高中数学 正余弦定理

精品文档
正弦定理和余弦定理
一：基础知识理解
1．正弦定理
分类
定理
内容
abc
＝＝＝2R(R是△ABC外接圆的半径)
sin Asin Bsin C
①a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C，
变形
公式
②sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c，
abc
③sin A＝，sin B＝，sin C＝
2R2R2R
①已知两角和任一边，求其他两边和另一角，
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角
解决的
问题
2．余弦定理
分类
定理
内容
在△ABC中，有a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos_A；
b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos_B；c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcos_C
b
2
＋c
2
－a
2
a
2
＋c
2
－b
2
cos A＝；cos B＝；
2bc2ac
a
2
＋b
2
－c
2
cos C＝
2ab
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
变形
公式
解决的
问题
3．三角形中常用的面积公式
1
(1)S＝ah(h表示边a上的高)；
2
111
(2)S＝bcsin A＝acsin B＝absin C；
222
1
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
2
二：基础知识应用演练
1．(2012·广东高考)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝( )
A．43
C.3


B．23
D.
3

2
2．在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于( )
A．30°
C．60°








B．45°
D．75°
3．(教材习题改编)在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有( )
.

精品文档
A．无解
C．一解






B．两解
D．解的个数不确定 < br>π
4．(2012·陕西高考)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a ＝2，B＝，c＝23，
6
则b＝________.
5．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．

BCAC32AC322
解析：1选B 由正弦定理得：＝，即＝，所以AC＝×＝23.
sin Asin Bsin 60°sin 45 °2
3
2
b
2
＋c
2
－a
2
1＋ 4－3
1
2选C ∵cos A＝＝＝，又∵0°2bc
2×1×2
2
abb2422
3 选B ∵＝，∴sin B＝sin A＝sin 45°，∴sin B＝.又∵asin Asin Ba183
4 由余弦定理得b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos B＝4＋12－2×2×23×
3
＝4，所以b＝2.答案：2
2
5、解析：设BC＝x，由余弦定理得49＝25＋x
2
－10xcos 120°，整理得x
2
＋5x－24＝0，即x＝3.
113153153
因此S
△
ABC
＝AB×BC×sin B＝×3×5×＝. 答案：
22244
小结：(1)在三角形中，大角对大边，大边对大角 ；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即
在△ABC中，A>B?a>b?sin A>sin B.
(2)在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：

A为锐角
A为钝角
或直角
图形

关系式
解的个
一解
数
三、典型题型精讲
（1）利用正弦、余弦定理解三角形
[例1] (2012·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝3acos B.
(1)求角B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．




.

a≥b
一解

a>b
一解

a＝bsin A
bsin A两解

精品文档
解析：(1)由bsin A＝3acos B及正弦定理
ab
π
＝，得sin B＝3cos B，所以tan B＝3，所以B＝.
sin Asin B3
ac
(2)由sin C＝2sin A及＝，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos B，
sin Asin C
得9＝a
2
＋c
2
－ac. 所以a＝3，c＝23.
思考一下：
在本例(2)的条件下，试求角A的大小．



方法小结：
1．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也 可用余弦定理，应
注意用哪一个定理更方便、简捷．
2．已知两角和一边，该三角形是确定的 ，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不
唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边 对大角定理进行判断．
试题变式演练1．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos
2
A＝2a.
b
(1)求；
a
(2)若c
2
＝b
2
＋3a
2
，求B.









解：(1)由正弦定理得，
sin
2
Asin B＋sin Bcos
2
A＝ 2sin A，即sin B(sin
2
A＋cos
2
A)＝2sin A.
b
故sin B＝ 2sin A，所以＝ 2.
a
?1＋3?a
(2)由余弦定理和c
2
＝b
2
＋3a
2
，得cos B＝.
2c
由(1)知b
2
＝2a
2
，
1故c
2
＝(2＋3)a
2
.可得cos
2
B＝，
2
又cos B>0，故cos B＝
.
2
，所以B＝45°.
2

精品文档
（2）利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
[例2] 在△ABC中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．





[解析] (1)由已知，根据正弦定理得2a
2
＝(2b＋c )·b＋(2c＋b)c，即a
2
＝b
2
＋c
2
＋bc.
1
由余弦定理得a
2
＝b
2
＋c
2
－2b ccos A，故cos A＝－，∵02
31
(2)由(1)得sin
2
A＝sin
2
B＋sin
2
C＋ sin Bsin C＝ 又sin B＋sin C＝1，解得sin B＝sin C＝.
42
∵0°方法小结：依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：
(1)利 用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判
断三角形 的形状；
(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形 ，得出内角
的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
[注意] 在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．

试题变式演练 (20 12·安徽名校模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量
A
7
cos
2
，cos 2A
?
，且m·m＝(4，－1)，n＝
?
n＝.
2
??
2
(1)求角A的大小；
(2)若b＋c＝2a＝23，试判断△ABC的形状．











.

精品文档
A
cos
2
，cos 2A
?
， 解：(1)∵m＝(4，－1)，n＝
?
2
??
1＋cos A
A7
∴m·n＝4cos
2
－cos 2A＝4·－(2cos
2
A－1)＝－2cos
2
A＋2cos A＋3.又∵m·n＝，
222
71
π
∴－2cos
2
A＋2cos A＋3＝，解得cos A＝.∵0223
1
(2)在△ABC 中，a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos A，且a＝3，∴ (3)
2
＝b
2
＋c
2
－2bc·＝b
2
＋c
2
－bc.①
2
又∵b＋c＝23， ∴b＝23－c，代入①式整理得c
2
－23c＋3＝0，解得c＝3，∴b＝ 3，于是a
＝b＝c＝ 3，即△ABC为等边三角形．
（3）与三角形面积有关的问题
[例3] (2012·新课标全国卷)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋3asin C－
b－c＝0.
(1)求A；
(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.








[解] (1)由acos C＋3asin C－b－c＝0及正弦定理得sin Acos C＋3sin Asin C－sin B－sin C＝0.
因为B＝π－A－C， 所以3sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0.
π
1
π
A－
?
＝. 又0＜A＜π，故A＝. 由于sin C≠0，所以sin
?
?
6
?
23
1
(2)△AB C的面积S＝bcsin A＝3，故bc＝4.
2
而a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos A，故b
2
＋c
2
＝8. 解得b＝c＝2.
方法小结：
1．正弦定理和余弦定理并不是孤立的．解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用．
111
2．在解决三角形问题中，面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B最常用，因为公式中既有边也有
222
角，容易和正弦定理、余弦定理结合应用．
1
试题变式演练 (2012·江西重点中学联考)在△ABC中，cos 2A＝cos
2
A－cos A.
2
(1)求角A的大小；
(2)若a＝3，sin B＝2sin C，求S
△
ABC
.
.

精品文档
11
π
解：(1)由已知得(2cos
2
A－1)＝cos
2
A－cos A，则cos A＝.因为0223
(2)由
bcsin Bb
＝，可得＝＝2， 即b＝2c.
sin Bsin Csin Cc
b
2
＋c
2
－a
2
4c
2
＋c
2
－9
1
所以cos A＝＝＝， 解得c＝3，b＝23，
2bc4c
2
2
11333
所以S
△
ABC
＝bcsin A＝×23×3×＝.
2222

课后强化与提高练习（基础篇-必会题）
1．在△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，条件“acos B”成立的( )
A．充分不必要条件
C．充要条件


B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
π
2．(20 12·泉州模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝，b＝1，△ABC的面3
积为
3
，则a的值为( )
2










B．2
D.3
A．1
C.
3

2
3．(2013·“江南 十校”联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝23，c＝
tan A2c
22，1＋＝，则C＝( )
tan Bb
A．30°





B．45°
D．60° C．45°或135°
4．(2012·陕西高考)在△ABC中 ，角A，B，C所对边的长 分别为a，b，c，若a
2
＋b
2
＝2c
2
，则cos C
的最小值为( )
A.
3

2







B.
2

2
1
C.
2
1
D．－
2
5．(2012·上海高考)在△ABC中，若sin
2
A＋sin
2
B2
C，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形
C．钝角三角形




B．直角三角形
D．不能确定
6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b＝2asin B，则角A的大小为________．
解析：由正弦定理得sin B＝2sin Asin B，∵sin B≠0，
π
7．在△ABC中，若a＝3，b＝3，A＝，则C的大小为________．
3
π
8．(2012·北京西城期末)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b ，c.若b＝25，B＝，
4
.

精品文档
sin C＝
5
，则c＝________；a＝________.
5
1
9．(2012·北京高考)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________.
4
10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－2asin C＝bsin B.
(1)求B；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.













11．(20 13·北京朝阳统考)在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足3a
－2bsin A＝0.
(1)求角B的大小；
r
uuur
uuu
(2)若a＋c＝5，且a>c，b＝7，求
AB
·
AC
的值．













12．(2012·山东高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan A＋tan C)
＝tan Atan C.
.

精品文档
(1)求证：a，b，c成等比数列；
(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.















课后强化与提高练习（提高篇-选做题）
1．(2012·湖北高考)设△ABC 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整
数，且A>B>C，3b＝ 20acos A，则sin A∶sin B∶sin C为( )
A．4∶3∶2
C．5∶4∶3






B．5∶6∶7
D．6∶5∶4
A＋B
7
－cos 2C＝，< br>22
2．(2012·长春调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4 sin
2
且a＋b＝5，c＝7，则△ABC的面积为________．
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2b－c)cos A－acos C＝0.
(1)求角A的大小；
33
(2)若a＝3，S
△
AB C
＝，试判断△ABC的形状，并说明理由．
4







选做题
1．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A， B，C所对的边．若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sin C
.

精品文档
＝________.
2．在△ABC中，a＝2bcos C，则这个三角形一定是( )
A．等腰三角形
C．等腰直角三角形


B．直角三角形
D．等腰或直角三角形
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
1
cos 2C＝－.
4
(1)求sin C的值；
(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长．




4．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，
4
且cos B＝，b＝2.
5
(1)当A＝30°时，求a的值；
(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．






课后强化与提高练习（基础篇-必会题）解析
1解析：选C acos B.
11
π
3
2解析：选D 由已知得bcsin A＝×1×c×sin＝，解得c＝2，则由余弦定理可得a
2
＝4＋1 －
2232
π
2×2×1×cos＝3?a＝3.
3
tan A2c
3解析：选B 由1＋＝和正弦定理得cos Asin B＋sin Acos B＝2sin Ccos A，
tan Bb
12322
即sin C＝2sin Ccos A，所以cos A＝，则A＝60°.由正弦定理得＝，
2sin Asin C
则sin C＝
2
，又c2
11
4解析：选C 由余弦定理得a
2
＋b
2
－c
2
＝2abcos C，又c
2
＝(a
2
＋b
2
)，得2abcos C＝(a
2
＋b
2
)，即cos
22
a
2
＋b
2
2ab1
C＝≥＝.
4ab4ab2
.

精品文档
a
2
＋b
2
－c
2
6解析：选C 由正弦定理得a＋b2ab
2 22
1
三角形．∴sin A＝，∴A＝30°或A＝150°.答案：30°或150°
2
bsin A
7解析：由正弦定理可知sin B＝＝
a
πππ
＝.答案：
622
8解析：根据正弦定理得
bcbsin C
＝，则c＝＝22，再由余 弦定理得b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos B，即
sin Bsin Csin B
3sin
π
3
1
π
5π
π
＝，所以B＝或(舍去)，所以C＝π－A－B＝π－－
32663
a
2
－4a－12＝0，(a＋2)(a－6)＝0，解得a＝6或a＝－2(舍去) ．答案：22 6
1
－
?
，解得b＝4.答案：4 9解析：根据余弦定理 代入b
2
＝4＋(7－b)
2
－2×2×(7－b)×
?
?
4
?
10解：(1)由正弦定理得a
2
＋c
2
－2 ac＝b
2
.由余弦定理得b
2
＝a
2
＋c
2－2accos B.
故cos B＝
2
，因此B＝45°.
2
2＋6
.
4
(2)sin A＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝
2＋6
sin Asin Csin 60°
故a＝b×＝＝1＋3，c＝b×＝2×＝6.
sin Bsin Bsin 45°
2
11解：(1)因为3a－2bsin A＝0，
所以 3sin A－2sin Bsin A＝0，因为sin A≠0，所以sin B＝
π
(2)由(1)可知，B＝.因为b＝ 7.
3
π
根据余弦 定理，得7＝a
2
＋c
2
－2accos，整理，得(a＋c)
2< br>－3ac＝7.
3
由已知a＋c＝5，得ac＝6.又a>c，故a＝3，c＝2.
b
2
＋c
2
－a
2
7＋4－9
7
于是cos A＝＝＝，
2bc14
47
3
π
.又B为锐角，所以B＝.
23r
uuu
r
uuur
uuu
r
uuu
所以AB
·
AC
＝|
AB
|·|
AC
|cos A＝cbcos A
＝2×7×
7
＝1.
14
12解：(1)证明：在△ABC中，由于sin B(tan A＋tan C)＝
tan Atan C，
sin Asin C
?
sin Asin C
所以sin B
?
，
?
cos A
＋
cos C
?
＝
cos A
·
cos C
因此sin B(sin Acos C＋cos Asin C)＝sin Asin C，
所以sin Bsin(A＋C)＝sin Asin C.
又A＋B＋C＝π，
.

精品文档
所以sin(A＋C)＝sin B，
因此sin
2
B＝sin Asin C.
由正弦定理得b
2
＝ac，
即a，b，c成等比数列．
(2)因为a＝1，c＝2，所以b＝2，
a
2
＋c
2
－ b
2
1
2
＋2
2
－2
3
由余弦定理得co s B＝＝＝，
2ac
2×1×2
4
因为02
B＝
7
，
4
1177
故△ABC的面积S＝acsin B＝×1×2×＝.
2244
课后强化与提高练习（提高篇-选做题）解析
1解析：选D 由题意可得a >b>c，且为连续正整数，设c＝n，b＝n＋1，a＝n＋2(n>1，且n∈N
*
)，< br>?n＋1?
2
＋n
2
－?n＋2?
2
则由余弦定理可 得3(n＋1)＝20(n＋2)·，化简得7n
2
－13n－60＝0，n∈N
*< br>，解得n＝4，
2n?n＋1?
由正弦定理可得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝6∶5∶4.
A＋B
77
2解析：因为4sin
2
－cos 2C＝，所以2[1－cos(A＋B)]－2cos
2
C＋1＝，
222
2＋2cos C－2cos
2
C＋1＝
7111
a
2
＋b
2
－7
2
，cosC－cos C＋＝0，解得cos C＝.根据余弦定理有cos C＝＝，
24222ab
1
2
ab＝a
2
＋b
2
－7,3ab＝a
2
＋b2
＋2ab－7＝(a＋b)
2
－7＝25－7＝18，ab＝6，所以△ABC 的面积S
△
ABC
＝
133333
absin C＝×6×＝.答案：
2222
3解：(1)法一：由(2b－c)cos A－acos C＝0及正弦定理，得
(2sin B－sin C)cos A－sin Acos C＝0，∴2sin Bcos A－sin(A＋C)＝0，
1
π
sin B(2cos A－1)＝0. ∵023
法二：由(2b－c)cos A－acos C＝0，
b
2
＋c
2
－a
2
a
2
＋b
2
－c
2
及余弦定理，得(2b－c)·－a·＝0，
2bc2ab
整理，得b
2< br>＋c
2
－a
2
＝bc，∴cos A＝
b
2
＋c
2
－a
2
1
π
＝，∵02bc23
133
(2)∵S
△
ABC
＝bcsin A＝，
24
1
π
33
π
即bcsin＝，∴bc＝3，① ∵a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos A，a＝3，A＝，
2343
∴b
2
＋c
2
＝6，②由①②得b＝c＝3，∴△ ABC为等边三角形．
选择题解析
.

精品文档
asin B1
1解析：在△ABC中，A＋C＝2B，∴B＝60°.又∵sin A＝＝，∴A＝30°或150°(舍)，∴C＝90°，
b2
∴sin C＝1.
答案：1
2解析：选A 法一：(化边为角)由正弦定理知：
sin A＝2sin Bcos C，又A＝π－(B＋C)，
∴sin A＝sin(B＋C)＝2sin Bcos C.
∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
∴sin Bcos C－cos Bsin C＝0，
∴sin(B－C)＝0.
又∵B、C为三角形内角，∴B＝C.
a
2
＋b
2
－c< br>2
法二：(化角为边)由余弦定理知cos C＝，
2ab
a
2＋b
2
－c
2
a
2
＋b
2
－c
2
∴a＝2b·＝，
2aba
∴a
2
＝a
2
＋ b
2
－c
2
，∴b
2
＝c
2
，∴b＝c.
1
3解：(1)因为cos 2C＝1－2sin
2
C＝－，且04
所以sin C＝
10
.
4
ac1
＝，得c＝4.由cos 2C＝2cos
2
C－1＝－，及0sin Asin C4
(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，由正弦定理
6
得cos C＝±.
4
由余弦定理c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcos C，得b
2
±6b－12＝0，解得b＝6或26，
?
b＝6，
?
b＝26，
所以
?
或
?

?
c＝4
?
c＝4.
43
4 解：(1)因为cos B＝，所以sin B＝.
55
aba105
由正弦定理＝，可得＝，所以a＝.
sin Asin Bsin 30°33
133
(2)因为△ABC的面积S＝ac·sin B，sin B＝，所以ac＝3，ac＝10.
2510
8
由余弦定理得b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos B，得4＝a
2
＋c
2
－ac＝a
2
＋c
2
－16，即a
2
＋c2
＝20.
5
所以(
a
＋
c
)－2
ac
＝20，(
a
＋
c
)＝40.所以
a
＋
c
＝210.
22

.