高中数学：(一)正弦定理

ruize
课时达标训练(一) 正 弦 定 理

[即时达标对点练]
题组1 利用正弦定理解三角形
1．若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则b的值为( )

A.3＋1
C．26










B．23＋1
D．2＋23
abb
4
解析：选C 由正弦定理＝，得＝，所以b＝26，故选C.
sin Asin Bsin 45°sin 60°
2．在△ABC中，A＝60°，a＝3，b＝2，则B＝( )
A．45°或135° B．60°
C．45° D．135°
ab
解析：选C 由正弦定理＝，
sin Asin B
bsin A
2sin 60°2
得sin B＝ ＝＝.
a
2
3
∵a>b，∴A>B，
∴B＝45°.
cos Asin B
3．在△ABC中，
a
＝
b
，则A＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
sin Asin Bcos Asin B
解析：选B ∵＝，又＝，
abab
cos Asin A
∴
a
＝
a
，
∴sin A＝cos A，tan A＝1.
又0°∴A＝45°.
4．在△ABC 中，c＋b＝12，A＝60°，B＝30°，则c＝________，
b＝________.
解析：因为A＝60°，B＝30°，所以C＝90°，由正弦定理
b＝12，
所以c＝8，b＝4.
★答案★：8 4
bc
1
＝，得b＝c.又c＋
sin Bsin C2

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a－2b＋c
5．已知在△ABC中，A∶B∶C＝ 1∶2∶3，a＝1，则＝________.
sin A－2sin B＋sin C
解析：∵A∶B∶C＝1∶2∶3，∴A＝30°，B＝60°，C＝90°.
∵
∴
abc
1
＝＝＝＝2，∴a＝2sin A，b＝2sin B，c＝2sin C.
sin Asin Bsin Csin 30°
a－2b＋c
＝2.
sin A－2sin B＋sin C
★答案★：2
6．已知b＝10，c＝56，C＝60°，解三角形．
解：∵sin B＝
bsin C
10·sin 60°2
＝＝，
c
2
56
且b＝10，c＝56，b∴B＝45°，A＝180°－(B＋C)＝75°.
bsin A
10·sin 75°
∴a＝＝＝
sin Bsin 45°
10×
6＋2
4
＝5(3＋1)．
2
2
题组2 利用正弦定理判断三角形的形状
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos B＋acos C＝b＋c，则△ABC
的形状是________．
解析：∵acos B＋acos C＝b＋c，∴由正弦定理，得sin A·cos B＋sin Acos C＝sin B＋sin
C＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)，化简得cos A·(sin B＋sin C)＝0.又sin B＋sin C>0，∴cos A＝0，
π
即A＝，∴△ABC为直角三角形．
2
★答案★：直角三角形
ππ
－A
?
＝bcos
?
－B
?
，判断△ ABC的形状． 8．在△ABC中，acos
?
?
2
??
2
?
π
?
π
－B
?
，
－A
?
＝ b·解：法一：∵acos
?
cos
?
2
??
2
?
ab
∴asin A＝bsin B．由正弦定理，得a·＝b·，
2R2R
∴a
2
＝b
2
，∴a＝b，
∴△ABC为等腰三角形．
ππ
－A
?
＝bcos
?
－B
?
， 法二：∵acos
?
?
2
??
2
?
∴asin A＝bsin B.
由正弦定理，得2Rsin
2
A＝2Rsin
2
B，
即sin A＝sin B，

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∴A＝B(A＋B＝π不合题意，舍去)．
故△ABC为等腰三角形．
9．在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，sin
2
A＝sin< br>2
B＋sin
2
C，试判断△ABC的形状．
解：由sin
2
A＝sin
2
B＋sin
2
C及正弦定理，得a
2
＝b
2
＋c
2
，
∴△ABC是直角三角形，且A＝90°.
∴B＋C＝90°，
∴sin B＝cos C.
由sin A＝2sin Bcos C，得1＝2sin
2
B，
∴sin B＝
2
，
2
∴B＝45°，
∴C＝B＝45°.
∴△ABC是等腰直角三角形．
[能力提升综合练]
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(3，－1)，n＝(cos A，
sin A)，若m⊥n，且acos B＋bcos A＝csin C，则角A，B的大小分别为( )
ππ
A.，
63
ππ
C.，
36
















2ππ
B.，
36
ππ
D.，
33
π
解析：选C 因为m⊥n，所以3cos A－sin A＝0，所以tan A＝3，则A＝.由正弦
3
定理，得sin Acos B＋sin B·cos A＝sin
2
C，所以sin(A＋B)＝sin
2
C，所以sin C＝sin
2
C.因为
ππ
026
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b ，c.根据下列条件解三角形，
其中有两解的是( )
A．a＝30，b＝50，A＝36°
B．a＝50，b＝30，A＝36°
C．a＝30，b＝60，A＝30°
D．a＝30，B＝20°，A＝136°
3
解析：选A 对于A，bsin A<50×＝30＝a5
1
a>b，这样的三角形只有一个．对于C，bsin A＝60×＝30＝ a，这样的三角形只有一个．对
2
于D，∵A＝136°，∴△ABC为钝角三角形，∵B＝2 0°，A＝136°，∴C＝24°，∴这样的三
角形是唯一的．

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3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝3a，B＝30°，那么
角C等于( )
A．120° B．105°
C．90° D．75°
解析：选A ∵c＝3a，∴sin C＝3sin A＝3sin(180°－30°－C)＝3sin(30°＋C)＝
3
?
3
sin C＋
1
cos C
?
，
2
?
2
?
即sin C＝－3cos C，
∴tan C＝－3.又C∈(0°，180°)，
∴C＝120°.故选A.
sin?A－B?a< br>2
－b
2
4．在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是__________ ______．
sin?A＋B?a
2
＋b
2
sin?A－B?s in
2
A－sin
2
B
解析：原式可化为＝
?sin
2
A[sin(A－B)－sin(A＋B)]＋
sin?A＋B?sin
2
A＋sin
2
B
sin
2
B·[sin(A－B)＋sin(A＋ B)]＝0?－sin
2
A·cos Asin B＋sin
2
Bsin Acos B＝0?－sin 2A＋
π
sin 2B＝0，又∵02
形是等腰三角形或直角三 角形．
★答案★：等腰三角形或直角三角形
a
5．在锐角三角形ABC中，角A， B，C所对的边分别为a，b，c，A＝2B，则
b
的取值
范围是________．
B<90°，
?
?
，
解析：在锐角三角形ABC中，A，B，C都为 锐角，由题意，知
?
2B<90°
?
－3B<90°，
?
1 80°

所
asin Asin 2Ba
以30°b
＝＝＝2cos B∈(2，3)，故
b
的取值范围是(2，
sin Bsin B
3)．
★答案★：(2，3)
6．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a ＝3，b＝2，1＋2cos(B
＋C)＝0，求边BC上的高．
13
解：由1＋2cos(B＋C)＝0和B＋C＝π－A，得1－2cos A＝0，所以cos A＝，sin A＝.
22
再由正弦定理，得sin B＝
bsin A
2
＝.
a
2
π
2
由b2
B＝.
22

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由上述结果知sin C＝sin(A＋B)＝
6＋2
2
?
31
?
×＝.
＋
2
?
22
?
4
3＋1
.
2
设边BC上的高为h，则有h＝bsin C＝
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin C＝3ccos A.
(1)求A的大小；
ππ
(2)若b＝2，且≤B≤，求c的取值范围．
43
解：(1)由题意得
由正弦定理，得
ac
＝.
3cos A
sin C
sin Asin C
＝＝1.
3cos A
sin C
π
∴tan A＝3.∵A∈(0，π)，∴A＝.
3
bcbsin C2sin C
π
(2)∵b＝2，A＝，∴在△ABC中，由正弦定理＝，得c＝＝＝
3sin Bsin Csin Bsin B
2π
?
2sin
?
?
3
－B
?
sin B
3cos B
3
＋1＝＋1.
sin Btan B
＝
ππ
∵≤B≤，∴1≤tan B≤3，∴2≤c≤3＋1，即c的取值范围为[2，3＋1]．
43