高中数学：17 平面向量基本定理

ruize
课时分层作业(十七) 平面向量基本定理
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．以下选项中，a与b不一定共线的是( )
A．a＝5e
1
－e2
，b＝2e
2
－10e
1

21
B．a＝4 e
1
－
5
e
2
，b＝e
1
－
10
e
2

C．a＝e
1
－2e
2
，b＝e< br>2
－2e
1

D．a＝3e
1
－3e
2，b＝－2e
1
＋2e
2

C [只有C选项不一定共线．]
2.如图所示，向量a－b＝( )
A．－4e
1
－2e
2

B．－2e
1
－4e
2

C．e
1
－3e
2

D．3e
1
－e
2

→
C [a－b＝AB＝e
1
－3e
2
.]
3．已知e
1
，e
2
不共线，a＝λ
1
e
1
＋e
2
， b＝4e
1
＋2e
2
，并且a，b共线，则下列各
式正确的是( )
A．λ
1
＝1
C．λ
1
＝3
B．λ
1
＝2
D．λ
1
＝4
B [b＝4e< br>1
＋2e
2
＝2(2e
1
＋e
2
)，因为a 与b共线，所以λ
1
＝2.]
→→→
4.如图所示，?ABCD中，E是BC的中点，若AB＝a，AD＝b，则DE＝( )

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1
A
．
a－b
2
1
C
．
a＋b
2
D [因为E是BC的中点，
1
→
1
→
1
→
所以CE＝
2
CB ＝－
2
AD＝－
2
b，
→→→1
所以DE＝DC＋CE＝a－
2
b.]
→→→→→
5
．
若OP
1
＝a，OP
2
＝b，P
1
P＝λPP
2
(λ≠－1)，则OP等于( )
A．a＋λb
C．λa＋b
→→
D [∵P
1
P＝λPP
2
，
→→→→
∴OP－OP
1
＝λ(OP
2
－OP)，
→→→
∴(1＋λ)OP＝OP
1
＋λOP
2
，
1
→
λ
→
1
λ
→
∴OP＝OP
1
＋OP
2
＝a＋b.]
1＋λ1＋λ1＋λ1＋λ
二、填空题
6 ．如果e
1
，e
2
是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是
________．(填序号)
B．λa＋(1－λ)b
D.
1
λ
a＋b
1＋λ1＋λ
1
B
．
a＋b
2
1
D
．
a－b
2

ruize
①λe
1
＋μe
2
(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe
1
＋μ e
2
的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ
1
e
1
＋μ
1
e
2
与λ
2
e
1
＋μ2
e
2
共线，则有且只有一个实数λ，使得λ
1
e
1< br>＋μ
1
e
2
＝λ(λ
2
e
1
＋μ< br>2
e
2
)；
④若存在实数λ，μ使得λe
1
＋μe
2
＝0，则λ＝μ＝0.
②③ [由平面向量基本定理可知，①④是正确的．
对于②，由平面向量基本定理可知，一旦 一个平面的基底确定，那么任意一
个向量在此基底下的实数对是唯一的．
对于③，当两向量的 系数均为零，即λ
1
＝λ
2
＝μ
1
＝μ
2
＝0时，这样的λ有无数
个．]
7．已知e
1
，e
2
是平 面内所有向量的一组基底，又a＝e
1
＋2e
2
，b＝2e
1
－e
2
，c
＝－e
1
＋8e
2
，若用a，b作为 基底表示向量c，则c＝________.
3a－2b [设c＝λ a＋μ b，
于是 －e
1
＋8e
2
＝λ(e
1
＋2e
2
)＋ μ(2e
1
－e
2
)，
整理得－e
1
＋8e2
＝(λ＋2μ)e
1
＋(2λ－μ)e
2
，
因为e
1
，e
2
是平面内所有向量的一组基底，
?
λ＋2μ＝－1，
所以
?
解得λ＝3，μ＝－2，
?
2λ－μ＝8，
所以c＝3a－2b.]
8．已知e
1
与e
2
不共线，a＝e
1
＋2e
2
，b＝λe
1< br>＋e
2
，且a与b是一组基底，则实
数λ的取值范围是________． < br>1
??
1
??
?
－∞，
2
?
∪?
2
，＋∞
?
[当a
∥
b时，设a＝m b， ????
则有e
1
＋2e
2
＝m(λe
1
＋e
2
)，
即e
1
＋2e
2
＝mλe
1
＋m e
2
，
?
1＝mλ，
11
所以
?
解得λ ＝
2
，即当λ＝
2
时，a
∥
b.
?
2＝m，
又a与b是一组基底，
1
所以a与b不共线，所以λ≠
2
.]
三、解答题

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→
9.如图，已知△ABC中，D为BC的中 点，E，F为BC的三等分点，若AB＝a，
→→→→
AC＝b，用a、b表示AD、AE、A F.

111
→→→→
1
→
[解] AD
＝AB ＋BD＝AB＋
2
BC＝a＋
2
(b－a)＝
2
a＋
2
b；
121
→→→→
1
→→→→→
2
→AE＝AB＋BE＝AB＋
3
BC＝a＋
3
(b－a)＝
3a＋
3
b；AF＝AB＋BF＝AB＋
3
BC＝a
212
＋
3
(b－a)＝
3
a＋
3
b.
10．设e< br>1
，e
2
是不共线的非零向量，且a＝e
1
－2e
2
，b＝e
1
＋3e
2
.
(1)已知c＝3e
1
＋4e
2
，以a，b为基底，表示向量c；
(2)若4e
1
－3e
2
＝λa＋μb，求λ，μ的值．
[解] (1)设c＝λa＋μb，则3e
1
＋4e
2
＝λ(e1
－2e
2
)＋μ(e
1
＋3e
2
)＝(λ＋ μ)e
1
＋(3μ－
2λ)e
2
，
?
λ＋μ＝3 ，
?
λ＝1，
?
所以解得
?
所以c＝a＋2b.
?
3μ－2λ＝4.
?
μ＝2.
(2)4e
1
－3e
2
＝λa＋μb＝λ(e
1
－2e
2
)＋μ(e
1
＋3e
2
)
＝(λ＋μ)e
1
＋(3μ－2λ)e
2
，
?
λ＋μ＝4，
所以
?
解得λ＝3，μ＝1.
?
3μ－2λ＝－3.
[等级过关练]

ruize
→→→
1．设O，A，B，M为平面上四点，OM＝λO A＋(1－λ)OB，λ∈(0,1)，则( )
A．点M在线段AB上
C．点A在线段BM上
B．点B在线段AM上
D．O，A，B，M四点共线
→→→
A [因为OM＝λOA＋(1－λ)OB，λ∈(0,1)，
→→→→
所以OM－OB＝λ(OA－OB)，
→→
所以BM＝λBA，
故点M在线段AB上．]
→→→
2．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA ，AB上的点，且DC＝2BD，CE
→→→→→→→
＝2EA，AF＝2FB，则AD＋BE ＋CF与BC( )
A．反向平行
C．互相垂直
A [如图．
→→→→
1
→
∵AD＝AB＋BD＝AB＋
3
BC，
→→→→
2
→
BE＝BC＋CE＝BC＋
3
CA，
→→→→
1
→
CF＝CB＋BF＝CB＋
3
BA，
→→→
∴AD＋BE＋CF
?
→
1
→
??
→
2
→
??
→
1
→
?
＝
?AB＋
3
BC
?
＋
?
BC＋
3
CA< br>?
＋
?
CB＋
3
BA
?

???? ??
1
→
2
→
1
→
＝
3
BC＋< br>3
CB＝－
3
BC.]
→
3.如图，在平行四边形ABCD 中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC＝
→→
λAE
＋μAF，其中λ、μ∈ R，则λ＋μ＝________.
B．同向平行
D．既不平行也不垂直

ruize

4
→→
[设AB＝a，AD＝b，
3
1
→
1
→
则AE＝
2
a＋b，AF＝a ＋
2
b，
2
→→
2
→→
又∵AC＝a＋b，∴A C＝
3
(AE＋AF)，即λ＝μ＝
3
，
4
∴λ＋μ＝
3
.]
→→→
4．设点O是面积为4的△A BC内部一点，且有OA＋OB＋2OC＝0，则△AOC
的面积为________．
→
1 [如图，以OA，OB为邻边作?OADB，连接OD，则OD
→→→→→→→
＝OA＋OB，结合条件OA＋OB＋2OC＝0知，OD＝－2OC，
→→→→
设OD交AB于M，则OD＝2OM，所以OM＝－OC，
111
故O为CM的中点，所以S
△
AOC
＝
2
S
△
CA M
＝
4
S
△
ABC
＝
4
×4
＝1 .]
5.如图所示，已知梯形ABCD中，AB∥DC，E，F分别是AD，BC的中点，
求 证：EF∥AB∥DC.

ruize

[证明] 延长EF到M，使EF＝FM，连接CM，BM，EC，EB，得?ECMB，
由平行四边形法则得
→
1
→
1
→→
EF＝
2
EM＝
2
(EB＋EC)．
→→
由于AB∥DC，所以AB，DC共线且同向，根据共线向量 基
→→
本定理，存在正实数λ，使AB＝λDC.
由三角形法则得
→→→→→→→→
EB＝EA＋AB，EC＝ED＋DC且ED＋EA＝0，
→1
→→
1
→→→→
∴EF＝
2
(EB＋EC)＝
2
(EA＋AB＋ED＋DC)
1＋λ
→
1
→→
＝2
(AB＋DC)＝
2
DC，
→→
∴EF∥DC.
由于E，D不共点，∴EF∥AB∥DC.