高中数学-空间向量的基本定理练习

高中数学-空间向量的基本定理练习
课后导练
基础达标
1.若对 任意一点O，且
OP
=
xOA?yOB
,则x+y=1是P、A、B三点共线 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
答案：C
2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，
OM
OM=x
OA
+
为…( )
A.1 B.0 C.3 D.
答案：D
3.在以下命题中,不正确的个数是（ ）
①已知A,B,C,D是空间任意四点,则
AB?BC?CD?DA
=0 ②|a|+|b|=|a+b|是a,b共线
的充要条件 ③若a与b共线,则a与b所在的直线的平行 ④对空间任意一点O和不共线
的三点A,B,C,若< br>OP?xOA?yOB?zOC
,(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：C
4.设命题p:a,b,c是三个非零向量;命题q:{a,b,c}为空 间的一个基底,则命题p是命题q的
（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：B
5.下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是( )
A.
OM?OA?OB?OC

B.
MA?MB?MC
=0
11
OB
+
OC
,则x的值
33
1

3
111
C.
AM?OA?OB?AM?OC

333
D.
OM?2OA?OB?OC

答案：B
6.在 长方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中， E为矩形ABCＤ的对角线的交点，设
A
1
A
=a,
A
1< br>B
1
=b,
A
1
D
1
=c,
则A
1
E
=____________.
1

答案：a+
11
b+c
22
7.设O为空间任意一 点,a,b为不共线向量,
OA
=a,
OB
=b,
OC
=m a+nb,(m,n∈k)若A,B,C
三点共线,则m,n满足____________.
答案：m+n=1.
8.已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外一点O，在下列各条件 下，点P是否与A、B、C
一定共面？
(1)
OP
=
1
2 2
OA
+
OB
+
OC
；
5
55
1
22
OA
+
OB
+
OC
.
5
55
(2)OP=2OA-2OB-OC.
解：(1)
OP=
∵
212
???1
,∴P与A、B、C共面.
555
(2)
OP
=
2OA?2OB?OC
.
∵2-2-1=-1,∴P与A、B、C不共面.
9.如右图，已知四边形ABCD是空间四 边形，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边
CB、CD上的点，且
CF
=
22
CB
,
CG
=
CD
.
33

求证：四边形EFGH是梯形．
证明：∵E、H分别是AB、AD的中点,
11
AB
,
AH
=
AD
，
22
11111
EH
=
AH?AE
=
AD
-
AB
=(
AD
-
AB
)=
BD
=(
CD?CB
)
22222
13333
=(
CG
-
CF
)= (
CG?CF
)=
FG
.
22244
3
∴
EH
∥
FG
且|
EH
|=|
FG
|≠|
FG
|.
4
∴
AE
=
∴四边形EFGH是梯形.
综合运用
10.如右图，平行六面体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，M为AC与BD的交点，若
A
1
B< br>1
=a，
A
1
D
1
=b，
A
1A
1
=c，
则下列向量中与B
1
M相等的向量是（ ）
2

1111
a+b+c B.a+b+c
2222
1111
C.a-b+c D.
?
a-b+c
2222
A.
?
答案：A
1 1.已知向量{a,b,c}是空间的一个基底，则从以下各向量a,b,c,a+b,a-b,a+c,a-c ，b+c,b-c
中选取出三个向量，使它们构成空间的基底，请你写出三个基底：_________ ____________.
答案：{a,b,c}或{a+b,a+c,b+c}或{a-b,a-c,b-c}等.
1 2.如右图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M是边OA的中点，G是△ABC
的重心，则用基向量
OA
、
OB
、
OC
表示向量
M G
的表达式为_______________.

答案：
MG
=
?
11
1
OA
+
OB
+
OC
< br>33
6
13.已知A、B、M三点不共线，对于平面ABM外的任一点O，确定在下列各 条件下，点P是
否与A、B、M一定共面?
(1)
OB?OM?3OP?OA

(2)
OP?4OA?OB?OM
.
解法一:(1)原式可变形为
OP
=
OM
+(
OA?OP
)+(
OB?OP
)=
OM?PA?PB
.
由共面向量定理的推论知P与A、B、M共面．
(2 )原式可变形为
OP
=
2OA
+
OA
-
OB?OA ?OM
=
2OA?BA?MA
.
由共面向量定理的推论可得
P位于平面ABM内的充要条件可写成
OP?OA?xBA?yMA
.
而此题推得
OP
=
2OA?BA?MA
,
∴P与A、B、M不共面．
解法二:（1）原式可变形为
OB?3OP?OA?OM
.
3

∵3+（-1）+（-1）=1,
∴B与P、A、M共面,
即P与A、B、M共面.
（2）
OP
=
4OA?OB?OM
,
∵4+（-1）+（-1）=2≠1,
∴P与A、B、M不共面.
拓展研究 14.已知P是ABCD所在平面外一点，连结PA、PB、PC、PD，点E、F、G、H分别是△PAB 、
△PBC、△PCD、△PDA的重心.求证：
(1)E、F、G、H四点共面;
(2)平面EFGH∥平面ABCD.
证明：(1)如右图,证存在实数λ，u使
E G
=
?
EF
+
uEH
.

连结PE、P F、PG、PH并延长分别交AB、BC、CD、DA于点M、N、Q、R.则M、N、Q、R为
各边的 中点，顺次连结M、N、Q、R所得四边形为平行四边形.
ABCD
MQ?MN?MR
=(
PN?PM
)+(
PR?PM
),
又PE=
PH=
222
PM
,PF=
PN
,PG=
PQ
,
333
2
PR
,
3
333
∴
MQ
=(
PF?PE
)+(
PH?PE
)=(
EF?EH
).
222
33
又∵
MQ?PQ?PM
=(
PG?PE
)=
EG
,
22
∴
EG?EF?EH
.∴E、F、G、H四点共面.
(2)证EF、EG∥平面ABCD.
∵
MQ
=
333
E G
,
MN
=
PN?PM
=(
PF?PE
)=
EF
,∴MQ∥EG,MN∥EF.
222
∴平面EFGH∥平面ABCD.
4