高中数学定理证明汇总

高中数学定理证明汇总
必修1
P64 分数指数幂的定义、根式解释： < br>一般的，给定正实数a,对于任意给定的正整数m,n,存在唯一的正实数b,使得b
n
=a
m
,我们把b叫作a
m
的
m
n
次幂，记作b?a
n
， 它就是正分数指数幂。
m
有时我们把正分数指数幂写成根 式形式，即
a
n
?
n
a
m
（a>0）
P81 对数的运算性质：


如果a>0,
a
?1
,M>0,N>0,则

（1）log

a
(MN)=log
a
M+log
a
N;
（2）log

a
M
n
=n·log
a
M (n
?
R)；

（3）log
a
M
=loga
M-log
a
N.

N
证明：设log
a
M=p,log
a
N=q,则由对数定义得a
p
=M,a
q
=N.
因为 MN=a
p
a
q
=a
p+q
，所以p+q=log
a
(MN)
即log
a
(MN)=log
a
M+log
a
N
P84 换底公式：

log
a
N

log
b
N=
log
(a,b>0,a,b≠1,N>0)
a
b

证明：设x=log
b
N,根据对数定义，有N=b
x.
两边 取以a为底的对数，得log
a
N=log
a
b
x
.

而log
a
b
x
=xlog
a
b,所以log
a
N=xlog
a
b.
log
则log
a
N
由于b≠1,
a
b≠0，解出x,得x=
log
,
a
b
log
a
N
因为x=log
b
N,所以log< br>b
N=
log

a
b
很容易由换底公式得到 log
b
a=
1
log

a
b

必修2
P24 平面的基本性质的推论：
1. 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
2. 经过两条相交直线，有且只有一个平面。
3. 经过两条平行直线，有且只有一个平面。
证明推论2：
设
ab?
A
，在直线a上取点B，且A、B不重合，在直线b上取点C，且A、C不重合。
因为A、B、C不重合
则有且仅有一个平面
?
经过A、B、C
因为点A、B都在直线a上

1

所以直线a在平面
?
内
同理直线b也在平面
?
内
所以经过两条相交直线只有一个平面。
推论3：证明：设直线a∥b,任取点A
?
a, B
?
a，取点C
?
b，则三点A、B、C确定一个平面ABC.
再任取C以外一点D
?
b
假设过两条条直线a、b有两个或以上平面
即平面ABC 、平面ABD是两个不同的平面且相交于AB，且点C、D不在直线AB上
得出AB CD是异面直线
与a∥b冲突
所以，假设错误
P28 定理5.1 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
P30 定理5.2 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
P31 定理5.3 如果一条直线与一个平面平行，那么过这直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平
行。
P32 定理5.4 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
P36 定理6.1 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．
P37 定理6.2如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
P39 定理6.3 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．
证明：一般的 ，如果直线a⊥平面
?
，直线b⊥平面
?
,这时，a和b
平行吗？
如图，假设a和b不平行。
设b与a交于点O，b
'
是经过点O与a平行的直线。
因为a∥b
'
,a⊥平面
?
,所以，b'⊥平面
?
。
这样，经过同一点O的直线b,b'都垂直于平面
?
，这是不可能的。
因此，a∥b。
P40 定理6．4 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它
们交线的直线垂直于另一个平面。
在一般 情况下，平面α⊥平面β，
?
?
?
=MNB，这时，直线AB和
平面 α垂直吗？
如图，在平面α内作直线BC
?
MN，则
?
ABC是二面角α-MN -β
的平面角，因为平面α⊥平面β，所以
?
ABC=90°，即AB⊥BC，又已知AB⊥MN,从而AB⊥α。

P47
4
23
S
πR

球面
=4πR，V
球
=

3

P73 △ABC中，D是BC边上任意一点（D与B,C不重合），且
|AB|
2
=|AD|
2
+|BD|?|DC|.求证：△ABC为等腰三角形。
解：作AO⊥BC,垂足 为O,以BC所在直线为x轴，以OA所在直线
为y轴，建立直角坐标系。
设A（0，a）,B（b，0）,C（c，0）,D（d，0）,
因为|AB|
2< br>=|AD|
2
+|BD|?|DC|，所以，由距离公式可得
b
2< br>+a
2
=d
2
+a
2
+(d-b)(c-d),
即 - (d-b) (b+d) = (d-b)(c-d)
又 d-b≠0,
故 -b-d=c-d

2

即-b=c.
所以|AB|=|AC|,即△ABC为等腰三角形。
P75
例19 用解析法证明：等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。
证明：在△ABC中 ，AB=AC,P为BC延长线上一点，PD⊥AB于D,PE⊥AC于E，CF⊥AB于F.
以BC所 在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系。
设A（0，b）,B( -a,0）,C( a,0）(a>0,b>0),则直线AB方程为bx-ay+ab=0,直线AC方程为bx+ay-ab=0 ,
取P（x
0
,0）,使x
0
>a,则点P到直线AB,AC的距离 分别为
|PD|?
|bx
0
?0?ab|
a
2
? b
2
?
bx
0
?ab
a
2
?b
2

|PE|?
|bx
0
?0?ab|
a?b
2
22
?
?
bx
0
?ab
a?b
2aba?b
2
22
，
点C到直线AB的距离为
则


|PD|-|PE|=
22
|CF|?
2ab
=|CF|.
|ab?ab|
a?b
22
，
a?b
必修4
P83
平面向量基本定理 如果
存在一对实数
?
1
,
?
2
，使
e< br>l
，
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的仟一 向量
a
，
???
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
．
我们把不共线的向量
el
，
e
2
叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
如果
e
l
，
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，
a< br>这一平面内的任一向量，那么
a
与
l
，
2
之间有什< br>ee
么关系呢?
???
?
??
如图2—25，在平面内任取 一点O．作
OA
=
e
l
，
OB
=
e
2
，
OC
=
a
．过点C分别作平行于OB，OA
?
?
?
?
?
?
的直线,交直线OA于点M，交直线OB于点N，则有 且只有一对实数
?
1
,
?
2
，使得
OM?
?
1
e
1
，
ON?
?
2
e
2
???
?
?
?
???
因为
OC?OM?ON
所以
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2

P94



3

P97


P99


4

P100


5

P116

6

P122



7

P127

必修5
P15

8

P27





9

P45




10

P48

P49


11

P83

P88


12

13