象的对称轴
2
（2）增减性与最大值：当
n
是偶数时，中间一项
C
取得最大值；当
n
是奇数时，中间两项C
（3）各二项式系数和：∵
(1?
令
x?1
，则
2< br>题型讲解
n
2
n
n?1
2
n
，
C
n?1
2
n
取得最大值
1rr
x)
n
?1?C
n
x?L?C
n
x?L?x
n
，
n01 2rn
?C
n
?C
n
?C
n
?L?C
n< br>?L?C
n

例1 如果在（
x
+
1
2x
4
）
n
的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项
解：展开式中前三项的系数分别为1，
r
T
r?1
=C
8
1
··x
r
2
16?3r
4
n(n?1)
n
n(n?1)
n
，，由题意得2×=1+，得n=8设第r+1项为有理项，
2288
1
35
，则r是4的倍数，所以r=0，4，8，有理项为T
1=x
4
，T
5
=x，T
9
=
2
8< br>256x
点评：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r
1
－2）
3
的展开式中的常数项
|x|
1111
解法一：（｜x｜+－2）
3
=（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）得到常数 项的情况有：①三个括号
|x||x||x||x|
1
1
1
中全取－ 2，得（－2）
3
；②一个括号取｜x｜，一个括号取，一个括号取－2，得C
3C
2
（－2）=－12，∴常数项为（－2）
|x|
1
11r
r
6?r
3
+（－12）=－20解法二：（|x|+－2）
3
=（
|x|
－）
6
设第r+1项为常数项，则T
r?1< br>=C
6
·（－1）
r
·（）·|x|=
|x||x|
|x|
例2 求式子（｜x｜+
（－1）
6
·C
6
·|x |
r
6?2r
，得6－2r=0，r=3∴T
3+1
=（－1）3
·C
6
=－20
3
例3 ⑴求（1+x+x
2< br>+x
3
）（1－x）
7
的展开式中x
4
的系数；⑵求 （x+
⑶求（1+x）
3
+（1+x）
4
+…+（1+x）
50
的展开式中x
3
的系数
4
－4）
4
的展开式中的常数项；
x
1?x
4< br>4
4
解：⑴原式=（1－x）
7
=（1－x
4
）（1 －x）
6
，展开式中x
4
的系数为（－1）
4
C
6
－1=14⑵（x+－4）
1?x
x
248
(x?4x?4)(2? x)
44
4
==，展开式中的常数项为C
8
2
·（－1）< br>4
=1120⑶方法一：原式
44
xx

(1 ?x)
3
[(1?x)
48
?1]
(1?x)
51
?(1?x)
3
4
==展开式中x
3
的系数为C
51
方法二：原展开式中x
3
的系数为
(1?x)?1
x
C
3
+C
4
+C
5
+…+C
50
=C
4+C
4
+…+C
50
=C
5
+C
5
+ …+C
50
=…=C
51

3
3
3
343 34
3
3
4
点评：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键
?
2
1
?
例4 求
?
x?
?
2 x
??
解：
T
r?1
9
展开式中
x
的系数
rrr
9
?Cx
r
r
9
??
2
9 ?r
3
1
?
?r
1
?
18?3r
令
?
1
?
r18?2r
?
r
?
1
?
21
93
?
??Cx?x?C?x
?????
18?3r?9,则 r?3,故x的系数为:C
9
?
?
?
＝－

99< br>?
2
?
2x
??
2
??
2
?
?
2
?
点评：①
C
n
a
n?r
b
r
是
?
a?b
?
n
展开式中的第
r?1
项，
r
3
?0,1,2,?n
②注意二项式系数与某项系数的区别在本题中，
1
?
3
9
3
?
第4项的二项式系数是
C< br>9
，第4项
x
的系数为
C
9
?
?
?
?
2
?
例5 求
解：
T
r?1
，二者并不相同
?
3x?2
r< br>?C
100
?
?
3x
?
3
100
展 开所得
x
的多项式中，系数为有理数的项数
100?r
?
?
2
?
3
r
r
?C
100
x
100?r< br>?3
100?r
2
?2
r
3
依题意：
100 ?rr
,?Z
，
?r
为3和2的倍数，即
23
0，公差为6 ，末项为96的等差数列，由为6的倍数，又
?0?r?100
，
r?N
，< br>?r?0,6,?,96
，构成首项为
96?0?(n?1)?6
得
n ?17
，故系数为有理数的项共有17项
点评：有理项的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征
?
x
解法一：
?
x
例6 求
2
2
?
展开式中
x
的系数
?3x?2
?
?
?
x?1
?
?
?
x?2
?

?3x?2
5
5
55
051445
?
?
C
5
x?C
5
x?L?C
5
x?C
5
??
?
C
5
0
x
5
?C
5
1< br>x
4
2?L?C
5
4
x?2
4
?C
5
5
2
5
?
故展开式中含
x
的项为
555
C
5
4
x?C
5
?2
5
?C5
?C
5
4
x?2
4
?240x
，故展开式中
x
的系数为240，解法二：
x
2
?3x?2?x
2
?2?3x
??
?
?
5
4
?
?


?
?
?
3x
??
0?r?5,r?N
?
，要使
x
指数为1，只有
r?1
才有可能，即
T?C< br>?
x?2
?
?3x?15x
?
x?4?2x?6?4x?4? 8x?2
?
，故
x
的系数为
15?2?240
，解法三：< br>?
x?3x?2
?
?
?
x?3x?2
??
x ?3x?2
??
x?3x?2
??
x?3x?2
??
x?3 x?2
?
，由多项式的乘法法则，从
r
T
r?1
?C
5
x
2
?2
1
5
2
4
?
55?r
r
86424
2
2
22222
以上5个括号中， 一个括号内出现
x
，其它四个括号出现常数项，则积为
x
的一次项，此时系数 为
C
5
3?C
4
点评：此类问题通常有两个解法：化三项为二项，乘 法法则及排列、组合知识的综合应用
14
?2
4
?240

例7 设a
n
=1+q+q
2
+…+q
n?1
（ n∈N
*
，q≠±1），A
n
=C
n
a
1
+C
n
a
2
+…+C
n
a
n

1 2n
（1）用q和n表示A
n
；（2）（理）当－3n??< br>解：（1）因为q≠1，所以a
n
=1+q+q
2
+…+q
=
n?1
lim
A
n
2
n

1?q
n
1?q
n
n
1?q
1
1?q
2
2
=于是A
n
= C
n
+ C
n
+…+C
n

1?q1?q1?q
1?q
11 1
12n12n
［（C
n
+C
n
+…+C
n
）－（C
n
q+C
n
q
2
+…+C
n
q
n
）］={（2
n
－1）－［（1+q）
n
－1］}=［2
n
－（1+q）
n
］
1?q1?q1?q
A
nA
n
1?q
n
1?q
11
lim
（2）=［1 －（）］因为－3n??
=
22
2
n
1?q
2
n
1?q
例8 已知
C
n
解：在
0
12n
1
?C
n
? ??C
n
?2C
n
?2
2
C
n
2
???2
n
C
n
n
?729
，求
C
n
分析：在已知等式的左边隐含一个二项式，设法先求出n
1n?12n?22nn?
a?b
?
n
?C
n
0
a
n
?C
n
ab?C
n
ab???C
n
b
中，令
a?1,b?2
得
?
1?2
?
n
?729
< br>?3
n
?729
12n126
0126
?n?6
?C
n
?C
n
?L?C
n
?C
6
?C
6
?L?C
6
?
?
C
6
?C
6
? C
6
?L?C
6
?
?C
6
0
?2
6
?1?63

点评：①记住课本结论：
Cn
012n
024135
?C
n
?C
n
??? C
n
?2
n
，
C
n
?C
n
?C< br>n
???C
n
?C
n
?C
n
???2
n?1

②注意所求式中缺少一项，不能直接等于
2

例9 已知
4
012
6
?
2x?3
?
? a?ax?ax?ax?ax
，求
?
a?a?a
?
?
?a?a
?

解： 令
x?1
时，有
?
2?3< br>?
?a?a?a?a?a
，令
x??1
时，有
?
?2 ?3
?
?a?a?a
234
22
34
02413
4 4
01234012
?a
3
?a
4

?
a
0
?a
2
?a
4
?
?
?
a
1
?a
3
?
?
?
a
0
?a
1< br>?a
2
?a
3
?a
4
??
a
0?a
1
?a
2
?a
3
?a
4
?

44
224
∴
?
a
0
?a
2?a
4
?
?
?
a
1
?a
3
?
?
?
2?3
?
?
?
?2?3
?
?
?
?1
?
?1

∵
点评：赋值法是由一般到特殊的 一种处理方法，在高考题中屡见不鲜，特别在二项式定理中的应用尤为明显赋值法是给代
数式（或方程或 函数表达式）中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的望同学们在学习中举一反三
22
例10 求
?
x?2y
?
7
展开式中系数最大的项
rrr?1r? 1
?
?
T
r?1
项系数?T
r
项系数
?< br>C
7
2?C
7
2
解：设第
r?1
项系数最大 ，则有
?
，即
?

rrr?1r?1
?
?
T
r?1
项系数?T
r?2
项系数
?
C
7
2?C
7
2
7!7!
?
rr?1
1
?
2< br>?
16
2?2
?
r?
?
r!
?
7? r
?
!
?
?
?
r?1
?
!
?7?r?1
?
!
?
r8?r
?
?
3
又
?0?r?7,r?N,?r?5

?
?
?
?
?< br>7!7!
?
1
?
2
?
?
r?
13< br>2
r
?2
r?1
?
7?rr?1
?
?
?
3
?
?
r?1
?
!
?
7?r?1?
!
?
r!
?
7?r
?
!
52552 5
故系数最大项为
T
6
?C
7
x?2y?672xy

点评：二项式系数最大的项与系数最大的项不同二项式系数最大的项也即中间项：当n为偶数时中间 项
T
n
2
?1
的二项式系数最
大；当n为奇数时，中间两项
T
n?1
，
T
n?1
的二项式系数相等且为最大
2
?1
2
?1
小结：
1在使用通项公式T
r?1
=C
n
r
a
n?r
b
r
时，要注意：①通 项公式是表示第r＋1项，而不是第r项②展开式中第r+1项的二项
式系数C
n
与第 r+1项的系数不同③通项公式中含有a，b，n，r，T
r?1
五个元素，只要知道其中的四 个元素，就可以求出第五
r
个元素在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若 干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项
公式，把问题归纳为解方程（或方程组）这里必 须注意n是正整数，r是非负整数且r≤n
2证明组合恒等式常用赋值法
学生练习 1已知（1－3x）
9
=a
0
+a
1
x+a
2
x
2
+…+a
9
x
9
，则｜a
0
｜+｜a
1
｜+｜a
2
｜+…+｜a
9
｜等于
A2
9
B4
9
C3
9
D1
解析：x的奇数次方的系数都是负值，∴｜a
0
｜+｜a
1
｜+｜a
2
｜+…+｜a
9
｜=a0
－a
1
+a
2
－a
3
+…－a
9< br>∴已知条件中只需赋值x=－1
即可答案：B
2 2x+
A6
x
）
4
的展开式中x
3
的系数是
B12 C24 D48
解析：（2x+
3（2x
3
－
2
x
）
4
=x
2
（1+2
x
）
4
，在 （1+2
x
）
4
中，x的系数为C
2
4
·2=24 答案：C
1
x

）
7
的展开式中常数项是
B－14 A14 C42
r
D－42
解析：设（2x
3< br>－
1
x
）
7
的展开式中的第r+1项是T
r?1=C
7
（2x
3
）
7?r
（－
1
x< br>r
??3(7?x)
r
7?r
）
r
=C
7< br>2·（－1）
r
·x
2
，
当－
r
6
+3（7－r）=0，即r=6时，它为常数项，∴C
7
（－1）
6
·2< br>1
=14答案：A
2
4一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只 要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯
不亮的可能性的种数为

A20 B2
19
C2
20
D2
20
－1

1220
解析：C
20
+C
20
+…+C
20
=2
20
－1答案： D
5已知（x－
a
8
）展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则 展开式中各项系数的和是
x
B3
8
A2
8
－

C1或3
8
－
2r
D1或2
8

解析：T
r?1
=C
8
·x
8r
·（－ax
1
）
r
=（－a）
r
C
8
·x
8
r
－
r
，令8－2 r=0，∴r=4，∴（－a）
4
C
8
=1120∴a=±2
4< br>当a=2时，令x=1，则（1－2）
8
=1，当a=－2时，令x=－1，则（－1－ 2）
8
=3
8
答案：C
6已知（x
3
2
1
?
+x
3
3
2
）
n
的展开式中各项系数 的和是128，则展开式中x
5
的系数是_____________（以数字作答）
解析：∵（x+x
的r+1项为
?
1
3
）
n
的展 开式中各项系数和为128，∴令x=1，即得所有项系数和为2
n
=128，∴n=7设该二 项展开式中
r
T
r?1
=C
7
（x
3
2< br>）
7?r
·（x
?
1
3
r
）
r=C
7
·x
63?11r
6
，令
63?11r
3
=5即r=3时，x
5
项的系数为C
7
=35答案：35
6
7若（x+1）
n
=x
n
+…+ax
3
+bx
2
+cx+1（n∈N
*
），且a∶b=3∶1，那么n=________
解析：a∶b=C
n
∶C
n
=3∶1，n=11 答案：11 < br>32
8（x－
1
x
）
8
展开式中x
5
的系数为_____________
解析：设展开式的第r+1项为
答案：28
9若（x
3
+
r
－
T
r?1
=C
8x
8r
·（－
1
x
r
=
r
C
r
）（－1）
8
x
8?
3r
2
令8－
3r
2
2
·=5得r=2时，x
5
的系数为（－1）C
8
=28
2
1
xx
）
n
的展开式中的常数项为84，则n= _____________
r
解析：T
r?1
=C
n
r
（x
3
）
n
－
r
·（x
?
32
）
r
=C
r
n
9
3n?r
2
·x，令3n－
9
r=0，∴2n=3r∴n必为3的倍数，r为偶数试验可知n=9，2
r=6时，C
n
=C
9
=84答案：9
6
10已知（x
lgx
+1）
n
展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二 项式系数最大项为20000，求x的值
解：由题意C
n
n?2
＋C
n
＋C
n
=22，即C
n
＋C
n
＋C
n
=22，∴n=6∴第4项的二项式系数最大∴C
6
（x
n?1n2103
lgx
）
3
=20000，即
x
3lgx
= 1000∴x=10或x=
1

10
11若（1+x）
6
（ 1－2x）
5
=a
0
+a
1
x+a
2
x< br>2
+…+a
11
x
11

求：（1）a
1< br>+a
2
+a
3
+…+a
11
；
（2）a< br>0
+a
2
+a
4
+…+a
10

解 ：（1）（1+x）
6
（1－2x）
5
=a
0
+a
1
x+a
2
x
2
+…+a
11
x
11令x=1，得
a
0
+a
1
+a
2
+…+a< br>11
=－2
6
， ①
又a
0
=1，
所以a
1
+a
2
+…+a
11
=－2
6
－1=－65
（2）再令x=－1，得
a
0
－a
1
+a
2
－a
3
+…－a
11
=0 ②
①+②得 a
0
+a
2
+…+a
10
=
1
（－26
+0）=－32
2
点评：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题 中常用赋值法，令其中的字母等于1或－1
12在二项式（ax
m
+bx
n
）
12
（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系 数项恰是常数项
（1）求它是第几项；（2）求
r
a
的范围
b< br>解：（1）设T
r?1
=C
12
（ax
m
）
12r
·（bx
n
）
r
=C
12
a
12r
b
r
x
m
∴r=4，它是第5项
（2）∵第5项又是系数最大的项，
－
r
－（
12
－r
）
+nr
为常数项，则有m（12－r）+nr=0，即m（12－r）－2m r=0，
∴有C
12
a
8
b
4
≥C
12< br>a
9
b
3
① C
12
a
8
b
4
≥C
12
a
7
b
5
② < br>由①得
4345
12?11?10?9
84
12?11?10
93
ab≥ab，
4?3?23?2

a
99
b≥a，即≤
4
b
4
a8
8
a
9
由②得≥，∴≤≤ < br>5
b
4
b
5
1
13在二项式（
x
+ ）
n
的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项
4
2x< br>∵a＞0，b＞0，∴
分析：根据题意列出前三项系数关系式，先确定n，再分别求出相应的有理 项
解：前三项系数为C
n
，
0
1
1
1
2
1
210
C
n
，C
n
，由已知C
n
=C
n
+C
n
，即n
2
－9n+8=0，
244
解得n=8或n=1（舍去）
r
T
r?1
=C8
（
x
）（2
x
）
8
－
r
4
－
r
r
=C
8
4?
1
··x
4< br>
r
2
3r
∵4－
3r
∈Z且0≤r≤8，r∈Z，
4
∴r=0，r=4，r=8∴展开式中x的有理项为T
1
=x
4< br>，T
5
=
351
－
x，T
9
= x
2

8256
3r3r
点评：展开式中有理项的特点是字母x的指 数4－∈Z即可，而不需要指数4－∈N
44
1
14求证：2<（1+）
n
<3（n≥2，n∈N
*
）
n
111
1
012n
证明：（1+）
n
=C
n
+C
n
× +C
n
（）
2
+…+C
n
（）
n
nnnn
1
1
1
23n
=1+1+C
n
×+C< br>n
×+…+C
n
×
n
2
3
n
n< br>n
1
n(n?1)
1
n(n?1)(n?2)
1
n? (n?1)???2?1
=2+×+×+…+×
n
23
3!
2!n !
nn
n
1
1
11
1
1
11
<2 ++++…+<2++++…+
n?1
23
2
22
2!
3 !
4!n!
2
11
[1?()
n?1
]
1
n?1
22
=2+=3－（）<3
1
2
1?
2
1
1
1
1
23n
显然（1+）
n
=1+1+C
n
×+C
n
×+…+C
n
×
n
>2
n
n
n
2
n
3
1
n
所以2<（1+）<3
n