高中数学二项式定理

二项式定理
【两年真题重温】
a1
(x?)(2x?)
5
xx
的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常【2011
?
新课标全国 理，8】
数项为( )．
A．－40 B．－20 C．20 D．40
【答案】D
【最新考纲解读】
二项式定理
(1)能用计数原理证明二项式定理．
(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
【回归课本整合】
1.二项式定理的展开式
r
0n1n?1rn?rrnn
C
(a? b)
n
?C
n
a?C
n
ab?L?C
n
a b?L?C
n
b
，
n
其中组合数叫做第
r
+1项的 二
项式系数；展开式共有
n
+1项.
注意：（1）项的系数与二项式系数是 不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1
n
C
(ax?b)
时，系 数就是二项式系数。如在的展开式中，第ｒ＋１项的二项式系数为
n
，第
r
- 1 - 10

3.项的系数和二项式系数的性质
mn?m
C?C
nn
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（）．
【方法技巧提炼】

- 2 - 10

(2)
(a?b)(c?d)
结构:①若n、m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个；②观察
n m
(c?d)
m
的通项公式，综合考虑.
(a?b)(c?d)
是 否可以合并；③分别得到
(a?b)
n
、
(1?
3
x)6
(1?
例2
A．1 B．46 C．4245 D．4246
答案： D
1
10
)
4
x
展开式中的常数项为（ ）
x1
(??2)
5
例3
2x
的展开式中整理后的常数项为 .
- 3 - 10

632
答案：
2

例
323
x?a?a(x?2)?a(x?2)?a(x?2)
x
0123
5 若对于任意实数，有，则
a
2
的值为（ ）
A．
3
B．
6
C．
9
D．
12

答案：B
- 4 - 10

33
T?C
3
2
x?[2?(x? 2)]
解析：因,则
r?1
r3?r
(x?2)
r
,
a
2
?C
3
2
2?6
.选B
解析：对于第二问 求系数最大的项，因其展开式系数正负相间，可考虑转化为其系数全部为
正时系数最大.然后根据其展开 式的奇数项系数为正，偶数项系数为负，确定系数最大项.
11
2
C
0??C?2??C
1
nnn
2
42
（Ⅰ）由题设，得 ， 即
n?9n?8?0
，解得
n
＝8，
n
＝1（舍去）．
- 5 - 10

答案：2187
【考场经验分享】
【新题预测演练】
1.【唐山市2011—2012学年度高三年级第一次模拟考试】
在
(x?)
的展开式中，常数项为
(A) 36 (B) -36 (C) 84 (D) -84
[答案]D
[解析]
T
r?1?C(x)
r
9
9?r
9?3r
1
r
9?3r
rr
(?)?C
9
(?1)x
2
,Q?0,?r?3,则常数项为
x2
1
x
9
- 6 - 10

3
C
9
(?1)
3
??84.

【答案】D
23233
5
3
C(ax)(?1)?10ax
，由题意得
10a
3
?80
，
(ax?1)
5
x
【解析】的展开式中含的项为
所以
a?2
.选D.


5.【2011杭西高8月高三数学试题】
727
(1?2x)?a?ax?ax? L?ax,那么a
1
?a
2
?a
3
?a
4
?a
5
?a
6
?a
7
等于
0127
已知< br>（ ）
A．2
【答案】B
B．—2 C．1 D．—1
- 7 - 10

11
(x?)
8
T
r ?1
?C
8
r
x
8?r
(?)
r
?(?1 )
r
C
8
r
x
8?2r
x
的展开式的通项 公式为
x
【解析，令
8?2r?2
，
33
2
(?1 )C
8
??56
.
x
得
r?3
，所以的系数为
- 8 - 10

13.【福州市2012届第一学期期末高三质检】
在
(1?x)< br>2
?(1?
3
x)
4
的展开式中，
x
的系数 等于 .(用数字作答)
【答案】-3
3
24
3
C?4
，故在
(1?x)(1?x)
xx
4
【解析】展开式中的系数 为1，展开式中的系数为
(1?x)
2
?(1?
3
x)
4< br>的展开式中，
x
的系数等于-3.
14.【2012届衡阳市八中高三第一次月考】
2
(x?)
4
x
的展开式中的常数项为_ . (用数字作答)
【答案】24
【解析】
- 9 - 10

- 10 - 10