高中数学-三余弦定理(最小角定理)与三正弦定理

三余弦定理和三正弦定理

1.三余弦定理（又叫最小角定理）
（ 1）设点A为平面
?
上一点，过A点的斜线AO在平面
?
上的射影为AB，A C为平面
?
上
的任意直线，那么∠OAC，∠BAC，∠OAB三角的余弦关系为：
cos∠OAC=cos∠BAC×cos∠OAB
即斜线与平面内一条直线夹角
?
的余弦值=斜线与平面所成角
?
1
的余弦值
?
射影与平面内 直线
夹角的余弦值。

（2）定理证明：




（3）说明：这三个角中，角
?
是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角 的余弦值之积。斜线
与平面所成角
?
1
是斜线与平面内所有直线所成的角中最 小的角。
2.设二面角M－AB－N的度数为
?
，在平面M上有一条射线AC，它和 棱AB所成角为
?
，和
平面N所成的角为
?
，则sin
?< br>=sin
?
·sin
?
（如图）.

（1）定理证明：

1

如果将三 余弦定理和三正弦定理联合起来使用，用于解答立体几何综合题，你会发现出乎意料
地简单，甚至不用作 任何辅助线！
例1. (1994全国)如图，已知A1B1C1－ABC是正三棱柱，D是AC中点 ，若AB
1
⊥BC
1
，求面
DBC
1
与面CBC< br>1
所成的二面角度数。







例2. (1986上海)已知Rt△ABC的两直角边AC=2，BC=3.点P为斜边A B上一点，现沿CP将此
直角三角形折成直二面角A－CP－B（如下图），当AB=
7
时，求二面角P－AC－B的大小。



2

例3.已知菱形ABCD的边长为1，∠BAD=60°，现沿对角线BD将此菱形折成直二面角
A-BD-C(如下图)。( 1)求异面直线AC与BD所成的角；( 2)求二面角A-CD- B的大小。







例4.（2 012四川）如图，半径为
交半球面于点
到平面
，过圆的直径
的半球的底面圆
成
在平面内，过点作平面的垂线
作与平面角的平面并与半球面相交，所得交线上
满足，则、两点间的球的距离最大的点为，该交线上的一点
面距离为_______________ __



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