高中数学-空间向量的基本定理练习题

高中数学-空间向量的基本定理练习题
课后训练
uuur
uuur uuuur
1．
AM
是△
ABC
中
BC
边上的中线 ，设
AB
＝
e
1
，
AC
＝
e
2< br>，则
AM
为( )
11
e
1
?e
2

22
11
C．
e
1
－
e
2
D．
e
1
?e
2

22
A．
e
1
＋
e
2
B．
uuur
2．设
O
，
A
，
B
，
C
为空间四边形的四个顶点，点
M
，
N
分别是边
OA，
BC
的中点，且
OA
uuuruuuruuuur
＝
a
，
OB
＝
b
，
OC
＝
c
，用< br>a
，
b
，
c
表示向量
MN
为( )
11
(c?b?a)
B．
(a?b?c)

22
11
C．
(a?c?b)
D．
(a?b?c)

22
A．
uuuruuuruuuruuur
3．对于空间一点
O
和不共线的三点
A
，
B
，C
，且有6
OP
＝
OA
＋2
OB
＋3
OC
，则( )
A．
O
，
A
，
B
，
C
四点共面
B．
P
，
A
，
B
，
C
四点共面
C．
O
，
P
，
B
，
C
共面 D．
O
，
P
，
A
，
B
，
C< br>五点共面
4．如果
a
，
b
，
c
共面，b
，
c
，
d
也共面，则下列说法正确的是( )
A ．若
b
与
c
不共线，则
a
，
b
，
c
，
d
共面
B．若
b
与
c
共线，则a
，
b
，
c
，
d
共面
C．当且仅当
c
＝0时，
a
，
b
，
c
，
d共面
D．若
b
与
c
不共线，则
a
，
b
，
c
，
d
不共面
5．三射线
AB
，< br>BC
，
BB
1
不共面，若四边形
BB
1
A< br>1
A
和四边形
BB
1
C
1
C
的对角 线均互相平分，
uuur
uuur
uuuuruuuur
且
AC1
＝
x
AB
＋2
y
BC
＋3
z
CC
1
，那么
x
＋
y
＋
z
的值为( )
5

6
11
2
C． D．
6
3
A．1 B．
6．非零向量
e
1
，
e
2
不共线，使
ke
1
＋
e
2
与
e
1
＋
ke
2
共线的
k
＝_____ _____.
r
1
uur
uuu
ur
uuur
1
uuu
7．已知
D
，
E
，
F
分别是△ABC
中
BC
，
CA
，
AB
上的点，且
BD
＝
BC
，
CE
＝
CA
，
33
uuur
r
uuuruuur
uuur
1
uuu
AF＝
AB
，设
AB
＝
a
，
AC
＝
b
，则
DE
＝__________.
3
uuuruuuruu uruuur
8．已知
G
是△
ABC
的重心，点
O
是空间任意一点，若
OA
＋
OB
＋
OC
＝
λ
OG
，则
λ
＝__________.
uuuruuuruuuruuu ruuur
9．已知平行四边形
ABCD
，从平面
AC
外一点
O
引向量
OE
＝
k
OA
，
OF
＝
k
OB
，
OG
1

uuuruuuruuur< br>＝
k
OC
，
OH
＝
k
OD
，求证：
(1)点
E
，
F
，
G
，
H
共面；
(2)
AB
∥平面
EG
.
10．已知矩形
ABC D
，
P
为平面
ABCD
外一点，且
PA
⊥平面ABCD
，
M
，
N
分别为
PC
，
PD
上
uuuruuuur
uuuruuuruuur
的点，且
M
分
PC
成定比2，
N
分
PD
成定比1，求满足
M N
＝
x
AB
＋
y
AD
＋
z
AP< br>的实数
x
，
y
，
z
的值．
2

参考答案
1. 答案：D
2. 答案：A
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
3. 答案：B 6
OP
＝
OA
＋2
OB
＋3
OC
，得
OP
－
OA
＝2(
OB
－
OP
)＋ 3(
OC
－
uuur
OP
)，
uuurr
uuu ruuuruuuruuur
uuu
AP
＝2
PB
＋3
PC
，∴
AP
，
PB
，
PC
共面．又它们有同一公共点
P
，∴
P
，
A
，
B
，
C
四点共面．
4. 答案：A
uuuuruuur
5. 答案：D 由题意知
AB
，
BC
，
BB
1
不共面，四边形
BB
1
C
1
C
为平行四边形，
CC
1
＝
BB
1
，
uruuuur
uuu
ur
r
uuu
r
uuu
uuur
uuu
r
uuu
∴{
AB，
BC
，
CC
1
}为一个基底．又由向量加法
AC1
＝
AB
＋
BC
＋
CC
1
，∴
x
＝2
y
＝3
z
＝1.
∴
x
＝1，< br>y?
1111
，
z?
，∴
x
＋
y
＋
z
＝.
236
6. 答案：±1
ke
1
＋e
2
与
e
1
＋
ke
2
共线，则存在唯 一的实数
x
，使
ke
1
＋
e
2
＝
x
(
e
1
＋
ke
2
)，
?
k?x ,
?k?1
.
?
?
1?kx
7. 答案：
b?
8. 答案：3
1
3
2
a

3
uuur
uuur
uuur
9. 答案：分析：(1)要证
E
，
F
，
G
，
H
四点共面，可先证向量
EG
，
EF
，
EH
共面，
uuur
uuur
uuur
即只需证
EG
可以用
EF
，
EH
线性表 示；
r
uuur
uuuruuur
uuu
(2)可证明
A B
与平面
EG
中的向量
EF
或
EG
，
EH
之一共线．
uuur
uuu
r
r
uuu
证明：( 1)∵
OA
＋
AB
＝
OB
，
uuuruuur< br>uuur
∴
k
OA
＋
k
AB
＝
k< br>OB
.
r
uuuruuur
uuu
uuur
而OE
＝
k
OA
，
OF
＝
k
OB
，
r
uuur
uuur
uuu
∴
OE
＋
k
AB
＝
OF
.
uuur
uuur
→
uuuruuur
又
OE
＋
EF
＝
OF
，∴
EF
＝
k
AB
.
uuur
ruuur
uuur
uuu
同理：
EH
＝
k
AD
，
EG
＝
k
AC
.
3

∵
ABCD
是平行四边形，
uuur
uuuruu ur
∴
AC
＝
AB
＋
AD
，
uuuruuuruuur
EGEFEH
??
∴，
kkk
uuur
uuuruuur
即
EG
＝
EF
＋
EH< br>.又它们有同一公共点
E
，
∴点
E
，
F
，
G
，
H
共面． < br>uuuruuur
(2)由(1)知
EF
＝
k
AB
，
∴
AB
∥
EF
.又
AB
平面
EG
，
∴
AB
与平面
EG
平行，即
AB
∥平面
EG
.
uuuur
10. 答案：分析：结合图形，从向量
MN
出发，利用向量运算法则不断进行分解，直
uuuruuuruuur
到全部向量都用
AB
，
AD
，
AP
表示出来，即可求出
x
，
y
，
z
的值．
r
uuuur
uuuur
uuu
解：解法一：如图所示，取
PC
的中点
E
，连
NE
，则
MN
＝
EN
－
EM
.

uuur
1
uuur
∵
EN
＝
CD
2
urr
1
uu
1
uuu
＝
BA
＝－
AB
，
22
uuuuruuuuruuur
2
uuur< br>1
uuur
1
uuur
EM
＝
PM
－
PE
＝
PC
－
PC
＝
PC
，
6
32
uuuurr
r
1
uuu
1
uuu
∴
MN
＝－
AB
－
PC
.
6
2
连
AC
，则
uuuruuur
uuuruu uruuuruuur
PC
＝
AC
－
AP
＝
AB< br>＋
AD
－
AP
，
uuuur
r
1
uuuruuuruuur
1
uuu
∴
MN
＝－
AB
－(
AB
＋
AD
－
AP
)
6
2
r
1
uuur
1
uuur
2
uuu
＝－
AB
－
AD
＋
AP
，
3
66
211∴
x??
，
y??
，
z?
.
366
4

uuur
uuuur
uuur
解法二：如图所 示，在
PD
上取一点
F
，使
F
分
PD
所成 比为2，连
MF
，则
MN
＝
MF
＋
u
FN
uur
，
而
u
MF
uur
＝
2
uuu
CD
r
＝－
2
uuu
AB
r
，u
FN
uur
＝
u
DN
uu
3
r3

－
u
DF
uur
＝
1
u
DP
uur
－
1
uuur
1
uuur
1
u uuruuur
∴
u
MN
uuur
3
DP
＝
6
DP
＝
6
(
AP
－
AD
)，
＝－
2
uuur
2
1
uuur
1
uuur
3
AB
－
6
AD
＋
6
AP
，
∴
x??
211
3
，
y??
6
，
z?6
.
解法三：∵
u
MN
uuur
＝
uuu< br>PN
r
－
u
PM
uuur
＝
1
u< br>PD
uur
－
2
uuu
PC
r

＝
1
ur
r
23
2
(
u
PA
u＋
u
AD
uur
)－
2
(
u
PAuur
＋
uuu
AC
)
＝－
1
uuuruu ur
3
12
2
AP
＋
AD
－(－
uuu< br>AP
r
＋
uuu
AB
r
＋
u
AD< br>uur
)
＝－
2
uuur
2
uuur
3< br>11
3
AB
－
6
AD
＋
uuur
6
AP
，
∴
x=－
21
3
，
y=?
1
6
，
z=
6
.
5