高中数学：1.6-微积分基本定理(教案)

1.6 微积分基本定理
一、教学目标
知识与技能目标：通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿- 莱布尼兹公式求简
单的定积分
过程与方法：通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法
情感态度与价值观：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证
关系 ，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
二、教学重难点
重点 通过探究 变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的
含义，并能正确运用基本定理 计算简单的定积分。
难点 了解微积分基本定理的含义
三、教学过程
1、复习：定积分的概念及用定义计算
2、引入新课：我们讲过用定积分定义计算定积分,但 其计算过程比较复杂，所以不是求定
积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般 的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时 刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（
v(t)?o
），
则物体在时间 间隔
[T
1
,T
2
]
内经过的路程可用速度函数表示为即

?
T
2
T
1
v(t)dt
。
另 一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在
[T
1
,T
2
]< br>上的增量
S(T
1
)?S(T
2
)
来表达，
?
T
2
T
1
v(t)dt
=
S(T
1)?S(T
2
)


而
S
?
(t)?v(t)
。

对于一般 函数
f(x)
，设
F
?
(x)?f(x)
，是否也有

?
b
a
f(x)dx?F(b)?F(a)
< br>若上式成立，我们就找到了用
f(x)
的原函数（即满足
F
?
(x)?f(x)
）的数值差
F(b)?F(a)
来计算
f(x)
在
[a,b]
上的定积分的方法。
注：1：定理 如果函数
F(x)
是
[a,b]
上的连续函数
f(x)
的任意一个原函数，则
?
b
a
f(x)dx?F(b)?F(a)

证明：因为< br>?(x)
=
?
x
a
f(t)dt
与
F(x)
都是
f(x)
的原函数，故

F(x)
-
?(x)
=C（
a?x?b
） 其中C为某一常数。
令
x?a
得
F(a)
-
?( a)
=C，且
?(a)
=
?
a
a
f(t)dt=0即有C=
F(a)
，故

- 1 -

F(x)
=
?(x)
+
F(a)
?

?(x)
=
F(x)
-
F(a)
=
?
f( t)dt

a
x
令
x?b
，有
?
b
a
f(x)dx?F(b)?F(a)

此处并不要求学生理解证明的过程
为了方便起见，还常用
F(x)|
b
a
表示
F(b)?F(a)< br>，即
b
?
a
f(x)dx?F(x)|
b
a
?F(b)?F(a)

例1．计算下列定积分：
（1）
?
2
1
3
1
1
dx
；
（2）
?
(2x?
2
)dx
。
1
xx
'
解：（1）因为
(lnx)?
所以
2
1
，
x
1
2
dx?lnx|?ln2?ln1?ln2
。
1< br>?
1
x
1
'
1
2'
（2））因为
( x)?2x,()??
2
，
xx
333
11
所以
?
(2x?
2
)dx?
?
2xdx?
?
2
dx

111
xx
1
3
122
3
?x2
|
1
?|
1
?(9?1)?(?1)?
。
x33
练习：计算
解：由于
?
1
0
x
2
d x

1
3
x
是
x
2
的一个原函数，所以根 据牛顿—莱布尼兹公式有
3
1
1
31
1
3
13
1
2

?
xdx
=
x|
0
=
?1??0
=
0
333
3

例2．计算下列定积分：
?
2?
?
0
sinxdx,
?
sinxdx,
?
s inxdx
。
?
0
2
?
解：因为
(?cosx)
'
?sinx
，所以
?
?
?
sinxdx?(? cosx)|
?
?(?cos2
?
)?(?cos
?
)?? 2

?
?
0
2
2
?
sinxdx?(?c osx)|
?
0
?(?cos
?
)?(?cos0)?2

?
2
?
0
2
?
sinxdx?(?cosx)|< br>0
?(?cos2
?
)?(?cos0)?0
.
可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1.6一3 ) ，定积
分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；

- 2 -

图1 . 6 一 3 ( 2 ）
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且
等于曲边梯形的面积的相反数；



( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分
的值为0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲
边梯形面积．

例3．汽车以每 小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。
2
设汽车以等减速度
a
=1. 8米秒刹车，问从开始刹车到停车，汽
车走了多少距离？
解:首先要求出从刹车开始到停车经 过了多少时间。当t=0时，汽
32?1000
米秒
?
8.88米秒,刹车后 汽车减速
3600
行驶,其速度为
v(t)=v
0
?at=8.88 -1.8t
当汽车停住时,速度
v(t)=0
,故从
8.88
?4. 93
秒
v(t)=8.88-1.8t=
t=
解得
1.8
车速度
v
0
=32公里小时=
于是在这段时间内,汽车所走过的距离是 s?
?
4.93
0
v(t)dt?
?
4.93
0
(8.88?1.8t)dt
(8.88?1.8?t
2
)
01
2
4.93
?21.90
米,即在刹车后,汽车需走过21.90米才 能停住.

四、课堂小结：

作业：

- 3 -